Fascículo_Bioestatística

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2a edição | Nead - UPE 2013
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Núcleo de Educação à Distância - Universidade de Pernambuco - Recife
Santos, Ernani Martins dos
Biologia: Bioestatística /Ernani Martins dos Santos. – Recife: UPE/NEAD, 2011. 
44 p.
1. Bioestatística 2. Estatística 3. Educação à Distância I. Universidade de 
Pernambuco, Núcleo de Educação à Distância II. Título 
 CDD – 17ed. – 310
Claudia Henriques – CRB4/1600
BFOP-103/2011
S237b 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO - UPE
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Bioestatística
oBJetiVos esPecíFicos
•	 Compreender	a	natureza	do	trabalho	esta-
tístico e sua origem como forma de apro-
priar-se da linguagem estatística;
•	 Compreender	 os	 conceitos	 fundamentais	
da estatística, as fases do trabalho estatís-
tico e as aplicações/apurações de dados da 
estatística em fatos vitais, como forma de 
desenvolver a capacidade de utilizar a ma-
temática na interpretação e intervenção 
do real.
a signiFicância e a 
aBrangência da 
estatística
Os métodos estatísticos são usados hoje, em 
quase todos os campos de investigação cientí-
fica, já que eles capacitam-nos para responder 
a um vasto número de questões, tais como as 
listadas abaixo:
•	 Como	os	cientistas	avaliam	a	validade	de	
novas teorias?
•	 Como	os	pesquisadores	médicos	testam	a	
eficiência de novas drogas?
•	 Como	 os	 demógrafos	 prevêem	 o	 tama-
nho da população do mundo em qualquer 
tempo futuro?
prof. Ernani Martins dos Santos | carga horária: 10 horas
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•	 Como	 pode	 um	 economista	 verificar	 se	
a mudança atual no Índice de Preços ao 
Consumidor é a continuação de uma ten-
dência secular ou simplesmente um desvio 
aleatório?
•	 Como	 é	 possível	 para	 alguém	 predizer	 o	
resultado de uma eleição, entrevistando, 
apenas, algumas centenas de eleitores? 
Estes são poucos exemplos nos quais à aplica-
ção da estatística é necessária. Podemos presu-
mir que a matemática é uma das rainhas das 
ciências porque ela fornece a estrutura teórica 
a quase todas as outras ciências. Se você já fez 
um curso básico de física, já está familiarizado 
com algumas das leis matemáticas que gover-
nam temas tão diversificados, como gravida-
de, energia, luz, eletricidade, etc mas também 
devemos considerar o fato de que as teorias 
matemáticas estão sendo desenvolvidas todos 
os dias, em muitas áreas, por estatísticos teó-
ricos - pessoas treinadas em teoria estatística e 
probabilidade. Para citar alguns poucos casos 
ilustrativos, elas são desenvolvidas para teoria 
a dos vôos espaciais em física; para teorias do 
conhecimento do comportamento animal e hu-
mano em psicologia; para teorias da migração 
e dos diferenciais de raça em sociologia; para 
teorias de epidemias em saúde pública, etc.
De fato, a estatística tornou-se uma ferramen-
ta cotidiana para todos os tipos de profissio-
nais que entram em contato com dados quan-
titativos ou tiram conclusões a partir destes.
o que é estatística?
 
A estatística é tão antiga quanto o homem, 
pois a necessidade de enumerar as coisas sur-
giu com ele.
Nascida como simples compilação de núme-
ros, a estatística tem evoluído até nossos dias 
de forma surpreendente, configurando-se 
como uma ferramenta de apoio para quase 
todos os campos da atividade humana, assu-
mindo o status de ciência apenas no início do 
século passado. 
A noção de “Estatística” foi originalmente de-
rivada da mesma raiz da palavra “Estado”, já 
que se constituiu como a função tradicional 
de governos centrais no sentido de armazenar 
registros da população, nascimentos e mortes, 
produção das lavouras, taxas e muitas outras 
espécies de informação e atividades. A conta-
gem e a mensuração dessas quantidades ge-
ram todos os tipos de dados numéricos que 
são úteis para o desenvolvimento de muitos ti-
pos de funções governamentais e formulação 
de políticas públicas.
Dados numéricos são, de fato, uma parte da 
Estatística, mas são apenas a matéria-prima 
que precisa ser transformada pelos “métodos 
estatísticos” para posterior análise. A Estatís-
tica, como um método científico, refere-se 
ao projeto de experimentos e à descrição e à 
interpretação de observações que são feitas. 
Do ponto de vista moderno, a Estatística é fre-
qüentemente definida como um método de 
tomada de decisão em face da aleatoriedade 
dos fenômenos. Em uma mais vasta perspec-
tiva, o escopo da estatística pode ser pensado 
em termos de três áreas diferentes de estudos: 
(1) a Estatística Descritiva; (2) A Estatística In-
dutiva e (3) A Teoria da Decisão Estatística.
 
estatística descritiVa
A Estatística Descritiva refere-se ao corpo de 
métodos desenvolvidos para coletar, organizar, 
apresentar e descrever dados numéricos. Essa 
área da Estatística refere-se às seguintes tarefas:
•	 Encontrar	 um	método	 apropriado	de	 co-
letar dados numéricos eficiente e acurada-
mente para um dado problema.
•	 Determinar	um	formato	eficiente,	tal	como	
uma apresentação tabular, para a organi-
zação dos dados de uma forma sistemática 
e ordenada, de maneira que a informação 
fornecida pelos dados possa ser observada 
com grande facilidade e precisão. 
•	 Apresentar	dados	numéricos,	sejam	orga-
nizados ou, sejam de forma que as caracte-
rísticas e o comportamento dos dados clara 
e facilmente revelados. Tais apresentações 
são feitas por meio de métodos gráficos.
•	 Sumarizar	ou	descrever	cada	característica	
ou propriedade dos dados por um simples 
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número, tal como uma média, uma por-
centagem ou alguma outra medida apro-
priada, é calculada a partir dos dados, por 
meio de uma fórmula derivada, a partir de 
algum princípio válido. 
estatística indutiVa
A Estatística Indutiva, que é também freqüen-
temente chamada de inferência estatística ou 
estatística inferencial, em contraste com a es-
tatística descritiva, é essencialmente analítica 
em sua natureza. Consiste de um conjunto 
de princípios ou teoremas que nos permitem 
generalizar acerca de alguma característica de 
uma “população” a partir das características 
observadas de uma “amostra”. Se uma me-
dida descritiva é calculada a partir dos dados 
da população ela é chamada de parâmetro 
populacional ou, simplesmente, parâmetro; se 
é calculada a partir dos dados da amostra, é 
chamada de estatística amostral ou, simples-
mente, estatística. Considerando esses concei-
tos, podemos definir estatística indutiva como 
o processo de generalizar acerca do valor de 
um parâmetro a partir do valor de uma estatís-
tica. Existem dois procedimentosde inferência 
distintos, mas relacionados: estimação e teste 
de hipóteses. Estimação é o processo de usar 
o valor de uma estatística amostral, para esti-
mar o valor de um parâmetro que é desconhe-
cido, mas é uma constante. Como exemplo, 
suponhamos que temos uma população de 
100.000 bolas de gude em um saco as quais 
são idênticas exceto pela cor e que não pode-
mos vê-las, embora saibamos que uma parte 
delas é branca, e o restante, preto. Suponha 
que desejamos ter uma idéia da proporção de, 
digamos, bolas brancas nessa população. Ima-
gine que, para conseguir isso, selecionamos 
1.000 bolas aleatoriamente do saco e verifica-
mos que 350 são brancas. Isso significa que 
nossa proporção amostral de bolas brancas é 
35 %. A partir disso, concluímos que a propor-
ção populacional de bolas brancas é também 
35 %. Fazendo isso, nós realizamos o que é 
chamado de estatística pontual. 
Mas afirmar que a proporção de bolas bran-
cas em toda a população é exatamente igual à 
proporção daquela amostra particular é como 
dar um tiro no escuro: o valor da proporção 
amostral é um resultado aleatório e depende 
de cada amostra de 1.000 bolas escolhidas da 
população. Pode ser que por uma grande casu-
alidade, o resultado daquela amostra que es-
colhemos coincida exatamente com o valor da 
proporção de bolas brancas em toda a popu-
lação. Mas as chances de que isso não ocorra 
são muito grandes. Uma forma de contornar-
mos esse problema é afirmarmos que as chan-
ces são de 95 em 100 (ou de 95 %) e de que 
o intervalo formado pela proporção amostral 
acrescida e diminuída de três pontos percentu-
ais contenha o verdadeiro valor da proporção 
populacional desconhecido. Ou seja, construí-
mos um intervalo com limites 35 + 0,03 x 35 
= 36,05 e 35 - 0,03 x 35 = 33,95 e afirmamos 
(com base em algum princípio obtido a par-
tir da teoria estatística) que as chances são de 
95 em 100 de que o verdadeiro valor da pro-
porção populacional esteja localizado dentro 
desse intervalo. Quando uma afirmativa dessa 
natureza é feita, estamos realizando o que se 
chama de estimativa por intervalo.
Quanto ao segundo procedimento da estatís-
tica inferencial, deixaremos para comentá-lo, 
quando for abordado em sua íntegra. E o ter-
ceiro campo de estudos da Estatística, a Teo-
ria da Decisão Estatística, não será discutido 
neste trabalho, voltado especificamente para 
abordagens em bioestatística. Por falar em 
bioestatística, temos que, nas áreas médicas 
e biológicas, coletam-se dados de pessoas, de 
animais experimentais e de fenômenos físicos 
e químicos, interessando aos pesquisadores 
dessas áreas dados sobre mortalidade infantil, 
eficiência de medicamentos, incidência de do-
enças, causas de morte etc. e, para isso, utili-
zamos a bioestatística, ou seja, a aplicação da 
estatística nas áreas de ciências biológicas e 
ciências da saúde. 
conceitos Fundamentais 
em estatística e 
Bioestatística
Como toda ciência, a estatística e/ou a bio-
estatística tem sua linguagem própria. E esta 
linguagem deve ser absorvida pelo estudante 
como forma de melhorar a compreensão e as 
habilidades necessárias ao desenvolvimento da 
aprendizagem dessa disciplina. Esses conceitos 
fundamentais referem-se à parte da estatística 
descritiva.
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procedimento: Como 900/50 = 18, escolhe-
mos por sorteio casual um número de 01 a 18 
(inclusive), o qual indicaria o primeiro elemen-
to sorteado para a amostra; os demais elemen-
tos seriam periodicamente considerados de 18 
em 18. Assim, se o número sorteado fosse o 
quatro, tomaríamos, pelo lado direito da rua, 
o 4º prédio, o 22º, o 40º etc., até voltarmos ao 
início da rua, pelo lado esquerdo.
Amostra estratificada - composta de elementos 
provenientes de todos os estratos (subgrupos) 
da população, utilizada sempre que a popu-
lação estiver dividida em subgrupos ou estra-
tos, uma vez que a variável em estudo pode 
apresentar um comportamento diferente de 
estrato para estrato. Exemplo: voltemos para 
o exemplo de uma amostra representativa de 
10% para a pesquisa da estatura de noventa 
alunos de uma escola. Supondo que 54 sejam 
meninos e 36 sejam meninas, vamos obter a 
amostra proporcional estratificada. São, por-
tanto, dois estratos (sexo masculino e sexo fe-
minino) e desejamos uma amostra de 10% da 
população. Logo, temos:
População: conjunto de elementos que têm, 
em comum, determinada característica. As po-
pulações podem ser finitas, como o conjunto 
de alunos de uma escola em determinado ano, 
ou infinitas, como o número de vezes que se 
pode jogar um dado. 
Amostra: subconjunto finito de uma popula-
ção. O número de elementos de uma amostra 
é menor que o da população. 
Por ser uma amostra parte de uma população, 
é fundamental que ela seja representativa, pois 
as conclusões dessas amostras serão, também, 
da população. Para seleção de uma amostra, 
existe uma técnica denominada de amostra-
gem, que, mediante ela, é possível garantir o 
acaso na escola e assegurar à amostra a repre-
sentatividade da população. 
Técnicas de amostragem: procedimento que 
será adotado para escolher os elementos que 
irão compor uma amostra.
Amostra casual simples (aleatória simples; ran-
dômica; acidental) - por esse tipo de amostra-
gem, todos os elementos da população têm 
igual possibilidade de serem selecionados para 
constituir a amostra. Os elementos são retira-
dos ao acaso da população, através de sorteio. 
Exemplo: Vamos obter uma amostra represen-
tativa de 10% para a pesquisa da estatura de 
noventa alunos de uma escola:
a) Numeramos os alunos de 01 a 90.
b) Escrevemos os números de 01 a 90 em 
pedaços iguais de um mesmo papel, colo-
cando-os dentro de uma caixa. Agitamos 
sempre a caixa para misturar bem os peda-
ços de papel e retiramos, um a um, nove 
números que formarão a mostra (neste 
caso, 10% da população).
Amostra sistemática - ocorre quando os ele-
mentos da amostra são selecionados por um 
critério preestabelecido pelo pesquisador. Essa 
estratégia normalmente é usada, quando os 
elementos já se acham ordenados de alguma 
forma. Exemplo: suponhamos uma rua, con-
tendo novecentos prédios, dos quais deseja-
mos obter uma amostra formada de cinqüenta 
prédios. Podemos, neste caso, usar o seguinte 
OBSERVAÇÃO: Percebam que os valores deci-
mais foram arredondados. De acordo com a 
resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arre-
dondamento é feito da seguinte maneira:
•	 Quando	o	primeiro	algarismo	a	ser	aban-
donado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o 
último algarismo a permanecer. Por exem-
plo, 78,24 passa a 78,2.
•	 Quando	o	primeiro	algarismo	a	ser	aban-
donado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se em 
uma unidade o algarismo a permanecer. 
Por exemplo, 42,87 passa a 42,9.
Amostra de conveniência - elementos reunidos 
simplesmente, porque dispunha deles, sem 
nenhum critério específico.
SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA
Masculino 54 10x54/100 = 5,4 5
Feminino 36 10x36/100 = 3,6 4
TOTAL 90 10x90/100 = 9,0 9
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Variáveis - característica ou propriedade que 
será estudada ou observada na população.
As variáveis podem ser de dois tipos:
1. quantitativas - quando exprimem conta-
gens, ou seja, quando os valores tomados 
são numéricos. Exemplos: idade, altura, 
temperatura, massa, número de filhos, nú-
mero de irmãos etc. Podem ser classifica-
das em:
 
