matricas 483

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60. Dada a função \( s(x) = e^{2x} \sin(x) \), calcule a derivada \( s'(x) \) e determine os 
pontos críticos da função. Qual é o valor de \( s'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** C) 2. **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( s'(x) = e^{2x} 
\sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) \). Avaliando em \( x = 0 \), obtemos \( s'(0) = 0 + 2 \cdot 1 = 2 \). 
 
61. Considere a função \( t(x) = \ln(x^2 + 1) \). Determine a segunda derivada \( t''(x) \) e 
analise a concavidade da função. Qual é o valor de \( t''(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** B) 1. **Explicação:** A primeira derivada é \( t'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) e a 
segunda derivada é \( t''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \). Avaliando em \( x = 0 \), temos \( 
t''(0) = 2 \). 
 
62. Seja a função \( u(x) = \frac{1}{x^2} \). Determine o limite \( \lim_{x \to 0^+} u(x) \) e 
discorra sobre o comportamento da função nesse ponto. Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) \( \infty \) 
C) 1 
D) Não existe 
**Resposta:** B) \( \infty \). **Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de 0 pela 
direita, \( u(x) \) tende a \( \infty \). Portanto, o limite não existe no sentido de 
convergência, mas diverge para \( \infty \). 
 
63. Considere a função \( v(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) para \( x \neq 0 \) e \( v(0) = 0 
\). Determine se a função é contínua em \( x = 0 \) e calcule o limite \( \lim_{x \to 0} v(x) \). 
Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0. **Explicação:** Para \( x \neq 0 \), \( v(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) 
\). O limite \( \lim_{x \to 0} v(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \), pois \( 
\sin\left(\frac{1}{x}\right) \) está limitado entre -1 e 1. Portanto, a função é contínua em \( x 
= 0 \). 
 
64. Dada a função \( w(x) = \sqrt{x^2 + 1} \), calcule a derivada \( w'(x) \) e determine a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( w'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** B) 1. **Explicação:** A derivada é \( w'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
Avaliando em \( x = 0 \), temos \( w'(0) = 0 \). 
 
65. Considere a função \( z(x) = x^3 - 3x + 2 \). Determine as raízes da função e discorra 
sobre a natureza dessas raízes. Quantas raízes reais a função possui? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) Nenhuma 
**Resposta:** C) 3. **Explicação:** A função é um polinômio cúbico e, pelo Teorema de 
Bolzano, ela possui pelo menos uma raiz real. Usando o método de Newton ou a regra de 
sinais de Descartes, podemos encontrar que a função possui três raízes reais. 
 
66. Dada a função \( a(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \), calcule o limite \( \lim_{x \to 0^+} 
a(x) \) e discorra sobre o comportamento da função nesse ponto. Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) \( \infty \) 
C) 1 
D) Não existe 
**Resposta:** B) \( \infty \). **Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de 0 pela 
direita, \( a(x) \) tende a \( \infty \). Portanto, o limite não existe no sentido de convergência, 
mas diverge para \( \infty \). 
 
67. Considere a função \( b(x) = \ln(x^2 + 1) \). Determine a derivada \( b'(x) \) e analise a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( b'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** A) 0. **Explicação:** A derivada é \( b'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Avaliando 
em \( x = 0 \), temos \( b'(0) = 0 \). 
 
68. Dada a função \( c(x) = e^{x^2} \), calcule a derivada \( c'(x) \) e determine o 
comportamento assintótico da função para \( x \to \infty \). Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** C) \( \infty \). **Explicação:** A derivada é \( c'(x) = 2xe^{x^2} \). Para \( x \to 
\infty \), \( e^{x^2} \) cresce muito rapidamente, resultando em \( c(x) \to \infty \). 
 
69. Considere a função \( d(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \). Determine se a função é contínua 
em \( x = 1 \) e calcule o limite \( \lim_{x \to 1} d(x) \). Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 2. **Explicação:** A função não é definida em \( x = 1 \), mas podemos 
calcular o limite: \( \lim_{x \to 1} d(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x - 2)}{x - 1} = \lim_{x 
\to 1} (x^2 + x - 2) = 2 \). 
 
70. Dada a função \( e(x) = \sqrt{x^2 + 4} \), calcule a derivada \( e'(x) \) e determine a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( e'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3