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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
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ÍNDICE
PÁG
1. ESTATÍSTICA, CONCEITO e HISTÓRIA 06
1.1. O QUE É ESTATÍSTICA 07
1.2. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA 07
2. FASES PARA UMA PESQUISA ESTATÍSTICA 11
2.1. COLETA DOS DADOS 12
2.2. CRÍTICA SOBRE OS DADOS 13
2.3. APURAÇÃO DOS DADOS 13
2.4.EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 13
2.5.ANÁLISE DOS RESULTADOS 13
3. POPULAÇÃO E TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 14
3.1. POPULAÇÃO e AMOSTRA 15
3.2. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM 16
3.2.1 Amostragem Casual 17
3.2.2 Amostragem Proporcional Estratificada 19
3.2.3 Amostragem Sistemática 21
3.3. EXERCÍCIOS 23
4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 25
4.1. GRÁFICO EM LINHA OU CURVA 26
4.2. GRÁFICO EM COLUNA 28
4.3.GRÁFICO EM BARRA 29
4.4.GRÁFICO DE SETORES 30
4.5. CARTOGRAMA 33
4.6. PICTOGRAMA 35
4.7.EXERCÍCIOS 36
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5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 37
5.1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 38
5.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 39
5.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 41
5.3.1. Classe 41
5.3.2. Limite de Classe 42
5.3.3. Amplitude 42
5.3.4. Ponto Médio 43
5.4. EXERCÍCIOS 44
6. TIPOS DE FREQUÊNCIA 45
6.1.TIPOS DE FREQUÊNCIA 46
6.1.1. Freqüência simples ou absoluta 46
6.1.2. Freqüência relativa 46
6.1.3. Freqüência acumulada 47
6.1.4. Freqüência acumulada relativa 47
6.2. EXERCÍCIOS 48
7. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
DE FREQUÊNCIA 49
7.1.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 50
7.1.1. Histograma 50
7.1.2. Polígono de Freqüência 51
7.1.3. Polígono de Freqüência acumulada 53
7.2. EXERCÍCIOS 55
8. MEDIDAS DE POSIÇÃO 56
8.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA 57
8.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO 57
8.2.1. Média Aritmética 58
8.2.2. Média Ponderada 60
8.2.3. Média para distribuição de frequência 62
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8.2.4. Mediana 63
8.2.5. Moda 65
8.3.EXERCÍCIOS 66
9. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 67
9.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO 68
9.1.1. Amplitude 69
9.1.2. Variância e Desvio Padrão 70
9.1.3. Desvio Padrão com intervalo de classe 73
9.2.EXERCÍCIOS 76
10. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 77
10.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 78
10.1.1. Distribuição Simétrica 78
10.1.2. Distribuição Assimétrica á esquerda 79
10.1.3. Distribuição Assimétrica á direita 80
10.2.EXERCÍCIOS 82
11. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 83
11.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 84
11.2.EXERCÍCIOS 89
11.3.REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 84
11.4.EXERCÍCIOS 89
12. NÚMEROS - ÍNDICES 91
12.1 NÚMEROS - ÍNDICES 92
12.1.1 Elos de relativo 95
12.1.2 Relativo em cadeia 96
12.1.3 Índices Agregativos 98
12.2 INDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO 99
12.3EXERCÍCIOS 101
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13. PROBABILIDADE 104
13.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 105
13.2 ESPAÇO AMOSTRAL 105
13.3 EVENTOS 106
13.3.1 Eventos complementares 108
13.3.2 Eventos independentes 109
13.3.3 Eventos mutuamente exclusivos 111
13.4 EXERCÍCIOS 113
13.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL 115
13.6EXPERIMENTO ALEATÓRIO 116
13.7 EXERCÍCIOS 121
14. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 122
14.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 123
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 123
14.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 125
14.4 EXERCÍCIOS 129
14.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 130
14.6 EXERCÍCIOS 133
15. TESTE DE HIPÓTESE 134
15.1. Componentes de um teste de hipótese 136
15.2. 3 passos para definir os sinais das hipóteses H0 e H1 136
15.3. Tipos de tetse de hipóteses 138
15.4. Valores para as regiões de rejeição 139
15.5. Fórmulas para os testes de hipóteses 140
15.6. EXERCÍCIOS 149
ANEXOS 150
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O QUE É ESTATÍSTICA?
É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA,
ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS,
para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA
A necessidade de um conhecimento numérico sobre os recursos disponíveis, começaram a
surgir quando as sociedades começaram a se organizar.
Os estados, desde a antiguidade, precisavam conhecer determinadas características da
população. Efetuar sua contagem, saber sua composição e seus rendimentos.
Para que os governantes das grandes civilizações antigas, tivessem conhecimento dos bens
que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos habitantes, surgiram o esboço das
primeiras “Estatísticas”.
Ainda não possuía esse nome e era utilizada para determinar Leis sobre os impostos e
número de homens disponíveis para guerras. Estas “estatísticas” eram limitadas á
população adulta masculina.
O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido pelo Imperador
Egípcio Heródoto em 3.050 a.c. O levantamento Estatístico teve como finalidade,
averiguar as riquezas do Egito e seus recursos humanos para a construção das pirâmides.
Existem relatos na Bíblia de recenseamentos realizados por Moisés em 1.490 a.c..
Durante o Império Romano, era comum o Recenseamento da população e seus bens.
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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No início da Idade Média, após a queda do império Romano, fora realizada estatística
sobre as terras que eram propriedades da Igreja Católica, para saber a riqueza de seu
poderio.
No Sec. XI, a Inglaterra realizou seu levantamento estatístico, onde incluía informações
sobre a terra, seus proprietários, o uso dessa terra, a quantidade de animais e serviria
de base para cálculo de impostos
Podemos observar, que atéo início do sec. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos
assuntos de Estado. A Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem,
traduzindo numericamente, fatos ou fenômenos observados.
Esse tipo de coleta, organização e descrição dos dados, fazem parte da ESTATÍSTICA
DESCRITIVA, ou seja, que apenas descreve em números o cenário dos fatos existentes.
Então, ESTATÍSTICA DESCRITIVA, é um ramo da estatística que
aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados
existentes.
Durante o sec. XVII, inicia-se uma nova fase da Estatística iniciada pelo inglês John
Graunt (1.620 – 1674), voltada agora para a análise do resultado dos dados observados,
chamada de Estatística Analítica ( ou indutiva ou inferencial).
ESTATÍSTICA ANALÍTICA é nada menos do que a análise e a
interpretação dos dados existentes auferidos pela Estatística descritiva.
Em 1.660, John Graunt publicou um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos
habitantes de Londres, procurando dar interpretações sociais ao seu estudo.
Em 1.692, o inglês e astrônomo Edmund Halley (1.658 – 1.744), famoso pela
descoberta do cometa que leva o seu nome, baseando-se em dados sobre nascimento e
falecimento, foi o precursor das Tábuas de Mortalidade, bastante utilizada nos ramos de
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA
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seguros de vida e planos de previdência.
Ainda no séc. XVII surge O Cálculo das Probabilidades pelo francês Blaise Pascal
(1.623 – 1.662), dando uma nova dimensão para a Estatística. O estudo das probabilidades
tem a finalidade em deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos
fatos existentes.
A palavra ESTATÍSTICA surge somente no Séc. XVIII pelo alemão Godofredo
Achenwall ( 1.719 – 1772)
Na atualidade, a Estatística não se limita apenas ao Estado e ao estudo da Demografia e da
Economia. Hoje, ela estende-se para a análise de dados em Biologia, Medicina, Física,
Psicologia, Indústria, Comércio, Metereologia, Educação, Tecnologia de Informação e
principalmente na administração e nos planejamentos estratégicos das empresas.
RESUMO
ESTATÍSTICA
É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA,
ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a
utilização dos mesmos na tomada de decisões.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
É a parte da Estatística que coleta, organiza e descreve numericamente o cenário dos
dados existentes.
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ESTATÍSTICA ANALÍTICA
É a parte da Estatística que interpreta e analisa o resultado dos dados descritos pela
Estatística Descritiva.
PROBABILIDADE
É o estudo que tem por finalidade, deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no
acontecimento dos fatos existentes.
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FASES PARA A ELABORAÇÃO DE UMA PESQUISA
ESTATÍSTICA
Para realizarmos uma pesquisa que envolva um trabalho estatístico é necessário
observar 5 fases para esse trabalho.
A coleta dos dados;
A crítica sobre os dados;
A apuração dos dados;
A exposição ou apresentação dos dados
E a análise dos resultados
1 - COLETA DOS DADOS
Depois de definido o objetivo da pesquisa ( qual o motivo para ela ser realizada),
damos início a primeira fase da pesquisa que é a Coleta dos dados e que pode ser:
Contínua: Feita com freqüência.
EX: A chamada em sala de aula
Periódica: Em intervalos constantes.
EX: O censo ( feito a cada 10 anos)
Ocasional: Quando é feito a fim de atender uma emergência.
EX: Uma epidemia
FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
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2 - CRÍTICA SOBRE OS DADOS
Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, á procura de falhas
que possam influir sensivelmente no resultado da pesquisa.
EXEMPLO: Alguma idade informada com 250 anos.
3 - APURAÇÃO DOS DADOS
É a Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de
classificação.
EXEMPLO: Se vamos tentar descobrir em uma população, a média de idade, o mais
velho, o mais novo.
4 - EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS
É a forma de apresentação dos dados de forma mais adequada .
EXEMPLO: Uso de Tabelas, Gráficos.
5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS
É o objetivo da pesquisa. É onde tiramos conclusão sobre os resultados da nossa
pesquisa.
EXEMPLO: Constatamos que a população de alunos é envelhecida e etc...
FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
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POPULAÇÃO E AMOSTRA
VARIÁVEIS
É o conjunto das possibilidades que possui um fenômeno.
O fenômeno SEXO por exemplo, só possui duas possibilidades:
Masculino ou Feminino.
TIPOS DE VARIÁVEIS
Qualitativa: Sexo, cor de um objeto, nomes ...
Quantitativa: Expressa em números. altura, qtde de filhos, idade ...
Quantitativa discreta: Nº Naturais
Ex: Qtde de filhos, idade...
Quantitativa contínua: Nº não Naturais
Ex: Altura, nota dos alunos.
POPULAÇÃO
População estatística (Universo) é o conjunto de fenômenos que possuem pelo
menos uma variável em comum.
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica,
limitamos as observações de uma pesquisa á apenas uma parte da população. Essa
parte, chamamos de AMOSTRA.
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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AMOSTRA
Amostra é um subconjunto retirado de uma população.
Mas para que a pesquisa esteja correta é necessário garantir que a amostra seja
representativa da população, isto é, precisa possuir as mesmas características básicas da
população e para isso, existem técnicas especiais para recolher amostras chamadas de
AMOSTRAGEM.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são:
Amostragem Casual;
Amostragem ProporcionalEstratificada;
Amostragem sistemática.
Para facilitar o nosso entendimento vamos dar o seguinte exemplo para as três técnicas
de Amostragem.
Um escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos seus 135 alunos e obteve
as seguintes idades:
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IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
OBS: Os alunos que em negrito e com um traço nas idades representam
alunos do sexo feminino.
