Física Moderna I_Parte 03

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FÍSICA MODERNA I
QUANTIZAÇÃO DA CARGA, LUZ 
E ENERGIA
Quantização da Carga Elétrica
❖ A ideia que a matéria é composta de pequenas partículas, ou átomos, foi proposta pela
primeira vez pelo filósofo grego Demócrito e seu mestre Leucipo, por volta de 450 a.C.
❖ Entretanto, até o século XVII não houve tentativas sérias de confirmar esta
especulação através de observações experimentais.
❖ Pierre Gassendi, na metade do século XVII, e Robert Hooke, alguns anos mais tarde,
tentaram explicar os estados da matéria e suas transformações entre esses estados
usando um modelo segundo o qual a matéria era composta por objetos sólidos
indestrutíveis, de pequenas dimensões, que estavam em movimento constante.
❖ Entretanto, foi a hipótese de Avogadro, formulada em 1811, que todos os gases a uma
data temperatura contêm o mesmo número de moléculas por unidade de volume, que
levou à interpretação correta das reações químicas e mais tarde, por volta de 1900, à
teoria cinética dos gases.
❖ Assim, ficou estabelecido que a matéria não é contínua, como parece à primeira vista,
e sim quantizada, isto é, formada por partículas distintas. O fato de a matéria parecer
contínua foi atribuído ao pequeno tamanho dessas partículas.
❖ A quantização da carga elétrica não foi surpresa para os cientistas do início do século
XX, pois era análoga à quantização da matéria. Por outro lado, a quantização da
energia luminosa e a quantização da energia mecânica, foram ideias revolucionárias.
❖ Quantização da Carga Elétrica
❖ As primeiras estimativas da ordem de grandeza das cargas elétricas associadas aos
átomos foram feitas a partir da lei de Faraday (1791 - 1867).
❖ Um dos campos de estudo de Michael Faraday foi a condução de eletricidade em
líquidos. Os resultados que obteve e a subsequente formulação da lei da eletrólise
(1833) contribuíram diretamente para a descoberta da natureza elétrica das forças
atômicas.
❖ Lei de Faraday para a eletrólise
𝑭 = 𝑵𝒂𝒆
onde 𝑭(= 𝟗𝟔. 𝟓𝟎𝟎 𝑪) é a quantidade de eletricidade, 𝑵𝒂(= 𝟔, 𝟎𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟑) é o número 
de Avogadro e 𝒆 (= 𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗) é a carga elétrica.
❖ Em 1874, Stoney sugeriu que a unidade mínima de carga fosse chamada de elétron e
usou uma estimativa de 𝑵𝒂, obtida a partir da teoria cinética dos gases, para estimar o
valor de 𝒆 em 𝟏𝟎−𝟐𝟎C.
❖ A primeira medida direta desta menor unidade de carga foi realizada por Townsend em
1897, por um método engenhoso que foi o precursor do famoso experimento de
Millikan.
❖ Descoberta do Elétron: O Experimento de J. J. Thomson
❖Muitos estudos de descargas elétricas em gases foram realizadas no final do século
XIX. Os cientistas descobriram que os íons responsáveis pela condução de eletricidade
em gases possuíam a mesma carga que os íons responsáveis pela condução da
eletricidade na eletrólise.
❖ Thomson mediu o valor de 𝒒/𝒎 para os chamados raios catódicos e observou que se a
carga das partículas contidas nesses raios fosse igual à carga mínima 𝒆 calculada por
Stoney, a massa dessa partícula seria apenas uma pequena fração da massa do átomo
de hidrogênio.
❖ Na verdade, ele havia descoberto o elétron. O tubo de raios catódicos usado por J.J.
Thomson e outros cientistas da época foi o precursor dos tubos de imagem usados em
receptores de TV, osciloscópios, telas de radar e monitores de computador.
Tubo usado por J. J.
Thomson para
medir 𝒆/𝒎.
❖ A medição direta da relação 𝒆/𝒎 para os elétrons, realizada em 1897 por J. J.
Thomson, pode ser considerada o início de nosso entendimento da estrutura atômica.
❖Medição de 𝒆/𝒎
❖ Quando um campo uniforme de intensidade 𝑩 é aplicado perpendicularmente à
direção de movimento de partículas carregadas , as partículas passam a se mover em
uma trajetória circular.
❖ O raio 𝑹 da trajetória pode ser calculado a partir da segunda lei de Newton, fazendo a
força magnética 𝒒𝒖𝑩 igual à massa 𝒎 multiplicada pela aceleração centrípeta 𝒖𝟐/𝑹:
𝑭𝑩 = 𝒒𝒗 × 𝑩
Força Magnética Aceleração 
Centrípeta
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝒓
𝒒𝒖𝑩 =
𝒎𝒖𝟐
𝑹
ou 𝑹 =
𝒎𝒖
𝒒𝑩
❖ A equação anterior é não relativística, vamos a versão relativística.
𝑭𝑩 = 𝒒𝒖 × 𝑩 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
=
𝒅(𝜸𝒎𝒑)
𝒅𝒕
= 𝜸𝒎
𝒅𝒖
𝒅𝒕
❖ Como a força magnética é sempre perpendicular à velocidade, o trabalho executado
sobre a partícula é nulo (o teorema do trabalho e energia permanece válido na
mecânica relativística) e então, a energia da partícula é constante.
❖ Segundo a equação
❖ Se a energia 𝑬 é constante, 𝜸 também é constante.
❖ Assim, temos:
𝑬 = 𝑬𝒌 +𝒎𝒄𝟐 = 𝜸𝒎𝒄𝟐 =
𝒎𝒄𝟐
𝟏 − Τ𝒖𝟐 𝒄𝟐
Teorema do trabalho e energia: 𝑾 = 𝑬𝒇 − 𝑬𝒊
𝒒𝒖𝑩 = 𝜸
𝒎𝒖𝟐
𝑹
❖ No caso particular em que 𝒖 ⊥ 𝑩, a trajetória da partícula é uma circunferência de raio
𝑹 e a sua aceleração centrípeta é dada por 𝒖𝟐/𝑹. (Se 𝒖 não for perpendicular a 𝑩, a
trajetória será helicoidal. Como a componente de 𝒖 paralela a 𝑩 não contribui para a
força 𝑭, vamos considerar apenas o movimento em duas dimensões.) Nesse caso,
temos:
𝒒𝒖𝑩 = 𝒎𝜸
𝒅𝒖
𝒅𝒕
= 𝒎𝜸
𝒖𝟐
𝑹
ou
❖ Para sorte de Thomson, que, naturalmente, nada sabia a respeito dos efeitos
relativísticos, a velocidade dos “raios catódicos” (elétrons) era muito menor do que a
velocidade da luz
𝒖
𝒄
≪ 𝟎, 𝟐 , e portanto, o uso da aproximação não-relativística não
introduziu erros significativos nas medidas.
❖ No seu primeiro experimento, Thomson determinou a velocidade das partículas
medindo a carga total e a variação de temperatura que ocorria quando os raios
atingiam um coletor isolado. No caso de 𝑵 partículas, a carga total é 𝑸 = 𝑵𝒆, enquanto
o aumento de temperatura é proporcional à dissipação de energia 𝑾 = 𝑵𝒎𝒖𝟐/𝟐.
Eliminando 𝑵 e 𝒖 dessas equações, temos:
𝑵 =
𝑸
𝒆
𝑾 = 𝑵𝒎
𝒖𝟐
𝟐
𝑾 =
𝑸
𝒆
𝒎
𝒖𝟐
𝟐
E obtemos que
𝒖 =
𝒆𝑹𝑩
𝒎
𝒆𝒖𝑩 =
𝒎𝒖𝟐
𝑹
Lembrando que
𝑾 =
𝑸𝒎
𝟐𝒆
𝒆𝑹𝑩
𝒎
𝟐
E portanto
𝒆
𝒎
=
𝟐𝑾
𝑩𝟐𝑹𝟐𝑸Continuando...
