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1 Marcar para revisão
Determine a área da superfície de revolução gerada ao girar a função  , para
, ao redor do eixo x.
h(x) = sen 2x′12
0 ≤ x ≤ π2
2π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 − 1))
π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 − ln(√2 + 1))
2π(√2 − ln(√2 − 1))
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos calcular a área da superfície de revolução gerada pela
função dada. A fórmula geral para a área de uma superfície de revolução é dada por
, onde é a função dada e é a sua derivada.
Aplicando essa fórmula à função dada e realizando os cálculos necessários, chegamos à resposta
correta, que é .
A = 2π ∫ b
a
f(x)√1 + [f ′(x)]2dx f(x) f ′(x)
π(√2 + ln(√2 + 1))
Ques
Em
1
6
Exercicio Integrais: Aplicações Sair
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A
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D
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2 Marcar para revisão
O cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na matemática para
determinar a área de uma região que é limitada por duas ou mais curvas. Calcule a área delimitada
entre as curvas   e . y = 1 − x2, y = 1 + x2, y = − + 23x2 x = 1
u ⋅ a.1
16
u ⋅ a.1
8
 u . a.3
16
 u . a5
16
 u . a1
4
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
Analisando os intervalos de integração:
De 0 até 0,5 temos a parábola de cima sobre a parábola de baixo.
De 0,5 até 1 temos a reta não vertical em cima da parábola de baixo.
Assim:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
Somando as duas partes, temos:
A = ∫
b
a
[fcima  − fbaixo ] dx
A = ∫
0
[fparábola de cima  − fparábola de baixo ] dx + ∫
1
[freta não vertical  − fparábola de baixo ] dx
A = ∫
0
[1 + x2 − (1 − x2)] dx + ∫
1
[− + 2 − (1 − x2)] dx
1
2
1
2
1
2
1
2
3x
2
∫
1
[− +2 − (1 − x2)] dx = ∫
1
[− + 1 + x2] dx = [− + x + ]
∣
∣
∣
1
= (− + 1 + ) − (− + + ) = ( ) − ( ) =
1
2
3x
2 1
2
3x
2
3x2
4
x3
3 1
2
3
4
1
3
3
16
1
2
1
24
7
12
17
48
11
48
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A
B
C
D
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A = ∫0 [1 + x
2 − (1 − x2)] dx + ∫ 1 [− + 2 − (1 − x2)] dx = + = =  u.a. 
1
2
1
2
3x
2
1
12
11
48
15
48
5
16
3 Marcar para revisão
Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume de materiais em
estruturas complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares.
Sabendo disso determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região 
 em torno do eixo , para os seguintes critérios:
A
x
A :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x < 0
y = √1 − x2  se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0  se 1 ≤ x ≤ 4
x
4
.π3
.3π2
2π.
.12
.π2
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Do enunciado tiramos os intervalos:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
A1 : −4 ≤ x < 0
A2 : 0 ≤ x ≤ 1
A3 : 1 ≤ x ≤ 4
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Onde   representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de revolução.
O volume será dado pela soma do volume de cada intervalo:
e
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
O volume da terceira região vai ser zero, porque a função  não tem nada para rotacionar
Assim:
A
V = V1 + V2 + V3
A1
A2
A3
V3 = 0
V = V1 + V2 + V3 = + + 0 = = 2π
V = 2πu. v.
4π
3
2π
3
6π
3
4 Marcar para revisão
As integrais são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade
de campos, sendo aplicadas na determinação de áreas e volumes de formas complexas. Seja  região
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A
B
C
D
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limitada pela curva    pelas retas  e  . Calcule o volume, em unidades de
volume (u.v.), do sólido de revolução gerado pela rotação de   em torno do eixo  .
y = x3 y = 8 x = 0
A x = −1
.266π5
.246π5
.236π5
.226π5
.216π5
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos
Como vamos integrar em , precisamos deixar em função de :
Agora integramos no formato para seções transversais, onde a função raio será a própria função 
, já que o eixo de rotação dista  do eixo :
Mas ainda não acabou.
y y
y = x3 → x = 3√y
+1 1 y
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A
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C
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Entre o eixo  e o de rotação fica um vácuo que precisa ser levado em conta. Ele vai gerar um
cilindro de raio  e altura o, ou seja:
O volume total da figura é:
y
1
Vcil = πr2h = 8π
VT = V − Vcil = − 8π =
VT = u. v.
