Para determinar a integral da função \(g(x) = \tan(x)\) limitada pelo eixo x e pela reta \(x = \frac{\pi}{4}\), precisamos calcular a integral definida de \(\tan(x)\) de 0 até \(\frac{\pi}{4}\). A integral de \(\tan(x)\) é dada por: \[ \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \] Agora, vamos calcular a integral definida: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \left[-\ln|\cos(x)|\right]_0^{\frac{\pi}{4}} \] Calculando os limites: 1. Para \(x = \frac{\pi}{4}\): \[ -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| = -\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln(\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) \] 2. Para \(x = 0\): \[ -\ln|\cos(0)| = -\ln(1) = 0 \] Portanto, a integral definida é: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = \frac{1}{2} \ln(2) - 0 = \frac{1}{2} \ln(2) \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a \(\frac{1}{2} \ln(2)\). Entretanto, se considerarmos que a questão pode ter um erro nas opções, a resposta correta, que é \(\frac{1}{2} \ln(2)\), não está listada. Se você precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!