❖ Ajustando os valores de um campo magnético 𝑩 e um campo elétrico 𝓔, mutuamente
perpendiculares, para que os raios não sofressem nenhuma deflexão, determinamos a
velocidade igualando a força magnética à força elétrica:
𝒒𝒖𝑩 = 𝒒𝓔 ou 𝒖 =
𝓔
𝑩
❖ Em seguida, desligamos o campo magnético e medimos a deflexão dos raios na tela.
Esta deflexão pode ser dividida em duas partes.
❖ Enquanto as partículas se encontram
entre as placas, sofrem uma deflexão
vertical 𝒚𝟏 dada por
𝒚𝟏 =
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏
𝒖𝒙
𝟐
onde 𝒙𝟏é o comprimento das placas. Depois de deixarem a região entre as placas, as
partículas sofrem uma deflexão adicional 𝒚𝟐 dada por
𝒚𝟐 = 𝒖𝒚𝒕𝟐 = 𝒂𝒕𝟏
𝒙𝟐
𝒖𝒙
=
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏
𝒖𝒙
𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝒚𝟐 =
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
onde 𝒙𝟐é a distância entre as placas e a tela. A deflexão total 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 é proporcional a
𝒆/𝒎.
❖ Combinando as equações:
𝒖 =
𝓔
𝑩
𝒚𝟏 =
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏
𝒖𝒙
𝟐
𝒚𝟐 =
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏
𝒖𝒙
𝟐
+
𝒆𝓔
𝒎
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝒆𝓔
𝒎
𝟏
𝟐
𝒙𝟏
𝒖𝒙
𝟐
+
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝒆𝓔
𝒎
𝟏
𝒖𝒙
𝟐
𝒙𝟏
𝟐
𝟐
+
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
Observação: 𝒖 = 𝒖𝒙 quando a deflexão é nula.
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 =
𝒆
𝒎
𝑩𝟐
𝓔
𝒙𝟏
𝟐
𝟐
+
𝒙𝟏𝒙𝟐
𝒖𝒙
𝟐
❖ Observe que se tratava de uma medida “direta”: Thomson precisava apenas de um
voltímetro, um amperímetro e uma régua para determinar o valor de 𝒆/𝒎. Também é
interessante notar que o valor 𝒆/𝒎 obtido foi de 𝟐 × 𝟏𝟎𝟏𝟏C/kg, próximo do valor atual
(1,76× 𝟏𝟎𝟏𝟏C/kg).
❖ Thomson repetiu o experimento usando gases diferentes no interior do tubo e catodos
feitos de diferentes metais, mas obteve sempre o mesmo valor para 𝒆/𝒎 (dentro do
erro experimental esperado), o que o levou a supor que as mesmas partículas estavam
presentes em todos os metais.
❖ A concordância de seus resultados com os obtidos por Zeeman o levou à conclusão que
essas partículas – que Thomson chamava de corpúsculos e maistarde Lorentz
denominou de elétrons – tinham uma unidade de carga negativa, e uma massa de
aproximadamente 2.000 vezes menor que a do átomo de hidrogênio e eram parte
integrante de todos os átomos.
❖ O Espectrômetro de Massa
❖ Um dos aparelhos usados atualmente para medir a relação 𝒒/𝒎 entre a carga e a
massa de moléculas e átomos ionizados é o chamado espectrômetro de massa.
❖ O instrumento mede o raio das órbitas circulares descritas por íons submetidos a uma
diferença de potencial conhecida na presença de um campo magnético uniforme de
valor conhecido.
❖ A equação 𝑹 = 𝒎𝒖/𝒒𝑩 relaciona o raio 𝑹 da órbita de uma partícula na presença de
um campo magnético perpendicular a trajetória da partícula de massa 𝒎, velocidade
𝒖 e carga 𝒒.
❖A figura ao lado mostra o diagrama esquemático de
um espectrômetro de massa.
❖Íons produzidos por uma fonte são acelerados por um
campo elétrico e em seguida entram em uma região
na qual existe um campo magnético uniforme
produzido por um eletroímã.
❖Se os íons produzidos por uma fonte são acelerados a
partir do repouso por uma diferença de potencial ∆𝑽,
sua energia cinética ao entrarem na região onde
existe o campo magnético é igual à energia potencial
𝒒∆𝑽:
𝟏
𝟐
𝒎𝒖𝟐 = 𝐪∆𝑽
❖Os íons descrevem um semicírculo de raio 𝑹 dado pela equação 𝑹 = 𝒎𝒖/𝒒𝑩 antes de
atingirem um filme fotográfico ou saírem por uma abertura estreita e atingirem um
detector de íons no ponto 𝑷𝟐, situado a uma distância 𝟐𝑹 do ponto de entrada na região
onde existe um campo magnético.
❖Eliminando a velocidade 𝒖 das equações
𝟏
𝟐
𝒎𝒖𝟐 = 𝐪∆𝑽
𝑹 =
𝒎𝒖
𝒒𝑩
E explicitando 
𝒒
𝒎
, temos que:
𝒒
𝒎
=
𝟐∆𝑽
𝑩𝟐𝑹𝟐
❖Atualmente, os espectrômetros de massa permitem medir as massas de átomos e
moléculas com uma precisão maior do que 1 parte em 𝟏𝟎𝟗. O método normalmente
usado consiste em medir as diferenças entre raios das trajetórias descritas por massas-
padrão e pelos íons de interesse.
❖Exemplo. Medidas com Espectrômetro de Massa. Um íon de 58Ni, de carga +𝒆 e massa
𝟗, 𝟔𝟐 × 𝟏𝟎−𝟐𝟔Kg, é acelerado por uma diferença de potencial de 3 kV e em seguida entra
em uma região na qual existe um campo magnético uniforme de 0,12 T.
❖Curiosidade: Nas regiões polares, a intensidade do campo na superfície da Terra é em
torno de 70 mil nT (𝟕, 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟓 T). Os valores extremos para a intensidade do campo
total são 24 mil nT (2,4 × 𝟏𝟎−𝟓 T); na Anomalia Magnética da América do Sul e 66 mil nT
(6,6 × 𝟏𝟎−𝟓 T); na região entre a Austrália e a Antártica. Fonte: Serviço Geológico do
Brasil.
❖ Um estimativa é que o campo magnético da Terra próximo à sua superfície é 𝟏𝟎−𝟒 T ou 1
gauss.
❖(a) Determine o raio da trajetória do íon. (b) Determine a diferença entre os raios das
trajetórias dos íons 58Ni e 60Ni. (Suponha que os dois íons têm a mesma carga e que a
relação entre as massas é 58/60.)