256π
5
216π
5
216π
5
5 Marcar para revisão
As integrais são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade
de campos, sendo aplicadas na determinação de áreas e volumes de formas complexas. Seja  região
limitada pela curva    pelas retas  e  . Calcule o volume, em unidades de
volume (u.v.), do sólido de revolução gerado pela rotação de   em torno do eixo  .
y = x3 y = 8 x = 0
A x = −1
.266π
5
.246π5
.236π
5
.226π
5
.216π
5
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos
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Como vamos integrar em , precisamos deixar em função de :
Agora integramos no formato para seções transversais, onde a função raio será a própria função 
, já que o eixo de rotação dista  do eixo :
Mas ainda não acabou.
Entre o eixo  e o de rotação fica um vácuo que precisa ser levado em conta. Ele vai gerar um
cilindro de raio  e altura o, ou seja:
O volume total da figura é:
y y
y = x3 → x = 3√y
+1 1 y
y
1
Vcil = πr2h = 8π
VT = V − Vcil = − 8π =
VT = u. v.
256π
5
216π
5
216π
5
6 Marcar para revisão
A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções
ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas , 
 e  .
y = 1/x
y = x, y = x/4 x > 0
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A
B
C
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ln 2 − u. a38
u ⋅ a38
ln 2 u. a.  
ln 2 + u. a34
2 ln 2 u. a.  
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e laranja por
baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
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7 Marcar para revisão
Determine a integral da função g(x) � 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta .x = π4
2 ln 2
2 ln 3
ln 2
ln 3
ln 5
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
A questão pede para determinar a integral da função g(x) � 4tg(x), limitada pelo eixo x e pela reta \
(x = \frac{\pi}{4}\). A integral de uma função tangente é o logaritmo natural da função cosseno.
Portanto, a integral da função g(x) � 4tg(x) é 4 ln |cos(x)|. Ao avaliar essa integral entre 0 e \
(\frac{\pi}{4}\), obtemos 2 ln 2, que é a alternativa A.
8 Marcar para revisão
Calcule a área da região limitada superiormente pela função , e inferiormente pela
função f(x) = x .
g(x) = 8√x,x ≥ 0
2
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A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
36
3
45
3
56
3
64
3
75
3
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A área da região limitada pelas funções dadas pode ser calculada através da integral definida da
diferença entre as duas funções, no intervalo em que elas se interceptam. Neste caso, a função
superior é \(g(x) � 8 \sqrt{x}\) e a função inferior é \(f(x) = x^2\). Ao realizar a integral e calcular a
diferença entre os limites de integração, obtemos o valor de \(\frac{64}{3�\), que é a resposta
correta.
9 Marcar para revisão
A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções
ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as curvas , 
 e  .
y = 1/x
y = x, y = x/4 x > 0
ln 2 − u. a38
u ⋅ a38
ln 2 u. a.  
ln 2 + u. a34
2 ln 2 u. a.  
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Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por cima e laranja por
baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo, ou seja:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
10 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos
formados pela função g(x) � 2x e o eixo x, para  .6  0 ≤ x ≤ 2
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A
B
C
D
E
16π
32π
64π
76π
128π
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O volume do sólido gerado pela rotação do conjunto de pontos formados pela função g(x) � 2x e
o eixo x, para , em torno do eixo y, é calculado pela integral de a de .
Substituindo por , temos a integral de a de , que resulta em .
Portanto, a alternativa correta é a letra E� .
6
0 ≤ x ≤ 2 0 2 π[g(x)]2dx
g(x) 2x6 0 2 π[2x6]2dx 128π
128π