Aula 02

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DESENVOLVIMENTO DE 
PROJETOS DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO 
BÁSICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Fabio Mendes Teófilo/Profª Rafaella Borsatti Gurczakoski 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Nesta etapa, vamos trabalhar elementos de uma atividade de modelagem 
matemática: contexto, situação-problema, proposta matemática, processo 
investigativo e análise interpretativa. 
Este material tem como intenção oportunizar a identificação das 
potencialidades do uso da modelagem matemática para o processo de ensino 
de matemática. Acreditamos que o uso da modelagem matemática como 
metodologia alternativa para o ensino de Matemática possa auxiliar os 
educandos a construírem os conhecimentos. 
Consideramos sempre válido destacar que entendemos que para toda 
prática de ensino proposta, independente do meio que esta se aproprie, se faz 
sempre necessário compreender quais sãos os constructos teóricos que a 
conectam à aplicação dos processos de ensino. 
A maioria dos autores de referência pesquisados durante o 
desenvolvimento deste material aponta a eficácia do uso de metodologias 
alternativas e, neste caso e em especial, da Modelagem Matemática no ensino 
de Matemática, sendo que a utilização desses materiais possibilita obter 
resultados positivos e significativos na aprendizagem. 
Bons estudos! 
TEMA 1 – ELEMENTOS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA: CONTEXTO 
A escolha de um tópico para ser desenvolvido em Modelagem Matemática 
parte do interesse dos estudantes envolvidos. É neste momento que a 
contextualização com o cotidiano tende a aparecer. 
Esses temas devem ser estimulados a serem, ao menos inicialmente, 
colocados pelos estudantes, segundo o interesse que manifestam, pela 
curiosidade ou mesmo para a resolução de uma situação-problema. O professor 
tem um papel importante para conhecer o contexto estudantil de sua comunidade 
em suas várias faces (econômica, social, cultural, entre outras). O interesse dos 
estudantes pode recair nos esportes, nas brincadeiras, nos serviços, nos temas 
atuais que as formas de comunicação possibilitam, por exemplo, corrupção, 
terremotos, desabamentos entre outros. 
 
 
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Quando a escolha recai sobre mais de um tema e o professor ainda sem 
experiência prefere trabalhar com apenas um tema, pode combinar de tratar um, 
depois outro e assim por diante. Entretanto, se o professor já tiver vivenciado 
algumas experiências com a Modelagem, pode trabalhar com mais de um tema 
simultaneamente, tornando a experiência ainda mais rica. 
Os temas podem, inclusive, não ter uma relação direta com a matemática 
e, muitas vezes, os estudantes não têm muita noção do querem realmente com 
o tema. O fato de um tema inicialmente não ter aparentemente muito a ver com 
a Matemática pode despertar no professor alguma “ansiedade”, algum temor por 
suscitar dúvida se há Matemática no tema e, ainda, qual Matemática poderá ser 
desenvolvida. Essas questões realmente fazem parte do cotidiano escolar, 
principalmente nas escolas que têm como meta o cumprimento de um programa 
com determinados conteúdos matemáticos. 
Sempre em nome de que o estudante precisa de certos pré-requisitos, 
para a continuidade dos seus estudos e que no ano seguinte serão cobrados 
certos conteúdos, as experiências verdadeiramente significativas no âmbito da 
sala de aula são deixadas de lado. 
Esse é um aspecto que nada contribui para a educação de um cidadão do 
século XXI, muito menos com o ensino da Matemática. O lado “seguidor” que se 
desenvolve no estudante parece inibir o desenvolvimento da sua autonomia, a 
iniciativa, liberdade de conjecturar e, com isso, inibe o desenvolvimento de 
muitas competências necessárias à formação de um cidadão, tudo em nome de 
uma visão de currículo completamente superada, no entanto em termos teóricos 
apenas. Essa visão da linearidade do currículo ainda predomina na maioria das 
nossas escolas e está sendo, ainda que lentamente, superada com as novas 
perspectivas de um pensamento complexo. 
Para Morin (2006), o desenvolvimento do conhecimento científico deve 
ser visto como um meio eficiente de detecção dos erros e de luta contra as 
ilusões. Entretanto, os paradigmas que controlam a ciência podem desenvolver 
ilusões e nenhuma teoria científica está imune para sempre contra o erro. Além 
disso, o conhecimento não pode tratar sozinho dos problemas epistemológicos, 
filosóficos e éticos. 
A Educação deve-se dedicar, por conseguinte, à identificação da origem 
dos erros, ilusões e cegueiras. Daí a importância do desenvolvimento de práticas 
 
