Estatística Descritiva4

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Autoria: Joelma Iamac Nomura e Rafaela Rodrigues Oliveira
Amaro
Estatística Descritiva
UNIDADE 4 -
PROBABILIDADE II
11/05/2024, 10:55 Estatística Descritiva
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Bem-vindo ao estudo da quarta unidade de Estatística
Descritiva! Nesta unidade apresentaremos a distribuição
de Poisson como outro exemplo especial e importante de
uma distribuição de probabilidade. Estudaremos que essa
distribuição de probabilidade está atrelada a eventos que
ocorrem em intervalos determinados como tempo,
distância, área ou outras unidades pertinentes. Também
estudaremos a função distribuição acumulada, que
calcula a probabilidade acumulada para um determinado
valor da variável aleatória x, e a distribuição exponencial, que é uma distribuição muito importante e
tem aplicações em confiabilidade de sistemas. E, por fim, estudaremos a mais importante distribuição
de probabilidade contínua, a distribuição normal, que depende de dois parâmetros: a média
populacional e o desvio-padrão populacional, que nos levam a diferentes representações de curvas.
Várias aplicações serão apresentadas e relacionadas à representação gráfica da distribuição normal
de probabilidade, dada por um gráfico em forma de sino que se prolonga indefinidamente em ambas
as direções, sem jamais tocar o eixo horizontal. A importância da distribuição normal está no fato de
que essa distribuição pode ser usada como aproximações de outras distribuições de probabilidade,
tais como a binomial e a de Poisson. A distribuição normal é muito usada para modelar fenômenos e
fundamental para a maior parte das técnicas da estatística prática moderna. Assim, no final do desta
unidade, você terá conhecimento suficiente para responder as seguintes questões: o que se entende
por distribuições de probabilidades discretas e contínuas e quais suas principais diferenças? Por que
as distribuições normais têm a representação gráfica em forma de sino? Como interpretar um gráfico
de uma distribuição normal?
Bons estudos!
Introdução
4.1 Distribuição de
Poisson
De acordo com Martins e Domingues (2017), a distribuição de Poisson é um modelo probabilístico indicado
para avaliar um grande número de fenômenos observáveis e aplicáveis a sequências de eventos que ocorrem
por unidade de tempo, área, volume, tais como: acidentes por unidade de tempo, chamadas telefônicas por
unidade de tempo ou arranhões por unidade de área.
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4.1.1 Modelo probabilístico
Conforme define Triola (2017), a distribuição de Poisson corresponde a uma distribuição discreta que é
aplicada a ocorrências de eventos em um determinado intervalo, sendo a variável aleatória x o número de
ocorrências do evento no intervalo que pode ser o tempo, a área, o volume ou qualquer outra unidade.
Juntamente com as diferenças observadas entre a distribuição de Poisson e distribuição binomial, Triola (2017)
cita que a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média , enquanto a distribuição binomial é afetada
pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p. Além disso, numa distribuição de Poisson, os valores
possíveis não têm limites, sendo que os limites de uma distribuição binomial correspondem aos valores
possíveis da variável aleatória x que são 0,1,2,3,4,..., n. Nesse sentido, um único valor é preciso para
determinar a probabilidade de um determinado número de sucessos na dinâmica de Poisson, uma vez que o
número médio de sucessos determinará a probabilidade para a situação específica. Esse número médio é
representado pela letra grega 𝜆 (lambda) e a fórmula para determinar a probabilidade em uma distribuição de
Poisson é: , em que 𝜆 corresponde à média; e é número de Euler (constante) que tem valor
aproximado a 2,71828... e representa a base dos logaritmos naturais; e 𝑥, o número de sucessos. Valores para
 podem ser encontrados com o auxílio de uma calculadora científica ou alguns valores podem ser
consultados por intermédio da tabela a seguir.
A espera na fila para ser atendido ou servido recebe o nome Queuing;
existem vários exemplos de Queuing em nosso cotidiano, como esperar em
uma fila para ser atendido em uma padaria, esperar para utilizar um elevador
ou aguardar o sinal verde em um semáforo para seguir viagem entre outras
situações. A distribuição de Poisson serve de base para prever e modelar o
número de pessoas (veículos, pessoas etc.) que provavelmente chegarão à
fila (LARSON; FARBER, 2016).
Você sabia?
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#PraCegoVer: tabela com quatro colunas e vinte e cinco linhas que expressam os valores de 𝜆 e .
O exemplo a seguir nos leva a uma aplicação da distribuição de Poisson usada no setor de inspeção de uma
indústria de tecidos. Vamos a ele!
Tabela 1 - Valores de para alguns valores de 𝜆.
Fonte: CASTANHEIRA, 2017.