AMOSTRAGEM CASUAL
Ex: Queremos saber a média de idade entre os 135 alunos (POPULAÇÃO) e
decidimos retirar somente 20% como amostra.
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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Então, vamos retirar 27 alunos aleatoriamente para compor a nossa amostra. Para que
o seu resultado e o resultado dos seus colegas tenham o mesmo resultado, vamos selecionar os
27 primeiros alunos.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
113355
XX
XX == 2277
=
110000%%
2200%%
XX == 113355 xx 2200
110000
22770000
XX ==
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�
Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,52 anos, baseado na amostra
casual de 27 alunos.
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA
Seria retirar a amostra, proporcionalmente as características da população.
Continuando com o mesmo exemplo dos 135 alunos e tiraremos 20% deles como
amostra.
Podemos observar, que dos 135 alunos, 77 são do sexo masculino e 58 são do sexo
feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos alunos, proporcionalmente a
quantidade de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e
20% das mulheres.
XX ==
2277
660088
2222,,5522
XX ==
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Dessa forma, iremos extrair 15 alunos do sexo masculino e 12 alunos do sexo
feminino.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19
7777
PPooppuullaaççããoo
MMaassccuulliinnoo
FFeemmiinniinnoo 5588
2200%%
1155,,44
1111,,66
113355 2277
AAmmoossttrraa
1155
1122
2277
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,89 anos, baseado na amostra
proporcional estratificada de 27 alunos.
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de
se construir um sistema de referência. São exemplos os prédios de uma rua ou os produtos que
passam em uma linha de produção.
Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra, pode ser feita por um
sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de Amostragem Sistemática.
Aproveitando o nosso exemplo, será necessário colocar todas as idades em ordem
crescente ou descrente e poderemos, por exemplo, retirar um aluno á cada 6 alunos para
compor a amostra.
Outro exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50
casas para entrevistarmos as pessoas que moram nela. A cada 18 casas, paramos em uma
delas para compor a amostra.
XX ==
2277
661188
2222,,8899
XX ==
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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Vamos ao nosso exemplo dos alunos. Antes de tudo é necessário colocar os números
ordenadamente de forma crescente ou decrescente. Agora, iremos retirar á cada 6 alunos, um
para compor a nossa amostra.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18
18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20
20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21
21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21
21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22
22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 23; 23; 23; 23
23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25
25; 25; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 29; 29; 30; 30
Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 20,70 anos, baseado na amostra
sistemática de 27 alunos.
XX ==
2277555599
2200,,7700
XX ==
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EXERCÍCIOS
1) Responda as perguntas abaixo.
1) O que é Estatística e para quê ela serve.
2) O que é Estatística Descritiva.
3) O que é Estatística Analítica
4) O que é Probabilidade
2) Classifique as variáveis em Qualitativas, Quantitativa Contínua e Quantitativa
discreta.
1) Cor dos cabelos.
2) Número de filhos.
3) Número de peças produzidas por uma fábrica
4) Média de idade
5) Sexo
6) Diâmetro de uma bola
7) dinheiro
3) Descreva as cinco fases para a elaboração de uma pesquisa estatística e explique
cada uma delas.
4) Arredonde os números abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal.
1) 22,38.
2) 24,65.
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3) 3,7423
4) 1,442
5) 1,08
6) 9,483
5) Um fisioterapeuta, resolveu fazer uma pesquisa para saber a altura de seus clientes
e identificou as seguintes alturas:
1,75 1,68 1,65 1,73 1,67 1,82 1,84 1,70 1,76
1,91 1,77 1,69 1,80 1,78 1,68 1,81 1,72 1,70
1,71 1,77 1,65 1,83 1,87 1,78 1,68 1,75 1,71
1,68 1,70 1,66 1,78 1,82 1,69 1,75 1,72 1,70
1,81 1,72 1,73 1,79 1,78 1,85 1,81 1,69 1,75
OBS: As alturas que estejam em negrito e com um traço representam clientes do sexo feminino.
Descubra a média de altura dos clientes desse fisioterapeuta e depois descubra a média
de altura, usando as seguintes técnicas de amostragem: (As amostras serão de 30%
sobre a população)
a) Amostragem Casual (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros)
b) Amostragem Proporcional Estratificada (Retirar para compor a amostra, os
30% primeiros homens e 30% primeiras mulheres)
cc)) Amostragem Sistemática (Retirar para compor a amostra 30% da população, á
cada 4 pessoas.)
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
É uma forma de apresentarmos os dados estatísticos, cujo o objetivo é o de produzir,
para o público que apresentaremos os resultados, um entendimento mais rápido e fácil do
fenômeno estudado.
Existem várias formas de apresentarmos os resultados em gráfico. As mais utilizadas
são:
Gráfico em linha ou em curva;
Gráfico em colunas;
Gráfico em barras;
Gráfico em setores;
Cartograma;
Pictograma.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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GRÁFICO EM LINHA OU CURVA
Uma fazenda, produziu em 2001, 20.000 litros de leite, em 2002, 25.000 litros, em
2003, 32.000 mil litros e em 2004, 45 mil litros.
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE LLEEIITTEE
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 LL))
22000011
22000022
22000033
22000044
2200
2255
3322
4499
QQttddee
((11..000000)) LL
aannooss 22..000011 22..000022 22..000033 22..000044
1100
2200
3300
4400
5500
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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GRÁFICO EM COLUNA
Uma fazenda, produziu em 2000, 18.000 toneladas de soja, em 2001, 11.000
toneladas, em 2002, 10.000 toneladas e em 2004, 15 mil toneladas.
QQttddee
((11..000000)) TT
aannooss 22..000000 22..000011 22..000022 22..000033
55
1100
1155
2200
00
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT))
22000000
22000011
22000022
22000033
1188
1111
1100
1155
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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GRÁFICO EM BARRA
Segundo o IBGE, em 2002, a produção de soja em Rondônia foi de 100 mil toneladas,
no Mato Grosso do sul 214 mil toneladas, no Mato Grosso 1,200 Milhão de toneladas, em
Goiás 212 mil toneladas.
QQttddee ((11..000000)) TT 220000 440000 660000 880000
MMTT
MMSS
GGOO
RROO
00
11..000000 11..220000
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA -- 22000022
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT))
RRoonnddôônniiaa
GGooiiááss
MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull
MMaattoo GGrroossssoo
110000
221122
221144
11..220000
EEssttaaddooss
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GRÁFICO DE SETORES
Segundo o IBGE, em 2006, a população de bovinos em Mato Grosso era de 20
Milhões, no Mato Grosso do Sul era de 17 Milhões, em Goiás 16 Milhões e em Rondônia 8
milhões de cabeças de gado.
O gráfico de Setores, também conhecido como “pizza” é apresentado sobre uma figura
circular.
PPOOPPUULLAAÇÇÃÃOO DDEE BBOOVVIINNOOSS -- 22000066
EESSTTAADDOOSS QQTTDDEE ((MMiillhhõõeess))
RRoonnddôônniiaa
GGooiiááss
MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull
MMaattoo GGrroossssoo
TTOOTTAALL
88
1166
1177
2200
6611
25%
25%
25%
25%
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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6611
1177
XX == 2288%%
MS
110000%%
XX
6611 XX == 1177 xx 110000
6611
11770000
XX ==
6611
1166
XX == 2266%%
GO
110000%%
XX
6611 XX == 1166 xx 110000
6611
11660000
XX ==
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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6611
2200
XX == 3333%%
MT
110000%%
XX
6611 XX == 2200 xx 110000
6611
22..000000
XX ==
6611
88
XX == 1133%%
RO
110000%%
XX
6611 XX == 88 xx 110000
6611
880000
XX ==
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006
26%
28%13%
33%
GO
MS
RO
MT
CARTOGRAMA
É a representação sobre uma carta geográfica ( um mapa).
Esse tipo de gráfico é utilizado quando o objetivo é o de mostrar dados relacionadasas
áreas geográficas ou políticas.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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PICTOGRAMA
É uma das formas gráficas mais utilizadas pela mídia. Consiste em informar o gráfico
para o público utilizando-se de figuras.
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EXERCÍCIOS
1) A loja de Xerox da faculdade, deseja saber como anda distribuído sua receita com as
cópias. Apurou-se que durante o primeiro semestre de 2008, a loja obteve uma receita
com as cópias de R$ 800,00; R$ 3.500; R$ 6.000; R$ 4.500,00; R$ 5.500 e R$
1.200,00 respectivamente. Represente essa distribuição graficamente.
2) A LACBOM solicitou uma pesquisa, para saber quais os seus três segmentos de
produtos são mais comercializados. Foi feita uma pesquisa em um supermercado e
foram retirado a opinião de 200 pessoas como amostra e o resultado foi o seguinte:
Leite Longa Vida - 98 pessoas
Queijo - 62 pessoas
Lacbinho - 40 pessoas
Construa um gráfico para representar a participação dos segmentos no mercado.
3) Em 2006, o IBGE divulgou como anda distribuída a utilização da terra no Mato Grosso por
hactare. Para a lavoura são utilizados 7 milhões de Hac, para a pecuária são utilizados 23
milhões de Hac e 18 milhões são matas e florestas. Construa um gráfico mostrando a
utilização das terras do Mato Grosso.
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Serve para analisarmos a freqüência que acontece os fatos individualmente ou por classes.
EXEMPLO
Vamos supor que coletamos a estatura de 40 alunos de uma sala de aula e temos a seguinte
tabela.
ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
Os dados descritos aleatoriamente, chamamos de tabela primitiva, dessa forma, fica quase
impossível analisarmos qual é o aluno mais alto, qual é o mais baixo ou quais estaturas
mais se repetem.
A maneira apropriada para analisarmos os dados é através de uma ordenação (crescente ou
decrescente) dos dados. A tabela, depois de ordenada, passa a se chamar TABELA
PRIMITVA ROL.
116666;; 116600;; 116611;; 115500;; 116622;; 116600;; 116655;; 116677;; 116644;; 116600
116622;; 116611;; 116688;; 116633;; 115566;; 117733;; 116600;; 115555;; 116644;; 116688
115555;; 115522;; 116633;; 116600;; 115555;; 115555;; 116699;; 115511;; 117700;; 116644
115544;; 116611;; 115566;; 117722;; 115533;; 115577;; 115566;; 115588;; 115588;; 116611
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
Agora podemos saber com certa facilidade, a menor estatura (150 cm), a maior estatura
(173 cm) e a estatura que mais se repete (160 cm e 165 cm).
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE
CLASSE
Para observarmos a frequência em que se repete as estaturas podemos construir uma
tabela distribuindo as idades.
115500;; 115511;; 115522;; 115533;; 115544;; 115555;; 115555;; 115555;; 115555;; 115566
115566;; 115566;; 115577;; 115588;; 115588;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600
116611;; 116611;; 116611;; 116611;; 116622;; 116622;; 116633;; 116633;; 116644;; 116644
116644;; 116655;; 116666;; 116677;; 116688;; 116688;; 116699;; 117700;; 117722;; 117733
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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ESTATURA DOS ALUNOS (cm)
Mas esse formato de distribuição é inconveniente, devido a quantidade de estaturas. Para
resolver esse problema, o mais aconselhável é agruparmos as estaturas em intervalos de
classes, conforme a tabela abaixo.