 
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que despertem a curiosidade contextualizada e a busca pela compreensão de 
situações e fenômenos reais. 
TEMA 2 – SITUAÇÃO-PROBLEMA 
A situação-problema é uma etapa que acontece de forma natural, pois, 
uma vez escolhidos o tema, muitas vezes, dependendo do nível de ensino em 
que se esteja trabalhando, os temas são escolhidos por curiosidade, pelo desejo 
de se conhecer mais e melhor aquele assunto. Pode acontecer, no entanto são 
mais raras, situações em que, nesse nível de ensino, se parte de uma questão 
mais elaborada ou que exija um nível mais complexo de análise. 
Conhecer mais sobre o tema, buscar informações no local onde se 
localiza o interesse do grupo de pessoas envolvidas, além de se constituir em 
uma das premissas para o trabalho nessa visão de Modelagem, é uma etapa 
importante na formação de um estudante mais crítico. 
Entendemos, pois, que para conhecer melhor algum objeto ou alguma 
coisa precisa se organizar, saber o que e como enunciar questões que produzam 
respostas às questões. Qual a forma mais adequada para se colher os dados? 
Quais os tipos de instrumentos devem ser construídos? Quais devem ser as 
características das questões a serem formuladas? Como devem ser formuladas? 
No caso da Modelagem, a natureza dos dados que são de modo geral 
qualitativos e quantitativos permite tratar os temas sob enfoques distintos para 
além do enfoque matemático. Um simples passeio, organizado para uma tarde 
na praça próximo da escola, pode se tornar mais do que isso, pode ensejar o 
estudo de temas diversos, tais como: a urbanização da praça, os tipos de 
vegetação predominantes, as características predominantes, a frequência de 
pessoas, quais as características dos seus frequentadores, quais os principais 
benefícios e malefícios trazidos pela localização, enfim, muitos aspectos podem 
ser objeto de ricas e sugestivas discussões. 
TEMA 3 – MATEMÁTICA 
Aqui precisamos revisitar todas as etapas até o presente momento. O 
desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática está associado a 
um contexto que torna o objeto a ser estudado em um atrativo para o estudante 
e a uma situação-problema (exemplos: temperatura da água e da massa de um 
 