 1.1 discretas - variáveis, cujos valores po-
dem ser ordenados, de modo que, entre 
dois valores consecutivos, não pode existir 
nenhum outro, ou seja, essas variáveis só 
podem assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável de elementos. Exem-
plos: gols de um jogo de futebol, idade em 
anos etc.
 1.2 Contínuas - variáveis que podem as-
sumir qualquer valor num certo intervalo. 
Exemplos: idade de uma pessoa em ano, 
meses e dias ao longo de dois anos, tempo 
que um atleta leva para correr 100 metros, 
peso de um indivíduo etc
 
2. qualitativas - quando exprimem um atri-
buto ou qualidade. Neste caso, os valores 
tomados não são numéricos. Exemplos:sexo, cor da pele, cor dos olhos, nacionali-
dade etc.
eXercício
1. De que maneira a estatística ajuda a resol-
ver certos problemas práticos? Justifique 
sua resposta com um exemplo.
 
2. Suponha que você seja chamado para pre-
ver a média das notas dos alunos de Ensi-
no Médio de sua escola, da primeira série, 
da disciplina biologia. Que variáveis você 
julga serem necessárias? Justifique-as.
 
3. Uma pesquisa médica visa obter uma esti-
mativa do tempo de vida de um paciente 
após este ter sido acometido de um tipo 
específico de câncer e submetido a um re-
gime particular de radioterapia. Identifique 
a população que interessa. É possível per-
ceber algum problema para amostrar essa 
população?
 
4. Para você, o que é coletar dados?
 
5. Cite três atividades em que um biólogo faz 
uso da estatística.
 
6. Classifique as variáveis em qualitativas ou 
quantitativas (contínuas ou descontínuas):
 
 a) População: alunos de uma escola
 Variável: cor dos cabelos
 b) População: casais residentes em uma 
cidade
 Variável: número de filhos
 c) População: estação meteorológica de 
uma cidade
 Variável: precipitação pluviométrica duran-
te um ano
 d) População: propriedades agrícolas do 
Brasil
 Variável: produção de algodão
 e) População: ratos para estudo num la-
boratório
 Variável: sexo dos animais
 
7. Uma escola de Ensino Fundamental abri-
ga 124 alunos. Obtenha uma amostra re-
presentativa, correspondendo a 15% da 
população. Explique como você faria para 
selecionar os indivíduos da amostra dentro 
da população.
 
8. O diretor de uma escola, na qual estão 
matriculados 280 meninos e 320 meni-
nas, desejoso de conhecer as condições 
de vida extra-escolar de seus alunos e 
não dispondo de tempo para entrevistar 
todas as famílias, resolveu fazer um le-
vantamento, por amostragem, em 10% 
dessa clientela. Obtenha, para esse di-
retor, os elementos componentes da 
amostra.
 
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9. Os prontuários dos pacientes de um hospi-
tal estão organizados em um arquivo, por 
ordem alfabética. Qual é a maneira mais 
rápida e eficiente de amostrar 1/3 do total 
dos prontuários?
 
10. Um pesquisador tem dez gaiolas, cada 
uma contedo seis ratos. Como o pesqui-
sador pode selecionar dez ratos para sua 
amostra?
 
Sites nos quais o aluno pode buscar textos 
complementares, exercícios e aprofundar o es-
tudo dos temas abordados
•	 http://www.hsr.com.br/bio02.html
 Esse site do Centro Virtual de Epidemiolo-
gia Clínica do Hospital São Rafael é interes-
sante para o estudante se familiarizar com 
os termos da bioestatística, sob o ponto de 
vista da Bioestatística Clínica.
 
•	 http://www.ufpa.br/dicas/biome/bioni.htm
 Nesse material da Universidade Federal do 
Pará, o estudante encontra dicas e notas 
interessantes para todo estudo da bioesta-
tística, tendo, inclusive, abordagem sobre 
o tema deste capítulo.
 
•	 http://www.ai.com.br/pessoal/indices/2A3.
HTM
 Nesse site da Faculdade de Ciências Eco-
nômicas de Vitória, é possível rever os con-
ceitos estudados neste capítulo e realizar 
outros exercícios propostos pelo próprio 
site. 
 