❖Solução. O raio da trajetória do íon pode ser calculado a partir da equação:
𝒒
𝒎
=
𝟐∆𝑽
𝑩𝟐𝑹𝟐
𝑹𝟐 =
𝟐𝒎∆𝑽
𝒒𝑩𝟐
Como neste caso 𝒒 = +𝒆, temos:
𝑹𝟐 =
𝟐 𝟗, 𝟔𝟐 × 𝟏𝟎−𝟐𝟔Kg 𝟑𝟎𝟎𝟎V
𝟏, 𝟔𝟎 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C 𝟎, 𝟏𝟐T 𝟐
𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 m𝟐
𝑹 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟏 m
❖Para resolver o item (b), observe que, de acordo com e equação 𝒒
𝒎
=
𝟐∆𝑽
𝑩𝟐𝑹𝟐
o raio da trajetória é proporcional à raiz quadrada da massa. Assim, para valores idênticos
de 𝒒, 𝑽 e 𝑩, chamando de 𝑹𝟏 o raio da trajetória do íon 58Ni e 𝑹𝟐 o raio da trajetória do íon
60Ni, temos:
𝑹𝟏
𝑹𝟐
=
𝑴𝟐
𝑴𝟏
=
𝟔𝟎
𝟓𝟖
= 𝟏, 𝟎𝟏𝟕
❖Usando o valor de 𝑹𝟏 já calculado, temos
𝑹𝟐 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟕𝑹𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟕 𝟎, 𝟓𝟎𝟏 m = 𝟎, 𝟓𝟏𝟎 m
❖A diferença ∆𝑹 entre os raios é, portanto,
∆𝑹 = 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟎 m−𝟎, 𝟓01m=𝟎, 𝟎𝟎𝟗 m= 9mm
❖Medidas da Carga Elétrica: Thomson, Townsend e Millikan. O fato de os experimentos de
Thomson fornecerem sempre o mesmo valor de 𝒆/𝒎, independentemente do material do
catodo e do gás usado no tubo, era uma forte indicação de que todos os elétrons
possuíam a mesma carga elétrica negativa 𝒆 , e Thomson iniciou uma série de
experimentos para determinar o valor de 𝒆.
❖O primeiro desses experimentos, que se revelou muito difícil de executar com alta
precisão, foi realizado pelo seu aluno J. S. E. Townsend. A ideia era simples: observava-se
uma nuvem pequena (mais visível) de gotas d´água idênticas, cada uma com uma carga
elétrica 𝒆, enquanto esta caía por ação da força da gravidade.
❖A carga total da nuvem, 𝑸 = 𝑵𝒆, era medida, bem como a massa da nuvem e o raio de
uma gota isolada. Uma vez conhecido o raio das gotas, não era difícil determinar o valor
de 𝑵, o número total de gotas na nuvem, e portanto, o valor de 𝒆.
❖A precisão do método de Thomson era limitada por dois fatores: a incerteza quanto à
velocidade de evaporação da nuvem e a hipótese de que todas as gotas continham uma e
apenas uma carga elétrica.
❖R. A. Millikan tentou eliminar o problema da evaporação usando um campo elétrico
suficientemente intenso para manter a nuvem estacionária, o que lhe permitiu observar a
evaporação e calcular a correção necessária.
❖Em 1909, Millikan iniciou uma série de experimentos que não apenas mostraram que as
cargas sempre ocorriam em múltiplos inteiros de uma unidade elementar 𝒆, como
também permitiram determinar o valor de 𝒆 com uma precisão de 1 parte em 1.000.
❖Para eliminar o problema da evaporação, Millikan passou a trabalhar com gotas de óleo
borrifadas no ar seco entre as placas de um capacitor. O atrito com o bico do borrifador
fazia com que essas gotas já fossem criadas com uma certa carga elétrica.
❖Foi possível determinar que as cargas sempre ocorriam em múltiplos de uma unidade
fundamental e cujo valor foi estimado em 𝟏, 𝟔𝟎𝟏 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C. O valor atual é, arrendado
para três casas decimais, 𝟏, 𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C.
❖O Experimento de Millikan. O experimento no qual Millikan mediu a carga do elétron é
um dos poucos experimentos realmente cruciais da física.
❖A figura mostra, de forma esquemática, o
equipamento usado por Millikan.
❖Na ausência de campo elétrico, a força para
baixo é 𝒎𝒈 e a força para cima é 𝒃𝒗. A
equação do movimento da gota é:
𝒎𝒈− 𝒃𝒗 = 𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
❖Onde 𝒃 é dado pela lei de Stokes:
𝒃 = 𝟔𝝅𝜼𝒂
❖Onde 𝜼 é o coeficiente de viscosidade do fluido (ar) e 𝒂 é o raio da gota. A velocidade
terminal 𝒗𝒅 de uma gota que está descendo é
𝒗𝒅 =
𝒎𝒈
𝒃
❖Quando um campo elétrico 𝓔 é aplicado, o movimento
para cima de uma carga 𝒒𝒏 é dada por
𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈 − 𝒃𝒗 = 𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
❖ Assim, a velocidade terminal 𝒗𝒔de uma gota que está subindo sob ação de um campo
elétrico é dada por
𝒗𝒔 =
𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈
𝒃
❖ Neste experimento, as velocidades terminais eram atingidas quase instantaneamente e
as gotas se deslocavam de uma distância 𝑳 para cima ou para baixo com velocidade
constante.
❖Combinando as equações
𝒗𝒅 =
𝒎𝒈
𝒃
𝒗𝒔 =
𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈
𝒃
𝒃 =
𝒎𝒈
𝒗𝒅
𝒗𝒔 =
𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈
𝒎𝒈
𝒗𝒅
𝒗𝒔
𝒗𝒅
𝒎𝒈 = 𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈
𝒗𝒔
𝒗𝒅
+ 𝟏 𝒎𝒈 = 𝒒𝒏𝓔
𝒗𝒔 + 𝒗𝒅
𝒗𝒅
=
𝒒𝒏𝓔
𝒎𝒈
𝒒𝒏 =
𝒎𝒈
𝓔
𝒗𝒔 + 𝒗𝒅
𝒗𝒅
𝒒𝒏 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒅
+
𝟏
𝑻𝒔
ou
onde 𝑻𝒅 = Τ𝑳 𝒗𝒅 é o tempo de queda e 𝑻𝒔 = Τ𝑳 𝒗𝒔 é o tempo de subida.
❖ Quando a gota recebe uma carga adicional, a velocidade terminal se torna 𝒗𝒔
′ , que está
relacionada à nova carga 𝒒𝒏
′ através da equação:
𝒗𝒔
′ =
𝒒𝒏
′ 𝓔 −𝒎𝒈
𝒃
❖ O aumento de carga é, portanto,
𝒒𝒏
′ − 𝒒𝒏 =
𝒎𝒈
𝓔𝒗𝒅
𝒗𝒔
′ − 𝒗𝒔
𝒗𝒔 =
𝒒𝒏𝓔 −𝒎𝒈
𝒃
As velocidades 𝒗𝒅, 𝒗𝒔 e 𝒗𝒔
′ são determinadas medindo o tempo necessário para que a gota
percorra uma distância 𝑳 entre as placas do capacitor.
ou 𝒒𝒏
′ − 𝒒𝒏 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒔
′ −
𝟏
𝑻𝒔
❖ Fazendo 𝒒𝒏 = 𝒏𝒆 e 𝒒𝒏
′ − 𝒒𝒏 = 𝒏′𝒆, onde 𝒏′é a variação de 𝒏, as equações se tornam
𝒒𝒏 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒅
+
𝟏
𝑻𝒔
𝒒𝒏
′ − 𝒒𝒏 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒔
′ −
𝟏
𝑻𝒔
𝒏𝒆 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒅
+
𝟏
𝑻𝒔
𝒏′𝒆 =
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝓔
𝟏
𝑻𝒔
′ −
𝟏
𝑻𝒔
𝟏
𝒏
𝟏
𝑻𝒅
+
𝟏
𝑻𝒔
=
𝓔𝒆
𝒎𝒈𝑻𝒅𝟏
𝒏′
𝟏
𝑻𝒔
′ −
𝟏
𝑻𝒔
=
𝓔𝒆
𝒎𝒈𝑻𝒅
❖Para calcular o valor de 𝒆 a partir
dos tempos de subida e de
descida, é preciso conhecer a
massa da gota (ou o seu raio, já
que a densidade do óleo é
conhecida).