 
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pudim, velocidades em um trajeto, entre outros), em que há coleta de dados 
representados por meio de um modelo matemático que representa um objeto 
matemático (como uma função do tipo exponencial e função polinomial, por 
exemplo), que pode ser trabalhado matematicamente (cálculo de derivadas, 
integrais e função composta), ou seja, fazendo uso da Matemática. 
A resolução do(s) problema(s) confere à Modelagem Matemática a etapa 
em que se faz uso de todo o ferramental matemático disponível. Na resolução 
de um problema ou de uma situação-problema, os conteúdos matemáticos 
ganham importância e significado. As operações, as propriedades e os diversos 
campos da matemática que se fazem presentes nessa etapa sem dúvida 
atribuem significados aos conteúdos matemáticos. 
Pode acontecer que, para a resolução de um problema, o conteúdo 
necessário à sua resolução ainda não tenha sido trabalhado pelo aluno, então é 
um momento importante para que o professor, na condição de mediador, 
favoreça ao estudante a construção desse conhecimento. Há algumas 
possibilidades para isso. Uma delas é valer-se das investigações matemáticasna sala de aula na visão de Ponte (2005) e como na experiência específica de 
Modelagem desenvolvida por Klüber e Pereira (2009). 
Exemplo: uma turma das séries iniciais de escolarização propõe saber “o 
quanto cabe” em uma lata de tinta. Talvez eles já saibam o que é uma forma 
cilíndrica, mas possivelmente os estudantes de séries iniciais ainda não 
conhecem o conceito de volume e a fórmula que calcula este volume em um 
cilindro. 
Essas são as verdadeiras situações na qual o professor pode 
desempenhar o seu papel de mediador entre o conhecimento do aluno e o 
conhecimento matemático já estabelecido. São situações que constituem 
desafios no âmbito do novo paradigma, não do paradigma anterior, em que 
essas situações não eram consideradas importantes, pois o currículo e as 
situações a serem estudadas sempre seguiam uma sequência lógica dos 
conteúdos, em conformação com o currículo linear. 
Este é um trabalho importante do professor, seja no trabalho de formação 
dos conceitos, orientando a busca de conteúdo no livro texto, seja criando 
alternativas que permitam ao estudante buscar uma solução para o problema. 
Muitas vezes, pode-se valer das situações empíricas para os primeiros 
resultados e as primeiras aproximações e, mais tarde, ou mesmo já na sequência 
 
 
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desenvolver o conteúdo de forma analítica, com algum alguma formalização 
matemática. 
Outro aspecto positivo e significativo para o estudante é a perspectiva de 
resolução dos problemas, diferente da forma encontrada na maioria dos livros 
textos. Nesse contexto, a resolução de problemas ganha contornos e 
significados diferentes, podendo desenvolver uma forma ou maneira usual de se 
resolver problemas, como: 
1) os problemas são elaborados a partir dos dados coletados em campo; 
2) prioriza a ação do estudante na elaboração; 
3) parte sempre de uma situação contextualizada; 
4) favorece a criatividade; 
5) dá maior significado ao conteúdo matemático usado na resolução; e 
6) favorece a tomada de decisão. 
A visão de Educação Matemática, em uma perspectiva que contempla 
além das Ciências Naturais as Ciências Humanas e Sociais, não muda em nada 
os fundamentos da Matemática, seu método, suas leis, mas permite ao professor 
uma perspectiva mais ampla sobre o ensino dessa ciência e, assim, muda tudo 
no contexto da educação geral. 
Mostra a Matemática fazendo parte do todo e se constituindo em uma 
poderosa ferramenta para a leitura do mundo, mas que pode e deve contar com 
o concurso de outras áreas do conhecimento para favorecer a compreensão e 
dar significado àquilo que se constata por meio da Matemática. 
Um exemplo é o alto índice de poluição, indicado por forma numérica ou 
gráfica. No entanto, o número ou o gráfico não resolvem a situação da poluição 
que precisa dos conhecimentos de outras ciências para dar significado, 
favorecer a compreensão e os encaminhamentos de soluções, que nem sempre 
são matemáticas, mas de atitudes, de posturas, de ações solidárias e que a 
matemática, embora possa fazer parte, sozinha não dá conta. 
A forma de conceber a Modelagem Matemática compartilha do mesmo 
entendimento de que o desenvolvimento de várias habilidades capacita melhor 
o estudante para competências mais específicas, pois, segundo Morin (2006), 
quanto maior a abrangência da inteligência geral, mais recursos possui para 
tratar de situações mais particulares. 
 