•	 http://www.unb.br/ib/cfs/cg/Apostila%20I/
introducao.doc
 Esse material da UNB é um curso de Bio-
estatística com linguagem voltada para a 
área de Saúde e Biometria. Contém tópicos 
desde os conceitos básicos até os conte-
údos mais avançados, incluindo exemplo 
e citando bibliografias importantes. Inte-
ressante para os estudantes que querem 
aprofundar seus conhecimentos.
reFerência
MILONE, G. e ANGELINI, F. Estatística Geral. SP: 
Atlas, 1993.
Este livro é dirigido, em sua especificidade, à 
Estatística. O seu forte é uma linguagem clara 
dos conceitos trabalhados em Estatística.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 17ª. Edição. SP: 
Saraiva, 1999.
Apesar de técnico, este livro trabalha uma lin-
guagem bem didática para todos aqueles que 
necessitam ter domínio no trabalho com a Es-
tatística. Apresenta exemplos e exercícios bem 
interessantes.
VIEIRA, S. M. Introdução à Bioestatística. 3ª. 
Edição. SP: Campus, 1998.
Um livro de linguagem clara e acessível, dedi-
cado aos alunos e profissionais que se iniciam 
na aprendizagem da Estatística. O texto, de 
grande flexibilidade, inclui, em alguns capítu-
los, exercícios e exemplos de aplicação.
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coleta e organização 
de dados
oBJetiVos esPecíFicos
•	 Conhecer	 os	 elementos	 constituintes	 de	
uma tabela;
•	 Interpretar	e	construir	tabelas	estatísticas;
•	 Compreender	o	gráfico	como	uma	forma	
de linguagem matemática necessária ao 
estudo estatístico;
•	 Entender	o	gráfico	como	uma	das	formas	
de melhor visualizar os dados construídos 
e tabelados numa pesquisa.
introdução
Após um planejamento cuidadoso e a determi-
nação da população e/ou amostra a ser estu-
dada com suas variáveis, damos início à coleta 
dos dados numéricos necessários a sua des-
crição. Esta coleta pode ser direta ou indireta.
A coleta é direta, quando feita sobre elementos 
informativos de registro obrigatório (nascimen-
to, casamento, óbitos, elementos pertinentes 
ao prontuário dos alunos de uma escola, etc.) 
ou, ainda, quando os dados são coletados 
pelo próprio pesquisador, através de inquéri-
tos e questionários, como é o caso das notas 
de uma avaliação, do censo demográfico, etc.
A coleta é indireta, quando é inferida de ele-
mentos conhecidos (coleta direta) e/ou do 
conhecimento de outros fenômenos rela-
prof. Ernani Martins dos Santos | carga horária: 10 horas
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cionados com o fenômeno estudado. Como 
exemplo, podemos citar as pesquisas sobre 
mortalidade infantil, realizadas através de da-
dos colhidos por uma coleta direta.
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os 
valores que uma ou mais variáveis podem as-
sumir, para que tenhamos uma visão global 
da variação dessa ou dessas variáveis. Isso ela 
consegue, inicialmente, apresentando esses 
valores em tabelas e gráficos, que irão nos for-
necer rápidas e seguras informações a respeito 
das variáveis em estudo, permitindo-nos deter-
minações administrativas e pedagógicas mais 
coerentes e científicas.
aPresentação de 
dados em taBelas
A tabela é um quadro, que resume um conjun-
to de observações. 
As tabelas são compostas por: título; cabeça-
lho; corpo; colunas indicadoras e fonte.
•	 Título - explica o que a tabela contém ou 
simplesmente indica o assunto da tabela.
•	 Cabeçalho - especifica o que cada coluna 
contém.
•	 Corpo - são os dados contidos nas linhas e 
colunas da tabela.
•	 Colunas indicadoras - especificam os con-
teúdos das linhas.
•	 Fonte - mostra de onde foram recolhidos 
os dados para organizar a tabela. Aparece, 
sempre, no rodapé da tabela.
Exemplo:
Casos registra-
dos de intoxi-
cação humana, 
segundo a cau-
sa determinan-
te. Brasil, 1993
Na tabela anterior, tivemos:
TÍTULO
Casos registrados de intoxicação humana, se-
gundo a causa determinante. Brasil, 1993.
CABEÇALHO
COLUNA INDICADORA
CORPO
FONTE
 Fonte: MS/FIOCRUZ/SINITOX
Toda tabela deve ser delimitada por traços ho-
rizontais. Podem ser feitos traços verticais ape-
nas para separar as colunas, e não para delimi-
tar a tabela. O cabeçalho é separado do corpo 
por um traço horizontal.
Exemplo:
Casos registra-
dos de intoxi-
cação humana, 
segundo a cau-
sa determinan-
te. Brasil, 1993.
Causa Frequência
Acidente 29.601
Abuso 2.604
Suicídio 7.965
Profissional 3.735
Outras 1.959
Ignorada 1.103
Fonte: MS/FIOCRUZ/SINITOX
29.601
2.604
7.965
3.735
1.959
1.103
Acidente
Abuso
Suicídio
Profissional
Outras
Ignorada
Causa Frequência
Causa Frequência
Acidente 29.601
Abuso 2.604
Suicídio 7.965
Profissional 3.735
Outras 1.959
Ignorada 1.103
Fonte: MS/FIOCRUZ/SINITOX
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As tabelas podem conter fontes e notas. A 
fonte indica a entidade do pesquisador ou dos 
pesquisadores que publicaram ou forneceram 
os dados. As notas devem esclarecer aspectos 
relevantes dos levantamentos dos dados ou da 
apuração.
Exemplo:Nascidos vivos registrados, segundo o ano de 
registro.
As tabelas podem apresentar, além das frequ-
ências, as frequências relativas ao total. Para 
obter a frequência relativa de uma dada catego-
ria, divide-se a frequência dessa categoria pela 
soma das frequências. O resultado, que multi-
plicado por 100, é uma percentagem. O total 
da coluna é escrito entre dois traços horizontais.
Exemplo: 
Casos registrados de intoxicação humana, se-
gundo a causa determinante. Brasil, 1993.
As tabelas de contingência podem apresentar 
frequências relativas além de frequências. Nes-
se caso, as frequências relativas dão estimati-
vas de risco, isto é, dão estimativas da proba-
bilidade do dano.
Exemplo:
Recém-nascidos, segundo a época do ataque 
de rubéola na gestante e a condição de normal 
ou defeituoso.
Causa Frequência Frequência Relativa (%)
Acidente 29.601 63,29
Abuso 2.604 5,69
Suicídio 7.965 16,37
Profissional 3.735 8,15
Outras 1.959 4,2
Ignorada 1.103 2,3
Total 45.974 100
Fonte: MS/FIOCRUZ/SINITOX
Ano de Registro Frequência
1984 2.559.038
1985 2.619.604
1986 2.779.253
Fonte: IBGE (1988). Nota: Nascimentos ocorri-
dos no ano de registro
Ano de 
Registro
Sexo
TotalMasculino Feminino
1984 1.307.758 1.251.280 2.559.038
1985 1.339.059 1.280.545 2.619.604
1986 1.418.050 1.351.203 2.779.253
Fonte: IBGE (1988). Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro
Época de 
Ataque
Condição Total Frequência 
RelativaNormal Defeituoso
Até o 3o mês de 
Gestação
36 14 50 28%
Depois do 3o 
mês de Gestação
51 3 54 5,60%
Fonte: HILL (1958)
taBela de 
contigência
Este tipo de tabela é utilizado para represen-
tar elementos de uma amostra ou população, 
classificados de acordo com dois fatores. Sen-
do assim, uma tabela de dupla entrada, cada 
uma representando um dos fatores. 
Exemplo:
Nascidos vivos registrados, segundo o ano de 
registro e o sexo.
eXercício
1. De acordo com o IBGE (1988), a distribui-
ção dos suicídios ocorridos no Brasil em 
1986, segundo a causa atribuída, foi a se-
guinte: 263 por alcoolismo, 198 por difi-
culdade financeira, 700 por doença men-
tal, 189 por outro tipo de doença, 416 por 
desilusão amorosa e 217 por outras causas. 
Apresente essa distribuição em tabelas.
2. De acordo com o IBGE (1988), em 1986, 
ocorreram, em acidentes de trânsito, 
27.306 casos de vítimas fatais, assim distri-
buídos: 11.712 pedestres, 7.116 passagei-
ros e 8.478 condutores. Faça uma tabela 
para representar esses dados. Apresente, 
também, as frequências relativas e o total.
3. Em 1988, foi publicado pelo IBGE que os 
estabelecimentos de saúde no Brasil, no 
ano de 1985, eram distribuídos por es-
pécies, da seguinte forma: 1002 hospitais 
públicos e 5132 particulares; 150 pronto-
-socorros públicos e 156 particulares; poli-
clínicas no total de 1531 e 6136 respecti-
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vamente públicas e particulares; e outros (inclui postos de saúde, centros de saúde e unidades 
mistas), sendo 14393 públicos e 472 particulares. Represente essas informações em uma 
tabela. 
aPresentação de dados em gráFicos
Existem normas nacionais para a construção de gráficos ditados pela fundação IBGE. Assim, todo 
gráfico deve apresentar título e escala. O título deve ser colocado tanto acima quanto abaixo do 
gráfico. As escalas devem crescer da esquerda para a direita e de baixo para cima. As legendas 
explicativas devem ser colocadas, de preferência, à direita do gráfico. A seguir, apresentaremos os 
gráficos mais comuns nas apresentações em bioestatísitca.
gráFico de Barras
Utilizado para apresentar variáveis qualitativas ou ordinais. Para fazer um gráfico de barras, pri-
meiro se traça o sistema de eixos cartesianos, depois se colocam, no eixo das abscissas, as cate-
gorias da variável em estudo. Em seguida, constroem-se barras retangulares, com base no eixo 
das abscissas e altura igual à frequência ou a frequência relativa da respectiva categoria. As barras 
devem ser desenhadas para ficar evidente que a variável é qualitativa ou ordinal.
Exemplo: 
Internações em estabelecimentos de saúde, por espécie de clínica no Brasil - 1992.
Observação: 
Atualmente os gráficos 
de barra também podem 
ser feitos na horizontal, 
mantendo-se o nome de 
gráfico de barras.
Espécie 
Clínica
Frequência Frequência 
Relativa 
(%)
Médica 6.457.923 32,51
Ginecológia 
e Obstetrícia
3.918.308 119,73
Cirúrgia 3.031.075 15,26
Pediatria 2.943.393 14,82
Outras 3.513.186 17,69
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisa, 
Pesquisa de Assistência Médico-Sanitária.
Internações em estabelecimentos 
de saúde, por espécie de clínica 
no Brasil - 1992
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15
gráFico de setores
O gráfico de setores também é usado para apresentar variáveis qualitativas ou ordinais. Para fazer 
um gráfico de setores, a princípio, traça-se uma circunferência que possui uma divisão angular in-
terna de 360º. Essa circunferência representa o total, ou seja, 100%. Dentro dessa circunferência, 
devem ser representadas as categorias da variável em estudo. Para isso, toma-se a frequência re-
lativa a cada categoria e calcula-se o ângulo central da seguinte maneira: se 100% correspondem 
a 360º, uma categoria com frequência relativa de f%terá um ângulo central x, tal que:
Observação:
ao se por rótulos de identificação em quadro, não se faz necessário repeti-los no gráfico.
eXercício
1. Faça um gráfico de barras e um gráfico de setores para apresentar os dados da tabela seguinte:
 Suicidas, segundo o sexo, Brasil, 1986.
100 360o
F Xo
Esse procedimento se repete para cada uma das categorias da variável em estudo. Para fazer o 
gráfico de setores, marcam-se, na circunferência, os ângulos calculados, separando-os com o 
traçado dos raios.
Exemplo:
Internações em estabelecimentos de saúde, por espécie de clínica no Brasil - 1992.
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16
2. Procure em jornais e revistas especializa-
das, dois exemplos de cada um dos gráfi-
cos estudados. Em seguida, faça uma ta-
bela a partir dos gráficos, apresentando os 
dados estatísticos nela presentes.
Sites nos quais o aluno pode buscar textos 
complementares, exercícios e aprofundar o es-
tudo dos temas abordados
•	 http://www.del.ufms.br/tutoriais/excel7/
apresentacao.htm#sumario
 Esse site do Departamento de Engenharia 
Elétrica da Universidade Federal do Mato-
grosso do Sul contém um curso completo 
sobre Excel. Nele, os alunos podem aliar os 
conceitos estatísticos de tabelas e gráficos 
à prática da informática, construindo pla-
nilhas e gráficos a partir do computador.
 
•	 http://www.ufpa.br/dicas/biome/bioni.htm
 Nesse material da Universidade Federal do 
Pará, o estudante encontra dicas e notas 
interessantes para todo estudo da bioes-
tatística, contendo inclusive abordagem 
sobre o tema deste capítulo.
 
•	 http://www.ai.com.br/pessoal/indices/2A3.
HTM
 Esse site contém material completo para 
um curso de estatística. Conceitos, exem-
plos, exercícios, biblioteca virtual da área, 
inclusive glossário dos temas abordados e 
calculadora on-line. Bastante interessante 
para o estudante se aprofundar e exercitar 
o tema deste capítulo.
reFerência 
MILONE, G. e ANGELINI, F. Estatística Geral. SP: 
Atlas, 1993.
Este livro é dirigido, em sua especificidade, à 
Estatística. O seu forte é uma linguagem clara 
dos conceitos trabalhados em Estatística.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 17ª. Edição. SP: 
Saraiva, 1999.
Apesar de técnico, este livro trabalha uma lin-
guagem bem didática para todos aqueles que 
necessitam ter domínio no trabalho com a Es-
tatística. Tem exemplos exercícios bem interes-
santes.
VIEIRA, S. M. Introdução à Bioestatística. 3ª. 
Edição. SP: Campus, 1998.
Um livro de linguagem clara e acessível, dedi-
cado aos alunos e profissionais que se iniciam 
na aprendizagem da Estatística. O texto, de 
grande flexibilidade, inclui em alguns capítulos 
exercícios e exemplos de aplicação.
DORIA FILHO, U. Introdução à Bioestatística 
para Simples Mortais. 1ª. Edição. SP: Negócio 
Editora, 1999.O livro oferece aos estudantes e profissio-
nais de saúde uma excelente oportunidade 
de aprender estatística por meio de exemplos 
práticos.
Sexo Freqüência Percentual
Masculino 3562 74,93
Feminino 1192 25,07
Fonte: IBGE (1988)
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17
Percentagens, índices,
coeFicientes e taXas
oBJetiVos esPecíFicos
•	 Compreender	 o	 significado	 de	 percenta-
gem;
•	 Entender	o	significado	de	dados	relativos;
 
•	 Conhecer	a	utilidade	na	construção	de	nú-
meros-índices, coeficientes e taxas.
introdução
Os dados estatísticos resultantes da coleta di-
reta da fonte, sem outra manipulação se não 
a contagem ou medida, são chamados da-
dos absolutos. A leitura dos dados absolutos 
é sempre enfadonha e inexpressiva; embora 
esses dados traduzam um resultado exato e 
fiel, não tem a virtude de ressaltar de imediato 
as suas conclusões numéricas. Daí o uso im-
prescindível que faz a estatística dos dados 
relativos. Dados esses, que são resultados de 
comparação por quociente (razões) que se 
estabelecem entre dados absolutos e tem por 
finalidade realçar ou facilitar as comparações 
entre quantidades. Traduzem-se os dados re-
lativos, em geral, por meio de percentagens, 
índices, coeficientes e taxas. 
1. Percentagens
São razões que consistem em considerar um 
total qualquer igual a 100% e, através de uma 
prof. Ernani Martins dos Santos | carga horária: 10 horas
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18
regra de três, estabelecer qualquer relação 
com as parcelas que compõem o total assim:
ToTal - 100%
Parcela - X%
O que nos leva a:
 percentagem = parcela 100
 Total
Onde o x na regra de três está representado 
na equação logo a seguir pela palavra percen-
tagem. Isto significa que o valor de x, encon-
trado na regra de três, expressa um valor na 
forma de percentagem (daí a multiplicação 
por 100% que tem o significado de total). Por 
exemplo, encontrando-se x = 32 se expressa 
esse valor na forma de percentagem 32%.
eXercício 3.1
1. Em 1995 o Banco do Brasil (BB) renego-
ciou a dívida de R$ 7,1 bilhões dos agricul-
tores, que foi dividida em parcelas a serem 
pagas até o final de cada ano. O valor da 
primeira parcela era R$ 700 milhões, mas 
somente metade foi pago; da segunda 
parcela (totalizando R$ 1,1 bilhão) vencida 
em 1997 somente foi pago 26% do devi-
do. Em 1997 o lucro líquido do BB foi de 
R$ 646,4 milhões. Quantas vezes a dívida 
restante dos agricultores no início de 1998 
vale o lucro líquido do BB em 1997?
2. Uma empresa agropecuária desenvolveu 
uma mistura, composta de fécula de ba-
tata e farinha, para substituir a farinha de 
trigo comum. O preço da mistura é 10% 
inferior ao da farinha de trigo comum. 
Uma padaria fabrica e vende 5.000 pães 
por dia. Admitindo-se que o kg da farinha 
comum custa R$ 1,00 e que com 1kg de 
farinha ou da nova mistura a padaria fabri-
ca 50 pães, determine:
 a) a economia, em reais, obtida em um 
dia, se a padaria usar a mistura em vez da 
farinha de trigo comum;
 b) o número inteiro máximo de quilos da 
nova mistura que poderiam ser compra-
dos com a economia obtida em um dia e, 
com esse número de quilos, quantos pães 
a mais poderiam ser fabricados por dia.
3. No mês de agosto, Pedro observou que o 
valor da sua conta de energia elétrica foi 
de 50% superior ao valor da sua conta de 
água. Em setembro, tanto o consumo de 
energia elétrica, quanto o de água, na re-
sidência de Pedro, foram iguais aos con-
sumos do mês de agosto. Porém, como as 
tarifas de água é energia elétrica foram re-
ajustadas em 10% e 20%, respectivamen-
te, Pedro desembolsou R$ 20,00 a mais do 
que em agosto para quitar as duas contas. 
Quanto Pedro pagou de energia elétrica no 
mês de setembro?
 
