eletrostatica ate lei de Coulomb

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1 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
1.1. CARGA ELÉTRICA 
 
A carga elétrica é um conceito primitivo, 
isto é, não tem definição, no entanto a sua 
existência pode ser atribuída à existência de 
prótons e elétrons nos átomos (Figura 1.1.1). 
Aos prótons atribui-se uma carga elétrica 
positiva e aos eletros uma carga de mesmo 
valor, porém negativa. Os prótons se encon-
tram no núcleo dos átomos e os elétrons se 
encontram na eletrosfera (região em torno do 
átomo onde os elétrons orbitam o núcleo). 
 
 elétrons 
prótons, neutrons 
 - - 
 
 
 
 + N+ 
 +N+ 
 núcleo - 
 
 
 
 - 
 Fig 1.1.1. Átomo 
 
 
1.2. CARGA ELÉTRICA ELEMENTAR 
 
A carga elétrica do elétrons e do próton 
tem módulos iguais, porém, sinais opostos. A 
carga elétrica do próton ou do elétron é cha-
mada de carga elementar, simbolizada por e 
e cujo valor é: 
 
 e =  1,6 x 10-19C 
 
onde C (coulomb) é a unidade SI de me-
dida da carga elétrica. 
 
Se um corpo possui mais elétrons que 
prótons, diz-se que ele está eletrizado nega-
tivamente e se ele possui menos eletros que 
prótons está eletrizado positivamente. 
 
 
1.3. PRINCÍPIO DA QUANTIZAÇÃO DA 
CARGA ELÉTRICA 
 
A carga elétrica de um corpo é um múlti-
plo inteiro da carga elementar. Isso significa 
que a carga elétrica de um corpo pode ser 
dada por: 
 
 q = n.e (1.3.1) 
 
onde q = carga elétrica (em C) 
 n = número de partículas em ex-
cesso. 
O valor de n pode ser dado por: 
 
 n = |nprótons – nelétrons| (1.3.2) 
 
 
Exemplos: 
01) Um corpo apresenta uma carga de 1C, 
quantos eletros faltam a esse corpo? 
 Solução: 
 q = 1C q = n.e 
 e = 1,6x10-19C 1 = n.1,6x10-19 
 n = ? 
19106,1
1

n 
 
 n = 6,25x1018 
 
02) Um corpo possui uma carga de –8C, 
quantos eletros em excesso ele tem? 
 Solução: 
 q = -8C q = -n.e 
 e = 1,6x10-19C -8 = -n.1,6x10-19 
 n = ? 
 n = 5x1019 
 
03) Um corpo possui um excesso de 4,5x1020 
elétrons. Qual é a sua carga elétrica? 
 Solução: 
 n = 4,5x1020 q = -n.e 
 e = 1,6x10-19C q = -4,5x1020x1,6x10-19 
 q = ? 
 q = -72C 
 
04) Um corpo possui 3x1020 prótons e 5x1019 
elétrons. Qual é a sua carga elétrica? 
 Solução 
 np = 3x1020 n = |np – ne| 
 ne = 5x1019 n =|3x1020 – 5x1019| 
 e = 1,6x10-19 n = 2,5x1020 
 q = ? 
 q = +n.e 
 q = +2,5x1020x1,6x10-19 
 
 q = 40C 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Um corpo apresenta falta de 4x1021 elé-
trons. Qual é a sua carga elétrica? 
 R: 640C 
 
 2 
02) Um corpo apresenta um excesso de 
5x1020 elétrons. Qual é a sua carga elé-
trica? R: -80C 
 
03) Um corpo possui 6x1021 elétrons e 4x1020 
prótons. Qual a sua carga elétrica? 
 R: -896C 
 
04) Um corpo possui 2x1020 elétrons e 6x1019 
elétrons. Qual é a sua carga elétrica? 
 R: -22,4C 
 
05) Um corpo possui 8x1021 elétrons e 2x1022 
prótons. Qual é a sua carga elétrica? 
 R: 1920C 
 
06) Um corpo apresenta uma carga de -5C. 
Qual é o número e o nome das partículas 
em excesso? R: 3,125x1013, elétrons 
 
07) Um corpo apresenta uma carga de 8nC. 
Qual é o número e o nome das partículas 
em excesso? R: 5x1010, prótons 
 
08) Uma substância A apresenta 4x1019 elé-
trons em excesso por grama, e, uma 
substância B apresenta 5x1020 elétrons 
em falta por grama. Supondo que as du-
as substâncias são miscíveis, determine 
a carga resultante da mistura de 50g de 
A com 100g de B. R: 7680C 
 
09) Duas substância A e B possuem cargas 
elétricas em excesso. Mistura-se 20g de 
A com uma certa massa de B. Sabendo 
que a substância A tem 6x1013 elétrons 
em excesso por grama, que a substância 
B tem falta de 8x1012 elétrons por grama 
e que a carga da mistura é de -2C, de-
termine a massa de B. R: 148,4375g 
 
 
1.4. PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO 
 
Um corpo está eletrizado quando o nú-
mero de elétrons é diferente do número de 
prótons. Quando o número de elétrons é 
igual ao número de prótons ele é neutro, 
Se o número de elétrons é maior que o 
número de prótons, o corpo está eletrizado 
negativamente e se tiver menos elétrons que 
prótons, estará eletrizado positivamente. 
 