❖ O raio pode ser calculado a partir da lei de Stokes usando a equação: 𝒗𝒅 =
𝒎𝒈
𝒃
𝒃 = 𝟔𝝅𝜼𝒂onde
❖ Observe que os lados direitos das equações (ao lado) são
iguais à mesma constante, embora ela seja desconhecida,
já que contém o fator 𝒆 cujo o valor está se medindo.
❖A técnica, portanto, consistia em observar uma gota com
um número desconhecido de cargas, 𝒏, e medir o tempo de
descida 𝑻𝒅 (o campo elétrico desligado) e o tempo de
subida 𝑻𝒔 (o campo elétrico ligado). Em seguida, para a
mesma gota (e portanto a mesma massa 𝒎), o número de
cargas era alterado para um valor desconhecido 𝒏′ + 𝒏
expondo a gota a uma fonte de raio X e os valores de 𝑻𝒅 e
𝑻𝒔 eram medidos novamente.
𝟏
𝒏
𝟏
𝑻𝒅
+
𝟏
𝑻𝒔
=
𝓔𝒆
𝒎𝒈𝑻𝒅
𝟏
𝒏′
𝟏
𝑻𝒔
′ −
𝟏
𝑻𝒔
=
𝓔𝒆
𝒎𝒈𝑻𝒅
❖ Este processo era repetido várias vezes até que a gota desaparecesse (ou o
experimentador cansasse). Em alguns experimentos, a mesma gota foi observada durante
várias horas. O valor de 𝒆 era determinado encontrando (basicamente por tentativa e
erro) os valores inteiros de 𝒏 e 𝒏′ que tornassem os lados direitos (das equações
anteriores) iguais à mesma constante para todas as medidas realizadas em uma mesma
gota.
❖O valor atual adotado para a carga elétrica é 𝒆 = 𝟏, 𝟔𝟎𝟐𝟏𝟕𝟕𝟑𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C.
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
❖Foi o estudo da radiação térmica emitida por corpos opacos que forneceu os primeiros
indícios da natureza quântica da radiação.
❖Quando uma radiação incide em um corpo opaco, parte é refletida e parte é absorvida. Os
corpos de cor clara refletem a maior parte da radiação visível incidente, enquanto os
corpos escuros absorvem a maior parte da radiação.
❖A radiação absorvida pelo corpo aumenta a energia cinética dos átomos que o
constituem, fazendo-os oscilar mais vigorosamente em torno da posição de equilíbrio.
❖Como a temperatura de um corpo é determinada pela energia cinética média dos átomos,
a absorção de radiação faz a temperatura do corpo aumentar.
❖Acontece que os átomos contêm partículas carregadas (os elétrons) que são aceleradas
pelas oscilações; assim, de acordo com a teoria eletromagnética, os átomos emitem
radiação, o que reduz a energia cinética do átomos, e portanto, a temperatura diminui.
❖Quando a taxa de absorção é igual a taxa de emissão, a temperatura permanece
constante e dizemos que o corpo se encontra em equilíbrio térmico com o ambiente.
Assim, um material que é um bom absorvedor de radiação é também um bom emissor.
❖A radiação eletromagnética emitida nessas circunstâncias é chamada de radiação térmica.
Em temperatura moderadas (abaixo de 600 °C), a radiação térmica não é visível
(infravermelho).
❖Quando o corpo é aquecido, a quantidade de radiação térmica emitida aumenta e a
energia irradiada se estende a comprimentos de onda cada vez menores. Entre 600°C e
700°C, existe energia suficiente no espectro visível para que o corpo comece a brilhar com
luz própria vermelho-escuro.
❖Em temperatura mais elevadas, o objeto brilha com luz vermelho-claro ou mesmo branca.
❖Um corpo que absorve toda a radiação incidente é chamado de corpo negro ideal. Em
1879, Josef Stefan descobriu uma relação empírica entre a potência por unidade de área
irradiada por um corpo negro e a temperatura:
𝑹 = 𝝈𝑻𝟒
onde 𝑹 é a potência irradiada por unidade de área, 𝑻 e a temperatura absoluta e 𝝈 =
𝟓, 𝟔𝟕𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟖W/m2K4 uma constante denominada de constante de Stefan.
❖ Cinco anos mais tarde, Ludwig Boltzmann chegou ao mesmo resultado a partir das leis da
termodinâmica clássica e por isso esta equação é hoje conhecida como lei de Stefan-
Boltzmann.
❖ Os objetos que não são corpos negros irradiam energia por unidade de área com uma
rapidez menor que um corpo negro à mesma temperatura; o valor exato depende de
outros fatores, além da temperatura, como a cor e a composição da superfície.
❖O efeito global de todos esses fatores é representado por um parâmetro denominado
emissividade (representado pelo símbolo 𝜺), que multiplica o lado direito da equação 𝑹 =
𝝈𝑻𝟒. O valor de 𝜺, que não depende da temperatura, é sempre menor que a unidade.
❖As observações revelam que, da mesma forma que a potência total irradiada 𝑹, a
distribuição espectral da radiação emitida por um corpo negro depende apenas da
temperatura absoluta 𝑻.
❖A figura mostra, de forma
esquemática, um dispositivo
experimental usado para determinar a
distribuição espectral.
❖A radiação emitida por um corpo à
temperatura 𝑻 passa por uma fenda e
é dispersada por um dispositivo que
separa os raios de acordo com o
comprimento de onda.
❖Seja 𝑹 𝝀 𝒅𝝀 a potência emitida por
unidade de área com comprimento de
onda entre 𝝀 e 𝝀 + 𝒅𝝀.
❖A figura mostra os valores
experimentais da distribuição
espectral 𝑹 𝝀 em função de 𝝀 para
vários valores de 𝑻 entre 1.000 K e
6.000 K.
❖As curvas de 𝑹 𝝀 em função de 𝝀
apresentam várias propriedades
interessantes. Uma delas é que o
comprimento de onda para o qual a
radiação é máxima varia
inversamente com a temperatura:
𝝀𝒎 ∝
𝟏
𝑻
ou 𝝀𝒎𝑻 = 𝟐, 𝟖𝟗𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑mK
❖ Este resultado é conhecido como lei de deslocamento de Wien, e foi obtido pela primeira
vez por Wien em 1893.
❖Exemplo. Qual é o tamanho de uma estrela? A medida do comprimento de onda para o
qual a radiação 𝑹 𝝀 de uma estrela é máxima indica que a temperatura da superfície da
estrela é 3.000 K. Se a potência irradiada pela estrela é 100 vezes maior que a potência
𝑷𝑺𝒐𝒍 irradiada pelo Sol, qual é o tamanho da estrela?. A temperatura da superfície do Sol
é 5.800 K.
❖Solução. Supondo que o Sol e a estrela se comportem como corpos negros (os astrônomos
quase sempre fazem esta suposição), as temperaturas da superfície dos dois astros,
calculadas com o auxílio da equação, , são 5.800 K e 3.000 K,
respectivamente. As medidas também indicam que 𝑷𝑬𝒔𝒕𝒓𝒆𝒍𝒂 = 𝟏𝟎𝟎 𝑷𝑺𝒐𝒍 . Assim, de
acordo com 𝑹 = 𝝈𝑻𝟒, temos:
𝝀𝒎𝑻 = 𝟐, 𝟖𝟗𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑mK
𝑹estrela =
𝑷estrela
área estrela
=
𝟏𝟎𝟎𝑷Sol
𝟒𝝅𝒓estrela
𝟐
= 𝝈𝑻estrela
𝟒
e 𝑹Sol =
𝑷Sol
área Sol
=
𝑷Sol
𝟒𝝅𝒓Sol
𝟐
= 𝝈𝑻Sol
𝟒
Assim,
𝒓estrela
𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝒓Sol
𝟐 𝑻Sol
𝑻estrela
𝟒
𝒓estrela = 𝟏𝟎𝒓Sol
𝑻Sol
𝑻estrela
𝟐
𝒓estrela = 𝟏𝟎
𝟓. 𝟖𝟎𝟎
𝟑. 𝟎𝟎𝟎
𝟐
𝒓Sol 𝒓estrela = 𝟑𝟕, 𝟒𝒓Sol
Como 𝒓Sol = 𝟔, 𝟗𝟔 × 𝟏𝟎𝟖 m, a estrela tem um raio de aproximadamente 𝟐, 𝟔 × 𝟏𝟎𝟏𝟎 m, 
ou seja, metade do raio da órbita de Mercúrio.
