O teorema do confronto (ou teorema do sanduíche) é uma ferramenta poderosa para determinar o limite de uma função que pode ser difícil de calcular diretamente. Ele afirma que, se uma função f(x) está "espremida" entre outras duas funções, g(x) e h(x), numa vizinhança de um ponto c, e se g(x) e h(x) tendem para o mesmo limite L quando x tende a c, então f(x) também deve tender para L (Guidorizzi, 2001). Considere uma função f(x) que satisfaz a desigualdade 1−4x2≤f(x)≤1+2x2 para todo x ≠ 0. Qual é o valor de limx→0f(x)? Selecione a resposta: a O limite é igual a 0. b O limite é igual a 1/2. c O limite é igual a 1. d O limite não existe, pois f(x) oscila entre as duas funções. e O limite não pode ser determinado sem a expressão explícita de f(x).

Question

O teorema do confronto (ou teorema do sanduíche) é uma ferramenta poderosa para determinar o limite de uma função que pode ser difícil de calcular ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos aplicar o teorema do confronto (ou teorema do sanduíche) que foi mencionado.

Temos a função $ f(x) $ que está "espremida" entre $ g(x) = 1 - 4x^2 $ e $ h(x) = 1 + 2x^2 $. Precisamos calcular o limite de $ g(x) $ e $ h(x) $ quando $ x $ tende a 0.

1. **Calculando o limite de $ g(x) $**:
   $$
   \lim_{x \to 0} (1 - 4x^2) = 1 - 4(0)^2 = 1
   $$

2. **Calculando o limite de $ h(x) $**:
   $$
   \lim_{x \to 0} (1 + 2x^2) = 1 + 2(0)^2 = 1
   $$

Como ambos os limites de $ g(x) $ e $ h(x) $ tendem para 1 quando $ x $ se aproxima de 0, pelo teorema do confronto, podemos concluir que:
$$
\lim_{x \to 0} f(x) = 1
$$

Portanto, a resposta correta é: **c) O limite é igual a 1.**

Inglês

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