1.4.1. PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA 
CARGA ELÉTRICA 
 
Num sistema eletricamente isolado, a 
carga elétrica se conserva, ou seja, a soma 
algébrica das cargas antes de um fenômeno 
físico é igual à soma algébrica das cargas 
depois do fenômeno físico. Matematicamen-
te: 
 
  
depois
q
antes
q (1.4.1) 
 
1.4.2. LEI DE DU-FAY 
 
“Cargas elétricas de mesmo sinal se re-
pelem e de sinais contrários se atraem”. A 
figura 1.4.1, a seguir, mostra isso: 
 q1 > 0 q2 > 0 
-F F 
 
 
 q1 0 
 F -F 
 
 
 Fig. 1.4.1. Lei de Du-Fay 
 
 
 
1.4.3. ELETRIZAÇÃO POR ATRITO 
 
Consiste em atritar substâncias de ele-
tronegatividades diferentes. A substância 
mais eletronegativa “arranca” elétrons da 
menos eletronegativa., então, quando se 
atrita duas substâncias inicialmente neutras, 
a mais eletronegativa fica negativa e menos 
eletronegativa fica positiva. 
A seqüência a seguir é conhecida por sé-
rie triboelétrica, e, nela a eletronegatividade 
de uma substância é maior do que todas as 
que estão acima dela. 
 + menos eletronegativa 
 vidro 
 mica 
 lã 
 pele de gato 
 seda 
 algodão 
 plástico 
 cobre 
 
 - mais eletronegativa 
 
Assim, se atritarmos seda com vidro, ini-
cialmente neutros, a seda adquire carga ne-
gativa e o vidro adquire carga positiva. 
Atritando dois corpos de eletronegativi-
dades diferentes e inicialmente neutros, eles 
adquire cargas elétricas opostas, e, se não 
 3 
eram neutros as cargas adquiridas devem 
respeitar o princípio da conservação da car-
ga. 
 
1.4.4. ELETRIZAÇÃO POR CONTATO 
 
Consiste em colocar dois ou mais condu-
tores em contato, estando pelo menos um 
deles eletrizado. 
Se os condutores forem idênticos, eles 
adquire cargas iguais (ver figura 1.4.2), e se 
forem diferentes, trocarão cargas elétricas 
até que seus potenciais elétricos se tornem 
iguais. 
Para corpos idênticos, então, a carga de 
cada corpo após o contato é a soma algébri-
ca de todas as cargas antes do contato divi-
dida pelo número de cargas colocadas em 
contato, ou seja: 
 
 
n
n
i
i
q
q



1
' (1.4.2) 
 
onde q’ é a carga de cada corpo após o 
contato, n é o número de corpos colocados 
em contato, qi é carga do i-ésimo corpo antes 
do contato. 
 A B 
Antes +++ 
Do +++ 
contato 
 A B 
contato 
 
 
Após o A B 
Contato + + + 
 + + + 
 
 Fig 1.4.2. Eletrização por contato de dois corpos 
idênticos. 
 
1.4.5. ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO 
 
Consiste em aproximar um condutoreletrizado de outro neutro. O condutor eletri-
zado é chamado de indutor e o neutro é 
chamado de induzido. O induzido adquire 
carga de sinal oposto à do indutor. Na figura 
1.4.3a é mostrado o processo para um indu-
tor positivo e na figura 1.4.3b, para um indu-
tor negativo. 
 
 Induzido indutor 
- indutor e + + + 
 induzido + + + 
 separados 
 
 induzido indutor 
- indutor pró- + - + + + 
 do induzido + - + + + 
 
 induzido polarizado 
 
 
- induzido li- induzido indutor 
 gado à Terra 
 - + + + 
 elétrons _ - + + + 
 passam da 
 Terra 
 para o 
 corpo 
 induzido indutor 
-ligação à 
 é desfeita - + + + 
 - +++ 
 
 induzido indutor 
- Os dois + + 
 copos são - - + + + 
 separados + 
 
 Fig 1.4.3a. Eletrização por contato com indu-
tor positivo. 
 
 
 Induzido indutor 
- indutor e - - - 
 induzido - - - 
 separados 
 
 induzido indutor 
- indutor pró- - + - - - 
 do induzido - + - - - 
 
 induzido polarizado 
 
 
- induzido li- induzido indutor 
 gado à Terra 
 + - - - 
 elétrons _ + - - - 
 passam do 
 corpo 
 para a 
 Terra 
 induzido indutor 
-ligação à 
 é desfeita + - - - 
 + - - - 
 
 induzido indutor 
- Os dois - - 
 copos são + + - - - 
 separados - 
 
 Fig 1.4.3b. Eletrização por contato com indu-
tor negativo. 
 