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O setor de inspeção de uma empresa que fabrica faixas adesivas para decoração de paredes identificou que,
em média, a cada 70 metros encontram-se 7 emendas. Admita que a distribuição do número de emendas é
modelada conforme uma distribuição de Poisson. Vamos encontrar as probabilidades de:
a) De não existir nenhuma emenda?
Se existe uma emenda a cada 70 metros, logo a média é , como foi solicitado a
probabilidade de não existir emendas, que equivale a , substituímos essas informações:
Dessa maneira, existe, aproximadamente, 90,48% de chance de não encontrar nenhuma emenda em uma
faixa de 70 metros.
b) De ocorrer no máximo duas emendas?
O fato de ter no máximo duas emendas equivale a encontrar a probabilidade de encontrar nenhuma, uma ou
duas emendas, logo:
Logo, .
Assim, a chance de ocorrer no máximo duas emendas em uma faixa de 70 metros equivale a 99,98%.
c) De encontrar pelo menos uma emenda?
Pelo menos uma emenda equivale a no mínimo uma emenda, o que nos leva a relação: .
Não temos como determinar o número máximo de emendas, assim, recorremos ao raciocínio contrário,
considerando que 1 equivale a 100%. Assim, temos: , segue que
.
Portanto, existe 9,52% de chance de encontrar pelo menos uma emenda em um rolo de 70 metros.
Siméon Denis Poisson (1781- 1840) foi um engenheiro e matemático
francês que desenvolveu pesquisas sobre mecânica, eletricidade,
elasticidade, calor, som, além de estudos matemáticos com equações
diferenciais e probabilidade (COSTA, 2019).
Você o conhece?
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Conforme aponta Freund e Simon (2009), a distribuição de Poisson tem muitas aplicações que não
apresentam ligação direta com a distribuição binomial. A fórmula da distribuição de Poisson é dada pela
relação , para x=1,2,3,4,..., em que λ é o número esperado, ou médio, de sucessos. Ela é
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aplicada quando se deseja calcular a probabilidade do número fixo de sucessos por unidade de tempo (ou
qualquer outra unidade). Diante esse contexto, expomos a seguinte situação: são esperadas λ=5,6
imperfeições em uma peça de tecido, qual a probabilidade de uma peça conter três imperfeições?
FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Economia, Administração e Contabilidade. Estatística Aplicada. Porto
Alegre: Bookman, 2009. 
7,82%
8,82%
9,82%
10,82%
11,82%
Verificar 
4.2 Função ou distribuição de
probabilidade
Martins e Domingues (2017) descrevem a função ou distribuição de probabilidade de uma experiência aleatória
como a função em que a cada evento possível existe uma correspondência com a probabilidade de o evento
ocorrer; essa distribuição pode serexpressa a partir de uma tabela, gráfico ou fórmula.
4.2.1 Distribuição de probabilidade acumulada
Uma vez que trabalhamos com variáveis aleatórias contínuas, de acordo com Martins e Domingues (2017),
podemos caracterizar função de distribuição acumulada em determinado ponto x como a soma das
probabilidades dos valores de menores ou iguais a x.
Essa relação é expressa pela igualdade: 
De maneira semelhante à exposição do autor anterior, Morettin e Bussab (2010) definem a função de
distribuição acumulada à função , em que x é a variável aleatória. Nessa relação, o domínio de
F é todo conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1].
Há distinções quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas. Para
distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada fornece a área sob a função densidade de
probabilidade, até o valor de x estabelecido; e para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada
gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente estipulado.
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Assim, a função distribuição acumulada calcula a probabilidade acumulada para um determinado valor de x. É
empregada para determinar a probabilidade de que uma observação aleatória extraída da população seja
menor ou igual a um determinado valor ou para determinar a probabilidade de que uma observação seja maior
do que um determinado valor ou esteja entre dois valores.
A seguir, apresentamos uma figura que ilustra uma distribuição de probabilidade acumulada para o valor de
.
#PraCegoVer: curva com concavidade para baixo, com região na cor vermelha que mostra a probabilidade
acumulada até o valor de e o restante da curva na cor verde.
Há distinções quanto ao uso da distribuição acumulada para variáveis contínuas ou discretas. Para
distribuições contínuas, a função de distribuição acumulada fornece a área sob a função densidade de
probabilidade, até o valor de x estabelecido; para distribuições discretas, a função de distribuição acumulada
gera a probabilidade acumulada para os valores de x previamente estipulados.