4. No mês de janeiro de determinado ano, 
uma categoria profissional tem direito 
a um aumento salarial de 75%. Como a 
categoria já havia recebido uma antecipa-
ção de 25% em novembro, qual deve ser 
a porcentagem de acréscimo adicional do 
salário para compensar a antecipação con-
cedida? 
 
5. Um comerciante compra uma peça de te-
cido de 50m. Se ele vender 20m com um 
lucro de 50%, outros 20m com um lucro 
de 30% e os restantes pelo preço de custo, 
calcule seu percentual de lucro na venda 
da peça.
 
6. Sabendo-se que o Índice Geral de Preços ( 
IGP ) de junho de 2002 foi de 1,74% e no 
mês de julho do mesmo ano foi de 2,05%, 
qual o percentual de aumento de um mês 
para o outro?
Um outro fato também importante, é que as 
percentagens podem ser utilizadas de inúme-
ras formas, segundo a circunstância que quei-
ramos estudar. Vejamos dois casos:
Primeiro: Quando quisermos analisar a estru-
tura de um fato, deveremos ratear as porcen-
tagens entre os itens que compõem esse fato. 
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19
Calculemos as percentagens dos alunos de 
cada nível de ensino:
Ensino Fundamental
19286 x 100 = 90,96
21201
Isto nos leva a 91,0%
Ensino Médio
1681 x 100 = 7,92
21201
Isto nos leva a 7,9%
Ensino Superior
234 x 100 = 1,10
21201
Isto nos leva a 1,10%
Observe a soma:
91,0% + 7,9% + 1,1% = 100%
 
Com esses dados podemos formar uma nova 
coluna na série em estudo:
Consideremos a série: Vamos agora fazer uma interpretação dos da-
dos obtidos nesta nova coluna. Esses valores 
nos dizem que, cada 100 alunos da cidade Z, 
91 estão matriculados no Ensino Fundamen-
tal, 8, aproximadamente, no Ensino Médio e 
1 no Ensino Superior. Com isto, podemos ob-
servar que o emprego da percentagem é de 
grande valia quando é nosso intuito destacar 
a participação da parte no todo. Este estudo 
comparativo pode ser muito útil na análise de 
dados numa série estatística, como podemos 
ver a seguir.
Consideremos, agora, a série:
Matrículados nas Intituições de Ensino 
da Cidade Z ano 2000
Categorias Número de Alunos 
(Dados Absolutos)
Ensino 
Fundamental 19286
Ensino Médio 1681
Ensino Superior 234
Total 21201
Fonte: Dados Fictícios
Matrículados nas Intituições de 
Ensino da Cidade Z ano 2000
Categorias Número 
de Alunos
% (Dados 
Absolutos)
Ensino 
Fundamental 19286 91,0
Ensino Médio 1681 7,9
Ensino Superior 234 1,1
Total 21201 100
Fonte: Dados Fictícios
Categorias
Número de Alunos
Cidade Z Cidade T
Ensino 
Fundamental 19286 38660
Ensino Médio 1681 3399
Ensino Superior 234 424
Total 21201 42483
Fonte: Dados Fictícios
Matrículas nas Instituições de Ensino 
das cidades Z e T no ano 2000
Categorias
Cidade Z Cidade T
No de 
Alunos
% No de 
Alunos
%
Ensino 
Fundamental 19286 91,0 38660 91,0
Ensino Médio 1681 7,9 3399 8,0
Ensino Superior 234 1,1 424 1,0
Total 21201 100 42483 100
Fonte: Dados Fictícios
Qual das cidades tem, comparativamente, maior 
número de alunos em cada nível de ensino?
Como o número total de alunos é diferente 
nas duas cidades, não é fácil concluir a respei-
to usando os dados absolutos. Porém, usando 
as percentagens, tal tarefa apresenta-se como 
a forma ideal para a resposta ao questiona-
mento. Para tal, vamos acrescentar na tabela 
anterior as colunas correspondentes às percen-
tagens, relativa a cada nível de ensino, para 
cada cidade.
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20
Base - 100%
Valores - X%
Com isto: Apenas as duas primeiras colunas 
fazem parte do enunciado
percentagem = Valores X 100
 Base
A análise. A resposta com os dados brutos não 
seria tão bem posta, como a que se apresen-
ta com os dados relativos. Pois, num primeiro 
olhar poderíamos fazer um julgamento errô-
neo do fato, uma vez que a cidade T, aos olhos 
dos dados brutos, apresenta mais estudantes 
em todos os níveis de ensino, se comparada 
com a cidade Z. Mas, quando vamos dar uma 
olhada nos dados relativos, isto nos permite 
dizer que, comparativamente, contam, prati-
camente, com a mesma taxa de estudante em 
cada nível de ensino. Ou, com o mesmo nú-
mero de estudantes para cada deles tomados 
como referência 100. E, poderíamos informar 
que, para cada 100 estudantes, as cidades Z 
e T apresentamas mesmas taxas para os três 
níveis de ensino.
Observação:
Do mesmo modo que tomamos 100 para a 
base de comparação, também podemos to-
mar outro número qualquer, como por exem-
plo, 1 ou 1000 (base decimal). 
Segundo: Quando quisermos estudar a dinâ-
mica de um fato, ou seja, acompanhar a evolu-
ção de um fato ao longo do tempo, deveremos 
estabelecer um período seja ano, mês, dia etc. 
-, uma produção, uma renda etc. como sendo 
a base, considerando-a como 100%.
Base FiXa
Vejamos os cálculos:
Ano 95 3200 X100 = 100%
3200
Ano 96 3600 X100 = 112,5%
3200
Ano 97 3360 X100 = 105,0%
 3200
eXercício 3.2
1. Faça (continue) os cálculos para os anos: 
1998; 1999; 2000 e 2001.
Comentários:
Os valores dessa nova coluna mostram como 
evoluíram a produção em termos percentuais 
em relação ao ano1995 (base escolhida). Por 
exemplo: 
•	 De	 1995	 para	 1996	 a	 produção	 cresceu	
12,5%.
•	 De	 1995	 para	 1997	 a	 produção	 cresceu	
5,0%.
•	 De	1995	para	1998	a	produção	 também	
cresceu 5,0%.
•	 De	1995	para	1999	a	produção	foi	a	mes-
ma, ou seja, não evoluiu.
•	 De	1995	para	2000	a	produção	decresceu	
em -12,5%.
•	 De	 1995	 para	 2001	 a	 produção	 cresceu	
7,5%
Base móVel
Este caso difere do anterior, pois a base se mo-
difica para cada dado. Onde, cada novo dado 
sempre será relacionado com o dado anterior. 
Vejamos, o exemplo a seguir:
Exemplo: Produção em toneladas da Metalúr-
gica “ABC” Base Móvel.
Anos Produção (t) Ano-base 
1995 
(%) 
Variação 
Porcentual 
com Relação
 à Base (%) 
95
96
97
98
99
00
01
3200
3600
3360
3360
3200
2800
3440
100,0
112,5
105,0
105,0
100,0
87,0
107,5
-
+ 12,5
+ 5,0
+ 5,0
0,0
- 12,5
+ 7,5
( )
( )
( )
( )
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De forma similar ao caso da base fixa, temos:
Base - 100%
Valores - X%
Com isto:
percentagem = Valores X 100
 Base
Vejamos os cálculos:
95 Não existe dado anterior, por tanto 
 esse percentual é inexistente. 
96 3600 X 100 = 112,5%
3200
97 3360 X 100 = 93,3%
3200
eXercício 3.3
1. Faça (continue) os cálculos para os anos: 
1998; 1999; 2000 e 2001.
Comentários:
Os valores dessa nova coluna mostram como 
evoluem a produção de um ano para o outro. 
Por exemplo: 
•	 De	1995	para	1996	tivemos	um	acréscimo	
na produção de 12,5%
•	 De	1996	para	1997	a	produção	decaiu	em	
-6,7%.
•	 De	1997	para	1998	não	houve	alteração	
na produção.
•	 De	1998	para	1999	a	produção	decaiu	em	
-4,8%
Anos Produção (t) Base Móvel
(%) 
Variações % 
com Relação
 à Base
95
96
97
98
99
00
01
3200
3600
3360
3360
3200
2800
3440
-
112,5
93,3
100,0
95,2
87,5
122,9
-
+ 12,5
- 6,7
0,0
- 4,8
- 12,5
+ 22,9
•	 De	1999	para	2000	a	produção	 também	
decaiu em -12,5%
•	 De	2000	para	2001	a	produção	evoluiu	em	
22,9%.
2. índices
“Em termos gerais, um número-índice pode 
ser concebido como uma medida estatística 
destinada a comparar, através de uma expres-
são quantitativa global, grupos de variáveis 
relacionadas e com diferentes graus de im-
portância. Através dele obtém-se um quadro 
resumido das mudanças ocorridas em áreas 
afins (TOLEDO e OVALLE, 1985, p. 311)”. Este 
resumo dá uma visão geral do referido tema, 
que aqui será exposto apenas através das ex-
pressões quantitativas para um exercício de 
configuração deste conteúdo. 
Uma definição deste tema é dizer que, índices 
são razões entre duas grandezas tais que uma 
não inclui a outra (grandezas independentes).
São exemplos de índices:
•	 ÍNDICE CEFÁLICO
 IC DT X 100
DL
Onde:
IC = Índice Cefálico
DT = Diâmetro Transverso do Crânio 
DL = Diâmetro Longitudinal do Crânio
•	 QUOCIENTE INTELECTUAL
 QI IM X 100
IC
Onde:
QI = Quociente Intelectual
IM = Idade Metal 
IC = Idade Cronológica
•	 DENSIDADE DEMOGRÁFICA
 DD PT X 100
ST
( )
( )
( ) 
( )
( )
( )
c
a
p
ít
u
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Onde:
DD = Densidade Demográfica
PT = População Total 
ST = Superfície Total
índices econômicos
•	 PRODUÇÃO PER CAPITA
PPC VP 
 P
Onde:
PPC = Produção “Per Capita”
Vp = Valor da Produção 
P = População
•	 CONSUMO PER CAPITA
CPC CB 
 P
Onde:
CPC = Consumo “Per Capita”
CB = Consumo do Bem 
P = População
•	 RENDA PER CAPITA
RDPC Rd 
 P
Onde:
RDPC = Renda “Per Capita”
Rd = Renda 
P = População
•	 RECEITA PER CAPITA
RCPC Rc
 P
Onde:
RCPC = Receita “Per Capita”
Rc = Receita 
P = População
Exemplo:
Uma instituição beneficente possuía em 1993 
a quantia de $ 200.000 diários para atender a 
4000 pessoas. Em 1996 a receita da instituição 
é de $ 800.000 para atender a 8000 pessoas. 
Calcular a receita per capita da instituição e ve-
rificar se sua situação por atendido melhorou 
ou piorou, considerando que no período de 93 
a 96 houve um acréscimo de 120% (isto é uma 
suposição!) no custo de vida. 
Logo:
 
1993 Receita Per Capita = 200000 = 50
 4000 
 
1996 Receita Per Capita = 800000 = 100
 8000 
Porém:
Houve um acréscimo de 120% aumento 
de um fator de 220 (120 +100).
Daí:
Para manter o mesmo padrão a instituição ne-
cessitaria de:
100 - 30
220 - X
Resolvendo:
X = 110 a instituição piorou, pois necessitaria 
de $10 a mais do que é hoje (1996) a sua ren-
da per capita.
3. coeFicientes
É a comparação entre duas grandezas em que 
uma está contida na outra.
São exemplos de coeficientes: 
•	 COEFICIENTE DE NATALIDADE 
 
CN = NN 
 PT
Onde:
CN = Coeficiente de Natalidade
NN = Número de Nascimento 
PT = População Total
•	 COEFICIENTE DE MORTALIDADE
CM = NO 
 PT
Onde:
CM = Coeficiente de Mortalidade
NO = Número de Óbitos 
PT = População Total
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
c
a
p
ít
u
lo
 3
23
coeFicientes educacionais
•	 COEFICIENTE DE EVASÃO ESCOLAR
CEE = NE 
 NIM
Onde:
CEE = Coeficiente de Evasão Escolar
NE= Número de Alunos Evadidos 
NIM = Número Inicial de Matrícula
•	 COEFICIENTE DE APROVAÇÃO ESCOLAR
CAE = NA
 NFM
Onde:
CAE = Coeficiente de Aprovação Escolar
NA= Número de Alunos Aprovados 
NFM = Número Final de Matrícula
•	 COEFICIENTE DE RECUPERAÇÃO ESCOLAR
 