 
1.4.6. CONDUTORES E ISOLANTES 
 
Alguns materiais permitem que a carga 
elétrica se mova de uma região para outra, 
enquanto que outros materiais não o fazem . 
Nos condutores, as cargas elétricas po-
dem se mover livremente através do material. 
 4 
O metais, o corpo humano e a Terra são 
exemplos de bons condutores de eletricida-
de. 
Os isolantes não permitem o movimento 
da carga elétrica. O vidro, a madeira seca, os 
plásticos, a borracha, são exemplos de bons 
isolantes ou dielétricos. 
Portanto, tanto os condutores quanto os 
isolantes podem ser eletrizados. A diferença 
é que nos condutores a carga não fica locali-
zada, ela é transferida para as outras partes 
do corpo. 
Uma experiência conhecida como Efeito 
Hall mostra que, nos metais, somente as 
cargas negativas são capazes de se mover. 
As cargas positivas são tão imóveis quanto 
no ou qualquer outro dielétrico. Os verdadei-
ros portadores da carga nos metais são os 
elétrons livres. Num isolante, não há elétrons 
livres, ou, se existirem, são em número muito 
reduzido. 
 
 
 
1.5. ELETROSCÓPIO 
 
 
É o dispositivo destinado a indicar a presença 
de carga elétrica num corpo. Pode ser o pêndulo 
eletrostático ou o eletroscópio de folhas. 
 
 
1.5.1. PÊNDULO ELETROSTÁTICO 
 
Consiste numa esfera condutora muito leve 
suspensa por um fio isolante, como mostra a figu-
ra 1.5.1, a seguir, 
 
 
 
 
 Fio isolante 
 
 
 corpo 
 
 
 Esfera condutora 
 
 
 Fig 1.5.1. Pêndulo eletrostático 
 
Se a esfera for atraída pelo corpo, pode 
ocorrer que: 
- a esfera é neutra e o corpo eletrizado. 
- a esfera é eletrizada e o corpo é neutro. 
- a esfera e o corpo tem cargas de sinais 
opostos. 
Se a esfera for repelida pelo corpo, eles 
só podem estar eletrizados com cargas de 
mesmo sinal. 
 
1.5.2. ELETROSCÓPIO DE FOLHAS 
 
É composto por uma esfera condutora, 
ligada por um condutor a duas placa que 
podem se mover por ação da gravidade. A 
figura 1.5.2 mostra o eletroscópio de folhas. 
 
 
 Esfera 
 Condutora corpo 
 
 
 
 
 
 
 
 Fio condutor 
 
 
 
 
 
 lâminas 
 
 Fig 1.5.2. Eletroscópio de folhas 
 
Se ao aproximar o corpo da esfera as lâminas 
se separarem, pode ocorrer que: 
- O eletroscópio é neutro e o corpo é eletriza-
do. 
- O eletroscópio e o corpo tem cargas de si-
nais iguais. 
Se ao aproximar o corpo da esfera, as lâmi-
nas se aproximarem, pode ocorrer que: 
- O eletroscópio e o corpo tem cargas de si-
nais contrários. 
- O eletroscópio está eletrizado e o corpo é 
neutro. 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) Um sistema eletricamente isolado é constituí-
do por 3 corpos A, B e C. O corpo A tem car-
ga de -4C, um corpo B tem carga de 9C e 
um corpo C tem carga de -9C. Após um de-
terminado fenômeno físico, o corpo A passa a 
ter carga de 3C e o corpo B passa a ter uma 
carga de -5C. Determine a carga do corpo C 
após o fenômeno. 
 Solução: 
 qA = -4C pela equação 1.4.1 
 qB = 9C  
depois
q
antes
q 
 qC = -9C qA + qB + qC = q’A + q’B + q’C 
 q’A = 3C -4+9+(-9) = 3+(-5) +q’C 
 q’B = -5C 
 q’C = ? q’C = -2C 
 
02) Duas substâncias A e B são tais que a subs-
tância A é mais eletronegativa que a substân-
cia B. Se duas amostras dessas substâncias, 
 5 
inicialmente neutras, forem atritadas de modo 
que após o atrito a substância A fique com 
carga de -6C, qual será a carga adquirida 
pela substância B? 
 Solução: como eles irão adquirir cargas de 
mesmo módulo, mas de sinais 
contrários, a carga de B será 6C. 
 
03) Duas esferas idênticas A e B tem cargas de 
8C e -2C. Elas são colocadas em contato e 
a seguir são separadas. Qual a carga de cada 
esfera após o contato? 
 Solução: 
 qA = 8C 
 qB = -2C 
 q’A=q’B=? A equação 1.4.2 é: 
 
n
n
i
i
q
q



1
' 
 
2
'' B
q
A
q
B
q
A
q

 
 
2
)2(8''  

B
q
A
q 
 
 q’A = q’B = -3C 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Dois corpos A e B tem cargas de 5C e 
 –9C, respectivamente, e formam um 
sistema eletricamente isolado. Após um 
certo fenômeno físico, o corpo A adquire 
carga de -3C. Qual a carga da substân-
cia B após o fenômeno? R: -1C 
 
02) Explique porque um corpo não pode es-
tar eletrizado com carga de 8x10-20C. 
 
