Document_20241220_0003

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3 Como f(x)=n e f(y)=n então Logo se x,y então x-y eN(f). Desse modo as duas condições apresentadas são satisfeitas. Portanto, se f: (A, +, ) (B, +, ) é um homomorfismo de anéis e N(f) o núcleo da função f, então (N(f), +, ) é um subanel de (A, +, ). A proposição a seguir tem a demonstração similar a realizada para a proposição anterior. Proposição Seja f : (A, +, (B, +, ) um homomorfismo de anel e (L, +, um subanel de (A, então é um subanel de (B, +, ). A demonstração é um exercício. Proposição A composição de dois isomorfismos de anéis é um isomorfismo de Demonstração Sejam f (A, +, ) (B, +, ) g: ) (C, +, ) isomorfismos de anéis. Para que a função gof : (A, +, ) +, ) é isomorfismo de anéis é preciso mostrar que a função gof é um homomorfismo de anéis e que também é uma função bijetora. A condição relativa a ser um homomorfismo anéis já foi demonstrada em proposição supra apresentada. Com relação a condição da função gof ser uma bijeção vamos verificar. Para que a função gof : (A, +, ) (C, +, ) seja bijetora é necessário que a mesma seja simultaneamente injetora e sobrejetora. Para demonstrar que a função é injetora vamos supor que gof(x)=gof(y) e provar que x=y. Suponhamos que x,y tais que gof(x)=gof(y). Da definição de gof temos que gof(x)=gof(y) equivale a g(f(x)) = g(f(y)). Devido g ser injetora, por bijetora, então a igualdade g(f(x)) = g(f(y)) implica na igualdade f(x)=f(y). Devido f ser injetora então a igualdade f(x)= f(y) implica na igualdade x=y. Logo a função gof em questão é injetora. Para demonstrar que a função é sobrejetora vamos mostrar que para todo elemento y do anel existe um elemento do anel (A, tal que gof(x) y. Seja ye C então devido g ser sobrejetora de (B, em (C, +, ) existe um elemento m EB tal que g(m)=y. Como a função f é sobrejetora de (A, +, ) em (B, e m então existe um EA tal que f(x)=m. Assim temos que g(f(x))=g(m)= y, ou seja, gof(x)=y. De sse modo podemos afirmar que para todo elemento do conjunto C existe um elemento do conjunto A tal que primeiro é imagem do segundo pela função gof. Isso garante que a composição de funções sobrejetoras é uma função sobrejetora. Com a função gof é um homomorfismo de anéis e também é uma bijeção então gof é um isomorfismo de anéis. QUESTÕES 1) Verifique se (C, sendo C o conjunto dos números complexos com as suas operações usuais e (R2, com as suas operações usuais são anéis isomorfos. 2) Verifique se os anéis (R, com as operações usuais e (A, com A ={(x,x) Pedro Sá 2024