 
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Ainda sobre esse momento, cabe aqui ressaltar que ao investigar a 
Modelagem Matemática como desencadeadora do pensamento matemático, 
acabamos por nos debruçar sobre a identificação de alguns elementos que 
podem sinalizar manifestações de pensamento matemático dos alunos 
envolvidos em atividades de Modelagem Matemática e, com essa configuração, 
podemos nos inserir na perspectiva cognitivista de Modelagem Matemática. 
Gray et al. (1999), ao tratar de pensamento matemático de estudantes, 
argumentam que aprender a pensar matematicamente significa desenvolver um 
ponto de vista matemático, ser capaz de realizar abstrações e desenvolver certa 
competência para lidar com as estruturas matemáticas. 
Especificamente sobre as experiências matemáticas, Tall (2004, p. 285) 
reinterpreta as ideias de Bruner e caracteriza o que denomina de “Três Mundos 
da Matemática” (Corporificado, Simbólico Proceitual e Axiomático Formal). 
A perspectiva de David Tall surge do estudo dessas teorias que tratam do 
desenvolvimento cognitivo e da necessidade de explicar como se dá o 
aprendizado da Matemática. Referindo-se às experiências matemáticas, Tall 
(2004) associa o desenvolvimento cognitivo em relação à matemática com Três 
Mundos da Matemática. 
a) O Mundo Conceitual Corporificado (ou apenas Mundo) diz respeito às 
percepções acerca do mundo e o pensamento a respeito das coisas que 
são percebidas e sentidas não apenas no mundo físico, mas em um 
mundo mental de significados. Esse mundo está baseado na ação e na 
percepção e envolve os objetos corporificados, tais como gráficos e 
diagramas, que podem ser fisicamente manipulados e, posteriormente, 
concebidos como objetos mentais. 
b) O Mundo Simbólico Proceitual (ou simplesmente Mundo Proceitual) é o 
mundo dos símbolos que são usados para cálculos e manipulações na 
aritmética, na álgebra e no cálculo, por exemplo. As atividades nesse 
mundo se iniciam com ações (como apontar e contar) e são incorporadas 
como conceitos por meio do uso de símbolos. 
c) O Mundo Axiomático Formal (ou Mundo Formal), por sua vez, é baseado 
em propriedades, expressas em termos de definições formais que são 
usadas como axiomas para especificar as estruturas matemáticas (por 
exemplo, “grupo”, “campo”, “espaço vetorial” e “espaço topológico” e 
assim por diante) que constituem o sistema axiomático da Matemática. 
 
 
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Em termos gerais, esse mundo pressupõe um movimento em direção ao 
formalismo nas representações e no uso dos conceitos matemáticos. 
É importante mencionar que, na perspectiva de Tall (2004), o 
desenvolvimento cognitivo dos alunos não é, necessariamente, sequencial, 
considerando suas ações em relação aos três mundos caracterizados. Isto é, 
podemos considerar que os alunos transitam (em termos cognitivos) nos Três 
Mundos em vez de tomá-los como estágios consecutivos a serem percorridos 
em suas atividades matemáticas. 
TEMA 4 – O PROCESSO INVESTIGATIVO 
Saber como organizar os dados e como fazer o tratamento desses dados 
constitui-se um importante valor formativo do nosso estudante. Essa etapa 
possibilita a formação de um estudante mais atento, mais sensível às questões 
do seu objeto de estudo. Os métodos de corte antropológicos do tipo etnográfico, 
fenomenológico, estudos de caso e outras formas de pesquisa participante 
ajudam na quantidade e qualidade dos dados coletados. Esses métodos trazidos 
da antropologia prestam grandes contribuições à educação e também mais 
particularmente à educação Matemática. 
No momento em que se explora a situação-problema, também se faz 
necessária a coleta de dados de forma exploratória, ou seja, a promoção de 
pesquisas que dão sustentação à etapa de levantamento do problema ou dos 
problemas relativos ao tema. 
O papel de professor agora ganha a qualidade de mediador e é de 
importância fundamental no trabalho com a Modelagem, pois esse é o momento 
em que se pode contribuir de forma significativa com o estudante no 
desenvolvimento de sua autonomia, na formação de um espírito crítico. É uma 
etapa em que a ação e a qualidade dessa ação, por parte do aluno, se fazem 
notar e podem se constituir em diferencial educativo, podendo inclusive ser vista 
como a etapa em que se inicia a ação matemática, propriamente dita. 
Um bom exemplo disso pode ser dado a partir da seguinte situação: Qual 
o consumo anual de papel pela escola? Essa questão enseja a busca de dados 
sobre as atividades desenvolvidas pela escola que implicam no consumo de 
papel, bem como o tipode atividades, uma estimativa da quantidade, por sala, 
 