03) Duas esferas condutoras e idênticas tem 
cargas de 4C e –12C. Colocando as du-
as esferas em contato e separando-as a 
seguir, qual será a carga elétrica de cada 
esfera? R: -4C 
 
04) Três esferas condutoras e idênticas tem 
cargas de 2C, -9C e -5C. Coloca-se 
as três esferas em contato simultâneo e 
separado-as a seguir, qual será carga de 
cada esfera. R: -4C 
 
05) Considerando o anterior, se a esfera A 
for colocada em contato com B, separa-
das a seguir e depois a esfera A for colo-
cada em contato com C e separadas, 
quais serão as cargas de cada uma das 
esferas após todo o processo?R: -4,25C, -3,5C e –4,25C 
 
06) Sejam 4 esferas condutoras e idênticas 
A, B, C e D. A esfera A tem carga Q e as 
outras são neutras. Colocando-se as 
quatro esferas em contato simultâneo e 
separando-as a seguir, qual será a nova 
carga de cada esfera? R: Q/4 
 
07) Considerando o anterior, se a esfera A 
for colocada em contato sucessivo com 
cada uma das outras esferas e separa-
das a seguir, determine a nova carga de 
cada esfera após o processo. 
 R: q’A=Q/8 q’B=Q/2 q’C=Q/4 q’D=Q/8 
 
08) Dois corpos A e B, de materiais diferen-
tes, foram atritados um de cada vez, com 
duas amostras neutras de um mesmo 
material C, diferente de A e de B. Após 
essa experiência, o corpo A ficou eletri-
zado negativamente e atraindo eletrica-
mente o corpo B. Escreva a seqüência 
dessas três substâncias numa série tri-
boelétrica. R: A, C, B. 
 
09) Qual a diferença entre condutor e isolan-
te elétrico? 
 
10) É correto afirmar que um corpo neutro 
não possui cargas elétricas? Justifique. 
 
11) O que acontecerá a um corpo eletrizado, 
quando ele entrar em contato com o so-
lo? 
 
12) Por que não conseguimos eletrizar por 
atrito um corpo condutor, segurando-o di-
retamente com a mão? 
 
13) Qual a diferença entre um condutor pola-
rizado em condutor eletrizado? 
 
14) O que é um dielétrico? Cite exemplos de 
dielétricos. 
 
15) Pessoas que tem cabelos secos obser-
vam que quanto mais tentam assentar os 
cabelos, num dia seco, mais os fio ficam 
ouriçados. Este fato pode ser explicado 
por: 
 a) eletrização por atrito 
 b) eletrização por indução 
 c) fenômenos magnéticos 
 d) fenômenos químicos 
 e) nda 
 
16) Pesquise o que é o efeito Hall. 
 
 17) Pesquise o que são semicondutores. 
 6 
1.6. LEI DE COULOMB 
 
“A força de interação elétrica entre duas 
cargas q1 e q2 puntiformes, separadas por 
uma distância d, é diretamente proporcional 
ao produto das cargas e é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre 
elas”. A figura 1.6.1 ilustra esse fato. 
 
 q1 q2 
-F F 
 
 
 d 
 Fig 1.6.1. Força entre cargas 
 
A força trocada entre as cargas, terá módulo 
dado por: 
 
 
2
21
d
qq
kF

 (1.6.1) 
 
Onde K é a constante eletrostática do 
meio, q1 e q2 são as cargas e d é distância 
entre as cargas. 
Para o vácuo: 
2
2
9
109
C
Nm
o
kk  
 
No estudo da radiação eletromagnética, 
pode se mostrar que o valor de k é direta-
mente ligada à velocidade da luz no vácuo. 
A constante k pode ser escrita como 
4
1
k , onde  é a permissividade elétrica 
do meio. Usando essa definição, a lei de 
Coulomb, fica: 
 
 
2
21
4
1
d
qq
F



 (1.6.2) 
 
Para o vácuo, a permissividade é indica-
da por o e tem valor dado por 
 
 o = 8,854185 x 10-12 C2.N-1.m-2 
 
ou 
 
 
2
2
12
10854185,8
Nm
C
o

 
 
Para os outros meios (dielétricos) o valor 
de  é relacionado com o, da seguinte forma: 
 
  = K.o (1.6.3) 
 
onde K é um número adimensional, chamado 
de constante dielétrica do meio. A tabela 
6.1 mostra os valores de K para alguns mei-
os. 
 
Tabela 6.1. Valores da constante dielétrica K. 
Material K 
Água 80,4 
Amônia líquida 25 
Ar (1 atm) 1,00059 
Ar (100 atm) 1,0548 
Benzeno 2,284 
Borracha 2,94 
Glicerina 42,5 
Mica 3 a 6 
Plexiglas (fibra de vidro) 3,40 
Polietileno 2,25 
Teflon 2,1 
Vácuo 1 
Vidro 5 a 10 
 
Através dos valores contidos na tabela 
6.1, é possível calcular os valores da cons-
tante eletrostática dos meios. Para aqueles 
que são mais utilizados, a tabela 6.2 mostra 
os valores já calculados e arredondados de 
forma a simplificar o cálculo da força. Nos 
exemplos e exercícios os valores das cons-
tantes, devem ser buscados nessa tabela. 
Quando não se menciona qual é o meio 
onde as cargas se encontram, subentende-
se que seja o vácuo. 
 