115500
115511
115522
115533
115544
115555
115566
115577
115588
116600
116611
EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa
11
11
11
11
11
44
33
11
22
55
44
116622
116633
116644
116655
116666
116677
116688
116699
117700
117722
117733
EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa
22
22
33
11
11
11
22
11
11
11
11
4400
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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O sinal ├ simboliza um intervalo fechado á esquerda e um intervalo aberto á direita, ou
seja, no intervalo 150 ├ 154, entende-se que estamos analisando somente os valores
maiores e iguais á 150 cm e menores que 154.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
CLASSE
São os intervalos de variação.
Representamos as classes por i, sendo:
i = 1, 2, 3, 4, ... k
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588 ├ 116622
116622 ├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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LIMITES DE CLASSE
São os valores extremos de uma distribuição.
O menor valor é o limite inferior da classe ( li ) e o maior valor é limite
superior da classe ( Li ).
Os limites da nossa distribuição são ( li ) = 150 e ( Li ) = 173
Os limites do SEGUNDO intervalo de classe, representamos como ( l2 ) = 154
e (L2 ) = 158
AMPLITUDE
É a diferença entre o limite superior e o limite inferior.
A amplitude da distribuição é de 23 cm.
Amplitude total = Li (173) - li (150) = 23.
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588 ├ 116622
116622├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
ii
11
22
33
44
55
66
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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A amplitude do TERCEIRO intervalo de classe é de 4 cm.
Amplitude da classe = L3 (162) - l3 (158) = 4
PONTO MÉDIO
É o ponto que divide os dados em duas partes iguais ou que encontra o ponto
central dos dados.
O ponto médio da distribuição é 161,5 cm.
P.M. = Li + li
2
P.M. = 173
+ 150 161,5
2
O ponto médio do QUARTO intervalo de classe é de 164 cm.
P.M. = 166
+ 162 164
2
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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EXERCÍCIOS
1) O A. C. Milan interessado em saber como está o desempenho do time durante os 90
minutos de um jogo, separou em minutos, todos os 70 gols que saíram durante os jogos no
campeonato italiano de 2008/2009 e obteve o seguinte resultado.
5; 5; 10; 15; 15; 15; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22
23; 23; 24; 25; 26; 26; 28; 29; 30; 30; 30; 30; 30; 31
31; 31; 31; 32; 34; 35; 35; 35; 35; 35; 36; 36; 36; 36
36; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40; 42; 42; 42; 43; 56; 60
63; 66; 68; 68; 68; 68; 70; 70; 70; 73; 77; 81; 82; 83
a) Monte uma distribuição de frequência com intervalo de classe. A amplitude entre os
intervalos será de 15 minutos.
b) Identifique o limite Superior e o limite inferior da distribuição e do terceiro intervalo de
classe.
c) Descubra o ponto médio da distribuição e do segundo intervalo de classe.
d) Se você fosse o treinador do A.C Milan, qual seria sua interpretação já com os resultados
acima
O Intervalo entre as classes será um |--
OBS: Na Europa e nos outros países, o reinício dos jogos tem os cronômetros apenas paralisados,
retomando o segundo tempo com os minutos corridos e não zerando o cronômetro como no Brasil.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
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TIPOS DE FREQUÊNCIA
Existem quatro tipos de frequência em uma distribuição.
Frequência simples ou absoluta ( fi )
Frequência relativa ( fri )
Frequência acumulada ( Fi )
Frequência acumulada relativa ( Fri ).
FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA
É a frequência com que se repete os dados da distribuição. Simbolizamos por ( fi ).
FREQUÊNCIA RELATIVA
É a representatividade da frequência sobre o total de entrevistados em uma distribuição
(fri).
ffrrii == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
ffii
TIPOS DE FREQUÊNCIA
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FREQUÊNCIA ACUMULADA
É total da frequência dos dados acumulando-se as classes ( Fi ).
FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA
É a frequência acumulada de uma classe, divida pelo somatório da frequência simples de
uma distribuição ( Fri ).
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) fi
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588 ├ 116622
116622 ├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
fri
00,,110000
00,,222255
00,,227755
00,,220000
00,,112255
00,,007755
11
Fi
44
1133
2244
3322
3377
4400
Fri
00,,110000
00,,332255
00,,660000
00,,880000
00,,992255
11
FFkk == ff11 ++ ff22 ++ ff33 ...... ++ ffkk
FFii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
== FFrrii
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EXERCÍCIOS
1) Aproveitando o exemplo do exercício anterior, encontre a freqüência simples, a
freqüência relativa, a freqüência acumulada e a freqüência relativa acumulada
dos gols do time do A. C. Milan.
2) Baseado na tabela dos tipos de freqüência, interprete os resultados que você
encontrou. O que os números dos gols do time do A. C. Milan demonstram?
TIPOS DE FREQUÊNCIA
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente por:
HISTOGRAMA;
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA;
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
HISTOGRAMA
Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de
tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de
classe.
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588 ├ 116622
116622 ├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas perpendiculares ao eixo horizontal,
levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.
QQttddee
EEssttaattuurraa
33
66
99
1122
115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588├ 116622
116622 ├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
115522
115566
116600
116644
116688
117722
PPMM
QQttddee
114488
33
66
99
1122
115522 115566 116600 00 116644 116688 117722 117766
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de
classe.
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) ffii
115500 ├ 115544
115544 ├ 115588
115588 ├ 116622
116622 ├ 116666
116666 ├ 117700
117700 ├ 117744
44
99
1111
88
55
33
TTOOTTAALL 4400
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS
44
1133
2244
3322
3377
4400
FFii
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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QQttddee
1100
2200
3300
4400
115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
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EXERCÍCIOS
1) Monte um Histograma, um polígono de frequência e um polígono de
frequência acumulada.
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQttddee
4400 ├ 444
4444 ├ 4488
4488 ├ 5522
5522 ├ 5566
5566 ├ 6600
22
55
99
66
44
TTOOTTAALL 2266
IIDDAADDEE DDOOSS AALLUUNNOOSS
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA
O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, nos permite descrever, de modo
geral, os grupos de valores que uma pesquisa pode assumir. Dessa forma, podemos
localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se a maioria se
encontra no início, no meio ou no final.
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, necessitamos de
algumas informações (expressas em números) que nos permitem traduzir essas tendências.
Essas informações denominadas elementos típicos da distribuição são:
Medidas de Posição;
Medidas de Dispersão ou Variabilidade;
Medidas de Assimetria;
Medidas de Curtose.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Serve para nos mostrar, a tendência central da concentração dos números. As medidas
mais utilizadas são:
Média aritmética,
Mediana;
Moda.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MÉDIA ARTIMÉTICA
FORMULA:
EXEMPLO 1:
A produção diária de leite de uma vaca durante uma semana foi de 10, 14, 13,
15, 16, 18 e 12 litros respectivamente. Qual a média de produção dessa vaca na semana?
XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
nn
XX == xx11 xx22 xx33 xxnn
nn
++ ++ ........ ++
7
X
=
10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 12
7
X =
98
X = 14 Litros
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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�
EXEMPLO 2:
Durante essa produção,a cotação diária do litro de leite foi de R$ 1,00; R$
1,30; R$ 1,50; R$ 1,80; R$ 1,50; R$ 1,20 e R$ 1,40 respectivamente. Qual foi o preço médio
do litro de leite durante essa semana?
Podemos dizer que essa vaca, em média, nos rendeu um lucro de R$ 19,46.
14 Litros x R$ 1,39 = R$ 19,46
Mas essa média não leva em consideração a quantidade produzida por dia pela vaca e o
preço por dia do leite.
Para solucionarmos esse problema, fazemos a média ponderada.
7
7
X = 9,70
X = R$ 1,39
1,00 + 1,30 + 1,50 + 1,80 + 1,50 + 1,20 + 1,40
= X
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MÉDIA PONDERADA
FORMULA:
X = são os números.
P = são os números que dão peso ou freqüência em uma distribuição.
EXEMPLO 3:
Aproveitando o Exemplo 1 e 2, iremos encontrar então a média ponderada do
lucro de leite durante a semana.
ATENÇÃO!! O ponto crucial Para realizarmos o cálculo de média ponderada é definir
qual distribuição será a letra x e qual distribuição definiremos para a letra p.
Como acabamos de estudar, a letra p simboliza a distribuição que dá peso ou que
representa a freqüência observada.
16/31
XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii))
XX == xx11 .. pp11 xx22 .. pp22 xxnn .. ppnn
pp11 ++ pp22 ++ pp33 ++ ...... ++ ppnn
++ ++ ........ ++
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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No nosso exemplo, temos uma vaca que produziu diferentes litros de leite durante a
semana e temos o preço da cotação diária do litro de leite durante á mesma semana. Pois
bem. Você irá observar que no sexto dia da semana, foi o dia em que a nossa vaca
produziu mais leite. Se multiplicarmos esses 18 litros de leite pelo preço de venda do dia,
chegaremos á uma receita de R$ 21,60.
Analisando o quarto dia da semana, a nossa vaca produziu um pouco menos, produziu 15
litros de leite, o que nos gerou uma receita de R$ 27,00. Perceba que o que está
influenciando na nossa receita não é a quantidade produzida de leite e sim o preço do
produto. No quarto dia, a cotação do litro de leite era de R$ 1,80, enquanto no sexto dia,
quando a vaca produziu mais, era de R$ 1,20. ( R$ 0,80 á mais em relação ao sexto dia).
Portanto, definiremos a cotação diária do litro de leite como sendo a letra p, devido ela
possuir mais peso sobre a nossa análise.
10 14 13 15 16 18 121,00 1,30 1,50 1,80 1,50 1,20 1,40
10,00 18,20 19,50 27,00 24,00 21,60 16,80
xi
pi
9,70
= X
137,10
137,10
9,70
TOTAL
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX =
MEDIDAS DE POSIÇÃO
xi . pi
R$ 14,13
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MÉDIA PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Para descobrimos a média de uma distribuição com intervalo de classe é preciso encontrar
o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.
Produção de Leite por vaca
Litros Qtde
10 – 14 5
14 – 18 2
18 – 22 8
22 – 26 5
TOTAL 20
PM = Li + li
2
PM = 14 + 10 12
2
Portanto, 12 é o ponto médio do primeiro intervalo de classe.
Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os
pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a
quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da
fórmula.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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Produção de Leite por vaca
Litros Qtde ( pi ) PM ( xi ) (xi . pi )
10 – 14 5 12 60
14 – 18 2 16 32
18 – 22 8 20 160
22 – 26 5 24 120
TOTAL 20 372
MEDIANA
É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma
série de números, estando dispostos seguindo uma ordem.
EXEMPLO 1:
Foi realizada uma pesquisa com 11 alunos de uma sala, para saber a média de
idade dos mesmos.
00 nn
5500%%
20
X = 18,60 Litros
= X
372
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX ==
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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Para facilitar a análise, devemos colocar os números em uma ordem crescente ou
decrescente.
Portanto, 22 é a Mediana, por ser o número que se encontra na posição central dessa
distribuição.
EXEMPLO 2:
Foi realizada uma pesquisa com 10 alunos de uma sala, para saber a média de
idade dos mesmos.