CRE = NR 
 NAR
Onde:
CRE = Coeficiente de Recuperação Escolar
NR= Número de Alunos Recuperados 
NAR = Número de Alunos em Recuperação
4. taXas
É a mesma coisa que coeficiente, apenas apre-
sentando-se multiplicada por uma potência de 
10 (dez) (10, 100, 1000 etc...) para tornar o 
resultado mais inteligível, uma vez que sempre 
especificamos os dados em formas relativas. 
Desse modo temos a expressão:
Taxa = Coeficiente X 10n 
com n = 1, 2, 3, ...
Exemplos de taxas:
•	 TAXA DE MORTALIDADE - TM
 
TM = CM X 10
3 
 
(ver o CM na parte de Coeficientes) 
•	 TAXA DE NATALIDADE - TN
 
TN = CN X 10
3 
(ver o CN na parte de Coeficientes) 
•	 TAXA DE EVASÃO ESCOLAR - TEE
 
TEE = CEE X 10
2 
 
(ver o CEE na parte de Coeficientes) 
•	 TAXA DE MORBIDADE - TMB
Calculada para cada doença em particular, 
aqui a tuberculose. Numa determinada cida-
de, relativa a um certo período (meses, ano, 
decênio, etc) Y.
Temos:
 
TMB = CMB X 10
3 
Onde:
 CMB = n
 Pn 
Sendo:
CMB = Coeficiente de Morbidade
n = número de acometidos por tuberculose 
no município X, no ano Y
PN = População do município X, no ano Y.
•	 TAXA DE ACIDENTES DE TRABALHO 
Neste caso, ela se divide em duas partes: 
I. Frequência da Taxa de Acidentes de Traba-
lho; 
II. Gravidade da Taxa de Acidentes de Trabalho.
Vejamos a primeira:
Onde: TfAT = CEE X 10
2
CfAT = Nac 
 NOH
Sendo: 
CfAT = Coeficiente de Frequência dos Acidentes 
de Trabalho
Nac = Número deAcidentes
NOH = Número de Operários Hora
Vejamos a segunda:
TgAT = C
g
at X 10
6
Onde: 
CgAT = NHPA 
 NOH
Sendo: 
CgAT = Coeficiente da Gravidade dos Acidentes 
de Trabalho
( )
( )
( )
c
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24
NHPA = Número de Horas Perdidas em razão 
dos Acidentes
NOH = Número de Operários Hora
Convém salientar que o n° de horas perdidas 
por acidente se conhece tendo em conta, além 
das horas que o acidentado deixou de traba-
lhar, a utilização de uma tabela específica que 
proporciona uma equivalência entre os tipos 
de incapacidade e o número de horas debi-
tadas à empresa em virtude do acidente. Por 
exemplo: perda de uma mão equivale a 3000 
horas perdidas, surdez em um ouvido equivale 
a 600 horas perdidas, etc.
eXercícios 
resolVidos
1. Calcular a taxa frequência e de gravidade 
em uma empresa em que, operando com 
50 operários, trabalhando 500 horas cada 
um, ocorreram 5 acidentes com uma per-
da de 200 horas.
TfAT = 5 x 10
6 = 200
 50 x 500
 O que significa que nesta empresa a, em 
cada 1000000 de operários-hora, ocorre-
ram 200 acidentes.
 
TgAT = 200 X 10
6 = 8000
 50x500
 
 O que significa que, nesta empresa, em 
cada 1000000 de operários-hora, 8000 
horas são perdidas em virtude de acidentes.
 
2. A cidade X apresentou 12793 matrículas 
nas séries iniciais, no início do semestre 
2000 e, 10347 no fim do ano 2000. A ci-
dade Y apresentou os seguintes números: 
8349 no início de 2000 e 6649 matrícu-
las no final de 2000. Qual e a cidade que 
apresentou mais evasão escolar?
 
 Cidade X
 Como: TFF = CEE X 10
2
 
 mas: CEE = NE 
 NIM
onde: 
 NE = Número de Alunos Evadidos
 
 Logo: NE = 12793 - 10347 = 2446
 
 e que NIM = 12793 com isto CEE = 0,191
 
 Daí: 
 TEE = 0,191 x 10
2 = 0,191 x 100 = 19,1%
 
 Cidade Y
 Como: TEE = CEE X 10
2
 
 mas: CEE = NE 
 NIM
 onde: 
 NE = Número de Alunos Evadidos
 
 Logo: NF = 8349 - 6649 = 1700
 
 e que NIM = 8349 com isto CEE = 0,204
 
 Daí: 
 TEE = 0,204 x 10
2 = 0,204 x 100 = 20,4%
 
 Conclusão: a cidade que apresentou a 
maior evasão escolar foi a cidade Y. Obser-
ve que o valor do coeficiente já diz esta 
realidade, porém, a informação em termos 
percentuais dá uma realidade maior ao 
fato, um vez que podemos compreendê-lo 
na formação de um todo (100%).
3. Em uma cidade cuja população é 520000 
habitantes, o números de óbitos registrados 
é de 80080. Calcular a taxa de mortalidade.
 Resolução:
 Temos: Números de Óbitos: NO = 80080
 
 e que a População Total: PT = 520000
 
 Como: 
 CM = NO 
 PT
 
 logo: CM = 80080
 = 0,154
 520000
 Mas: TM = CM x 10
3 
 
 logo: TM=0,154x10
3=0,154x1000=154% 
 
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25
Ou seja: 
 Tivemos 154 óbitos para cada 1000 habi-
tantes.
eXercício 3.4
1. Considere a série estatística:
 a) Complete-a com uma coluna de taxas 
percentuais.
 b) Como se distribuem as receitas em re-
lação ao total?
 c) Qual o desenvolvimento das receitas 
de um mês para o outro?
 d) Qual o desenvolvimento das receitas 
em relação ao mês de janeiro?
3. Um professor preencheu um quadro, en-
viado pela D.E, com os seguintes dados:
Séries Alunos Matriculados %
1a 546
2a 328
3a 280
4a 120
Total 1274
Fonte: Dados Fictícios
Meses Valor (US$ milhões) %
janeiro 33,3
fevereiro 54,1
março 44,5
abril 52,9
Total 184,8
Fonte: Dados Fictícios
 Calcule:
 a) A taxa de evasão, por classe;
 b) A taxa de evasão total;
 c) A taxa de aprovação, por classe;
 d) A taxa de aprovação geral;
 e) A taxa de recuperação, por classe;
 f) A taxa de recuperação geral:
 g) A taxa de reprovação na recuperação 
geral;
 h) A taxa de aprovação, sem recuperação;
 i) A taxa de retidos, sem recuperação.
4. Cosiderando que em uma região temos os 
seguintes dados:
 População = 1784327 habitantes
 Superfície = 137420 Km2
 Nascimentos em 1 ano = 42327 nascidos 
vivos 
 Mortes em 1 ano = 16230 óbitos
 
 Calcular:
 a) Coeficiente de natalidade e taxa de na-
talidade (por 1.000 hab.)
 b) Coeficiente de mortalidade e taxa de 
mortalidade (por 10.000 hab.)
 c) Índice de densidade demográfica.
 
5. Uma cidade de 320000 habitantes apre-
senta uma taxa de natalidade de 3,2% ao 
ano e uma taxa de mortalidade de 27% ao 
ano. Calcular o aumento da população em 
um ano.
 
6. Uma entidade assistencial em 1998 aten-
dia 500 internos com uma verba de R$ 
200.000,00. Em 2003, os internos au-
mentaram em 20%, enquanto que a verba 
aumentou 50%. Sabendo-se que o custo 
Série e Turma 1OB 1OC 1OE 1OF Total
No de Alunos 30/03 49 49 47 47 192
No de Alunos 30/11 44 42 35 40 161
Promovidos sem 
recuperação
35 42 27 33 137
Retidos sem 
recuperação
03 00 00 06 09
Em recuperação 06 00 08 01 15
Recuperados 05 00 03 00 08
Não recuperados 01 00 05 01 07
Total 
Geral
Promovidos 40 42 30 33 145
retidos 04 00 05 07 16
 Complete-a, determinado as percentagens 
com uma casa decimal e fazendo a com-
pensação (arredondamento), se necessá-
rio. Exemplos: 
 a) 32,4823% fica 32,5; 
 b) 12,237% fica 12,2%; 
 c) 6,971% fica 7,0%; 
 d) 8,3452% fica 8,3%.
2. Considere a tabela abaixo:
 Evolução das receitas do Café industrializa-
do de Janeiro até Abril do ano de 2002
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26
de vida, pela desvalorização da moeda, 
aumentous em 40% no mesmo período, 
indaga-se se a situação financeira da enti-
dade, por interno atendido, melhorou ou 
piorou?
7. Em uma empresa que possui 250 operá-
rios, trabalhando durante 60 dias de 8 ho-
ras cada um, verificaram-se 32 acidentes 
de trabalho, ocasionando uma perda de 
146 horas. Calcular a taxa de frequência e 
de gravidade de acidente do trabalho. 
reFerência 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 17a 
edição, São PAulo, SP; Ed. Saraiva, 1999.
MARTINS, G. A., Dornaire, D. Princípio de Es-
tatística. 4a edição. São PAulo, SP; Ed. Atlas, 
1990.
NAZARETH, Helenalda. Curso Básico de Estatís-
tica. 12a edição. São Paulo, SP; Ed. Ática, 2000.
SPIEGEL, MR. Estatística. 2a edição. São PAulo, 
SP; Ed. Mcgranw Hill, 1985.
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27
distriBuição de 
Frequência
oBJetiVos esPecíFicos
•	 Conhecer	 os	 elementos	 constituintes	 de	
uma tabela de frequência;
•	 Interpretar	e	construir	tabelas	de	frequência;
•	 Compreender	e	construir	o	gráfico	de	fre-
quência (histograma e gráfico de frequên-
cia acumulada);
•	 Entender	o	gráfico	como	uma	das	formas	de	
melhor interpretar os dados tabelados numa 
pesquisa em que a frequência é relevante.
introdução
A análise estatística se inicia quando um con-
junto de dados torna-se disponível de acordo 
com a definição do problema da pesquisa. Um 
conjunto de dados, seja de uma população ou 
de uma amostra, contém, muitas vezes, um 
número muito grande de valores. Além disso, 
esses valores, na sua forma bruta, encontram-
se muito desorganizados. Eles variam de um 
valor para outro, sem qualquer ordem ou pa-
drão. Os dados precisam, então, ser organiza-
dos e apresentados em uma forma sistemática 
e seqüencial por meio de uma tabela ou gráfi-
co. Quando fazemos isso, as propriedades dos 
dados tornam-se mais aparentes e tornamo-
nos capazes de determinar os métodos esta-
tísticos mais apropriados para serem aplicados 
no seu estudo.
prof. Ernani Martins dos Santos | carga horária: 10 horas
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Suponhamos o seguinte conjunto de dados:
Podemos também calcular as frequências acu-
muladas. Nesse caso, existem as frequências 
absolutas acumuladas e as frequências relati-
vas acumuladas.1 
14 12 13 11 12 13
16 14 14 15 17 14
11 13 14 15 13 12
14 13 14 13 15 16
12 12
Para montarmos uma distribuição de frequ-
ências desses dados, verificamos quais são os 
valores não repetidos que existem e, em uma 
primeira coluna de uma tabela, colocamos es-
ses valores e, na segunda coluna, o número de 
repetições de cada um desses valores.Para o 
exemplo acima, a distribuição de frequências 
será:
Variável Frequência
11 2
12 5
13 6
14 7
15 3
16 2
17 1
A frequência de uma observação é o número 
de repetições dessa observação no conjunto 
de observações. A distribuição de frequência 
é uma função formada por pares de valores, 
sendo que o primeiro é o valor da observação 
(ou valor da variável) e o segundo, o número 
de repetições desse valor.
1. Frequências 
 relatiVas e 
 acumuladas
Para o exemplo acima, também podemos cal-
cular a frequência relativa referente a cada va-
lor observado da variável. A frequência relativa 
é o valor da frequência absoluta dividido pelo 
número total de observações.
Variável Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa
11 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923
13 6 6/26 = 0,2308
14 7 7/26 = 0,2692
15 3 3/26 = 0,1154
16 2 2/26 = 0,0769
17 1 1/26 = 0,0385
TOTAL 26 1,0000
1 Observe que os valores da última coluna (frequência relativa acumulada) podem ser calculados de duas maneiras. Na primeira, tal como é feito na tabela 
a seguir, dividimos o valor da frequência absoluta acumulada pelo total de observações. Na segunda maneira, acumulamos o valor da frequência relativa. 
Este último método pode levar a acúmulos de erros, de forma que o último valor de frequência relativa acumulado se distancie consideravelmente de 1.
Variável Frequência 
absoluta
Frequência 
relativa
Frequência 
absoluta 
acumulada
Frequência 
relativa 
acumulada
11 2 2/26 = 0,0769 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923 7 7/26 = 0,2692
13 6 6/26 = 0,2308 13 13/26 = 0,5000
14 7 7/26 = 0,2692 20 20/26 = 0,7692
15 3 3/26 = 0,1154 23 23/26 = 0,8846
16 2 2/26 = 0,0769 25 25/26 = 0,9615
17 1 1/26 = 0,0385 26 26/26 = 1,0000
TOTAL 26 1,0000
2. Histogramas
Histograma é uma representação gráfica de 
uma tabela de distribuição de frequências. 
Desenhamos um par de eixos cartesianos, e, 
no eixo horizontal (abscissas) colocamos os va-
lores da variável em estudo e no eixo vertical 
(ordenadas), colocamos os valores das frequ-
ências. O histograma tanto pode ser represen-
tado para as frequências absolutas como para 
as frequências relativas. No caso do exemplo 
anterior, o histograma seria:
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29
Histograma de frequência acumulada (ou ogiva) é a representação gráfica do comportamento 
da frequência acumulada. Na figura abaixo, a ogiva é mostrada em sobreposição ao histograma.
3. taBulação de 
 Frequência e 
 Histograma Para 
 VariáVeis 
 contínuas
Até agora, vimos como são calculadas as fre-
quências (relativas e acumuladas) para variá-
veis quantitativas discretas. Nesse caso, a ta-
bulação dos resultados é mais simples. Mas, 
quando tratamos de variáveis quantitativas 
contínuas, os valores observados devem ser ta-
bulados em intervalos de classes. Para a deter-
minação dessas classes, não existe uma regra 
pré-estabelecida, sendo necessário um pouco 
de tentativa e erro para a solução mais ade-
quada. Suponhamos que as safras agrícolas de 
um determinado produto, em uma determina-
da região, sejam dadas pela tabela a seguir:
Ano Safra (1000 t) Ano Safra (1000 t)
1 280 10 365
2 305 11 280
3 320 12 375
4 330 13 380
5 310 14 400
6 340 15 371
7 310 16 390
8 340 17 400
9 369 18 370
Devem ser seguidos alguns passos para a tabu-
lação de frequências de dados que se referem 
a uma variável quantitativa contínua, como é o 
caso do nosso exemplo.
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30
1. Definir o número de classes. O número de 
classes não deve ser muito baixo nem mui-
to alto. Um número de classes pequeno 
gera amplitudes de classes grandes, o que 
pode causar distorções na visualização do 
histograma. Um número de classes grande 
gera amplitude de classes muito reduzidas. 
Foram definidas regras práticas para a de-
terminação do número de classes, sendo 
que este deve variar entre 5 e 20 (5 para 
um número muito reduzido de observa-
ções e 20 para um número muito elevado). 
Se n representa o número de observações 
(na amostra ou na população, conforme 
for o caso), o número aproximado de clas-
ses pode ser calculado por Número de 
Classes = , arredondando os resultados. 
No caso do exemplo anterior, temos n = 
e podemos adotar um número 
de 5 classes que será razoável.
2. Calcular a amplitude das classes. Essa será 
obtida, conhecendo-se o número de clas-
ses e amplitude total dos dados. A am-
plitude total dos dados é o resultado da 
subtração valor máximo - valor mínimo da 
série de dados. A amplitude de classe será:
do limite de classe, deve-se estabelecer um 
critério de inclusão. Para evitar esse tipo 
de dificuldade, normalmente se estabelece 
que o limite superior de cada classe é aber-
to (e conseqüentemente, o limite inferior 
de cada classe é fechado), ou seja, cada 
intervalo de classe não inclui o valor de 
seu limite superior, com exceção da última 
classe.
 