Tabela 6.2. Valores da constante eletrostáti-
ca k. 
Material 
k 








2
2
.
C
mN
 
Água 1,1 x 108 
Ar 9,0 x 109 
Borracha 3,0 x 109 
Glicerina 2,1 x 108 
Vácuo 9,0 x 109 
Vidro 1,2 x 109 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) Duas cargas puntiformes de 1C cada 
estão, no vácuo, separadas por uma dis-
tância de 1m. Determine o módulo da 
força de interação elétrica entre elas. Es-
sa força é de atração ou de repulsão? 
Solução: 
q1 = 1C ; q2 = 1C; d = 1m 
2
2
9
109
C
Nm
k  
 7 
 
2
2
.
1
d
qq
kF  
 
2
1
1.19
109 F 
 
 F = 9 x 109 N 
 
Como as cargas tem sinais iguais a força 
é de repulsão. 
 
02) Duas cargas puntiformes q1=-6C e 
q2=5C estão no vácuo, separadas por 
uma distância de 30cm. Determine o 
módulo da força de interação elétrica que 
surge entre elas. Essa força é de atração 
ou de repulsão. Essa força atua sobre a 
carga q1, q2 ou sobre ambas? Qual a lei 
física que garante isso? 
 Solução: 
 q1 = 6C = 6 x 10-6C (em módulo) 
 q2 = 5C = 5 x 10-6C 
 d = 30cm = 0,3m = 3 x 10-1m 
 
2
2
9
109
C
Nm
k  
 
2
2
.
1
d
qq
kF  
 
 21
103
6
105
6
1069
109






F 
 
 F = 3 N 
 
 Como as cargas tem sinais contrários, a 
força é de atração. Em cada carga a for-
ça de atração elétrica tem valor de 3N, 
independente do valor da carga. A lei fí-
sica que garante isso é a 3a lei de New-
ton (lei da ação e da reação). 
 
03) Duas cargas elétricas puntiformes de 
8C e 6C repele-se, no vácuo, com 
uma força de 1,2N. Determine a distância 
entre as cargas. 
 Solução: 
 q1 = 8C = 8 x 10-6 C 
 q2 = 6C = 6 x 10-6 C 
 F = 1,2N 
 
2
2
9
109
C
Nm
k  
 
2
2
.
1
d
qq
kF  
 substituindo as variáveis: 
 
2
6
106
6
1089
1092,1
d




 
 
2
432,0
2,1
d
  1,2d2 = 0,432 
 
2,1
432,02
d  36,0d 
 
 d = 0,6m 
 
 
04) Duas cargas puntiformes trocam entre si 
uma força de módulo 144N. Reduzindo a 
distância entre elas para a 4a parte e 
multiplicando uma das cargas por 5, qual 
será o novo módulo da força? Suponha 
que todas as outras características per-
manecem constantes. 
 Solução: 
 NF
k
d
q
q
1442
1








 
 
?
'
'
4
'
2
5
'
2
1
'
1














F
kk
d
d
qq
qq
 
 
escrevendo a lei de Coulomb para F: 
 
2
2
.
1
d
qq
kF  
então: 
 
2
2
.
1
144
d
qq
k  (i) 
escrevendo a lei de Coulomb para F’: 
 
 2'
'
2
.
'
1
.
''
d
qq
kF  
substituindo as variáveis, vem 
 8 
 
2
4
2
5
1'








d
qq
kF 
então 
 
2
21
80
'
d
qq
kF

 (ii) 
substituindo (i) em (ii) fica: 
 
 F ‘ = 80.144 
 
Portanto: 
 
 F ‘ = 11520N 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Duas cargas elétrica puntiformes de 8C e 
5C estão, no vácuo, separadas por uma 
distância de 3m. Determine o módulo da 
força de interação entre as cargas e a 
seguir escreva se a força é de atração ou 
de repulsão. R: 4 x 1010N, repulsão 
 
02) Duas cargas elétricas de 4C e 8C es-
tão no vácuo,. Separadas por 40cm. de-
termine o módulo da força elétrica entre 
elas. R: 1,8N 
 
03) Duas cargas puntiformes de 5C e -7C 
estão, no vácuo, separadas por 30cm. 
Determine a intensidade da força elétrica 
trocada entre elas e escreva se essa for-
ça é de atração ou de repulsão. 
 R: 3,5mN, de atração. 
 