❖ A EQUAÇÃO DE RAYLEIGH-JEANS.
❖ Uma das formas mais simples de determinar a função de distribuição espectral 𝑹 𝝀 para
um corpo negro envolve o cálculo da densidade de energia das ondas eletromagnéticas
no interior de uma cavidade.
❖ A melhor realização prática de um corpo negro ideal é uma cavidade ligada ao exterior
por uma pequena abertura.
❖ A potência irradiada para fora da cavidade é proporcional à
densidade total da energia (energia da radiação por unidade
de volume) no interior da caixa. Assim, temos que
𝑹 =
𝟏
𝟒
𝒄𝑼
onde 𝒄 é a velocidade da luz.
❖Da mesma forma, a distribuição espectral da potência emitida pela cavidade é
proporcional à distribuição espectral da densidade de energia no interior da cavidade. Se
𝒖 𝝀 𝒅𝝀 é a fração da energia por unidade de volume no interior da cavidade na faixa de
comprimento de onda entre 𝝀 e 𝝀 + 𝐝𝝀, temos a seguinte relação entre 𝑹 𝝀 e 𝒖 𝝀
𝑹(𝝀) =
𝟏
𝟒
𝒄𝒖 𝝀
❖A função 𝒖 𝝀 pode ser calculada classicamente sem muita dificuldade. Para isso, basta
determinar o número de modos de oscilação do campo eletromagnético no interior da
cavidade cujos comprimentos de onda estão no intervalor entre 𝝀 e 𝝀 + 𝐝𝝀 e multiplicar o
resultado pela energia média por modo.
❖O resultado mostra que o número de modos de oscilação por unidade de volume, 𝒏 𝝀 ,
não depende da forma da cavidadee é dado por
𝒏 𝝀 = 𝟖𝝅𝝀−𝟒
❖De acordo com a teoria clássica, a energia média por modo de oscilação é igual a 𝒌𝑻, a
mesma para o oscilador harmônico unidimensional, onde 𝒌 é a constante de Boltzmann.
De acordo com a teoria clássica, portanto, a distribuição espectral da densidade de
energia á dada por
𝒖 𝝀 = 𝒌𝑻𝒏 𝝀 = 𝟖𝝅𝒌𝑻𝝀−𝟒
❖A relação expressa pela equação acima, demonstrada pela primeira vez Rayleigh, é
conhecida como lei de Rayleigh-Jeans.
❖ Para grandes comprimentos de onda, a lei de
Rayleigh-Jeans está de acordo com os
resultados experimentais, mas para pequenos
comprimentos de onda a lei prevê que 𝒖 𝝀
deveria aumentar ser limites, tendendo para
o infinito quando 𝝀 → 𝟎 , enquanto os
resultados experimentais mostram que a
função de distribuição da densidade de
energia na verdade tende para zero quando
𝝀 → 𝟎.
❖ A enorme discrepância entre os resultados da
teoria clássica e as observações
experimentais para pequenos comprimentos
de onda foi denominado de catástrofe do
ultravioleta.
❖O uso do termo catástrofe não é exagero, de acordo com a equação 𝒖 𝝀 = 𝟖𝝅𝒌𝑻𝝀−𝟒
න
𝟎
∞
𝒖 𝝀 𝒅𝝀 → ∞
ou seja, a densidade de energia de qualquer corpo negro deveria ser infinita.
❖ A LEI DE PLANCK.
❖ Em 1900, Planck anunciou que, depois de fazer algumas hipóteses um pouco estranhas,
havia conseguido obter uma função 𝒖 𝝀 que estava de acordo com os resultados
experimentais.
❖ Classicamente, as ondas eletromagnéticas no interior da cavidade são produzidas por
cargas elétricas nas paredes, que vibram como osciladores harmônicos simples.
❖Você deve se lembrar que a radiação emitida por um oscilador harmônico tem a mesma
frequência que o próprio oscilador. A energia média de um oscilador harmônico simples
unidimensional pode ser calculada a partir da função distribuição de Boltzmann. A função
distribuição de energia tem a forma
f 𝑬 = 𝑨𝒆− Τ𝑬 𝒌𝑻
onde 𝑨 é uma constante e f 𝑬 é a fração dos osciladores com energia compreendida entre
𝑬 e 𝑬 + 𝒅𝑬. A energia média é dada por
ഥ𝑬 = න
𝟎
∞
𝑬𝒇 𝑬 𝒅𝑬 = න
𝟎
∞
𝑬𝑨𝒆− Τ𝑬 𝒌𝑻𝒅𝑬
❖ Calculando o valor da integral obtemos ഥ𝑬 = 𝒌𝑻, o resultado clássico usado por Rayleigh e
outros.
❖Planck descobriu que seria capaz de obter a função empírica que melhor se ajustava aos
resultados experimentais se modificasse ligeiramente a forma de calcular ഥ𝑬.
❖Em vez de supor que a energia das cargas oscilantes era uma variável contínua, como está
implícito na equação
ഥ𝑬 = න
𝟎
∞
𝑬𝒇 𝑬 𝒅𝑬 = න
𝟎
∞
𝑬𝑨𝒆− Τ𝑬 𝒌𝑻𝒅𝑬
era preciso supor que a energia das cargas oscilantes, e portanto da radiação emitida, era
uma variável discreta, isto é, uma variável capaz de assumir apenas valores 𝟎, 𝜺, 𝟐𝜺, … , 𝒏𝜺,
onde 𝒏 é um número inteiro. Além disso, era necessário supor que 𝜺 era proporcional à
frequência dos osciladores, e portanto, à frequência da radiação. Assim, Planck supôs que a
energia era dada por
𝑬𝒏 = 𝒏𝜺 = 𝒏𝒉𝒇 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐,…
onde 𝒉 é uma constante hoje conhecida como constante de Planck.