Quando a série de números nos mostra uma série par, a mediana se encontra em dois
pontos centrais da série. Nesse caso, a mediana será o ponto médio entre as duas.
PM = 22 + 21 21,5
2
2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255
2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2200;; 2211;; 2244;; 2211;; 2233;; 2277
1188;; 2200;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2277
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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MODA
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de números. Para facilitar o
encontro da moda, devemos colocar a série em uma ordem.
MO = 25
2200;; 2255;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255;; 2255
MEDIDAS DE POSIÇÃO
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EXERCÍCIOS
1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm,
respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a sua média.
2) Encontre a média de altura da seguinte distribuição de alunos:
Altura dos alunos
Altura (cm) Qtde
150 – 154 4
154 – 158 9
158 – 162 11
162 – 166 8
166 – 170 5
170 – 174 3
TOTAL
3) Baseado em uma amostra, descobriu-se que a idade dos alunos de uma
sala era: 20; 22; 20; 18; 21; 20; 25; 32; 21; 25; 20; 22; 23; 27.
Descubra a média de idade dessa sala, a mediana e a moda.
4) Uma pesquisa realizada sobre a concentração de álcool no sangue de
motoristas envolvidos em acidente fatais é dada abaixo. Descubra se a
média, a mediana e a moda dos níveis apresentados estão acima do nível
permitido. (permissão até 0,20)
0,27 0,17 0,27 0,46 0,13 0,24 0,39 0,24 0,52
0,84 0,16 0,92 0,46 0,21 0,46 1,18 0,80 0,15
MEDIDAS DE POSIÇÃO
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
As medidas de posição, como podemos observar, nos mostra qual a tendência entre os
números de uma distribuição.
A média aritmética mostra uma observação média e central entre todos os números, a
mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que ocorrem com
maior freqüência.
As medidas de posição ( ou tendência central), não observam a variação (ou a dispersão)
entre os números de uma distribuição.
EXEMPLO:
Foi realizada uma pesquisa, onde se registrou a temperatura de 3 cidades durante uma
semana. E o resultado foi o seguinte:
Podemos observar, que mesmo que a média de temperatura entre as três cidades sejam
iguais, a temperatura registrada em uma semana na cidade A foi a mais homogênea,
enquanto a cidade B registrou uma variação maior.
2233;; 2244;; 2222;; 2222;; 2233;; 2233;; 2244
2266;; 3311;; 1166;; 2233;; 2200;; 2233;; 2222
2200;; 2266;; 2233;; 2211;; 2255;; 2211;; 2255
AA
BB
CC
CCIIDDAADDEE TTEEMMPPEERRAATTUURRAA XX
2233
2233
2233
MEDIDAS DE DISPERSÃO
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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�
Para resolvermos esse problema, podemos recorrer as medidas de dispersão ou
variabilidade. Dessas medidas, estudaremos:
Amplitude Total,
Variância;
Desvio Padrão.
AMPLITUDE TOTAL
“É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DE UMA
DISTRIBUIÇÃO.”
AATT == LLii -- llii
TEMPERATURAS
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
A B C
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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EXEMPLO:
AT = 30 - 18 12
Mas podemos observar que a Amplitude é falha, por ser influenciada apenas pelos valores
extremos, desprezando os demais números que compõem a distribuição.
Para analisarmos melhor a variabilidade ou a dispersão entre os números, usamos a
Variância e o Desvio Padrão.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa falha da amplitude, pois
levam em consideração a totalidade dos números de uma série, o que faz delas índices de
variabilidade bastante estáveis.
VARIÂNCIA
FORMULA:
ss22 == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx ))
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 3300;;
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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DESVIO PADRÃO
FORMULA:
ou
ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx ))
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
ss == ss 22
22
ss ==
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
-
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
22
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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EXEMPLO:
Qual a variação da nota de um aluno que tirou 6 em matemática, 8 em
geografia; 9 em português e 2 em inglês, utilizando a Amplitude Total e o Desvio Padrão?
AT = Li - li
AT = 9 - 2 7
Para facilitar o cálculo do Desvio Padrão é aconselhável montar uma tabela para acharmos
o valor de cada xi elevado ao quadrado.
xi xi
2
6 36
9 81
8 64
2 4
25 185
ΣΣΣΣ xi2 ΣΣΣΣ xi
ΣΣΣΣ fi ΣΣΣΣ fi
Perceba a diferença entre substituir a soma do xi
2
e de substituir a soma do xi. A segunda
fração está substituindo a soma do xi e depois de resolvido a divisão, elevando-o ao
2
S =
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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quadrado.
185 25
4 4
46,25 - 39,06
7,19 2,68
DESVIO PADRÃO COM INTERVALO DE CLASSE
FORMULA:
ss ==
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii ))))))))
-
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
22
2
S =
S =
S =
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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EXEMPLO:
Produção de Leite por vaca
Litros Qtde
10 – 14 5
14 – 18 8
18 – 22 2
22 – 26 5
TOTAL 20
Para descobrimos quem representará a letra xi e fi é preciso encontrar o ponto médio de
cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo.
PM = L1 + l1
2
PM = 14 + 10 12
2
Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os
pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a
quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da
fórmula.
Precisamos também da soma de (fi . xi2), dessa forma, resolve-se primeiro o xi2, para
depois multiplicar pelo valor de fi e substituir o resultado na fórmula.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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(f1 . x12) ( 5 . 122) ( 5 . 144 ) 720
Produção de Leite por vaca
Litros Qtde ( fi ) PM ( xi ) (fi . xi ) (fi . xi2 )
10 – 14 5 12 60 720
14 – 18 8 16 128 2.048
18 – 22 2 20 40 800
22 – 26 5 24 120 2.880
TOTAL 20 348 6.448
6448 348
20 20
322,40 - 302,76
19,64 4,43
ss ==
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii ))))))))
-
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii
22
2
S =
S =
S =
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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EXERCÍCIOS
1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5, 8, 3, 6 e 4 calcule a amplitude de
suas notas e o desvio padrão e descubra se a variação entre essas notas é elevada.
2) Encontre a variação da altura da seguinte distribuição de alunos, usando o desvio
padrão.
Altura dos alunos
Altura (cm) Qtde
150 – 154 4
154 – 158 9
158 – 162 11
162 – 166 8
166 – 170 5
170 – 174 3
TOTAL
3) Nos seis últimos treinamentos de Usain Bolt, velocista medalha de ouro nos 100
m rasos nas olimpíadas de Pequim com 9s69, registra a marca de 9s73, 9s76,
9s74, 9s72, 9s72 e 9s70. Descubra a variabilidade das marcas dos últimos
treinamentos de Bolt antes das olimpíadas, usando o desvio padrão.
4) Em um restaurante, observou-se que foram consumidos durante os primeiros
cinco dias da semana, 21 Kg, 23 kg, 20 kg, 22 kg e 24 kg de arroz. Descubra qual
a média de consumo de arroz por dia e a variabilidade do consumo de arroz.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
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MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Uma distribuição pode possuir três características.
Ser SIMETRICA, quando a média e a moda são as mesmas.
EXEMPLO:
MÉDIA = 50; MODA = 50
DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
0
10
20
30
40
50
60
MÉDIA = MODA
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�
Ser ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA OU NEGATIVA, quando a média é menor do que
a moda.
EXEMPLO:
MÉDIA = 25; MODA = 60
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA0
10
20
30
40
50
60
70
MÉDIA < MODA
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Ser ASSIMÉTRICA Á DIREITA OU POSITIVA, quando a média é maior do que a
moda.
EXEMPLO:
MÉDIA = 60; MODA = 25
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á DIREITA
0
10
20
30
40
50
60
70
MÉDIA > MODA
Para que serve a análise de assimetria de uma distribuição?
Serve para descobrirmos a tendência em medidas da nossa distribuição e assim, analisar
quais os impactos podemos sofrer, caso ocorra alguma variação na distribuição.
EXEMPLO:
Dois investidores possuem a seguinte carteira de ações.
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PETRÓLEO MINERAÇÃO BANCOS AVIAÇÃO TOTAL
A R$ 15.000 R$ 12.000 R$ 14.000 R$ 9.000 R$ 50.000
B R$ 35.000 R$ 1.000 R$ 12.000 R$ 2.000 R$ 50.000
A média de recursos aplicados por segmento pelo investidor A é de R$ 12.500,00 e a
moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 15.000,00.
Já o aplicador B, a média de recursos aplicados por segmento é de R$ 12.500,00 e a moda
seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 35.000,00.
Podemos observar que os investimentos do aplicador A está melhor distribuído do que do
aplicador B. Caso ocorra alguma desvalorização onde está a maior parte dos investimentos
de um dos investidores, o investidor B será o mais afetado. No mercado financeiro,
chamamos isso de pulverizar o risco. Qualquer variação brusca nas aplicações, o
investidor B sofrerá um impacto maior do que o investidor A.
DISTRIBUIÇÃO DE ASSIMETRIA
-
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
Investidor A Investidor B
MÉDIA – A e B MODA – A MODA – B
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EXERCÍCIOS
1) Analisando os resultados abaixo relativos a três distribuições de
freqüência, analise o seu nível de assimetria. Esboce o gráfico de cada
um.
PRODUÇÃO DE CANA DE AÇUCAR
FAZENDA 2005 2006 2007 2008 2009
Α 5 10 30 10 5
B 5 20 10 5 5
C 5 10 20 30 5
2) Um fazendeiro, possui 20 porcos, 45 galinhas, 12 patos, 6 Cavalos, 15
gados e 22 carneiros. Descubra a assimetria dessa distribuição e esboce o
gráfico.
3) Um agricultor planejou cultivar 55 t de semente de milho, 120 t de
semente de soja e 65 t de semente de feijão. Já um segundo agricultor,
resolveu cultivar 70 t de semente de milho, 90 t de semente de soja e 80 t
de semente de feijão. Esboce um gráfico de assimetria referente ao
planejamento de cultivo de cada agricultor e aponte qual está mais
exposto ao risco.
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CORRELAÇÃO
Nos estudos anteriores, nos preocupamos apenas com uma variável. Quando fazemos a
análise sobre duas variáveis, temos o problema da relação entre elas.
Quando analisamos, por exemplo, a ALTURA e o PESO de uma população, procuramos
identificar se existe alguma relação em que um pode influenciar o outro.
O instrumento para medir essa relação chamamos de CORRELAÇÃO.
É claro que a altura de uma pessoa pode não influenciar o seu peso, mas, uma observação
sobre uma população, em média, quanto maior a altura, maior o peso de uma pessoa.
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
Serve para medir a intensidade da correlação entre duas variáveis e se o sentido dessa
correlação é positiva ou negativa.
rr == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii..yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
22
nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii .
22
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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Se r = 1 a correlação é perfeita e positiva.
Se r = -1 a correlação é perfeita e negativa.
Se r = 0 não á correlação.
EXEMPLO:
Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em
uma sala de aula. As notas desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi
de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses
alunos.
Para facilitar o cálculo de correlação é aconselhável montar uma tabela com as
informações obtidas.
Notas de Matemática e Estatística
MATEMÁTICA ESTATÍSTICA
5 6
8 9
2 6
10 10
25 31
--11 11
00
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.