04) Duas cargas puntiformes de 6C e 8C 
são colocadas no vácuo, separadas por 
uma certa distância. Determine essa dis-
tância, sabendo que a força de repulsão 
entre elas é de 0,675N. R: 80cm 
 
05) Duas cargas idênticasse repelem com 
uma força de 3,6N quando estão, no vá-
cuo, separadas por 20cm. Qual o valor 
de cada carga? R: 4C 
 
06) Uma carga de 6C se encontra a uma 
distância de 40cm de uma outra carga q. 
Sabendo que a força elétrica trocada en-
tre as cargas é de 0,54N e é de atração, 
qual é a outra carga? R: -1,6C 
 
07) Qual a força de repulsão Coulombiana 
entre dois prótons de um núcleo de ferro. 
Admita uma separação de 4x10-15m entre 
eles. R: 14,4N 
 
08) A distância entre o próton e o elétron no 
átomo de hidrogênio é de cerca de 
5,3x10-11m. Qual o módulo da: (Dados: 
me=9,1x10-31kg, mp=1,7x10-27kg) 
 a) Força elétrica entre eles? 
 R: 8,2x10-8N 
 b) Força gravitacional trocada entre eles. 
 R: 3,7x10-47N 
 c) A razão entre a força elétrica e a força 
gravitacional trocada entre eles. 
 R: 2,2x1039 , ou seja a força elétrica é 
2,2x1039 vezes maior que a gravitacio-
nal. 
 
09) Quantos elétrons em excesso deve ser 
colocados em cad uma de duas peque-
nas esferas com uma separação de 3cm 
entre elas, se a força de repulsão for de 
10-19N? 625 
 
10) Qual a carga total positiva, em coulombs, 
de todos os prótons em um mol de áto-
mos de hidrogênio? R: 96352C 
 
11) Duas esferas de cobre, cada uma com 
1kg de massa, acham-se separadas pela 
distância de um metro. Dado M=64g/mol 
 a) Quantos elétrons cada esfera contém? 
 R: 9,409375 x 1024 
 b) Quantos eletros teriam de ser removi-
dos de uma das esferas e acrescenta-
dos à outra para provocar uma força de 
atração de 104N? R: 6,94x1012 
 
12) Considerando que as grandezas não 
mencionadas em cada item a seguir, 
permanecem constantes, responda o que 
acontecerá com a força elétrica trocada 
entre duas cargas puntiformes: 
 a) Se distância entre duas cargas punti-
formes duplicar? R: divide por 4 
 
 b) Se uma das cargas multiplicar por 5 e 
a outra multiplicar por 8? R: multiplica 
por 40. 
 
 c) Se uma das cargas multiplicar por 8 e 
a distância duplicar? R: dobra 
 
 d) Se a distância dividir por 5 e o produto 
das cargas multiplicar por 3. R: multi-
plica por 75. 
 
 e) Se a distância se reduzir para um 
sexto e cada cair se reduzir a um terço. 
R: quadruplica. 
 9 
 
13) Duas cargas puntiformes de 12C e 3C 
estão, na água, separadas por uma dis-
tância de 60cm. Determine o módulo da 
força elétrica entre elas. R: 0,11N 
 
 
 
1.7. APLICAÇÕES DA LEI DE COULOMB À 
SISTEMAS DE CARGAS 
 
Num sistema formado por diversas car-
gas puntiformes elas interagem entre si, cada 
uma com todas as outras do sistema. Como 
a força elétrica é uma grandeza física vetori-
al, a força resultante sobre uma carga será 
obtida pela soma vetorial das forças. 
 
EXEMPLOS 
 
01) Três cargas elétricas puntiformes e 
q1=8C, q2=6C e q3 = 2C, estão colo-
cadas sobre uma mesma reta, como 
mostra a figura a seguir. Se as cargas 
estão fixas, determine o módulo, a dire-
ção e o sentido da força elétrica resultan-
te sobre cada carga. 
 q1 q2 q3 
 
 
 
 20cm 10cm 
 Solução 
 Calculando as forças entre os pares de 
cargas: 
 - Força entre as cargas 1 e 2: 
 
2
2,1
2
.
1
.
2,1
d
qq
kF  
 
 21
102
6
106
6
108
.
9
109
2,1






F 
 
 F1, 2 = 10,8N 
 
 - Força entre as cargas 1 e 3: 
 
2
3,1
3
.
1
.
3,1
d
qq
kF  
 
 21
103
6
102
6
108
.
9
109
3,1






F 
 
 F1, 3 = 1,6N 
 
 - Força entre as cargas 2 e 3: 
 
2
3,2
3
.
2
.
3,2
d
qq
kF  
 
 21
101
6
102
6
106
.
9
109
3,2






F 
 
 F2, 3 = 10,8N 
 
 Sobre a carga q1 as forças atuantes são 
F1, 2 e F1, 3. 
 q1 
 
 F1,2 F1,3 
 
 Logo para achar a força resultante sobre 
a carga q1, deve-se somar as duas for-
ças: 
 F1 = F1, 2 + F1, 3 
 F1 = 10,8 + 1,6 
 
 F1 = 12,4N horizontal, esquerda 
 
 Sobre a carga q2 as forças atuantes são 
F1, 2 e F2, 3: 
 q2 
 
 F2,3 F1,2 
 
 A força resultante sobre a carga 2 será 
dada por: 
 
 F2 = F1, 2 – F2, 3 
 F2 = 10,8 – 10,8 
 
 F2 = 0 
 
 Sobre a carga q3, as forças atuantes são: 
 
 q3 
 
 F1,3 F2,3 
 
 A força resultante sobre a carga q3 será 
dada por: 
 
