DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA EXPONENCIAL

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
1
UNIDADE 9
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA – 
EXPONENCIAL
1. Estimar chances pontualmente de ocorrência em situações na área de 
gestão e negócios.
2. Analisar variáveis na área de gestão e negócios que se comportam se-
gundo modelos probabilísticos.
C
O
M
PE
TÊ
N
C
IA
S
1. CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Até esta unidade, foram estudadas distribuições de probabilidades aplicadas às vari-
áveis aleatórias discretas. Nesta unidade, se terá como objetivo iniciar o estudo das 
distribuições de probabilidade relacionadas às variáveis discretas, iniciando pelo estudo 
da Distribuição Exponencial.
Nosso ponto de partida: em uma produção de fios de cobre, são identificadas anoma-
lias no produto final devido a imperfeições da matéria-prima. A partir desta situação, 
pode-se identificar a variável aleatória “quantidade de anomalias” dado um certo com-
primento de fio. Esta variável pode ser classificada como discreta, e a probabilidade de 
ocorrem x anomalias, dado um intervalor T do fio pode ser calculada por meio de uma 
Distribuição de Poisson.
Uma outra variável aleatória possível de ser estudada nesta situação se faz a partir da 
distância que se forma entre as anomalias observadas. O cálculo probabilístico relacio-
nado a tal situação pode ser modelo a partir da Distribuição Exponencial.
Aplicação a Distribuição Exponencial para se estimar a chance da ocorrência de de-
terminado evento relacionado à uma variável aleatória que tenha a probabilidade do 
número de ocorrências, dado um certo intervalo, modelado por uma Distribuição de 
Poisson.
Para tanto, a probabilidade de ocorrência de valores menos ou iguais a x , ( )P X x≤ , 
em uma distribuição exponencial, pode ser denotada por:
( ) 1 xP X x e λ−≤ = −
Onde:
e → é a constante derivada da base do logaritmo natural (ln). 2,718282e ≅ ;
λ → média de ocorrências por unidade de medida;
U9
2Métodos Quantitativos
Distribuição Contínua – Exponencial
 x → valor limite do intervalo a se calcular a probabilidade.
A partir de uma distribuição exponencial, pode-se calcular o valor da média e variância, 
por meio do parâmetro λ .
1µ
λ
=
2
2
1σ
λ
=
2. APLICAÇÕES UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A partir do conceito da Distribuição Exponencial, observe-se novamente algumas situ-
ações estudadas na unidade anterior, a partir de uma nova variável aleatória contínua.
Exercício resolvido 1
No processo de fabricação de um tecido são esperadas 10 imperfeições a cada 2m 
produzido. A partir desta informação, calcule a probabilidade da área entre duas imper-
feições ser menor que 0,08 2m .
RESOLUÇÃO
Sabe que a quantidade média esperada de imperfeições por 2m é 10λ = . A partir 
disso, determinando que 0,08x = , aplicando a fórmula da distribuição exponencial:
( ) 1 xP X x e λ−≤ = −
( ) 10.0,08 0,80,08 1 1P X e e−≤ = − ≅ −
( )0,08 1 0,4493 0,5507 55,07%P X ≤ = − ≅ ≅
Portanto, pode-se afirmar que a probabilidade da área entre duas imperfeições ser me-
nor que 0,08m2 é de, aproximadamente, 55,07%.
Exercício resolvido 2
Em um departamento de call center, sabe-se que alguns clientes não conseguem com-
pletar a ligação por dificuldades técnicas. Espera-se que, o tempo entre duas ligações 
não completas seja 8,5 minutos. Encontre a probabilidade de o tempo entre duas liga-
ções não completas exceder 11 minutos.
3 Métodos Quantitativos
U9 Distribuição Contínua – Exponencial
RESOLUÇÃO
Sabe-se que o tempo entre duas ligações não completas é de 8,5 minutos. Desta forma, 
a média de ligações não completas, por hora, será:
1 0,1176
8,5
λ = ≅
Se está buscando ( 11)P X > . Para isto, se deverá fazer:
( ) 0,1176.1111 1P X e−≤ = −
( ) ( )1,293611 1 11 1 0,2743 0,7257P X e P X−≤ = − → ≤ = − ≅
Deve-se atentar que a fórmula nos dá ( )11P X ≤ , enquanto estamos a procurar 
( )11P X > . Para isto, se deverá utilizar o princípio dos eventos complementares:
( )11 1 0,7257 0,2743P X > = − ≅
Desta forma, a probabilidade de que o tempo exceda 11 minutos é de 27,43%.
3. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
EXPONENCIAL
Os gráficos das distribuições de probabilidade relacionadas às variáveis aleatórias con-
tínuas, advém do que se denomina de função densidade de probabilidade.
No caso, a função densidade de probabilidade que dá origem ao gráfico da função ex-
ponencial é:
( ) , 0xf x e xλλ −= ≥
Sendo que, para cada valor do parâmetro λ se tem uma curva específica. Observe o 
gráfico a seguir:
Figura 01. Gráfico da função densidade de probabilidade – Distribuição exponencial – variando o parâme-
tro λ
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4Métodos Quantitativos
Distribuição Contínua – Exponencial
Fonte: elaborada pelos autores.
