matricas 523

Prévia do material em texto

39. Considere a função \( v(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) para \( x \neq 0 \) e \( v(0) = 0 
\). Determine se a função é contínua em \( x = 0 \) e calcule o limite \( \lim_{x \to 0} v(x) \). 
Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0. **Explicação:** Para \( x \neq 0 \), \( v(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) 
\). O limite \( \lim_{x \to 0} v(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \), pois \( 
\sin\left(\frac{1}{x}\right) \) está limitado entre -1 e 1. Portanto, a função é contínua em \( x 
= 0 \). 
 
40. Dada a função \( w(x) = \sqrt{x^2 + 1} \), calcule a derivada \( w'(x) \) e determine a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( w'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** B) 1. **Explicação:** A derivada é \( w'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
Avaliando em \( x = 0 \), temos \( w'(0) = 0 \). 
 
41. Considere a função \( z(x) = x^3 - 3x + 2 \). Determine as raízes da função e discorra 
sobre a natureza dessas raízes. Quantas raízes reais a função possui? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) Nenhuma 
**Resposta:** C) 3. **Explicação:** A função é um polinômio cúbico e, pelo Teorema de 
Bolzano, ela possui pelo menos uma raiz real. Usando o método de Newton ou a regra de 
sinais de Descartes, podemos encontrar que a função possui três raízes reais. 
 
42. Dada a função \( a(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \), calcule o limite \( \lim_{x \to 0^+} 
a(x) \) e discorra sobre o comportamento da função nesse ponto. Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) \( \infty \) 
C) 1 
D) Não existe 
**Resposta:** B) \( \infty \). **Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de 0 pela 
direita, \( a(x) \) tende a \( \infty \). Portanto, o limite não existe no sentido de convergência, 
mas diverge para \( \infty \). 
 
43. Considere a função \( b(x) = \ln(x^2 + 1) \). Determine a derivada \( b'(x) \) e analise a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( b'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** A) 0. **Explicação:** A derivada é \( b'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Avaliando 
em \( x = 0 \), temos \( b'(0) = 0 \). 
 
44. Dada a função \( c(x) = e^{x^2} \), calcule a derivada \( c'(x) \) e determine o 
comportamento assintótico da função para \( x \to \infty \). Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** C) \( \infty \). **Explicação:** A derivada é \( c'(x) = 2xe^{x^2} \). Para \( x \to 
\infty \), \( e^{x^2} \) cresce muito rapidamente, resultando em \( c(x) \to \infty \). 
 
45. Considere a função \( d(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \). Determine se a função é contínua 
em \( x = 1 \) e calcule o limite \( \lim_{x \to 1} d(x) \). Qual é o valor do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta:** C) 2. **Explicação:** A função não é definida em \( x = 1 \), mas podemos 
calcular o limite: \( \lim_{x \to 1} d(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x - 2)}{x - 1} = \lim_{x 
\to 1} (x^2 + x - 2) = 2 \). 
 
46. Dada a função \( e(x) = \sqrt{x^2 + 4} \), calcule a derivada \( e'(x) \) e determine a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( e'(0) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** B) 1. **Explicação:** A derivada é \( e'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \). 
Avaliando em \( x = 0 \), temos \( e'(0) = 0 \). 
 
47. Considere a função \( f(x) = x^2 \ln(x) \). Determine a derivada \( f'(x) \) e analise a 
concavidade da função. Qual é o valor de \( f'(1) \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta:** C) 2. **Explicação:** A derivada é \( f'(x) = 2x \ln(x) + x \). Avaliando em \( x = 
1 \), temos \( f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 1 = 1 \). 
 
48. Dada a função \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \), calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} g(x) \) e 
discorra sobre o comportamento da função para grandes valores de \( x \). Qual é o valor 
do limite? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta:** A) 0. **Explicação:** À medida que \( x \) se aproxima de \( \infty \), \( g(x) \) 
tende a 0, pois \( \frac{1}{x^2 + 1} \) se aproxima de 0. 
 
49. Considere a função \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \). Determine os pontos críticos da função 
e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Qual é o valor de \( h(1) 
\)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2