 F3 = F1, 3 + F2, 3 
 F3 = 1,6 + 10,8 
 
 F3 = 12,4N horizontal, direita 
 
 
02) Duas cargas puntiformes de 4C e 9C 
estão fixas nas duas extremidades de um 
segmento de 80cm de comprimento. De-
termine a que distância da carga de 4C 
 10 
e sobre o segmento, deve ser colocada 
uma carga de -3C, para que ela fique 
em equilíbrio pela ação de forças elétri-
cas apenas. 
 Solução: 
 q1=4C q2 =-3C q3=9 
 F1,2 F2,3 
 
 x 80-x 
 
 80cm 
 Se a carga q2 está em equilíbrio, a força 
resultante sobre ela deve ser nula, ou 
 F1, 2 = F2, 3 
 
2
3,2
3
.
2
.
2
2,1
2
.
1
.
d
qq
k
d
qq
k  
 
2
3,2
3
2
2,1
2
d
q
d
q
 
 Substituindo os valores: 
 
 280
9
2
4
xx 


 
 Simplificando e extraindo a raiz quadra-
da dos dois membros, vem: 
 
xx 

80
32
 
 
 Portanto x = 32cm 
 
 
03) Três cargas idênticas são colocadas nos 
três vértices de um triângulo eqüilátero. 
Determine o módulo da força elétrica re-
sultante elétrica sobre cada uma em fun-
ção da carga de cada esfera do lado do 
triângulo e da constante eletrostática do 
meio. 
 Solução: 
 A figura a seguir, mostra a situação pro-
posta e as forças elétricas sobre uma 
das cargas: 
 FR 
 
 F1 F2 
 
 
 q1 = q 
 
 
 ℓ ℓ 
 
 
 
 q2 = q ℓ q3=q 
 Calculando as forças F1 e F2, fica: 
 
2
2
21

q
kFFF  
 Aplicando a lei dos cossenos, vem 
 cos.
2
.
1
.2
2
2
2
1
2
FFFF
R
F  
 Substituindo F1, F2 e , tem-se: 
 
o
FFFF
R
F 60cos...2
222
 
 F
R
F .3 
 Portanto: 3
2
2
. 

q
k
R
F 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Duas cargas puntiformes de 8C e 2C 
estão fixas nas extremidades de um 
segmento de reta de 4m. A que distância 
da carga de 8C e sobre o segmento de 
reta, deve ser colocada uma terceira car-
ga elétrica para que ela fique em equilí-
brio, sob a ação de forças elétricas ape-
nas. R: 8/3 m 
 
02) Uma carga q1 = 6C está fixa no ponto 
(0, 3m) e a carga q2 = 8C, está fixada 
sobre o ponto (3m, 0) de um plano carte-
siano ortogonal. Determine o módulo da 
força resultante sobre uma carga q3 de 
2C colocada na origem desse sistema 
de coordenadas. R: 2x10-2N 
 
04) Determine a intensidade da resultante 
das forças, produzidas pelas cargas q1 e 
q2 sobre a carga q3, quando colocadas 
no vácuo, conforme a figura a seguir. 
(Dados: q1 = 2C, q2=-2C e q3=8C) 
 
 q1 q3 
 
 2m 
 
 
 0 m32 q2 
 R: 3,79x10-2N 
 
05) Nos três vérticesde um triângulo equilá-
tero ABC são fixadas três cargas elétri-
cas puntiformes: qA = -10C, qB = 10C e 
qC = 10C. O lado do triângulo mede 1m 
e o meio é o vácuo. Determine o módulo 
da força resultante sobre a carga qC. 
 R: 0,9N 
 11 
06) Um carga puntiforme de 4C se encontra 
fixada no ponto (-2, 3)m e uma outra car-
ga puntiforme de 2,5C se encontra no 
ponto (1, 7)m. Determine o módulo da 
força elétrica trocada entre elas. 
 R: 3,6mN 
 
 
1.8. FORMA VETORIAL DA LEI DE COU-
LOMB 
 
A lei de Coulomb pode ser escrita sob a 
forma de uma equação vetorial simples. Seja 
q1 uma carga e q2 a outra carga, ambas pun-
tiformes, separadas pela distância r12, que o 
módulo do vetor r12, apontando da carga q1 
para a carga q2. A força exercida pela carga 
q1 sobre a carga q2 é dada por: 
 
 
12
ˆ
2
12
2
.
1
12
r
r
qq
kF 

 (1.8.1) 
 
onde 
12
12
12
ˆ
r
r
r

 é versor que aponta de q1 
para q2, e r12 é o módulo do vetor 
12
r

. 
A figura 1.8.1, mostra esse fato 
 
 
 z 
 q2 
 q1 r12=r2-r1 
 
 
 r1 r2 
 
 y 
 
 
 x 
 Fig 1.8.1. Vetores posição de cada carga e 
vetor distância entre as cargas. 
 
A força exercida por q1 sobre q2 está no 
mesmo sentido do vetor r12 quando as duas 
cargas tem o mesmo sinal, e no sentido 
oposto quando as cargas tem sinais diferen-
tes. 
A força que a carga q2 exerce sobre a 
carga q1 será indicado por F12. 
 