 
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por série, por aluno, os tipos de papel, o consumo de papel das atividades 
administrativas da escola. 
Essa situação implica em se valer de levantamento junto aos professores, 
alunos, corpo diretivo e administrativo da escola, demanda a busca de dados na 
internet, em sites que tratam da relação da quantidade de árvores e da 
quantidade de papel, palestras sobre o assunto, visitar locais entre outros. 
O desenvolvimento da capacidade de articular os dados e formular 
problemas provindos da situação pesquisada se constitui em valor formativo e 
atitudinal de incomparável significado educativo. Construir no estudante a 
capacidade de levantar e propor problemas, advindos dos dados coletados e 
mediada pelo professor, é, sem dúvida, um privilégio educativo. 
Essa etapa claramente promove no estudante o desenvolvimento da 
capacidade cidadã de traduzir e transformar situações do cotidiano em situações 
matemáticas, para quantificar uma situação, e nas ciências sociais e humanas 
buscar as soluções que, muitas vezes, não são matemáticas, mas de atitudes e 
comportamento. O desenvolvimento da autonomia do estudante também está 
evidenciado nesse momento em que ele tem a liberdade de conjeturar, construir 
hipóteses, analisar as situações e tomar decisões. 
É relevante mencionar que aqui também se iniciam as possibilidades de 
erros. Neste sentido, o erro deve ser entendido como uma aproximação da 
verdade, pois é mais educativo e preferível o erro resultante de um processo de 
pensamento, do que uma resposta correta emitida ao acaso, quando o estudante 
não é capaz de justificar o porquê da resposta dada. O levantamento de 
problemas é ainda uma ação cognitiva por excelência, porque é resultado de um 
encadeamento que promove a intuição e lógica. 
TEMA 5 – ANÁLISE INTERPRETATIVA 
Essa etapa da Modelagem é um momento muito rico e especial para 
analisar e discutir a solução ou as soluções encontradas. É um momento em que 
se fazem as considerações e análise das hipóteses consideradas na etapa de 
levantamento dos problemas. O que pauta essa capacidade de discussão são 
os elementos de busca e pesquisa encontrados na investigação proposta em 
função da situação-problema e do contexto em que esta se apresenta, ambos 
escolhidos e delimitados pelos próprios estudantes. 
 
 
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Matos e Lara (2016), ao analisarem as percepções quanto à Matemática, 
à realidade e à Modelagem Matemática, evidenciaram que professores em geral 
reconhecem que a modelagem oportuniza a resolução de situações-problema 
reais e a escolha de temas contextualizados que aproximam a Matemática da 
realidade dos estudantes, criando condições para pesquisa em sala de aula. 
Podemos também entender que a “aproximação com a realidade” a que 
se referem os autores, numa atividade de modelagem, está associada com uma 
busca de solução para um problema decorrente de uma situação inicial mediada 
pela matemática. Identificar a Matemática por detrás de uma situação da 
realidade exige uma parada para olhar para os dados e buscar em seu “leque” 
de conhecimentos, ou mesmo na construção de conhecimentos novos, um 
aporte. Desse modo, o que nos move em nossa investigação é evidenciar como 
os estudantes percebem a Matemática quando desenvolvem atividades de 
modelagem matemática. 
Uma questão que antecede essa investigação diz respeito ao significado 
de “perceber”. De forma geral, perceber está relacionado a compreender através 
dos sentidos. Santaella (2012) destaca que o gesto de perceber é estar diante 
de algo, no ato de estar, enquanto acontece. Os estímulos obtidos por meio dos 
sentidos correspondem a processos perceptivos que funcionam como signos 
externos que não deixam de ser mediatizados pelo nosso sistema sensório-
motor e pelo potencial e limites dos nossos esquemas cognitivos, mentais. Nesse 
sentido, nosso interesse de estudo consiste no processo mental que possibilita 
e amplia a relação do indivíduo com seu entorno. 
Possibilita tanto o aprofundamento de aspectos matemáticos como dos 
aspectos não matemáticos envolvidos no tema. Sob o aspecto da matemática 
pode-se analisar a coerência e a consistência lógica da solução ou das soluções 
encontradas. É uma etapa em que se discute com o grupo ou grupos os cuidados 
com a linguagem, com as restrições que se fazem necessárias em muitas 
ocasiões. 
É também nessa etapa em se fazem algumas justificativas, alguns 
procedimentos mais particulares. Também é um momento propício para se 
mostrar e comentar as soluções empíricas e as mais formais, pois, muitas vezes, 
nessa fase de escolaridade, se parte do empírico para o formal. Mostra-se a 
importância de alguma formalização, de justificativa de procedimentos, enfim, é 
um momento de interação entre os grupos, de trocas de ideias e de reflexões. 
 