Conforme expressam Morettin e Bussab (2010), é possível construir modelos teóricos para variáveis aleatórias
contínuas, escolhendo de maneira adequada as funções densidade de probabilidade. Para os autores, a
função de densidade de probabilidade é um indicador de concentração de “massa” (probabilidade) nos
possíveis valores de x. Assim, existem regiões com maior chance de ocorrer x em um dado intervalo e o que
determina esse fato é a função densidade de probabilidade. No entanto, conforme ressaltam os autores, a
função densidade de probabilidade não deve ser confundida com a probabilidade de ocorrência de algum
evento, que será fornecida pela área sob a curva entre dois pontos.
Figura 1 - Área de uma função acumulada
Fonte: LARSON; FARBER, 2016, p. 376.
4.3 Distribuição
exponencial
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2012), um fenômeno de Poisson de parâmetro é aquele em que o
número de sucessos em um intervalo de observação t segue uma distribuição de Poisson de média , e em
que T é um intervalo decorrido entre dois sucessos consecutivos. Nessas condições, a distribuição da variável
aleatória T recebe a denominação de distribuição exponencial. Para que T seja maior que t genérico, é
necessário que o próximo sucesso demore para ocorrer mais que t. Dessa maneira, temos que
, em que 
A função de repartição no ponto t é igual a
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Dessa maneira, conforme expõem Chwif e Medina (2006), se o tempo de ocorrências sucessivas de um evento
é exponencialmente distribuído, então, o número de eventos que ocorrem em determinado intervalo de tempo
é um processo de Poisson.
Martins e Domingues (2017) definem que uma variável aleatória contínua t que considere todos os valores não
negativos terá uma distribuição exponencial. A probabilidade é a área compreendida entre o eixo x e a curva do
gráfico da função densidade de probabilidade.
De maneira semelhante à distribuição de Poisson, a distribuição exponencial descreve o comportamento de
uma variável aleatória x no espaço ou no tempo; como o tempo de chegadas de clientes a um banco, tempo
entre gols sucessivos em uma partida de futebol ou a área entre três defeitos consecutivos em um rolo de
tecido, que podem ser modelados por tal distribuição. Nesse contexto, esse modelo probabilístico é muito
utilizado em modelos de duração de vida de componentes que não se desgastam com o tempo. De maneira
geral, detém um papel muito importante na teoria da fila e em problemas de confiabilidade (WALPOLE et al.,
2008).
Atente-se que o parâmetro é interpretado como o número médio de ocorrências por unidade de tempo, logo,
uma constante positiva. A figura a seguir apresenta a representação gráfica de uma distribuição exponencial
quando .
#PraCegoVer: curva descendente com máximo em e mínimo próximo a zero sem, no entanto, tocar
nele.
Considere que, em determinado período do dia, o tempo médio de atendimento em um caixa de banco seja de
2 minutos. Admitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial, para determinar a
probabilidade de um cliente:
a) esperar 3 minutos;
Observe que e ; como o desejado é a probabilidade de esperar três minutos, logo:
.
No vídeo Estatística – Aula 09, ministrado pelo professor André
Leme Fleury, você poderá aprender mais sobre as distribuições de
probabilidades de Poisson e normal.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=ZAIBVL4koGQ)
Você quer ver?
Figura 2 - Distribuição exponencial para 
Fonte: COSTA NETO; CYMBALISTA, 2012.
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https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
Dessa forma, é possível concluir que há 22,31% de chance de um cliente esperar o atendimento em um caixa
por três minutos.
b) esperar no máximo 1,5 minutos;
Primeiramente, calculamos 
Como temos interesse em calcular , precisamos calcular o complementar de que é igual a
Assim, a probabilidade de se esperar no máximo 1,5 minutos é de 52,76%.
A seguir será apresentada uma importante distribuição de variáveis aleatórias contínuas que modelam
situações em que a distribuição do processo envolvido é considerada como a soma de diversos processos
componentes como, por exemplo, o tempo de execução de uma operação que é igual à soma de execução de
várias de suas etapas. Estamos falando da distribuição normal.
4.4 Distribuição
normal
Para Crespo (2009), a distribuição normal é a distribuição de variável aleatória contínua mais empregada,
sendo muito comum seu estudo e pesquisa no campo socioeconômico. Sua função densidade de
probabilidade resultou na conhecida curva em forma de sino, denominada de distribuição normal ou gaussiana.
De acordo com Caire (2013), essa distribuição fornece uma aproximação de curvas de frequência para
medidas de dimensões e qualidades humanas.
Assim, a distribuição normal corresponde à distribuição de probabilidade contínua mais importante e mais
utilizada, sendo costumeiramente denominada de curva normal, curva de Gauss ou ainda curva gaussiana.
Sua importância está relacionada a muitas técnicas estatísticas, como análise de variância, de regressão e
alguns testes de hipótese, que assumem e exigem a normalidade dos dados.