 
EXEMPLOS 
 
01) Uma carga puntiforme q1 = 10C está 
fixada no ponto (0,2; -0,1)m e uma outra 
carga q2 = 5C está fixada no ponto 
 (-0,2, 0,2)m. Determine: 
 a) O vetor posição de cada carga. 
 r1 = 0,2i – 0,1j 
 r2 = -0,2i + 0,2j 
 
 b) O vetor distância de q1 para q2. 
 r12 = -0,4i + 0,3j 
 
 c) O vetor distância de q2 para q1. 
 r21 = 0,4i – 0,3j 
 
 d) O módulo do vetor distância. 
 2
3,0
2
)4,0(
2112
 rr 
 
 r12 = r21 = 0,5m 
 
 e) O módulo da força elétrica trocada. 
 
2
12
2
.
1
2112
r
qq
kFF  
 
 
2
5,0
6
105
6
10109
109
2112




 FF 
 
 F12 = F21 = 1,8N 
 
 f) Os versores de q1 para q2 e de q2 para 
q1. 
 
12
12
12
ˆ
r
r
r

 
21
21
21
ˆ
r
r
r

 
 
5,0
3,04,0
12
ˆ
ji
r


 
5,0
3,04,0
12
ˆ
ji
r


 
 
 jir

6,08,0
12
ˆ  jir

6,08,0
12
ˆ  
 
 g) Escreva o vetor força elétrica de q1 
sobre q2. 
 
 121212
ˆ.rFF 

 
 F12 = 1,8.(-0,8i + 0,6j) 
 
 F12 = -1,44i +1,08j 
 
 
 h) Escreva o vetor força elétrica de q2 
sobre q1: 
 212121
ˆ.rFF 

 
 F21 = 1,8.(0,8i - 0,6j) 
 
 F21 = 1,44i -1,08j 
 12 
02) Uma carga 6C está fixada no ponto 
 A(-4; 3; -1), uma carga de -4C está 
fixada no ponto B(2, -3, 4) e uma outra 
carga de 8C está no ponto C(6, -1, 2). 
Considerando que todas as distâncias 
são medidas em dm, determine o vetor 
força resultante das forças eletrizas apli-
cadas pelas cargas qA e qB sobre a carga 
qC, e a seguir, calcule o seu módulo. 
 i) Cálculo dos vetores distâncias 
 rAC = (6, -1, 2) – (-4, 3, -1) = (10, -4, 3) 
 rAC = 10i – 4j + 3k 
 
 rBC = (6, -1, 2) – (2, -3, 4) = (4, 2, -2) 
 rBC = 4i + 2j - 2k 
 
 ii) Cálculo dos módulos dos vetores dis-
tância. 
 2
3
2
)4(
2
10 
AC
r = 11,18dm 
 rAC = 1,118m 
 2
)2(
2
2
2
4 
BC
r = 4,90dm 
 rBC = 0,490m 
 
 iii) Cálculo dos versores das distâncias 
 
18,11
3410
ˆ
kji
AC
r


 
 kji
AC
r

268,0358,0894,0ˆ  
 
 
90,4
224
ˆ
kji
BC
r


 
 kji
BC
r

408,0408,0816,0ˆ  
 
 iv) Cálculo os valores das forças: 
 
2
118,1
6
108
6
1069
109





AC
F 
 FAC = 0,346N 
 
2
490,0
6
108)
6
104(9
109





BC
F 
 
 FBC = -1,199N 
 
 v) Cálculo dos vetores forças 
 
AC
r
AC
F
AC
F ˆ

 
 
)268,0358,0894,0.(346,0 kji
AC
F

 
 
 kji
AC
F

093,0124,0309,0  
 
 
BC
r
BC
F
BC
F ˆ

 
 
)408,0408,0816,0.(199,1 kji
BC
F


 
 
 kji
BC
F

457,0457,0913,0  
 
 vi) Cálculo do vetor resultante: 
 FR = FAC + FBC 
 
 FR = -0,604i – 0,581j +0,550k 
 
 
 vii) Cálculo do módulo da força resultante: 
 2
550,0
2
)581,0(
2
)604,0( 
R
F 
 
 FR = 1,002N 
 
 
EXERCÍCIO 
 
01) Uma carga q1 = 5C está fixada no ponto 
(-2; 6)dm e uma carga q2 = -4C está fi-
xada no ponto (1, 2)dm. Determine o ve-
tor força elétrica exercida pela carga q1 
sobre a carga q2. 
 R: F12 = -0,432i + 0,576j 
 
02) Três cargas puntiformes A, B e B, estão 
fixadas nos pontos A(-4, 3)dm, B(4, -3) 
dm e C(-1, -3 )dm. Se qA=12C, qB=-4C 
e qC=-6C, determine o vetor força elétri-
ca resultante sobre a carga qB. 
 R: FR = -1,296i + 2,592j 
 
03) Sejam três pontos A, B, C e três cargas 
qA, qBe qC, fixadas nesses pontos. Sendo 
qA=8C, qB=5C, qC=-4C, A(-6, 0, 4)dm, 
 B(-2, -4, 2)dm e C(4, 2, -3)dm. Determi-
ne o vetor força elétrica resultante sobre 
a carga qC. 
 R: FR = -0,265i – 0,143j + 0,212k