 
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Tão importante quanto trabalhar os aspectos matemáticos das situações, 
os aspectos não matemáticos se revestem da mesma importância, pois 
consideramos que são formadores de valores e de atitudes que são 
permanentes, pois nessa fase de sua formação esses valores são desenvolvidos 
e incorporados. 
Desta forma, discutir as ações decorrentes de uma constatação 
matemática ou não que resultou em um problema ou uma situação-problema, as 
consequências das decisões tomadas, as relações as repercussões em vários 
níveis entre eles: individual, familiar, comunitário, as relações possíveis sob 
diversos enfoques, constitui o ponto forte dessa prática educativa mediada pela 
Modelagem. 
Esses são momentos importantes no espaço educativo que devem 
merecer a atenção, pois são importantes para a faixa etária, principalmente 
aquela dos estudantes da Educação Básica. 
NA PRÁTICA 
O sucesso na utilização de qualquer material depende, em grande parte, 
da concepção de ensino adotada e do alinhamento desta com a proposta 
pedagógica que venha nortear a utilização desse material na prática docente. 
Após a reflexão sobre os elementos da Modelagem Matemática, elabore um 
plano de ensino no qual você contemple a prática da Modelagem Matemática e 
todas as suas etapas, procurando destacar cada uma delas em sua abordagem. 
FINALIZANDO 
Trouxemos os elementos das práticas com Modelagem Matemática. 
Abordamos a etapa inicial, chamada de contexto, que contempla a escolha de 
um tema para ser desenvolvido em Modelagem Matemática e que esta deve 
partir do interesse dos estudantes envolvidos, lembrando que é neste momento 
que a contextualização com o cotidiano tende a aparecer. 
Posteriormente, trouxemos a etapa chamada de situação-problema, em 
que o estudante é convidado a problematizar uma situação do contexto escolhido 
e que, dependendo do nível de ensino em que se esteja sendo trabalhado, os 
temas são escolhidos por curiosidade, pelo desejo de se conhecer mais e melhor 
aquele assunto. Em seguida, a etapa denominada processo investigativo 
 
 
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permite, ao coletar dados, organizar e entender como fazer o tratamento destes. 
Nessa etapa, há a possibilidade da formação de um estudante mais atento, mais 
sensível às questões do seu objeto de estudo. 
A quarta etapa é o momento em que se faz uso de todo o ferramental 
matemático disponível. Na resolução de um problema ou de uma situação-
problema, os conteúdos matemáticos ganham importância e significado. Ela é 
chamada de Desenvolvimento Matemático. 
A última etapa, Análise Interpretativa, é um momento muito rico e especial 
em que o estudante analisa e discute a solução ou as soluções encontradas. É 
um momento em que se faz as considerações e análises das hipóteses 
consideradas na etapa de levantamento dos problemas. 
 
 
 
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