MATEMÁTICA
( xi )
ESTATÍSTICA
( yi ) (xi . yi ) ( xi
2
) ( yi2 )
5 6 30 25 36
8 9 72 64 81
2 6 12 4 36
10 10 100 100 100
25 31 214 193 253
Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.
CUIDADO!! Ah uma diferença entre a soma do xi
2
e a soma do ( xi )2. No primeiro,
você irá somar todos os xi que você elevou ao quadrado, no segundo, você irá somar todo
os xi e jogar na fórmula. Na fórmula é que se eleva o resultado do xi. A mesma coisa se
aplica ao yi.
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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4 . 214 - 25 . 31
{ 4 . 193 - (25)2 } . { 4 . 253 - (31)2 }
856 - 775
{ 772 - 625 } . { 1012 - 961 }
81
{ 147 } . { 51 }
rr ==
ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii .. yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
22
nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
.
22
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii
==
== rr
== rr
== rr
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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81
7497
81
86,59
0,94
RESPOTA TÉCNICA
Há uma correlação altamente significativa entre as notas de matemática e estatísticaRESPOTA INFORMAL
Existe uma forte relação de que, quem obtém uma nota boa ou uma nota ruim em
matemática, também obtém a mesma nota em estatística e vice-versa.
94% dos alunos que tiram notas boas ou ruins em matemática, também obtém a mesma
nota em estatística e vice-versa.
== rr
== rr
== rr
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�
EXERCÍCIO
1) Foi medido a altura e o peso entre 5 alunos. Existe alguma correlação entre
eles?.
Altura e Peso dos alunos
PESO (Kg) ALTURA (cm)
50,00
60,00
49,00
80,00
65,00
160
172
170
168
168
2) Em 2000, um grupo em defesa dos peixes-boi na Flórida, apresentaram um
estudo, onde mostravam que o aumento da navegação á lazer em um determinado
rio, estava aumentando a matança dos animais. Esse fato levou uma longa
discussão entre os ambientalistas e as pessoas que queriam se divertir. Para tentar
solucionar o caso, o Instituto de pesquisa Marinha da Flórida, fez uma pesquisa
sobre o número de mortes de peixes-boi e o número de barcos de passeio entre os
anos de 1991 e 2000. Com a ajuda da correlação, descubra se existe alguma
ligação entre as mortes dos peixes-boi e a navegação amadora.
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��
ANO BARCOS
(Mil)
MORTES
PEIXES-BOI
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
68
68
67
70
71
73
76
81
83
84
53
38
30
50
51
60
54
67
82
78
3) Uma linha de produção de um frigorífico observou que a esteira que
transportava as carnes travava algumas vezes. Os administradores do frigorífico
Levantaram duas hipóteses para esse problema. Primeiro, que a quantidade
demasiada de carne transportada, ajudava á travar a esteira, no segundo, que o
aumento do transporte de costela é que estava travando a esteira. Durante 4 horas
em um determinado dia de trabalho, verificou-se que a esteira travou á cada hora
10, 15, 25 e 8 vezes e durante o mesmo período analisado, a quantidade de carne
transportada á cada hora era de 150 Kg, 120 Kg, 180 Kg e 120 Kg e a quantidade
de costela transportada foi de 20 Kg, 24 Kg, 33 Kg e 12 Kg. Encontre a correlação
entre o travamento da esteira com a quantidade de carne e o travamento da esteira
com a quantidade de costela transportada e indique se as duas hipóteses ou qual
das duas hipóteses dos administradores está ajudando a travar a esteira.
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��
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Sempre que desejamos estudar a função de determinada variável com outra, fazemos uma
análise de regressão.
Podemos dizer que a análise de regressão tem por objetivo, descrever qual a relação
entre duas variáveis, partindo de testes sobre uma variável e o resultado que essa variável
influencia a outra.
A variável sobre a qual desejamos fazer os testes recebe o nome de variável dependente
e a outra recebe o nome de variável independente.
Aproveitando o exemplo anterior entre a altura e o peso estudado em Correlação, faremos
um estudo de Regressão Linear Simples.
Assim, X será a variável independente e Y a variável dependente. Vamos procurar o
ajustamento entre elas, definidos pela função:
Vamos então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:.
FFUUNNÇÇÃÃOO::
YY == aa..XX ++ bb
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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��
n é a quantidade de observações (freqüência).
X é a média dos valores xi.
Y é a média dos valore yi.
EXEMPLO:
Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em
uma sala de aula. A nota desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi
de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses
alunos.
Para facilitar o cálculo da regressão é aconselhável montar uma tabela com as informações
obtidas.
bb == yy -- aa..xx -- --
aa == ΣΣΣΣ
ΣΣΣΣ
xxii..yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
22
nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
--
--
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��
Notas de Matemática e Estatística
MATEMÁTICA ESTATÍSTICA
5 6
8 9
2 6
10 10
25 31
Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi.
MATEMÁTICA
( xi )
ESTATÍSTICA
( yi ) (xi . yi ) ( xi
2
)
5 6 30 25
8 9 72 64
2 6 12 4
10 10 100 100
25 31 214 193
Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula.
4 . 214 - 25 . 31
4 . 193 - (25)2
856 - 775
{ 772 - 625 }
==
== aa
== aa
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
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��
81
147
0,551
Agora, encontraremos o valor das médias.
25
4
31
4
Agora substituiremos na fórmula b = y – a.x.
== aa
== aa
== xx
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO
66,,2255
== yy 77,,7755
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��
b = 7,75 - 0,55 . 6,25
b = 7,75 - 3,44
b = 4,31
logo, substituindo na fórmula Y = a.X + b.
Y = 0,55.X + 4,31
Dessa forma, podemos determinar qual deverá ser a Nota de Estatística, testando várias
notas em Matemática. Se o aluno tirar uma nota 4 em Matemática (que não se encontra
entre as notas extraídas pela amostra) a probabilidade do aluno tirar em Estatística é:
X = 4
Y = 0,55 . (4) + 4,31
Y = 6,51
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��
Nesse caso, dizemos que foi feita uma INTERPOLAÇÃO, pois 4 está entre a menor nota
tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)
E se o aluno tirar uma nota 1 em Matemática?Qual de sua nota em Estatística?
X = 1
Y = 0,55 . (1) + 4,31
Y = 4,86
Nesse caso, dizemos que foi feita uma EXTRAPOLAÇÃO, pois 1 NÃO está entre a
menor nota tirada em Matemática (2) e a maior nota tirada em Matemática (10)
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��
EXERCÍCIO
1) Encontre a Regressão Linear Simples dos Exercícios n. 1 e n. 2, da
página 91, testando as seguintes hipóteses:
No exercício número 1, caso o peso da pessoa seja de 70 Kg e caso o
peso da pessoa seja de 40 Kg.
No exercício número 2, caso navegue 75 mil barcos e caso navegue 90
mil barcos.
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�
NÚMEROS – ÍNDICES
Um candidato á Deputado Estadual na região do Vale do Jauru, pediu que um certo jornal
fizesse uma pesquisa com intenção de votos nas quatro maiores cidades da região e o
resultado foi o seguinte.
Para um estudo comparativo das variações dos votos brancos, essa tabela em
números absolutos em nada nos ajuda. Porém, montando uma nova tabela com
números relativos, obtemos o seguinte resultado:
Do total de entrevistados, qual a porcentagem de pessoas que irão votar em branco
em cada uma das cidades?.
PPeessqquuiissaa ddee iinntteennççããoo ddee vvoottoo
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
CCaannddiiddaattoo
AA
11..220000
11..110000
22..220000
11..330000
55..880000
CCaannddiiddaattoo
BB
22..220000
22..440000
44..770000
22..220000
1111..550000
TTOOTTAALL
992200
11..225500
22..441100
888800
55..446600
BBrraannccooss//
NNuullooss
8800
5500
9900
2200
224400
NÚMEROS - ÍNDICES
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PPeessqquuiissaa ddee iinntteennççããoo ddee vvoottoo
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
CCaannddiiddaattoo
AA
11..220000
11..110000
22..220000
11..330000
55..880000
CCaannddiiddaattoo
BB
22..220000
22..440000
44..770000
22..220000
1111..550000
TTOOTTAALL
992200
11..225500
22..441100
888800
55..446600
BBrraannccooss//
NNuullooss
8800
5500
9900
2200
224400
PPeessqquuiissaa ddee iinntteennççããoo ddee vvoottoo
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
BBrraannccooss //
NNuullooss
8800
5500
9900
2200
224400
PPoorrcceennttaaggeemm
00,,7700%%
00,,4433%%
00,,7788%%
00,,1177%%
110000 8
800 XX
1111..550000
NÚMEROS - ÍNDICES
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Do total de entrevistados por cidade, qual a porcentagem de pessoas que irão
votar em branco em cada uma das cidades?
PPeessqquuiissaa ddee iinntteennççããoo ddee vvoottoo
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
BBrraannccooss //
NNuullooss
8800
5500
9900
2200
224400
PPoorrcceennttaaggeemm
33,,6644%%
22,,0088%%
11,,9911%%
00,,9911%%
110000 8
800 XX
22..220000
PPeessqquuiissaa ddee iinntteennççããoo ddee vvoottoo
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
CCaannddiiddaattoo
AA
11..220000
11..110000
22..220000
11..330000
55..880000
CCaannddiiddaattoo
BB
22..220000
22..440000
44..770000
22..220000
1111..550000
TTOOTTAALL
992200
11..225500
22..441100
888800
55..446600
BBrraannccooss//
NNuullooss
8800
5500
9900
2200
224400
NÚMEROS - ÍNDICES
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Essas comparações representam o caso mais simples de medidas estatísticas, que
denominamos números-índices, usados principalmente nos negócios e na economia.
Números-Índices ou simplesmente índice é a relação entre dois estados de uma
variável ou de um grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço ( ou de
grupo de indivíduos para grupo de indivíduos).
ELOS DE RELATIVO
É quando criamos números relativos, tomando como base sempre o ano anterior. Esse
tipo de Elo de Relativo é chamado de relativos de base móvel.
PPrreeççoo ddoo AAggrroottóóxxiiccoo
AAnnoo
22000011
22000022
22000033
22000044
AAggrroottóóxxiiccoo
224400
330000
336600
554400
RReellaattiivvoo
--
VVaarriiaaççããoo
--
112255%% 2255%%
112200%% 2200%%
115500%% 5500%%
NÚMEROS - ÍNDICES
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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RELATIVOS EM CADEIA
O relativo em cadeia é o índice de base fixa: Todos os relativos são calculados tomado-se
uma determinada data como base para todos os anos.
PPxx--11 ,, xx ==
PP xx xx
PP xx--11
110000
PP22000011,, 22000022 == 3
30000 xx 110000
224400
PP22000011,, 22000022 == 112255%%
VVaarriiaaççããoo22000011,, 22000022 == 112255%% -- 110000%%
NÚMEROS - ÍNDICES
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PPrreeççoo ddoo AAggrroottóóxxiiccoo
AAnnoo
22000011
22000022
22000033
22000044
AAggrroottóóxxiiccoo
224400
330000
336600
554400
RReellaattiivvoo
--
VVaarriiaaççããoo
PPbbaassee,, xx ==
PP xx xx
--
112255%% 2255%%
115500%% 5500%%
222255%% 112255%%
PP bbaassee
110000
PP22000011,, 22000033 == 3
36600 xx 110000
224400
PP22000011,, 22000033 == 115500%%
VVaarriiaaççããoo bbaassee,, 22000033 == 115500%% -- 110000%%
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ÍNDICES AGREGATIVOS
Os índices que estudamos até agora, servem apenas para caracterizar a marcha do preço
de um só bem. No entanto, a variação de preços exige um índice que sintetize a variação
dos preços de um conjunto de bens (agregado).