4. Tabular os dados por classe de frequência. 
A partir da listagem de dados, seleciona-se 
para cada um deles qual é a sua classe de 
frequência e acumula-se o total de frequ-
ência de cada classe. De acordo com nosso 
exemplo, teremos:
Classe Limite Inferior Limite Superior
1 280 310
2 310 340
3 340 370
4 370 400
5 400 430
3. Preparar a tabela de seleção com os limites 
de cada classe. Na tabela abaixo, apresen-
tamos para os dados do nosso exemplo os 
limites inferior e superior de cada uma das 
5 classes de frequência.
Classe
Frequência 
Absoluta 
Simples
Frequência 
Relativa
Simples
280 - 310 3 0,12 (12 %)
310 - 340 4 0,16 (16 %)
340 - 370 6 0,24 (24 %)
370 - 400 7 0,28 (28 %)
400 - 430 5 0,20 (20%)
Total 25 1,00 (100 %)
Veremos adiante, quando discutirmos as medi-
das de posição (medidas de tendência central) 
e de dispersão, que, quando agrupamos dados 
numéricos em intervalos de classe, ocorre per-
da de informação, o que leva a resultados não 
tão precisos que aqueles que seriam obtidos a 
partir dos dados originais sem agrupamento.
eXercícios
1. Conhecidas as notas de 50 candidatos 
após uma avaliação para concurso de Pro-
fessor na área de Biologia:
 84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
 Obtenha a distribuição de frequência, ten-
do 30 para limite inferior da primeira clas-
se e 10 para intervalo de classe.
Amplitude de classe = Valor Máximo - Valor Mínimo
 número de classes
 Em geral, o valor do resultado é também 
arredondado para um número inteiro mais 
adequado. No nosso exemplo, temos:
Amplitude de classe = 430 - 280 = 30 
 5
 Observa-se, na tabela acima, que o limite 
superior de cada classe coincide com o li-
mite inferior da classe seguinte. Prevendo-
se que pode ocorrer que o valor de uma 
observação seja exatamente igual ao valor 
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31
2. ARAÚJO e HOSSNE, ao pesquisarem a pres-
são arterial, em milímetros de mercúrio, de 
cães adultos anestesiados e após laparato-
mia, encontraram os seguintes dados:
 130; 107,5; 135; 100; 134,5; 121,5; 107,5; 
105; 125; 130; 145; 158,5; 135; 140; 120; 
100; 135; 125; 110; 102; 121,5; 111,5; 
107,5; 127,5; 104,5; 102,5; 119,5; 107,5; 
99; 120; 90,5; 101,5; 90,5; 115,5; 113; 
116; 143; 104,5; 102,5; 107,5; 125,5; 93; 
82,5; 115; 136; 101,5; 124; 117,5; 103,5.
 De posse desses dados, construa uma ta-
bela de distribuição de frequência. 
3. Faça um histograma e um polígono de fre-
quências para apresentar as informações 
da tabela seguinte.
• http://www.unb.br/ib/cfs/cg/Apostila%20I/
introducao.doc
 Esse material da UNB é um curso de Bio-
estatística com linguagem voltada para a 
área de Saúde e Biometria. Contém tópicos 
desde os conceitos básicos até os conte-
údos mais avançados, incluindo exemplo 
e citações de bibliografia importantes. In-
teressante para os estudantes que preten-
dem aprofundar seus conhecimentos.
reFerência
MILONE,G. e ANGELINI, F. Estatística Geral. SP: 
Atlas, 1993.
Este livro é dirigido, em sua especificidade à 
Estatística. O seu forte é uma linguagem clara 
dos conceitos trabalhados em Estatística.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 17ª. Edição. SP: 
Saraiva, 1999.
Apesar de técnico, este livro trabalha uma lin-
guagem bem didática para todos aqueles que 
necessitam de domínio no trabalho com a Es-
tatística. Apresenta exemplos e exercícios bem 
interessantes.
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 3ª. Edi-
ção. SP: Campus, 1980.
Um livro que pode ser consultado por você no 
estudo deste capítulo e durante o referido curso.
Cães adultos anestesiados e após 
laparotomia, segundo a pressão 
arterial, em milímetros de mercúrio.
Classe Ponto médio Frequência 
80 |--- 90 85 1
90 |---100 95 4
100 |---110 105 16
110 |---120 115 8
120 |---130 125 9
130 |---140 135 7
140 |---150 145 3
150 |---160 155 1
Sites nos quais o aluno pode buscar textos 
complementares, exercícios e aprofundar o es-
tudo dos temas abordados.
• http://www.ufpa.br/dicas/biome/bioni.htm
 Nesse material da Universidade Federal do 
Pará, o estudante encontra dicas e notas 
interessantes para todo estudo da bioes-
tatística, contendo inclusive, abordagem 
sobre o tema deste capítulo.
 
• http://www.ai.com.br/pessoal/indices/2A3.
HTM
 Esse site contém material completo para 
um curso de estatística. Conceitos, exem-
plos, exercícios, biblioteca virtual da área, 
inclusive glossário dos temas abordados e 
calculadora on-line. Bastante interessante 
para o estudante se aprofundar e exercitar 
o tema deste capítulo.
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 5
33
medidas de tendência 
central e medidas de 
disPersão
oBJetiVos esPecíFicos
•	 Compreender	o	significado	de	medidas	de	
posição ou de tendência central;
•	 Trabalhar	 estas	 medidas	 de	 posição	 em	
situações-problema;
•	 Conhecer	a	utilidade,	vantagens	e	desvan-
tagens dessas medidas;
•	 Definir	o	objetivo	das	medidas	de	dispersão;
•	 Explicar	o	que	são	medidas	de	dispersão	e	
como elas podem ser usadas;
•	 Identificar	 as	 vantagens	 importantes	 de	
cada medida de dispersão.
introdução
Em estatística, é comum analisarmos as ten-
dências que uma pesquisa revela. Para isso, 
realizamos algumas medidas estatísticas. 
Quando temos um conjunto de dados, pode-
mos identificar alguns de seus elementos, cuja 
tendência é se posicionar em torno de valores 
centrais desse conjunto. Por meio desses ele-
mentos, podemos analisar e interpretar dados.
Cada um desses elementos apresenta vanta-
gens e desvantagens, e a escolha de um ou de 
outro vai depender do conjunto de dados e 
dos fins desejados. 
prof. Ernani Martins dos Santos | carga horária: 20 horas
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As medidas de tendência central mais utiliza-
das são a moda, a mediana e a média (aritmé-
tica e ponderada).
moda (mo) 
Moda de um conjunto de valores é o elemento 
que ocorre mais freqüentemente, dentro des-
se conjunto. A moda pode ser calculada para 
qualquer tipo de variável. Sua função é possi-
bilitar a percepção de uma forte tendência, de 
uma preferência ou de uma rejeição evidente.
Exemplo:
Em uma pesquisa para se saber o tipo sangüí-
neo de uma certa população, obtiveram-se os 
seguintes dados: 547 tipo O; 441 tipo A; 123 
tipo B; e 25 tipo AB. Neste caso, a moda é o 
tipo O.
mediana (me)
Mediana de um conjunto finito de valores, dis-
postos em ordem crescente ou decrescente de 
grandeza, é o valor central, se o conjunto tiver 
um número ímpar de elementos ou a média 
aritmética dos dois valores centrais, se o con-
junto tiver um número par de elementos.
Exemplos:
1ª situação (número de termos ímpar) - Ao pes-
quisar o desenvolvimento da altura em atletas 
que praticam basquetebol, encontramos as se-
guintes medidas em centímetros: 2,07 ; 2,01; 
1,85; 1,85; 1,98; 1,95; 1,98; 2,07; 2,07; 2,10; 
2,13; 2,01; 2,18; 1,98; 2,07.
Para encontrarmos a mediana, colocamos em 
ordem crescente ou decrescente e tomamos o 
termo central.
1,85 1,85 1,95 1,98 1,98 1,98 2,01 
2,01 2,07 2,07 2,07 2,07 2,10 2,13 
2,18 
Neste caso, a mediana é 2,01.
2ª situação (número de termos par) - Ao pes-
quisar o desenvolvimento da altura em atletas 
que praticam basquetebol, encontramos as se-
guintes medidas em centímetros: 2,07 ; 2,01; 
1,85; 1,85; 1,98; 1,95; 1,98; 2,07; 2,07; 2,10; 
2,13; 2,01; 2,18; 1,98; 2,07; 2,04.
Para encontrarmos a mediana, colocamos em 
ordem crescente ou decrescente e tomamos os 
termos centrais, obtendo a média aritmética 
deles.
1,85 1,85 1,95 1,98 1,98 1,98 2,01 2,01 
2,04 2,07 2,07 2,07 2,07 2,10 2,13 
2,18 
Neste caso, a mediana é 2,01 + 2,04 = 2,025
 2 
A mediana pode ser calculada para variáveis 
qualitativas ordenáveis e para variáveis quan-
titativas. Uma das funções mais importantes 
da mediana é auxiliar a entender a razão pela 
qual a média sofre variações acentuadas. Isso 
porque uma discrepância na mediana interfere 
na média, fazendo com que ela aumente ou 
diminua muito.
média aritmética ( X )
A média pode ser calculada apenas, se a va-
riável envolvida na pesquisa for quantitativa. 
Utilizamos a média para observar o valor em 
torno do qual os dados se distribuem. Ela é 
tanto mais representativa quanto menor for a 
variação dos dados.
Para obtermos a média aritmética de um con-
junto de dados numéricos, dividimos o so-
matório de todos os termos e dividimos pelo 
quantitativo dos termos.
Exemplo:
Em determinada pesquisa com ratos machos 
da raça Wistar, foi verificado o peso deles em 
gramas ao 30º dia de nascido, obtendo os se-
guintes valores: 50; 62; 70; 86; 60; 64; 66; 77; 
58; 55; 82; e 74. Assim, para obtermos a mé-
dia aritmética, procedemos da seguinte forma:
X=50+62+70+86+60+64+66+77+58+55+82+74= 804=67 
 12 12
Observação: A média aritmética é usada como 
medida de tendência central, ou seja, como 
forma de, por meio de um único número, dar 
uma idéia das características de determinado 
grupo de números. No entanto, é importante 
ressaltar que, em algumas situações, a presen-
ça de um valor bem maior ou bem menor que 
as demais faz com que a média aritmética não 
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consiga traçar o perfil correto do grupo. Con-
sideremos, por exemplo, um grupo de pessoas 
com idades 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. A média 
de idade, que é 10 anos, não demonstra as ca-
racterísticas desse grupo em termos de idade.
média aritmética 
Ponderada 
Essa média é utilizada para representar classes, 
como é o caso da distribuição de frequência. 
Tal média é obtida através do somatório dos 
produtos de cada termo pelas referidas frequ-
ências e dividido pelo total da frequência. 
Exemplo:
107,5; 125,5; 93; 82,5; 115; 136; 101,5; 
124; 117,5; 103,5. 
 Determine a moda, a mediana e a média 
aritmética da pressão arterial, com os da-
dos citados acima.
 