❖Nesse caso, a função de distribuição de Boltzmann se torna
𝒇𝒏 = 𝑨𝒆− Τ𝑬𝒏 𝒌𝑻 = 𝑨𝒆− Τ𝒏𝜺 𝒌𝑻
onde a constante 𝑨 é determinada pela condição de normalização segundo o qual a soma de
todas as frações 𝒇𝒏 deve ser igual à unidade:
෍
𝟎
∞
𝒇𝒏 = 𝑨෍
𝟎
∞
𝒆− Τ𝒏𝜺 𝒌𝑻 = 𝟏
❖A energia média de um oscilador é dada por um somatório análogo à integral:
ഥ𝑬 =෍
𝟎
∞
𝑬𝒏𝒇𝒏 =෍
𝟎
∞
𝑬𝒏𝑨𝒆
− Τ𝑬𝒏 𝒌𝑻
❖Calculando os somatórios das equações
෍
𝟎
∞
𝒇𝒏 = 𝑨෍
𝟎
∞
𝒆− Τ𝒏𝜺 𝒌𝑻 = 𝟏
ഥ𝑬 =෍
𝟎
∞
𝑬𝒏𝒇𝒏 =෍
𝟎
∞
𝑬𝒏𝑨𝒆
− Τ𝑬𝒏 𝒌𝑻
ഥ𝑬 =
𝜺
𝒆 Τ𝜺 𝒌𝑻 − 𝟏
=
𝒉𝒇
𝒆 Τ𝒉𝒇 𝒌𝑻 − 𝟏
𝒖(𝝀) =
𝟖𝝅𝒉𝒄𝝀−𝟓
𝒆 Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 − 𝟏
❖Multiplicando este resultado pelo número de osciladores por unidade de volume no
intervalo entre 𝝀 e 𝝀 + 𝐝𝝀 (a equação 𝒏 𝝀 = 𝟖𝝅𝝀−𝟒), obtemos a função de distribuição
de densidade de energia no interior da cavidade:
ഥ𝑬 =
Τ𝒉𝒄 𝝀
𝒆 Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 − 𝟏
Lei de Planck
❖Para valores muito grande de 𝝀, podemos usar a aproximação 𝒆𝒙 ≈ 𝟏 + 𝒙 com 𝒙 =
Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 para a exponencial da equação anterior. Nesse caso, temos:
𝒆 Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 − 𝟏 ≈ Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻
E portanto
𝒖(𝝀) → 𝟖𝝅𝝀−𝟒𝒌𝑻
que é a fórmula de Rayleigh-Jeans. Para valores muito pequenos de 𝝀, podemos desprezar o 
1 no denominador da equação 
𝒖(𝝀) =
𝟖𝝅𝒉𝒄𝝀−𝟓
𝒆 Τ𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 − 𝟏
Nesse caso, temos
𝒖(𝝀) → 𝟖𝝅𝒉𝒄𝝀−𝟓𝒆 Τ−𝒉𝒄 𝝀𝒌𝑻 → 0
quando 𝝀 → 0.
❖A lei de Planck permite calcular o valor da constante que aparece na lei de deslocamento
de Wien (vai estar na lista de exercícios).
❖O valor da constante de Planck é 𝒉 = 𝟔, 𝟔𝟐𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 Js ou 𝒉 = 𝟒, 𝟏𝟑𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟓 eVs .
❖Planck tentou sem sucesso reconciliar sua lei com os princípios da Física Clássica. Eis o que
disse a respeito:
• Posso caracterizar todo o processo como um ato de desespero, já que, por
natureza, sou pacato e avesso a aventuras duvidosas.
❖A importância do fenômeno de quantização não escapou inteiramente a Planck e outros
cientistas da época, mas só foi realmente apreciada a partir de 1905. Foi nesse ano que
Einstein usou as mesmas ideias para explicar o efeito fotoelétrico e sugeriu que, em vez
de ser apenas uma propriedade misteriosa dos osciladores situados nas paredes das
cavidades e da radiação dos corpos negros, a quantização era uma característica
fundamental da energia luminosa.
❖Um exemplo importante da aplicação da lei de Planck foi seu uso para explicar a radiação
de microondas proveniente do espaço sideral. Os modelos cosmológicos atuais sugerem
que o Universo começou com uma gigantesca explosão, o chamado BIG BANG. Um dos
efeitos dessa explosão foi encher o Universo de radiação, cuja distribuição espectral
correspondia à de um corpo negro.
❖A temperatura inicial do Universo extremamente elevada, mas com o passar do tempo ele
esfriou até atingir a temperatura que possui hoje. Assim, deve existir no Universo uma
radiação de fundo cuja distribuição espectral corresponde a um corpo negro à
temperatura atual.
❖Em 1965, Penzias e Wilson descobriram que a radiação com 7,35 cm de comprimento (ou
seja, na faixa das microondas) estava chegando à Terra com a mesma intensidade em
todas as direções do espaço. Logo se especulou que esta radiação podia ser um vestígio
do Big Bang.
Distribuição espectral da densidade de energia da
radiação cósmica de fundo. A linha cheia
representa a lei de Planck para 𝑻 = 𝟐, 𝟕 K.
Estes dados, que aparecem, são compatíveis com
a radiação emitida por um corpo negro.
A excelente concordância dos resultados
experimentais com a lei de Planck é considerada
uma forte evidência de que o Universo realmente
se originou de uma grande explosão.
❖Exemplo. Máximo do Espectro Solar. A temperatura na superfície do Sol é
aproximadamente 5.800 K, e as medidas da distribuição espectral da luz solar mostram
que o astro se comporta como um corpo negro, a não ser para comprimentos de onda
muito pequenos. Suponha que o Sol seja um corpo negro ideal, qual é o comprimento de
onda para o qual a intensidade da radiação emitida é máxima?
❖Solução. No caso de um corpo negro ideal, o comprimento de onda correspondente à
intensidade máxima é dado pela equação:
𝝀𝒎𝑻 = 𝟐, 𝟖𝟗𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑mK
Explicitando 𝝀𝒎 e substituindo 𝑻 pelo seu valor, temos:
𝝀𝒎=
𝟐,𝟖𝟗𝟖×𝟏𝟎−𝟑mK
𝑻
=
𝟐,𝟖𝟗𝟖×𝟏𝟎−𝟑mK
5.800 K
𝝀𝒎=
𝟐,𝟖𝟗𝟖×𝟏𝟎−𝟔nmK
5.800 K
= 𝟒𝟗𝟗, 𝟕 nm
Este comprimento de
onda está quase no
centro do espectro
visível.
❖ O EFEITO FOTOELÉTRICO
❖ É uma das grandes ironias da história da ciência que no famoso experimento, realizado
em 1887, no qual Hertz produziu e detectou ondas eletromagnéticas, confirmando assim
a teoria ondulatória da luz de Maxwell, tenha sido observado também, pela primeira vez,
o efeito fotoelétrico, que levou diretamente à descrição da luz em termos de partículas.
❖ A descoberta inesperada do efeito fotoelétrico por Hertz.
❑ Descobriu-se que as partículas negativas eram emitidas quandouma superfície
limpar era exposta à luz.
❑ Em 1900, P. Lenard submeteu estas partículas a um campo magnético e descobriu
que apresentavam uma razão carga-massa semelhante à dos raios catódicos
estudados por Thomson; em outras palavras, as partículas emitidas eram elétrons.
Efeito fotoelétrico
❖ A figura (do lado direito) mostra a corrente elétrica em função da diferença de potencial
(𝑽) para dois valores de intensidade de luz incidente.
❖ Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz, resultado
esperado, já que o número de elétrons emitidos deveria ser proporcional à energia por
unidade de tempo.
❖ Entretanto, ao contrário do que previa a teoria clássica, não foi observada uma
intensidade mínima abaixo do qual a corrente fosse nula. Um luz muito fraca não deveria
fornecer aos elétrons a energia necessária para escapar do metal.
❖ O potencial 𝑽𝟎 é denominado de potencial de corte e está relacionado à energia cinética
máxima dos elétrons emitidos através da equação
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐
𝒎á𝒙
= 𝒆𝑽𝟎
❖ Os resultados experimentais mostram que 𝑽𝟎 não depende da intensidade da luz
incidente, o que deixou os cientistas surpresos.
❖ Aparentemente, o aumento da energia por unidade de tempo não resultava em um
aumento da energia cinética máxima dos elétrons emitidos, o que estava em total
desacordo com a teoria clássica.
❖ Em 1905, Einstein ofereceu uma explicação para esta observação em um artigo que foi
publicado no mesmo volume dos Annalen der Physik que seus trabalhos a respeito da
relatividade restrita e do movimento browniano.
❖ Einstein propôs que a quantização da energia usada por Planck no problema do corpo
negro fosse uma característica universal da luz.