Para esse tipo de estudo, utilizamos um índice chamado índice agregativo.
Um modo de determinar o índice agregativo simples é calcular a média artimética dos
relativos, obtendo o índicemédio de relativos.
PPrreeççoo ddaa SSaaffrraa
PPrroodduuttoo
MMiillhhoo
AArrrroozz
SSoojjaa
22000011 ((KKgg))
2200
3300
2255
22000022 ((KKgg))
2255
RReellaattiivvoo
IIaa ==
338855%%
112255%%
4422 114400%%
3300 112200%%
33
338855%%
112288,,3333%%
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ÍNDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO
Os índices econômicos e índices de inflação são usados para medir a variação dos preços
e os níveis de desenvolvimento de regiões ou países e o impacto no custo de vida da
população. Os índices ajudam a compreender e prever o comportamento de uma
economia.
Os índices econômicos mais utilizados são:
PIB – Produto Interno Bruto;
PNB – Produto Nacional Bruto;
PIB - Produto Interno Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos na economia
dentro de um país, num determinado período de tempo, independentemente de ser
realizada por empresas nacionais ou estrangeiras.
PNB - Produto Nacional Bruto é todo valor de bens e serviços produzidos pelas
empresas de mesma nacionalidade de um país, num determinado período de tempo,
independentemente de ser realizada em terras nacionais ou estrangeiras.
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E os índices inflacionários mais utilizados são:
IGP – FGV (Índice Geral de Preços) - É calculado pela Fundação Getúlio
Vargas. É a média ponderada dos seguintes índices: Índice de Preços por Atacado (60%),
Índice de custo de vida (30%) e índice de custo da construção civíl na cidade do RJ
(10%). É utilizado para corrigir valores de alugueis, tarifas públicas, planos de saúde,
seguro e etc.
INCC – FGV (Índice Nacional de Custo da Construção) - É calculado pela
Fundação Getúlio Vargas. São avaliados os preços do setor da construção civil ( material,
mão de obra e etc..).
INPC - (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) - É calculado pelo
IBGE. Geralmente é utilizado para reajuste salarial. É composto da seguinte forma:
Alimentação (33,10%), Despesa Pessoal (13,30%) Vestuário (13,16%), Habitação
(12,53%), Transporte e Comunicação (11,44%), Artigos residenciais (8,85%) e Saúde
(7,56%).
IPCA - (Índice de Preços ao Consumidor Amplo) - É calculado pelo IBGE.
É o índice de inflação oficial adotado pelo governo federal. Sua composição é da seguinte
forma:
Alimentação (25,21%), Despesa Pessoal (15,68%) Vestuário (12,49%), Habitação
(10,91%), Transporte e Comunicação (18,77%), Artigos residenciais (8,09%) e Saúde
(8,85%).
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EXERCÍCIOS
1) Em uma pesquisa sobre o preço da latinha de cerveja nos últimos 9 anos, descobriu-se
os seguintes preços:
a) Encontre o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano e construa um
gráfico para essa variação.
b) Encontra o valor relativo e da variação do preço da cerveja á cada ano, tomando como
base o ano de 2003.
29/31
11,,2255
11,,3388
11,,4422
11,,3355
11,,5500
11,,6633
11,,6655
11,,7700
22000000
22000011
22000022
22000033
22000044
22000055
22000066
22000077
PPrreeççoo ddaa CCeerrvveejjaa
((RR$$))
AANNOO
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�
2) Uma associação de donas de casa realizou uma pesquisa sobre os seguintes alimentos
que compõe o café da manhã nos últimos três anos e descobriram-se os seguintes
preços:
Produtos básicos do Café da manhã
PRODUTO
2006
(R$)
2007
(R$)
2008
(R$)
PÃO (Kg)
CAFÉ (gr)
MANTEIGA (Pote)
AÇUCAR (Kg)
1,00
3,10
2,20
0,80
1,25
3,15
2,32
1,05
1,75
3,22
2,35
1,15
Essa associação resolveu criar um índice chamado de ICMB – Índice do café da manhã
básico. Baseado nas informações dos preços descubra:
a) Encontre o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano.
b) Encontra o valor relativo e da variação do ICMB á cada ano, tomando como base o ano de
2006.
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3) O Ibope quis saber qual o canal mais assistido na região do Vale do Jauru, descobriu-se a
seguinte escolha entre os moradores das quatro maiores cidades da região.
a) Com relação ao total dos entrevistados, identifique a representatividade (porcentagem) de
quantas pessoas assistem a Globo em cada cidade.
b) Com relação aos entrevistados por cidade, identifique a representatividade (porcentagem)
de quantas pessoas assistem o SBT em cada cidade.
c) Com relação aos entrevistas que escolheram a RECORD, identifique a representatividade
(porcentagem) de quantas pessoas assistem a RECORD em cada cidade.
PPeessqquuiissaa ddee IIBBOOPPEE
MMuunniiccííppiioo
AArraappuuttaannggaa
JJaauurruu
MMiirraassssooll
SS.. JJ.. 44 MMaarrccooss
TTOOTTAALL
GGLLOOBBOO
22..330000
11..880000
44..220000
11..330000
99..660000
SSBBTT
55..000000
44..000000
88..000000
33..000000
2200..000000
TTOOTTAALL
11..550000
990000
22..440000
888800
55..668800
RREECCOORRDD
11..220000
11..330000
11..440000
882200
44..772200
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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de
roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da
probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de
um número em um experimento aleatório.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes,
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:
Que ele ganhe;
Que ele perca;
Que ele empate.
Ou seja, o resultado final pode ter três possibilidades.
ESPAÇO AMOSTRAL
ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.
PROBABILIDADE
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No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos as duas opções possíveis
ou o espaço amostral S = {cara, coroa}.
No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos seis opções possíveis ou o
espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
No experimento aleatório "dois lançamentos de uma moeda" temos o espaço amostral :
S = {(ca,ca); (co,co); (ca,co); (co,ca)}
EVENTOS
EVENTOS
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. É o resultado
esperado em um experimento.
No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de tirarmos uma cara? E = {
cara }.
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de tiramos um número par? E = { 2, 4,
6 }
E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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E qual a probabilidade de tirarmos a cara no lançamento de uma moeda?
Qual a probabilidade de tirarmos um número par no lançamento de um dado?
FFOORRMMUULLAA::
PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ NNúúmmeerroo ddee ccaassooss ffaavvoorráávveeiiss
NNúúmmeerroo ddee ccaassooss ppoossssíívveeiiss SS
SS == {{ CCAA ;; CCOO }}
EE == {{ CCAA }}
SS == {{ 22 }}
EE == {{ 11 }}
5500%% 00,,5500
PP((EE)) ==
11
22
PP((EE)) ==
EE
SS
PP((EE)) == oouu
PROBABILIDADE
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EVENTOS COMPLEMENTARES
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele
ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um
mesmo evento existe sempre a relação:
Qual a probabilidade de tirarmos o número 4 no lançamento de um dado e a probabilidade
de não tiramos o 4?
SS == {{ 11 ,, 22 ,, 33 ,, 44 ,, 55 ,, 66 }}
EE == {{ 22 ,, 44 ,, 66 }} EE == {{ 33 }}
5500%% 00,,5500
PP((EE)) ==
33
66
PP((EE)) ==
EE
SS
PP((EE)) == oouu
SS == {{ 66 }}
FFOORRMMUULLAA::
PP ++ qq == 11
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EVENTOS INDEPENDENTES
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes, quando a realização ou a não realização de
um dos eventos não afete a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Assim, sendo P(1) a probabilidade de realização do primeiro evento e P(2) a
probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se
realizem simultaneamente é dada pela fórmula:
1177%% 00,,1177
PP((EE)) ==
11
66
PP((EE)) ==
EE
SS
PP((EE)) == oouu
PP ++ qq == 11
00,,1177 ++ qq == 11
qq == 11 -- 00,,1177
qq == 00,,8833 8833%% oouu
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EXEMPLO
Quando lançamos 2 dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido
no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no
primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ?
00,,1177
PP((11 ee 22)) ==
PP((11)) ==
oouu
PP((11)) xx PP((22))
11
66
==
00,,1177 PP((22)) ==
11
66
==
PP((11 ee 22)) == 00,,1177 xx 00,,1177
PP((11 ee 22)) == 00,,00228899 22,,8899%%
FFOORRMMUULLAA::
PP((11 ee 22)) == PP ((11)) xx PP ((22))
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a
realização do outro. Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o
evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro
não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
EXEMPLO
Quando lançamos 1 dado, qual seria a probabilidade de obtermos, o nº 4 OU o nº 3?
FFOORRMMUULLAA::
PP((11 ee 22)) == PP ((11)) ++ PP ((22))
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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�
00,,1177
PP((11 ee 22)) ==
PP((11)) ==
oouu
PP((11)) ++ PP((22))
11
66
==
00,,1177 PP((22)) ==
11
66
==
PP((11 ee 22)) == 00,,1177 ++ 00,,1177
PP((11 ee 22)) == 00,,3344 3344%%
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EXERCÍCIOS
1) Uma fazenda, possui 12 gados, sendo 4 deles vacinados. Qual a probabilidade
de sorteamos 1 gado vacinado e 1 gado não vacinado?
2) Em uma pesquisa, foram entrevistadas aleatoriamente 840 pessoas e feita a
seguinte pergunta: “Você já viajou de avião?”. 210 pessoas disseram que não
viajaram. Qual a probabilidade de encontrarmos uma pessoa que tenha viajado
de avião?
3) Uma urna A contém: 3 Bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes, uma urna B, contém
5 Bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Em cada urna, será retirada uma bola. Qual
a probabilidade de as duas bolas retiradas da urna A e da urna B serem:
a) Respectivamente Branca e preta.
b) Respectivamente Branca e verde.
c) Respectivamente Verde e Preta.
4) Qual a probabilidade de um casal ter três filhos e:
a) exatamente dois deles sejam meninos.
b) exatamente três deles sejam meninos.
c) Pelo menos um deles sejam meninos.
PROBABILIDADE
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5) Qual a probabilidade de:
CURSO Masculino Feminino TOTAL
MATEMÁTICA
PORTUGUÊS
ESTATÍSTICA
FILOSOFIA
70
15
10
20
40
15
20
10
110
30
30
30
115 85 200
a) Sortearmos 1 aluno de matemática?
b) Sortearmos uma mulher?
c) Sortearmos 1 aluno de português e que ele seja homem?
d) Sortearmos 1 aluno de português ou de matemática?
e) Sortearmos 1 aluno de matemática e filosofia?
f) E em Matemática, sortearmos 1 homem
PROBABILIDADE
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
PROBABILIDADE CONDICIONAL
É quando a probabilidade da ocorrência de um evento, está condicionado á ocorrênciade
outro evento.
