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Firefox Lista de exercícios Integrais: Aplicações T D Sair Q Você acertou 1 de 10 questões Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas vezes Verificar Desempenho 1 Marcar para revisão Não há uma expressão explícita para o perímetro de uma elipse mas podemos expressar o comprimento da elipse de equação uma integral. Assinale-a: A \(\frac{4}{a} \int_0^a B \(\frac{4}{a} \cdot d C \(\frac{4 b}{a} \cdot d x\) D \(\frac{4}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \cdot d E \(\frac{4 b}{a} \int O^a \cdot d Resposta correta Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado $$ \operatorname{De} $$ Derivando implicitamente, obtemos: $$ $$ Daí, $$ 1 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox $$ Mas $$ /^2=b^{\wedge} $$ Substituindo essa equação na anterior obtemos: $$ \cdot $$ Daí: $$ L=\frac{4}{a} \cdot $$ 2 Marcar para revisão Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em estruturas complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região A em torno do eixo para os seguintes critérios: 0 A : se0Firefox Gabarito Comentado Do enunciado tiramos os intervalos: Desenhando as restrições das curvas, temos: y 3 2,5 2 1,5 A 0,5 0 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -0,5 -1 - - y=0 y = x/4+1 Onde A representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de revolução. volume será dado pela soma do volume de cada intervalo: = e Calculado o volume de A1: = dx = Calculado o volume de A2: 1 = 3 Calculado o volume de A3: volume da terceira região vai ser zero, porque a função não tem nada para rotacionar V3 = 0 Assim: V = + = V = 3 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox 3 Marcar para revisão A rotação da circunferência de centro no ponto R)\) e raio \(rFirefox $$ 4 Marcar para revisão cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na matemática para determinar a área de uma região que é limitada por duas ou mais curvas. Calcule a área delimitada entre as curvas A 16 a. B 8 1 U a. C 3 U a. 16 5 D U a 16 1 E 4 U a X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Desenhando as restrições das curvas, temos: Analisando os intervalos de integração: De 0 até 0,5 temos a parábola de cima sobre a parábola de baixo. De 0,5 até 1 temos a reta não vertical em cima da parábola de baixo Assim: - - dx + 1 f freta não vertical - de baixo ] dx 3x 2 dx 2 Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos: 5 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox 1 3x 3x = x3 3 2 + 1 48 11 Somando as duas partes, temos: 1 3x 2 = 48 11 = 48 15 16 5 u.a. 5 Marcar para revisão Calcule a área da região limitada superiormente pela função 0, e inferiormente pela função f(x) = 36 A 3 45 B 3 56 C 3 64 D 3 75 E 3 X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado A área da região limitada pelas funções dadas pode ser calculada através da integral definida da diferença entre as duas funções, no intervalo em que elas se interceptam. Neste caso, a função superior é g(x) = 8Vx e a função inferior é realizar a integral e calcular a diferença entre os limites de integração, obtemos o valor de 64 , que é a resposta correta. 3 6 Marcar para revisão Determine a área da região delimitada pelo gráfico das equações \(0 \leq y \leq \frac{1}{x^2}\) e \leq X \leq 6 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox A 1/4 B 1/2 C 3 D 3/2 E 2 X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado 0 gráfico da região está descrito a seguir: A área desejada é dada por $$ \begin {aligned} & A=\int_1^2 \frac{1}{x^2} & A=\int_1^2 x^{-2} \cdot d X & A=\int_1^2 x^{-2} \cdot d X & ^2=1/2 \end{aligned} $$ 7 Marcar para revisão Determine a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo X e pela reta = TT A 2 In 2 B 2 In 3 C In 2 D In 3 7 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox E In 5 X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado A questão pede para determinar a integral da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo X e pela reta integral de uma função tangente é o logaritmo natural da função cosseno. Portanto, a integral da função g(x) = 4tg(x) é 4 In Ao avaliar essa integral entre 0 e obtemos 2 In 2, que é a alternativa A. 8 Marcar para revisão Determine o comprimento do arco da curva gerada por para \sqrt{3}\). A \In B C \(\sqrt{3}+\frac{1}{2} \In (2+\sqrt{3})\) D \In (\sqrt{2}+2)\) E (2+\sqrt{3})\) X Resposta incorreta Opal A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Calculemos \(\int_a^b 2}(x)} \cdot d x\) $$ & h(x)=h(x)=\frac{1}{2 x^2+2 \rightarrow & \text { Comprimento }=\int_a^b \sqrt{1+h^{\prime 2}(x)} & \text { Comprimento }=\int_0^{\sqrt{}}} \sqrt{1+x^2} \cdot d X & \text { Mas } \int \sqrt{1+x^2} d \In (2+\sqrt{3}) \end{aligned} $$ 8 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox of 12 29/04/2025, 18:15Firefox 9 Marcar para revisão Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função \(h(x)=x\), para \leq \mathrm{x} \leq 1\), ao redor do eixo A \(\pi \) B C \(\sqrt{2} \pi\) D \(\frac{\sqrt{2} \pi}{2}\) E \(2 \pi\) X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Para determinar a área da superfície obtida pela rotação de uma curva \(y=h(x)\) entre \(x=a\) e \(b\) devemos calcular a integral $$ \pi \int_a^b h (x) $$ Daítemos: $$ $$ Logo $$ \begin{aligned} \pi & \sqrt{2} \pi & \sqrt{2} \pi \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0 ^1=\sqrt{2} \pi \end{aligned} $$ 10 of 12 29/04/2025, 18:15Firefox 10 Marcar para revisão A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas y=1/x, A B 3 8 C In 2 u.a. D 3 U. a E 2 In 2 X Resposta incorreta Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado! Gabarito Comentado Desenhando as restrições das curvas, temos: y 4 3 2 A 1 0 X -3 -2 1 2 3 4 2 -3 y=x intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e laranja por baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja: b - fbaixo ] dx = 1 - dx + - flaranja ] dx 11 of 12 29/04/2025, 18:15irefox Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos: