Determine a área entre a função g ( x ) = 2 tg x g ( x ) = 2 tg ⁡ x , o eixo x x e as retas x = − π 4 x = − π 4 e x = π 4 x = π 4 .

Para determinar a área entre a função \( g(x) = 2 \tan(x) \), o eixo \( x \) e as retas \( x = -\frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{\pi}{4} \), siga os seguintes passos: 1. Identifique a função: \( g(x) = 2 \tan(x) \). 2. Determine os limites de integração: \( x = -\frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 3. Calcule a integral: \[ A = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan(x) \, dx \] 4. Resolva a integral: A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln|\cos(x)| \), então: \[ A = 2 \left[ -\ln|\cos(x)| \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \] 5. Calcule os limites: \[ A = 2 \left( -\ln|\cos(\frac{\pi}{4})| + \ln|\cos(-\frac{\pi}{4})| \right) \] Como \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ A = 2 \left( -\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = 2 \left( -\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right) = 2 \cdot 2 \ln(2) = 4 \ln(2) \] 6. Resultado: A área entre a função \( g(x) \), o eixo \( x \) e as retas \( x = -\frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{\pi}{4} \) é \( 4 \ln(2) \).