EXEMPLO - 1
Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas
bolas SEM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?
22//55
33//55
11//44
33//44
22//44
22//44
RREESSUULLTTAADDOOSS
BBBB == 22//55 xx 11//44
BBVV == 22//55 xx 33//44
VVBB == 33//55 xx 22//44
VVVV == 33//55 xx 22//44
RREESSUULLTTAADDOOSS
BBBB == 00,,4400 xx 00,,2255 == 00,,1100
BBVV == 00,,4400 xx 00,,7755 == 00,,3300
VVBB == 00,,6600 xx 00,,5500 == 00,,3300
VVVV == 00,,6600 xx 00,,5500 == 00,,3300
PROBABILIDADE
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EXEMPLO - 2
Temos uma urna, onde possui 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Será retirado duas
bolas COM reposição. Quais são as probabilidades possíveis?
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam
resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
EXEMPLO
22//55
33//55
22//55
33//55
22//55
22//55
RREESSUULLTTAADDOOSS
BBBB == 22//55 xx 22//55
BBVV == 22//55 xx 33//44
VVBB == 33//55 xx 22//55
VVVV == 33//55 xx 33//55
RREESSUULLTTAADDOOSS
BBBB == 00,,4400 xx 00,,4400 == 00,,1166
BBVV == 00,,4400 xx 00,,6600 == 00,,2244
VVBB == 00,,6600 xx 00,,4400 == 00,,2244
VVVV == 00,,6600 xx 00,,6600 == 00,,3366
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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Foram entrevistadas 50 pessoas e descobriu-se que:
15 moram em Araputanga;
15 moram em Mirassol;
10 pessoas fazem faculdade, mas não moram nem em Mirassol e nem em Araputanga;
Dos 15, 8 pessoas que moram em Araputanga, fazem faculdade;
Dos 15, 5 pessoas que moram em Mirassol, fazem faculdade;
5 pessoas moram e trabalham em Mirassol e Araputanga
5 pessoas fazem faculdade, moram e trabalham em Mirassol e Araputanga.
3/31
MMIIRRAASSSSOOLL
1155
AARRAAPPUUTTAANNGGAA
1155
FFAACCUULLDDAADDEE
1100
PROBABILIDADE
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MMIIRRAASSSSOOLL
1155
AARRAAPPUUTTAANNGGAA
1155
FFAACCUULLDDAADDEE
1100
MMIIRRAASSSSOOLL AARRAAPPUUTTAANNGGAA
FFAACCUULLDDAADDEE
1100
88
77
55
1100 55
55
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE
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EXEMPLOS
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade?
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que tenha algum
contato com Araputanga?
PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS 5500
2288
00,,5566 1100
88
77
55
1100 55
55
FFAACCUULLDDAADDEE
MMIIRRAASSSSOOLL AARRAAPPUUTTAANNGGAA
MMIIRRAASSSSOOLL
1100
88
77
55
1100 55
55 PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS 5500
1133
FFAACCUULLDDAADDEE
00,,2266
AARRAAPPUUTTAANNGGAA
PROBABILIDADE
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Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade e que somente tenha
algum contato com Araputanga?
Qual a probabilidade de sortearmos uma pessoa que faz faculdade ou que tenha algum
contato com Araputanga?
MMIIRRAASSSSOOLL
1100
88
77
55
1100 55
55 PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS 5500
88
FFAACCUULLDDAADDEE
00,,1166
MMIIRRAASSSSOOLL AARRAAPPUUTTAANNGGAA
FFAACCUULLDDAADDEE
1100
88
77
55
1100 55
55
00,,5566 00,,5500 00,,2266 -- ++ == PP((EE)) ==
PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS
++
PP((EE)) ==
ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS
-- ΕΕΕΕΕΕΕΕ
SS
2222222288888888
5500
++ 2222222255555555
5500
-- 1111111133333333
5500
AARRAAPPUUTTAANNGGAA
00,,8800
PROBABILIDADE
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EXERCÍCIOS
1) Foram entrevistadas 80 pessoas e descobriu-se que:
20 estudam Matemática;
15 estudam Estatística;
30 estudam Português;
Dos 20, 5 estudam Matemática e Estatística;
Dos 30, 8 estudam Português e Matemática;
10 pessoas estudam Estatística e Português;
5 pessoas estudam Matemática, Português e Estatística.
Qual a probabilidade de:
a. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática?
b. Sortearmos uma pessoa que estuda matemática e português?
c. Sortearmos uma pessoa que estuda estatística ou estuda matemática?
d. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática e português?
e. Sortearmos uma pessoa que estuda somente matemática, português e
estatística?
f. Sortearmos uma pessoa que faz matemática ou português ou estatística?
2) Uma urna possui 5 bolas, 3 triângulos e 2 quadrados. Será retirado três figuras sem
reposição. Qual a probabilidade de tirarmos respectivamente:
a) 1 triângulo, 1 quadrado e 1 bola;
b) 3 bolas;
c) 1 quadrado, 1 triângulo e 1 quadrado;
d) 3 quadrados;
e) 1 bola, 1 quadrado e 1 bola;
f) 1 triângulo e 2 bolas.
PROBABILIDADE
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�
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Vamos descrever o ESPAÇO AMOSTRAL relativo ao lançamento simultâneo de duas
moedas:
S = { (KA, KA); (KA, CO); (CO, KA); (CO, CO) }
Agora montaremos uma tabela, onde X representa o número de caras em cada lançamento
simultâneo de duas moedas.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Então, X é uma variável aleatória que pode assumir os valores x1 , x2 , x3 , ..., xn.
Associamos á cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de cada espaço amostral.
Assim temos:
LLAANNÇÇAAMMEENNTTOO DDEE DDUUAASS MMOOEEDDAASS
PPOONNTTOO AAMMOOSSTTRRAALL XX
(( KKAA ,, KKAA))
(( KKAA ,, CCOO))
(( CCOO ,, KKAA))
(( CCOO ,, CCOO))
22
11
11
00
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Ao definir a Distribuição de Probabilidade, estabelecemos uma correspondênciaentre os
valores da variável aleatória X e os valores da variável aleatória P. Esta correspondência
chamamos de função. Os valores de x1 , x2 , x3 , ..., xn formam o domínio da função e os
valores p1 , p2 , p3 , ..., pn o seu conjunto imagem.
Essa função, chamamos de função probabilidade e representamos da seguinte forma:
LLAANNÇÇAAMMEENNTTOO DDEE DDUUAASS MMOOEEDDAASS
NNúúmmeerrooss ddee CCAARRAASS ((XX)) PP((XX ))
22
11
00
TTOOTTAALL
¼¼ 00,,2255
22//44 00,,5500
¼¼ 00,,2255
11
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii == 11
FFÓÓRRMMUULLAA
ff((xx)) == PP (( XX == xxii ))
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial resolve problemas de experimentos que são repetidos em
números finitos (n).
Qual a probabilidade de obtermos k sucessos em n tentativas.
Vamos dar um exemplo. Qual a probabilidade de conseguirmos “caras” ao lançarmos
cinco moedas?
Relembrando que o evento sucesso representamos com a letra p e conseqüentemente o
insucesso representamos com a letra q. (q = 1- p)
A forma mais fácil de obtermos os resultados é utilizando a seguinte fórmula:
P ( X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas
p – probabilidade de ocorrer o evento em uma SÓ PROVA
q – É a probabilidade de que esse evento não ocorre nessa mesma PROVA.
FFÓÓRRMMUULLAA
ff((xx)) == PP (( XX == kk )) ==
nn
kk pp
kk .. qqnn -- kk
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É o coeficiente binomial de n sobre k ( a probabilidade de ocorrer o evento em inúmeras
vezes).
EXEMPLO
Exemplo 1
Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas. Calcule a probabilidade de obtermos 3 caras
em 5 tentativas.
PP (( XX == kk )) ==
nn
qq
pp kk .. qq nn -- kk
nn
kk
nn!!
kk!! ((nn –– kk))!!
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PP (( XX == 33 )) ==
55
33
33 55 -- 33
11
22
11
22
..
nn!!
kk!! ((nn –– kk))!!
.. 11
88
.. 11
44
55!!
33!! ((55 –– 33))!!
.. 11
88
.. 11
44
55 xx 44 xx 33!!
33!! .. ((22))!!
.. 11
88
.. 11
44
55 xx 44 xx 33!!
33!! xx 22 xx 11
.. 11
88
.. 11
44
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2200
22
.. 11
88
.. 11
44
2200
6644
00,,33112255 3311,,2255%%
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EXERCÍCIOS
1) O Flamengo e Corinthians, jogam esse ano entre si 6 vezes. Qual a
probabilidade do Flamengo ganhar 4 jogos?
2) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual
a probabilidade dele acertar 2 tiros?
3) Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que
apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos
dois deles?
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Entre as distribuições de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a
distribuição normal:
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é da seguinte forma:
A área toda da curva tem valor igual á 1 ( ou 100%)
A probabilidade de ocorrer um valor maior do que a média é a mesma para ocorrer um
valor menor do que a média.
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso
objetivo é obter a probabilidade dessa variável assumir um valor em um determinado
intervalo. Vejamos um exemplo
EXEMPLO
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por
uma fábrica. Vamos supor que esse parafuso (variável aleatória) tenha distribuição normal de
__
XX
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média igual á 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm, ou seja, é aceitável que o diâmetro do parafuso
seja maior do que 2 cm, mas não sendo maior do que 2,05 cm.
Então, qual a probabilidade dessa fábrica produzir parafusos com diâmetros entre 2 á
2,05?
zz ==
00,,55
00,,0044
zz ==
22,,0055 -- 22
00,,0044
zz ==
xx -- xx
ss
PP ((22 << XX << 22,,0055))
22 22,,0055
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�
Então, a probabilidade dessa fábrica produzir um parafuso com diâmetros entre
2 cm á 2,05 cm é de 0,3944 ou 39,44%.
zz == 11,,2255
PP ((00 << ZZ << 11,,2255))
00 11,,2255
ZZ == 00,,33994444
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EXERCÍCIOS
1) As embalagens de leite da LACBOM são vendidas com 300 ml de leite, mas podendo
ser comercializada com menos 15 ml. Descubra qual a probabilidade de ser
comercializada embalagens de leite com 285 ml de leite?
2) A Michelin, produz pneus com 15 cm de diâmetro. Observou-se em algumas amostras
de pneus, que os mesmo possui uma variação de mais de 1,48 cm (podendo chegar á
16,48 cm) e menos de 0,50 cm (podendo chegar á 14,5 cm). Descubra qual a
probabilidade da Michelin produzir pneus entre 14,5 cm á 16,48 cm?.
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TESTE DE HIPÓTESE
Iniciaremos esse capítulo utilizando um exemplo verídico.
As indústrias PROCARE nos EUA, comercializava um produto chamado “GENDER
CHOICE” (escolha de sexo) que prometia um produto que aumentava em 85% ás
chances de um casal ter um menino e 80% ás chances de um casal ter uma menina.
Se fizermos um experimento com 100 casais que querem ter meninas sem a utilização de
algum medicamento, o bom senso nos mostra que os casais têm 50% de chances de terem
meninas, ou seja, a probabilidade de nascerem 50 meninas é aceitável e provável.