Observa-se que a medida que o valor de λ aumenta, a dispersão da distribuição de 
probabilidade se faz menor.
Figura 02. Área sob a curva exponencial
Fonte: elaborada pelos autores.
Nota-se que, ao utilizar a fórmula da distribuição exponencial:
( ) 1 xP X x e λ−≤ = −
5 Métodos Quantitativos
U9 Distribuição Contínua – Exponencial
Se está calculando a área que se forma sob a curva exponencial no intervalo de [ ]0; x , 
conforme pode ser observado na Figura 02.
4. USO DE SOFTWARE PARA DETERMINAR A PROBABILIDADE 
UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Para o cálculo das probabilidades a partir de uma Distribuição Exponencial, fazendo 
uso do Excel, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
=DISTR.EXPON(x;lambda;cumulativo)
Onde:
x → é o valor limite da variável aleatória contínua, para o qual deseja-se calcular a 
probabilidade;
Lambda → é o valor do parâmetro λ para a definição da Distribuição Exponencial;
Cumulativo → este atributo deverá ser utilizado para definir se desejamos calcular o 
( )f x para a função densidade de probabilidade – utilizar “FALSO”, ou se desejamos 
calcular a área que se forma sob a curva da função probabilidade – utilizar “VERDA-
DEIRO”. Para o cálculo das probabilidades sempre deverá se utilizar “VERDADEIRO”.
Exercício resolvido 3
Sabe-se que a probabilidade de ocorrência de uma certa variável aleatória pode ser 
compreendida a partir de uma Distribuição de Poisson com 12 / horaλ = . Calcule a 
probabilidade de o tempo entre duas ocorrências da variável aleatória ser menor que 
0,05 hora.
RESOLUÇÃO
Em uma planilha do Excel, digite os dados do problema, conforme o exemplo a seguir:
Figura 03. Inserindo dados – Distribuição Exponencial
Fonte: elaborada pelos autores, com o auxílio do Excel.
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6Métodos Quantitativos
Distribuição Contínua – Exponencial
Na célula abaixo de P(x deve-se subtrair o valor encontrado de 1.
Exercício resolvido 4
Em uma linha de envasamento de creme dental, são descartados os tubos que apre-
sentam uma gramatura fora do intervalo considerado no controle de qualidade. Sabe-se 
que o tempo médio dentre dois descartes é de 3,75 minutos. Por meio da distribuição 
exponencial, calcule a probabilidade de termos um descarte:
a. Em no máximo 5 minutos.
b. Em no mínimo 6 minutos.
c. Em um intervalo entre 4 e 6 minutos.
RESOLUÇÃO
a. Em no máximo 5 minutos.
Como o exercício fornece apenas o tempo entre dois descartes, deve calcular o número 
médio de descartes por minuto:
1 0,2667
3,75
λ = ≅
7 Métodos Quantitativos
U9 Distribuição Contínua – Exponencial
Para no máximo 5 minutos:
( ) 0,2667.55 1 1 0,2636 0,7364 73,64%P X e−≤ = − = − ≅ ≅
b. Em no mínimo 6 minutos.
Utilizando o mesmo valor para λ , para no mínimo 6 minutos:
( ) ( )6 1 6P X P X≥ = − ≤
( ) 0,2667.661 0,7981P X e−≤ = − =
( )6 1 0,7981 0,2019 20,19%P X ≥ = − ≅ ≅
c. Em um intervalo entre 4 e 6 minutos.
Para um intervalo entre 4 e 6 minutos, deve-se fazer:
( ) ( ) ( )4 6 6 4P X P X P X≤ ≤ = ≤ − ≤
Já se sabe que ( )6 0,7981P X ≤ ≅ . Calculando ( )4P X ≤ :
( ) 0,2667.44 1 1 0,3441 0,6559P X e−≤ = − = − ≅
( )4 6 0,7981 0,6559 0,1422 14,22%P X≤ ≤ = − = =
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Em uma rede de comércio varejista, em horário fora do pico, o atendimento entre 2 
clientes tem valor médio de 8 minutos. Por meio da distribuição exponencial, calcule a 
probabilidade de o tempo entre dois clientes ser de:
a. No mínimo 11 minutos.
b. No máximo 12 minutos.
c. Em um intervalo entre 8 e 12 minutos.
Exercício 1.
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8Métodos Quantitativos
Distribuição Contínua – Exponencial
Em uma determinada máquina, o tempo médio de intervalo entre duas manutenções é 
de 300 horas de funcionamento. Por meio de uma distribuição exponencial, calcule a 
probabilidade de termos uma manutenção:
a. Entre 310 e 350 horas de funcionamento.
b. Entre 260 e 310 horas de funcionamento.
c. Em no máximo 300 horas.
Exercício 2.
Em uma determinada localização geográfica, estudos apontaram que uma distribuição 
exponencial com um valor médio de 1,425 horas é uma boa modelagem para a duração 
das chuvas desta região. Calcule a probabilidade de a duração de uma chuva exceder 
0,3 vezes o desvio padrão em relação à média.
Exercício 3.
EDUCANDO PARA A PAZ