2. Determine a média aritmética ponderada 
das pressões arteriais, em milímetros de 
mercúrio, representados na tabela a seguir.
Nascidos vivos, segundo o peso ao 
nascer, em quilogramas
Classe Ponto médio Frequência 
1,5 |--- 2,0 1,75 3
2,0 |---2,5 2,25 16
2,5 |---3,0 2,75 31
3,0 |---3,5 3,25 34
3,5 |---4,0 3,75 11
4,0 |---4,5 4,25 4
4,5 |---5,0 4,75 1
O número de nascidos vivos em nossa amostra 
é
n = 3 + 16 + 31 + 34 + 11 + 4 + 1 = 100
Para obter a média dos pesos ao nascer dos 
nascidos vivos da amostra, multiplica-se o 
ponto médio de cada classe pela respectiva 
frequência, somam-se os produtos e divide-se 
a soma por n. Então a média é:
Cães adultos anestesiados e após laparotomia, segun-
do a pressão arterial, em milímetros de mercúrio.
Classe Ponto médio Frequência 
80 |--- 90 85 1
90 |---100 95 4
100 |---110 105 16
110 |---120 115 8
120 |---130 125 9
130 |---140 135 7
140 |---150 145 3
150 |---160 155 1
3. As notas de um candidato,em seis pro-
vas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 
6,8; 8,7; e 7,2. Determine: A nota média, 
a nota mediana e a nota modal.
medidas de disPersão 
Para uma amostra
As medidas de tendência centrais, vistas ante-
riormente, são a abscissa do ponto em torno 
do qual os dados se distribuem, sendo mais 
apropriadas quanto menor for a dispersão dos 
dados, em que a dispersão é o des-
locamento de dados em relação às 
médias.
Para compreendermos melhor o que é dis-
persão, imagine quatro cobaias humanas em 
pesquisa para teste de quatro substâncias de 
emagrecimento, levando-se em consideração 
o emagrecimento mensal por quilograma e a 
média de emagrecimento mensal.
Cobaia Emagrecimento mensal Média mensal 
A 5 5 5 5 5 5
B 5 3 5 6 6 5
C 10 5 5 5 0 5
D 10 10 5 0 0 5
X =1,75 x 3+2,25 x 16+2,75 x 31+3,25 x 34+3,75 x 11+4,25 x 4+4,75 x 1=300=3 
 100 100
eXercícios
1. ARAÚJO e HOSSNE, ao pesquisarem a 
pressão arterial, em milímetros de mercú-
rio, de cães adultos anestesiados e após 
laparatomia, encontraram os seguin-
tes dados: 130; 107,5; 135; 100; 134,5; 
121,5; 107,5; 105; 125; 130; 145; 158,5; 
135; 140; 120; 100; 135; 125; 110; 102; 
121,5; 111,5; 107,5; 127,5; 104,5; 102,5; 
119,5; 107,5; 99; 120; 90,5; 101,5; 90,5; 
115,5; 113; 116; 143; 104,5; 102,5; 
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Todos tiveram média de emagrecimento men-
sal de 5 kg, mas a dispersão em torno da mé-
dia não é a mesma para todas as cobaias. A 
tabela anterior nos mostra que:
a) O emagrecimento da cobaia A não possui 
variação mensal (dispersão nula).
b) A dispersão mensal de emagrecimento da 
cobaia B é menor que da cobaia C.
c) O processo de emagrecimento da cobaia 
D possui uma maior variação que todas as 
outras.
Para observarmos esse processo, utilizamos as 
seguintes medidas de dispersão: amplitude, 
variância e desvio-padrão.
amPlitude
Amplitude é a diferença entre o maior e o me-
nor dado observado.
Amplitude da cobaia A:
5 – 5 = 0
Amplitude da cobaia B:
6 – 3 = 3
Amplitude da cobaia C:
10 – 0 = 10
Amplitude da cobaia D:
10 – 0 = 10
A amplitude não mede bem a dispersão dos 
dados, porque em seu cálculo, se utilizam, 
apenas, os extremos (valores) dos dados e não, 
todos os dados.
Variância
Os dados de uma amostra se distribuem em 
torno da média. Então o grau de dispersão 
de um conjunto de dados pode ser medido 
pelo desvio em relação à média, sendo esse 
desvio a diferença entre cada dado e a média 
do conjunto.
Como cada dado possui um desvio em relação 
à média, para termos o grau de dispersão de 
uma amostra, é preciso observar todos os des-
vios. O conjunto desses desvios mostra o grau 
de dispersão dos dados em torno da média.
Exemplo:
Considerando os dados da cobaia B, temos:
Média = 5 + 3 + 5 + 6 + 6 = 25 = 5
 5 5
Os desvios são os seguintes:
5 – 5 = 0
3 – 5 = - 2
5 – 5 = 0
6 – 5 = 1
6 – 5 = 1
Qualquer que seja o conjunto de dados, a 
soma dos desvios é sempre igual a zero, por-
que os valores positivos e negativos se anulam. 
Então, para medir a dispersão dos dados em 
torna da média, os estatísticos usam a soma 
dos quadrados dos desvios.
Para medir a dispersão dos dados em torno da 
média, usa-se, então, a variância, que leva em 
consideração o tamanho da amostra. A variân-
cia que é representada por s2 pode ser defini-
da pela fórmula:
 
∑	x2 - ∑	(x)2
S2 = n 
 n – 1 
Tomemos como exemplo os dados da cobaia 
B.
131 - ( 25 )2
s2 = 5 
 5 - 1
 131- 625
s2 = 5 
 4
Cálculo da soma de quadrados dos desvios
Dados (x) Desvios (x – x) Quadrado dos desvios (x – x)2
5 0 0
3 -2 4
5 0 0
6 1 1
6 1 1
x=5 ∑(x	–	x)	=	0 	∑(x	–	x)2 = 6
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s2 = 131 - 125
 4
s2 = 6 = 1,5
 4
desVio-Padrão
Como medida de dispersão, a variância tem a 
desvantagem de apresentar unidade de medi-
da igual ao quadrado da unidade de medida 
dos dados. Por esse motivo, surgiu o desvio-
padrão, definido como a raiz quadrada da va-
riância, com sinal positivo, representado por s.
Como exemplo, podemos tomar os dados da 
cobaia B.
S	=	√	1,5
S ~ 1,224
coeFiciente de 
Variação
O coeficiente de variação é a razão entre o des-
vio-padrão e a média. O resultado é multiplica-
do por 100, para que o coeficiente de variação 
seja dado em porcentagem. Levando em con-
sideração o exemplo da cobaia B, teremos:
CV = s x 100
 x
CV = 1,224 x 100
 5
CV = 0,2248 x 100
CV = 22,48 %
eXercícios 
1. O comitê de esportes de uma cidade ne-
cessita selecionar uma equipe para uma 
competição. O coordenador tem dúvidas 
sobre o atleta que deve representar a ci-
dade nos 400 metros rasos. Ele resolveu 
analisar as marcas de dois atletas nas últi-
mas competições e organizou as informa-
ções com os tempos dados em décimos 
de segundos:
 Atleta A : 464; 467; 469; 474; 476
 Atleta B: 467; 469; 472; 473 
 a) Calcule a média e a mediana das mar-
cas de cada atleta. A partir desses dados, 
que conselhos você daria ao coordenador 
para a escolha de um deles?
 b) Qual dos atletas tem maior chance de 
conseguir uma boa marca na competição?
 c) A média é suficiente para apreciar as 
diferenças entre os atletas?
 d) Qual a diferença entre a melhor e a 
pior marca do atleta A? E do atleta B?
 e) A amplitude das marcas de cada um 
pode auxiliar a tomada de decisão do co-
ordenador? Por quê? 
 
2. Considere as notas de quatro alunos em 
quatro testes, sabendo que 20 é a nota 
máxima em cada teste:
Aluno T1 T2 T3 T4
A 10 10 10 10
B 8 12 8 12
C 0 8 12 20
D 0 0 20 20
 a) Calcule a média que cada um deles obteve.
 b) Calcule a amplitude, a variância e o des-
vio-padrão das notas de cada um deles.
 c) Comparando os valores obtidos, o que 
você conclui?
 