Vamos supor que fizemos um experimento sobre 100 casais que utilizaram o GENDER
CHOICE, e descobrimos que 52 desses casais tiveram meninas. Em geral, esperamos que
de 100 nascimentos, nasçam cerca de 50 meninas. No nosso caso, o resultado foi de 52
meninas. Um resultado próximo de 50 é provável de acontecer. Com esse resultado, não
podemos concluir que o GENDER CHOICE seja eficaz.
E se o resultado fosse o nascimento de 97 meninas? O resultado de 97 meninas em 100
nascimentos é EXTREMAMENTE IMPROVÁVEL DE OCORRER POR ACASO.
Poderíamos tirar duas conclusões. Ou ocorreu um evento extremamente raro por acaso ou
o GENDER CHOICE realmente é eficaz.
O ponto-chave desse exemplo é que só podemos concluir a eficácia do produto se
obtivermos um resultado ALTAMENTE SIGNIFICATIVO de meninas do que em geral
esperaríamos. O resultado de 52 meninas e 97 meninas estão acima da média ( 50
meninas), mas o resultado de 52 meninas não é tão significativo, enquanto o de 97
meninas é. Esse tipo de análise é que levou á retirada do produto no mercado.
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COMPONENTES DE UM TESTE DE HIPÓTESE
Em um teste de hipóteses, precisamos definir dois tipos de Hipótese. Quem será a
Hipótese nula ( H0 ) e quem será a Hipótese alternativa ( H1 ).
A hipótese nula é a hipótese que será testada. Se ACEITARMOS H0, diremos que o
produto é eficaz. Se REJEITARMOS H0, afirmamos que o produto não é eficaz. No
exemplo anterior, REJEITAMOS H0 e afirmamos que o produto não é eficaz.
3 PASSOS PARA DEFINIR OS SINAS DAS HIPÓTESES
H0 E H1
1 – Identifique a afirmativa (ou a hipótese) a ser testada e expresse-a com um sinal de <, >
ou =.
2 – Identifique a falsidade da afirmativa acima e expresse-a com um sinal <, > ou =.
3 – Das duas expressões deixe que H1 seja a afirmativa que não possui a igualdade ou
seja <, > ou = e H0 a expressão que possui o sinal = .
50 40 60 90
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Quando nossas análises envolverem proporção utilizaremos p. Se nossas análises
envolverem média utilizaremos µ e se nossas análises envolverem desvio padrão
utilizaremos σ.
EXEMPLO 1:
Foram entrevistados alguns motoristas e mais de 50% disseram que ultrapassam o sinal
vermelho.
EXEMPLO 2:
O desvio padrão dos QI’s dos alunos especiais na Universidade de Princeton é de 15
pts.
σσσσσσσσ == 1155
σσσσσσσσ == 1155
HH00::
HH11::
pp >> 00,,5500
pp <<== 00,,5500
HH11::
HH00::
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TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESE
Um Teste de Hipóteses pode assumir três formas:
Região de
Aceitação
Região de
Rejeição
Região de
Rejeição
Região de
Aceitação
(HH11)) << -- Unilateral á esquerda
(HH11)) >> -- Unilateral á direita
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VALORES DAS REGIÕES DE REJEIÇÃO
Com o Auxílio de uma Tabela de Distribuição Normal Padrão Z, vamos descobrir o
valor de Z para um nível de significância de 5%, isso é, admitimos a probabilidade de
estarmos afirmando uma hipótese erroneamente em 5%.
Região de
Aceitação
Região de
Rejeição Região de Rejeição
Região de
Aceitação
Região de
Rejeição
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 55%%
-- 11,,664455
(HH11)) == -- Bilateral
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FÓRMULAS PARA TESTE DE HIPÓTESE
PROPORÇÃO
Quando o problema se tratar de proporção, utilizaremos a seguinte fórmula:
Região de
Rejeição
Região de
Aceitação
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 55%%
11,,664455
Região de
Aceitação
2,5 2,5
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 55%%
11,,9966 -- 11,,9966
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MÉDIA
Quando o problema se tratar de valores médios, utilizaremos uma das seguintes fórmulas:
DESVIO PADRÃO
Quando o problema se tratar de desvio padrão, utilizaremos a seguinte fórmula:
zz ==
pp -- pp
pp..qq
^^
nn
zz ==
xx -- µµµµµµµµ
σσσσσσσσ
nn
tt ==
xx -- µµµµµµµµ
ss
nn
χχχχχχχχ22222222 ==
(( nn –– 11)) .. ss22
σσσσσσσσ22222222
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�
EXEMPLOS
EXEMPLO 1:
O DETRAN informou que mais de 50% das pessoas ultrapassam o sinal vermelho. Uma
pesquisa feita com 880 motoristas selecionados aleatoriamente mostrou que mais de 56%
admitiram passar o sinal vermelho. No nível de significância de 10%, descubra se o
resultado encontrado pela amostra foi um resultado por acaso.
zz ==
pp -- pp
pp..qq
^^
nn
pp >> 00,,5500
pp <<== 00,,5500
HH11::
HH00::
Região de
Rejeição
Região de
Aceitação
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 1100%%
11,,228899
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zz ==
00,,0011667733
00,,0066
zz == 00,,2255
888800
00,,0066
zz == 00,,5500 .. 00,,5500
888800
00,,5566 --00,,5500
Região de
Rejeição
Região de
Aceitação
11,,228899
33,,5599
pp >> 00,,5500
pp <<== 00,,5500
HH11::
HH00::
33,,5599
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RESPOSTA
Rejeitamos H0. Há indícios que a amostra coletada, demonstra a realidade apontada
pelo Detran, sendo que o resultado de 56% não é um resultado que ocorra por acaso
em um nível de significância de 10%.
EXEMPLO 2:
Uma cia aérea estabeleceu que pelo menos 95% dos seus vôos cheguem no horário. Para
averiguar essa condição, foi retirada uma amostra de 120 vôos dessa cia em uma semana e
verificou-se que 110 chegaram no horário. Existe alguma evidência de que a amostra
selecionada condiz com o objetivo da cia aérea em um nível de significância de 5%.
pp >>== 00,,9955
pp << 00,,9955
HH00::
HH11::
Região de
Aceitação
Região de
Rejeição
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 55%%
--11,,664455
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zz ==
00,,00220000
-- 00,,0033333300
zz ==
00,,0044775500
112200
-- 00,,0033333300
zz == 00,,9955 .. 00,,0055
112200
00,,99116677 -- 00,,9955
zz ==
pp -- pp
pp..qq
^^
nn
pp ^^ == 111100
112200
--11,,6677
00,,99116677
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RESPOSTA
Rejeitamos H0. Há indícios que o tamanho da amostra não é suficiente para
analisarmos a realidade da cia aérea em um nível de significância de 5%.
EXEMPLO 3:
Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos.
Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o
valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 3 pontos. Verifique se a
amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.
Região de
Rejeição
Região de
Aceitação
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 1100%%
--11,,6677 --11,,664455
pp << 00,,9955
pp >>== 00,,9955
HH11::
HH00::
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µµµµµµµµ == 88
µµµµµµµµ
== 88
HH00::
HH11::
zz == xx -- µµµµµµµµ
σσσσσσσσ
nn
Região de
Aceitação
2,5 2,5
NNíívveell ddee ssiiggnniiffiiccâânncciiaa == 55%%
11,,9966 --11,,9966
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RESPOSTA
Aceitamos H0. Há indícios suficientes que a amostra coletada condiz com a realidade
e a média de notas da nova turma realmente diminuiu de 8 para 7 pontos um nível
de significância de 5%.
zz ==
11
00000000,,,,,,,,77777777777777774444444466666666
zz ==
77 -- 88888888
33333333
1155
Região de
Aceitação
2,5 2,5
--11,,9966 11,,9966 11,,2299
µµµµµµµµ == 88
µµµµµµµµ == 88
HH00::
HH11:: //
11,,2299
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EXERCÍCIOS
1) Nas duas ultimas eleições, o candidato A obteve 65% dos votos válidos. Em uma pesquisa
de intenção de voto para a próxima eleição, de uma amostra de 120 pessoas o candidato A
obteve 66 votos dos entrevistados. Descubra se a amostra coletada condiz com o resultado das
ultimas eleições á um nível de significância de 5%.
2) Uma certa revista semanal, alega que 25% dos seus leitores pertencem á classe alta. Uma
amostra de 740 leitores, 156 pertenciam a classe alta. Descubra se a amostra coletada mostra a
realidade apontada pela revista á um nível de significância de 5%.
3) Nas ultimas provas de Estatística, verificou-se que a média de aprovação foi de 8 pontos.
Para testar se o nível da nova turma é a mesma, coletou-se uma amostra com 15 alunos e o
valor da média foi de 7 pontos e o desvio padrão entre as notas de 1 pontos. Verifique se a
amostra coletada condiz com a realidade em um nível de significância de 5%.
4) Uma empresa, utilizando-se de testes vocacionais, analisou como anda o nível de seus
funcionários. Os últimos testes vocacionais mostraram uma pontuação média de seus
funcionários em 115 pts. Para analisar se a média do novo teste continua o mesmo, retirou-se
aleatoriamente como amostra, a nota de 20 funcionários, onde a média das notas fora de 120
pts e o desvio-padrão de 20. Baseado na amostra descubra se a média do novo teste alterou ou
se a amostra coletada não serve para analisar a realidade desse novo teste. Erro de
significância de 10%.
5) Na região do Vale do Jauru, verificou-se que na década de 70, a mortalidade dos gados por
doenças era mais de 60%. Para reduzir esse número, foi feita uma campanha de vacinação,
para reduzir os prejuízos dos pecuaristas. Para ver se a campanha deu resultado, foi retirado
como amostra, 1.000 gados na região e verificou-se que 430 morreram por doenças. Verifique
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se a amostra coletada, demonstra se a campanha teve resultado, em um nível de siginificância
de 8%.
6) Nos últimos 5 anos, 60% ou menos de 60% dos alunos da faculdade que cursaram a
disciplina Estatística, foram aprovados. Para averiguar se a porcentagem desse ano de alunos
que são aprovados foi alterada, a faculdade fez um novo experimento, onde coletou
aleatoriamente a nota de 90 alunos, sendo que 40 deles foram aprovados. Em um nível de
significância de 1%, descubra se essa porcentagem foi alterada ou se a amostra coletada não
serve para a análise.
7) Uma fábrica de auto-peças, determinou que o diâmetro de seus parafusos para as rodas de
um automóvel, fossem de aproximadamente de 12,5 polegadas, mas podendo variar até 1
polegada. Para analisar se a máquina que fábrica os parafusos continua em perfeito
funcionamento, fora retirado 15 parafusos como amostra, onde a média das polegadas entre
eles fora de 12,2 polegadas e o desvio-padrão de 1,61. Descubra se a máquina possui algum
problema, baseado na amostra coletada. Nível de Significância de 10%.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 2002
TRIOLA, Mário F. Introdução á Estatística. Rio de Janeiro: Editora LTC,
2005
DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. São Paulo:
Editora Saraiva, 2006
BUSSAB, Wilton; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. São Paulo: Editora
Saraiva, 2002Mais conteúdos dessa disciplina
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