❖ Em vez de estar distribuída uniformemente no espaço no qual se propaga, a luz é
constituída por quanta isolados de energia 𝒉𝒇.
❖ Quando um desses quanta, denominados de fóton, chega à superfície do metal, toda a
sua energia é transferida para um elétron.
❖ Se 𝝓 é a energia necessária para remover um elétron da superfície (𝝓 recebe o nome de
função trabalho e varia de metal para metal), a energia cinética máxima dos elétrons
emitidos pelo metal é dada por 𝒉𝒇 − 𝝓 em virtude da lei de conservação da energia.
❖ Nesse caso, o potencial de corte 𝑽𝟎 é dado por
𝒆𝑽𝟎 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐
𝒎á𝒙
= 𝒉𝒇 − 𝝓
A equação do efeito fotoelétrico
❖ De acordo com a equação, a inclinação da reta
que representa o potencial de corte 𝑽𝟎 em
função da frequência 𝒇 é igual a 𝒉/𝐞.
𝑽𝟎 =
𝒉
𝒆
𝒇 −
𝝓
𝒆
Equação de uma reta
❖ Na época em que Einstein fez esta previsão, não havia indício que a constante de Planck
tivesse alguma coisa a ver com o efeito fotoelétrico. Também não havia provas que o
potencial de corte fosse função da frequência.
❖ Experimentos realizado por Millikan em 1914 e 1916 mostraram que a equação do efeito
fotoelétrico, como proposta por Einstein, estava correta e o valor de 𝒉 calculado a partir
desses experimentos concordou com o valor obtido por Planck.
❖ A frequência mínima para que o efeito
fotoelétrico seja observado,
denominada de frequência 𝒇𝒕 , e
comprimento de onda máximo
correspondente, 𝝀𝒕, podem ser obtidos
a partir da função trabalho, fazendo
𝑽𝟎 = 𝟎:
𝝓 = 𝒉𝒇𝒕 =
𝒉𝒄
𝝀𝒕
❖ Os fótons de frequência menor que 𝒇𝒕 (e portanto de comprimento de onda maior que 𝝀𝒕)
não têm energia suficiente para ejetar elétrons do metal. Para a maioria dos metais, a
função trabalho é da ordem de alguns elétrons-volts.
❖ Outra propriedade importante do efeito fotoelétrico que está em desacordo com a física
clássica, mas pode ser facilmente explicada pela hipótese dos fótons, é a ausência de um
intervalo de tempo mensurável entre o momento em que a fonte luminosa é ligada e o
momento em que os elétrons são emitidos.
❖ Classicamente, a energia luminosa é distribuída de forma homogênea ao longo da
superfície do metal; o tempo necessário para que uma região do tamanho de um átomo
adquira energia suficiente para emitir um elétron pode ser calculado a partir da
intensidade (potência por unidade de área) da radiação incidente. Este tempo teórico é da
ordem de minutos ou horas.
❖ Entretanto, em todos os experimentos, os elétrons começam a ser emitidos no momento
em que a fonte é ligada. De acordo com a hipótese dos fótons, a explicação desta
observação é que, embora o número de fótons que incide no metal por unidade de tempo
seja pequeno quando a intensidade da luz é fraca, cada fóton tem energia suficiente para
ejetar um elétron.
APLICAÇÕES
Nas células fotoelétricas (fotocélulas), a energia luminosa se transforma em corrente 
elétrica. Diversos objetos e sistemas utilizam o efeito fotoelétrico, por exemplo:
•as televisões (de LCD e plasma)
•os painéis solares
•as reconstituições de sons nas películas de um cinematógrafo
•as iluminações urbanas
•os sistemas de alarmes
•as portas automáticas
•os aparelhos de controle (contagem) dos metrôs
❖ Além disso, a fotoemissão de elétrons se tornou um método importante para investigar a
estrutura dos cristais e moléculas. O uso de fontes de raios X e detectores de precisão
permitiu determinar as configurações exatas dos elétrons de valência nos compostos
químicos, o que levou a uma melhor compreensão das ligações químicas e das diferenças
entre as propriedades dos átomos na superfície e no interior dos sólidos.
❖ RAIOS X E O EFEITO COMPTON
❖ Novos indícios que o modelo dos fótons estava correto foram fornecidos por Compton,
que mediu a difração de raios X por elétrons livres.
❖ O físico alemão W. C. Roentgen descobriu os raios X em 1895, quando trabalhava com um
tubo de raios catódicos.
❖ O cientista observou que os “raios” produzidos no ponto em que os raios catódicos
(elétrons) atingiam o tubo de vidro, ou um alvo instalado no interior do tubo, podiam
atravessar objetos opacos e excitar uma tela fluorescente ou um filme fotográfico.
❖ Roentgen investigou exaustivamente o fenômeno e descobriu que todos os materiais, em
maior ou menor grau, eram transparentes a esses raios e que a transparência era
inversamente proporcional à densidade do material.
❖ Esta observação fez com que os raios X começassem a ser usados na medicina alguns
meses após a publicação do primeiro artigo de Roentgen.
❖ Roentgen verificou que os raios recém-descobertos não eram afetados pela presença de
um campo magnético e não conseguiu observar os fenômenos de refração e interferência
normalmente associados a ondas, assim, batizou-os com o nome enigmático de raios X.
❖ Em 1912, Laue sugeriu que, como os comprimentos de onda os raios X eram da mesma
ordem de espaçamento dos átomos em um cristal, os átomos de um cristal poderiam se
comportar como um rede de difração tridimensional para os raios X.
❖ Os experimentos logo confirmaram que os raios X são uma forma de radiação
eletromagnética com comprimentos de onda entre 0,01 e 0,10 nm e que átomos dos
cristais formam uma estrutura regular.
❖ Em 1912, W. L. Bragg propôs um método simples e conveniente para analisar a difração de
raios X pelos cristais.
❖ O cientista investigou a interferência dos raios X difratados por várias famílias de planos
paralelos de átomos, hoje conhecidos como planos de Bragg.
A figura mostra duas famílias
de planos de Bragg em um
cristal de NaCl, que possui
uma estrutura denominada de
cúbica de face centrada.
❖ Considere a figura ao lado. As
ondas difratadas por dois átomos
sucessivos situados no mesmo
plano estão em fase, e portanto,
interferem construtivamente,
independentemente do
comprimento de onda, se o ângulo
de difração for igual ao ângulo de
incidência.
❖ As ondas difratadas com o mesmo ângulo por átomos situados em planos diferentes
estarão em fase (interferência construtiva) se a diferença entre os dois percursos for igual
a um número inteiro de comprimentos de onda, ou seja
𝟐𝒅 𝐬𝐢𝐧𝜽 = 𝒎𝝀 onde 𝒎 = 𝟏, 𝟐,… Condição de Bragg
❖ A medida da intensidade dos raios X difratados em função do comprimento de onda,
usando um equipamento experimental,como na figura abaixo, apresenta alguns
resultados surpreendentes do ponto de vista da física clássica.
Diagrama esquemático do espectrômetro de Bragg.
❖ A figura mostra os espectros típicos de raios X obtidos submetendo os elétrons a duas
tensões diferentes antes de usá-los para bombardear um alvo de tungstênio.
❖ Nesta figura, 𝑰(𝝀) é a intensidade
emitida para comprimentos de
onda no intervalo entre 𝝀 e 𝝀 +
𝒅𝝀.
Espectro de raios X do tungstênio
Espectro de raios X do molibdênio
❖ Três características desses espectros chamam
imediatamente a atenção, apenas uma das
quais pode ser explicada pela Física Clássica.
❖ (1) O espectro é constituído por uma série de
linhas estreitas, conhecidas como espectro
característico, superpostas a (2) um espectro
contínuo ou espectro de bremsstrahlung
(palavra que em alemão, significa “radiação de
frenagem”).