3. Numa turma de 18 estudantes, os acertos 
de cada uma das 8 alunas em um teste de 
Biologia foram os seguintes: 
 2 6 10 10 14 16 18 20
 a) Calcule a média e o desvio-padrão dessa 
distribuição;
 b) A nota dos 10 alunos dessa turma na 
mesma prova constitui uma distribuição 
com a mesma média e com desvio-padrão 
2. Que comparação pode-se fazer entre as 
duas distribuições?
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4. Ao pesquisar os “pesos” de seus alunos de 
5ª série, um professor obteve os seguintes 
resultados: 
 
 38 40 45 42 45 40 43 38
 45 45 40 41 41 38 46 32
 48 46 42 43 44 50 38 40
 
 a) Organize esses dados numa tabela de 
classes de amplitude 4 kg.
 b) Qual é a média e a variância dessa dis-
tribuição?
 c) Qual é o desvio-padrão? 
correlação 
Freqüentemente procura-se verificar se existe 
relação entre duas ou mais variáveis. O peso 
pode estar relacionado com a idade das pes-
soas; o consumo das famílias pode estar re-
lacionado com sua renda, as vendas de uma 
empresa, e os gastos promocionais podem 
relacionar-se bem como a demanda de um de-
terminado produto e seu preço. A verificação 
da existência e do grau de relação entre variá-
veis é objeto do estudo da correlação.
Uma vez caracterizada, procura-se descrever 
uma relação sob forma matemática, através de 
uma função. A estimativa dos parâmetros des-
sa função matemática é o objeto da regressão.
correlação linear
Se um sistema de coordenadas retangulares 
mostra a localização dos pontos (x,y) e se, to-
dos os pontos desse diagrama parecem cair 
nas proximidades de uma reta, tem-se uma 
correlação denominada linear. 
Pelo fato de possuirmos uma correlação linear, 
temos, então, uma função de 1º grau do tipo 
Y = aX + b, onde X é a variável independen-
te, e Y, a variável dependente, sendo uma cor-
relação positiva, quando Y tendea aumentar, 
quando o X cresce, e negativa, quando Y ten-
de a diminuir, quando X aumenta.
diagramas de disPersão
Comprimento Peso Comprimento Peso
104 23,5 98 15
107 22,7 95 14,9
103 21,1 92 15,1
105 21,5 104 22,2
100 17 94 13,6
104 28,5 99 16,1
108 19 98 18
91 14,5 98 16
102 19 104 20
99 19,5 100 18,3
Correlação linear positiva
Correlação linear negativa
Nenhuma correlação
Exemplos:
1. Comprimento em centímetros e peso, em 
quilograma, de cães.
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Representação em diagrama de dispersão.
coeFiciente de correlação
Existe uma medida para o grau de correlação 
entre duas variáveis. O instrumento de medi-
da, no caso da correlação linear, é dado pelo 
coeficiente de Pearson, que se representa por r 
e é definido pela fórmula:
2. Consumo individual diário de proteína de origem animal, em gramas, e coeficiente de natali-
dade, em 10 países. 
País Consumo individual diário de proteínas Coeficiente de natalidade
Formosa 4,7 45,6
Malásia 7,5 39,7
Índia 8,7 33
Japão 9,7 27
Iugoslávia 11,2 25,9
Grécia 15,2 23,5
Itália 15,2 23,4
Bulgária 16,8 22,2
Alemanha 37,3 20
Irlanda 46,7 19,1
∑xy	-	(∑x)	(∑y)
r = n 
 	∑x2		-		(∑x)2 ∑y2	–	(∑y)2
√														n																						n
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Exemplos:
1. Calcular o coeficiente de correlação dos 
dados da tabela seguinte:
Peso úmido Peso seco
6,7 2
7,7 2,2
6,5 2
7,4 2,2
6,1 1,9
7,4 2,3
X Y
1 7
2 4
3 4
4 3
5 1
X Y X.2 Y2 X.Y
1 1 1 1 1
2 2 4 4 4
3 4 9 19 12
4 5 16 25 20
5 8 25 64 40
15 20 55 110 77
X Y X.2 Y2 X.Y
1 7 1 49 7
2 4 4 16 8
3 4 9 16 12
4 3 16 9 12
5 1 25 1 5
15 19 55 91 44
Neste caso, temos uma correlação positiva, 
pois, ao aumentar o valor de X, Y tende a au-
mentar. Assim, para a utilização da fórmula, 
fazem-se necessários os seguintes cálculos in-
termediários:
 								∑xy	-		(∑x)	(∑y) 77 - (15) (20)
r = n = 5 
						∑x2 - (∑x)2 	∑y2 - (∑y)2 55 - (15)2 110 - (20)2
		√												n															n								√										5																5
 77 - 300 
r = 5 = 77 - 60 
 55 - 225 110 - 400							√	55	-	45		110	-	80
√													5															5
r = 77 - 60 = 17 = 0,98
					√		10			30									√	300
2. Dada a tabela ao lado, calcular o coeficien-
te de correlação entre as variáveis X e Y.
													∑xy	-		(∑x)	(∑y) 44 - (15) (19)
r = n = 5 
								∑x2 - (∑x)2		∑y2 - (∑y)2 55 - (15)2 91 - (19)2
				√													n														n							√											5															5
 44 - 285 
r = 5 = 44 - 57 
 55 - 225 91 - 361							√	(55	-	45)	(91	-	72,5)
			√												5														5
 
r = 44 - 57 = - 13 = - 0,95 
								√	10		.		18,5							√	185
O coeficiente de correlação varia entre –1 e 
+1,	 inclusive,	 isto	 é,	 -1	≤	 r	≤	+1.	 Se	 r	 as-
sume o valor 1, diz-se que as duas variáveis 
têm correlação perfeita positiva e, se assume 
o valor de –1, diz-se que as duas variáveis têm 
correlação perfeita negativa. Se r assume o 
valor zero, não existe correlação entre as duas 
variáveis (a correlação é nula).
eXercícios
 
1. Com os dados da tabela abaixo, que repre-
senta o peso úmido e o peso seco, em gra-
mas, de lóbulos hepáticos de ratos, calcule 
o coeficiente de correlação entre os dois 
pesos.
X Y
1 1
2 2
3 4
4 5
5 8
Neste caso, temos uma correlação negativa, 
pois, ao aumentar o valor de X, Y tende a di-
minuir. Assim, para a utilização da fórmula, 
fazem-se necessários os seguintes cálculos 
intermediários:
2. Calcule o coeficiente de correlação para os 
dados apresentados na tabela seguinte:
 Idade gestacional, em semanas, e peso ao 
nascer, em quilogramas de recém-nascidos.
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41
3. Monte um diagrama de dispersão para as 
tabelas das questões anteriores.
Idade gestacional Peso ao nascer
28 1,25
32 1,25
35 1,75
38 2,25
39 3,25
41 3,25
42 4,25
Idade Peso médio
3 14,6
4 16,3
5 17,8
6 19,8
7 21,6
8 23,8
9 26,3
10 28,4
11 30,9
12 34,2
13 38,7
14 43,4
15 49,7
16 52,7
17 57,3
18 58,1
19 59,4
regressão
gráFico de linHas
É possível observar a variação de uma variável em função da outra através do gráfico de linhas. 
Para fazer o gráfico de linhas, primeiro se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois se represen-
ta a variável explanatória no eixo das abscissas e a variável dependente no eixo das ordenadas. 
Finalmente, considerando a ordem crescente de X, unem-se os pontos por segmentos de retas.
Exemplo:
Peso médio, em quilogramas, de indivíduos 
de sexo masculino, segundo idade, no Dis-
trito Federal
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42
Quantidade de procaína hidrolisada, em 10 moles/litro, no plasma humano, em função do tempo 
decorrido após sua administração.
reta de regressão
Para expor a idéia de regressão, utilizaremos um exemplo apresentado na tabela seguinte, que 
trata da quantidade de procaína hidrolisada, em 10 moles/litro, no plasma humano, em função 
do tempo decorrido após sua administração.
Perceba que os pontos estão praticamente so-
bre uma reta. Logo, esta correlação pode ser 
descrita através de uma reta, que, em estatísti-
ca, recebe o nome de reta de regressão.
Para ajustar uma regressão linear simples (isto 
é, a equação da reta), é preciso obter os co-
eficientes angular e linear da reta, sendo a 
reta determinada por uma função de primeiro 
grau, do tipo Y = aX + b, onde a é o coefi-
ciente angular, e b, o coeficiente linear.
O coeficiente angular – que dá a inclinação da 
reta – é obtido através da fórmula:
Tempo 
(minutos)
Quantidade 
hidrolisada
2 3,5
3 5,7
5 9,9
8 16,3
10 19,3
12 25,7
14 28,2
15 32,6
 ∑xy	-		(∑x)	(∑y)
a = n 
												∑x2 (∑x)2 
 n 
O coeficiente linear – que é a ordenada do 
ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas 
– é obtido através da fórmula: 
b = y – ax
onde y e x são as médias de Y e X, respectiva-
mente.
Tomemos como exemplo o caso da quantida-
de de procaína hidrolisada, em 10 moles/litro, 
no plasma humano, em função do tempo de-
corrido após sua administração.
c
a
p
ít
u
lo
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Cálculos intermediários para obtenção de a e b.
Tempo (minutos) Quantidade hidrolisada
2 3,5
3 5,7
5 9,9
8 16,3
10 19,3
12 25,7
14 28,2
15 32,6
x Y xy x.x
2 3,5 70 4
3 5,7 17,1 9
5 9,9 49,5 25
8 16,3 130,4 64
10 19,3 193 100
12 25,7 308,4 144
14 28,2 394,8 196
15 32,6 498 225
69 141,2 1589,2 767
Os dois pares de valores (X=5 e Y=9,82) e 
(X=15 e Y = 31,42) permitem traçar a reta 
de regressão da correlação entre x e y. Tal reta 
permite calcular os valores de Y para quais-
quer valores de X dentro do intervalo estuda-
do, mesmo que esses valores não entrem na 
amostra.
Aplicando a fórmula, obtém-se:
 ∑xy-(∑x)(∑y) 1589,2- 69 .141,2 1589,2- 9742,8
a = n = 8 = 8 
						∑x2	-	(∑x)2 767 - (69)2 767 - 4761
 n 8 8
a = 1589,2 - 1217,85 = 371,35 = 2,16
 767 - 595 171,85
 
b = 141,2 - 2,16 . 69 = - 0,98
 8 8
Passando a ter a seguinte equação da reta:
Y = 2,16X – 0,98
Para traçar uma reta de regressão, é preciso 
dar valores arbitrários para X e depois calcular 
os valores de Y, por exemplo: 
Para X = 5, temos: Y = 2,16 . 5 – 0,98
 Y = 10,80 – 0,98 
 Y = 9,82
Para X = 15, temos: Y = 2,16 . 15 – 0,98
 Y = 32,4 – 0,98Y = 31,42
eXercícios
1. Pesquise a altura e o peso de dez pesso-
as da sua convivência. Monte uma tabela 
para o peso e outra para a altura dessas 
pessoas a partir de suas idades.
2. A partir da utilização da fórmula posta aci-
ma, descubra a equação da reta de regres-
são dos dados pesquisados.
3. Monte o gráfico de linha para cada equa-
ção montada.
Sites nos quais o aluno pode buscar textos 
complementares, exercícios e aprofundar o es-
tudo dos temas abordados.
• http://ltodi.est.ips.pt/sardinha/siteBIOEST/
index.htm
 Neste material, da Escola Superior de Saú-
de, o estudante encontra dicas e notas in-
teressantes para o estudo da bioestatística, 
com apontamentos, exercícios, indicação 
c
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p
ít
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lo
 5
44
de bibliografia, sugestões de avaliações 
e trabalhos práticos, contendo, inclusive, 
abordagem sobre o tema deste capítulo.
 
• http://www.ai.com.br/pessoal/indices/2A3.
HTM
 Este site contém material completo para 
todo um curso de estatística. Conceitos, 
exemplos, exercícios, biblioteca virtual da 
área, inclusive glossário dos temas abor-
dados e calculadora on-line. Bastante inte-
ressante para o estudante se aprofundar e 
exercitar o tema deste capítulo.
• http://www.unb.br/ib/cfs/cg/Apostila%20I/
introducao.doc
 Este material da UNB é um curso de Bio-
estatística, com linguagem voltada para a 
área de Saúde e Biometria. Contém tópicos 
desde os conceitos básicos até os conteú-
dos mais avançados, incluindo exemplo e 
citando bibliografias importantes. Interes-
sante para os estudantes que pretendem 
aprofundar seus conhecimentos.
reFerências
IEZZI, G. et al. Fundamentos da Matemática. 
Vol. 11. SP: Atual, 2004 .
Este é um livro técnico, porém traz boas di-
cas e exercícios para os temas abordados neste 
capítulo. Muito bom para os estudantes apro-
fundarem seus conhecimentos.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 17ª. Edição. SP: 
Saraiva, 1999.
Apesar de técnico, este livro trabalha uma lin-
guagem bem didática para todos aqueles que 
necessitam de domínio no trabalho com a Es-
tatística. Apresenta exemplos e exercícios bem 
interessantes.
VIEIRA, S. Introdução à Bioestatística. 3ª. Edi-
ção. SP: Campus, 1980.
Um livro que pode ser consultado por você no 
estudo deste capítulo e durante o referido curso.
PEREIRA, W. Estatística: Conceitos Básicos. 2ª. 
Edição. SP: MC Graw Hill, 1990.
Esta obra ajuda o estudante a compreender 
melhor os conceitos abordados neste capítulo 
bem como se exercitar um pouco mais.