❖ (3) O espectro contínuo apresenta um comprimento de onda de corte 𝝀𝒎, que não
depende da substância usada como alvo, mas é uma função da energia dos elétrons.
❖ Se a tensão do tubo de raios X é dada em volts, o comprimento de onda de corte pode ser
calculado através da seguinte equação empírica:
𝝀𝒎 =
𝟏, 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎𝟑
𝑽
nm Regra de Duane - Hunt
❖ Einstein não perdeu tempo para observar que a produção de raios X por bombardeio de
elétrons era simplesmente um efeito fotoelétrico inverso.
❖ O comprimento de onda de corte de Duane – Hunt corresponde simplesmente a um fóton
com uma energia máxima dos elétrons, já que a função trabalho 𝝓 pode ser desprezada
em comparação com a energia cinética dos elétrons no interior do tubo.
❖ Neste caso, a equação
𝒆𝑽𝟎 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐
𝒎á𝒙
= 𝒉𝒇 − 𝝓
❖ Torna-se
𝒆𝑽 ≈ 𝒉𝒇 = 𝒉𝒄/𝝀 ou
𝝀 =
𝒉𝒄
𝒆𝑽
= 𝟏, 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔m/V= 1,24 × 𝟏𝟎𝟑nm/V
❖ Assim, a regra de Duane – Hunt pode ser explicada pela hipótese de Planck que a luz é
feita de quanta.
❖ O espectro contínuo foi interpretado como o resultado da desaceleração (isto é, da
frenagem) dos elétrons pelos campos elétricos dos átomos do alvo.
❖ Esse tipo de radiação era prevista pelas equações de Maxwell; o verdadeiro problema
para a Física Clássica estava nas linhas estreitas.
❖ Os comprimentos de onda dessas linhas dependiam do material do alvo e eram sempre os
mesmos para um dado material, ...
❖ ... mas as linhas estreitas nunca apareciam para valores de 𝑽 tais que 𝝀𝒎 fosse maior do
que o comprimento de onda a linha em questão.
❖ Esta peculiaridade do espectro característico pode ser vista claramente na figura:
❖ Em que o grupo de linhas da
esquerda, rotulado como série K,
desaparece totalmente quando 𝑽 é
reduzido de 80 kV para 40 kV, o que
aumenta o valor de 𝝀𝒎.
❖ A origem das linhas estreitas era um
mistério que só foi esclarecido com a
descoberta do átomo nuclear.
❖O EFEITO COMPTON
❖ Tinha sido observado que os raios X difratados eram mais “macios” que os raios X do
feixe incidente, isto é, tinham menor poder de penetração.
❖ Compton observou que se o processo de
difração fosse considerado uma “colisão”
entre um fóton de energia 𝒉𝒇𝟏 e um elétron,
o elétron absorveria parte da energia inicial, e
portanto, a energia 𝒉𝒇𝟐 do fóton difratado
seria menor do que a do fóton incidente.
❖ Nesse caso, a frequência 𝒇𝟐 e o momento 𝒉𝒇𝟐/𝒄 do fóton difratado também seria
menores do que a frequência 𝒇𝟏 e o momento 𝒉𝒇𝟏/𝒄 do fóton incidente (o momento é
definido como 𝒑 = 𝑬/𝒄 para a radiação eletromagnética) .
❖ Compton aplicou as leis de conservação do momento e da energia, em sua forma
relativística, à colisão de um fóton com um elétron; isso lhe permitiu calcular a diferença
entre os comprimentos de onda do fóton incidente e do fóton difratado, 𝝀𝟐 − 𝝀𝟏, em
função do ângulo de difração 𝜽, que é:
𝝀𝟐 − 𝝀𝟏 =
𝒉
𝒎𝒄
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽) Equação de Compton
❖ A diferença 𝝀𝟐 − 𝝀𝟏 não depende do comprimento de onda do fóton incidente. A
grandeza
𝒉
𝒎𝒄
tem dimensão de comprimento e é denominada comprimento de onda
Compton do elétron. Seu valor é:
𝝀𝒄 =
𝒉
𝒎𝒄
=
𝟏, 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎𝟑eV ∙ nm
𝟓, 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎𝟓eV
𝝀𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟒𝟑 nmou
❖ Depois de tantos anos de discussão a respeito da verdadeira natureza da luz, os cientistas
chegaram à conclusão que são necessárias uma teoria corpuscular (ou quântica) para
descrever com detalhes a interação da radiação eletromagnética com a matéria e uma
teoria ondulatória para explicar fenômenos não-localizados, como a interferência e
difração.
❖DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE COMPTON
❖ Sejam 𝝀𝟏 e 𝝀𝟐 os comprimentos de onda dos raios X incidente e difratado,
respectivamente, como na figura abaixo. Os momentos correspondentes são:
𝒑𝟏 =
𝑬𝟏
𝒄
=
𝒉𝒇𝟏
𝒄
=
𝒉
𝝀𝟏
𝒑𝟐 =
𝑬𝟐
𝒄
=
𝒉𝒇𝟐
𝒄
=
𝒉
𝝀𝟐
Usando a relação 𝒇𝝀 = 𝒄.
❖ De acordo com a lei da conservação do momento, temos:
𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 + 𝒑𝒆
ou
𝒑𝒆
𝟐 = 𝒑𝟏
𝟐 + 𝒑𝟐
𝟐 − 𝟐 𝒑𝟏 ∙ 𝒑𝟐
𝒑𝒆
𝟐 = 𝒑𝟏
𝟐 + 𝒑𝟐
𝟐 − 𝟐𝒑𝟏𝒑𝟐 cos 𝜽
onde 𝒑𝒆 é o momento do elétron depois da colisão e o ângulo 𝜽 é o ângulo de difração do
fóton. A energia do elétron antes da colisão é simplesmente sua energia de repouso 𝑬𝟎 =
𝒎𝒄𝟐. Depois da colisão, a energia do elétron passar a ser 𝑬𝟎
𝟐 + 𝒑𝒆
𝟐𝒄𝟐
𝟏/𝟐
.
❖ De acordo com a lei da conservação da energia, temos:
𝒑𝟏𝒄 + 𝑬𝟎 = 𝒑𝟐𝒄 + 𝑬𝟎
𝟐 + 𝒑𝒆
𝟐𝒄𝟐
𝟏/𝟐
❖ Passando o termo 𝒑𝟐𝒄 para o primeiro membro e elevando ambos os lados ao quadrado,
temos:
𝑬𝟎
𝟐 + 𝒄𝟐 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝟐 + 𝟐𝒄𝑬𝟎 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝑬𝟎
𝟐 + 𝒑𝒆
𝟐𝒄𝟐
ou
𝒑𝒆
𝟐 = 𝒑𝟏
𝟐 + 𝒑𝟐
𝟐 − 𝟐𝒑𝟏𝒑𝟐 +
𝟐𝑬𝟎 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝒄
❖ Eliminando o termos 𝒑𝒆
𝟐 das equações:
𝑬𝟎 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝒄
= 𝒑𝟏𝒑𝟐(𝟏 − cos 𝜽)
❖Multiplicando ambos os membros por 𝒉𝒄/𝒑𝟏 𝒑𝟐𝑬𝟎 e usando a relação 𝝀 = 𝒉/𝒑, obtemos
a equação de Compton:
𝝀𝟐 − 𝝀𝟏 =
𝒉𝒄
𝑬𝟎
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽 =
𝒉𝒄
𝒎𝒄𝟐
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽)
ou
𝝀𝟐 − 𝝀𝟏 =
𝒉
𝒎𝒄
(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽) Equação de Compton