A denominação "curva em forma de sino" é atribuída a
Esprit Jouffret (1837-1904) matemático e militar que foi o
primeiro a utilizar o termo "superfície de sino" em 1872
(CAIRE, 2013).
Você sabia?
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Castanheira(2013) afirma que a distribuição de probabilidade normal é de extrema importância na inferência
estatística pelos seguintes motivos.
Conforme expõe Castanheira (2013), inicialmente, considerava-se que todos os fenômenos não conseguiriam
ser modelados conforme o modelo de uma curva normal, devido ao processo de coleta de dados. Contudo,
verificou-se que uma grande gama de situações é adaptada a essa padronização, por isso a denominação
distribuição normal de probabilidade.
Observe, na próxima figura, o gráfico da curva normal com média (que também é a moda e a mediana) e
desvio-padrão , decrescente assintoticamente a zero nos extremos e com pontos de inflexão em e 
.
No trabalho de Caire (2013), você poderá conhecer a história da
curva normal a partir da contribuição dos matemáticos Abraham de
Moivre, Jacob Bernoulli e James Stirling. Você poderá se
aprofundar no assunto estudando seus parâmetros e suas
propriedades.
Acesse
(https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/cair
e_e_me_rcla.pdf?sequence=1)
Você quer ler?
As medidas produzidas por diferentes processos aleatórios seguem essa distribuição.
Pode ser utilizada como aproximação de outras distribuições de probabilidade, como a de Poisson e a
binomial.
Distribuições de estatística da amostra, como a média e a proporção, regularmente seguem distribuição
normal, independentemente da distribuição da população.
Pierre Simon, Marquês de Laplace (1749-1827) nasceu na França e foi o
primeiro a estudar o problema da agregação de várias observações, em
1774. Foi ele que determinou a constante de normalização para a
distribuição normal e que, em 1810, provou e apresentou à Academia
Francesa o teorema do limite central.
Você o conhece?
 
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https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
#PraCegoVer: curva em forma de sino para baixo com os pontos destacados: média igual a , (média
menos desvio-padrão) à esquerda de e (média mais desvio-padrão) à direita de .
Larson e Farber (2016) reiteram que a curva normal possui algumas propriedades. Conheça a seguir.
Figura 3 - Curva da distribuição normal
Fonte: COSTA NETO; CYMBALISTA, 2012.
A curva é assintótica, ou seja, nunca toca o eixo horizontal, logo, a
função de x jamais anula-se.
A área compreendida pela curva nesse intervalo é sempre igual a
1.
A função tem um máximo que corresponde à média da distribuição.
A distribuição é simétrica em torno da média.
A média, a moda e a mediana são iguais.
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Conforme explica Freund e Simon (2009), em todo nosso trabalho com distribuições normais, nos interessa
apenas as áreas sob suas curvas, que na prática são encontradas a partir de tabelas. Essas tabelas nos
possibilitam encontrar áreas sob qualquer curva normal fazendo a mudança de escala. É o que veremos a
seguir!
4.4.1 Distribuição normal padronizada
De acordo com Costa Neto e Cymbalista (2012), a importância da distribuição normal decorre de razões tanto
práticas quanto teóricas. Do ponto de vista prático é possível citar que diversas variáveis se distribuem
aproximadamente de acordo com o modelo normal, sendo que ele é para descrever o comportamento dessas
variáveis aleatórias. Já do ponto de vista teórico, Costa Neto e Cymbalista (2012) conceituam a distribuição
normal como uma distribuição limite, fato esse decorrente do teorema do limite central.
Esse teorema afirma que, sob condições gerais, uma variável aleatória resultante da soma de n variáveis
aleatórias independentes, quando n tende ao infinito, tem distribuição normal. De maneira análoga, Warpole et
al. (2008) descreve que o teorema do limite central afirma que na medida em que o tamanho da amostra
aumenta, a distribuição amostral das médias amostrais tende para uma distribuição normal, logo, se uma
população tem distribuição normal, a distribuição das médias amostrais retiradas da população também terá
distribuição normal, para qualquer tamanho de amostra. Assim, o teorema do limite central envolve duas
distribuições diferentes: a distribuição da população original e a distribuição das médias amostrais.
Para Warpole et al. (2008), mesmo na situação de uma distribuição que não seja normal, a distribuição das
médias amostrais será aproximadamente normal, desde que a amostra seja grande, pois não é necessário
conhecer a distribuição de uma população para podermos fazer inferência sobre ela a partir de dados
amostrais. A única limitação é que o tamanho da amostra seja grande, assim deve consistir em 30 ou mais
observações.
Conforme Larson e Farber (2016) explicam, é desnecessário o uso de tabelas separadas de áreas sob as
curvas normais para todos os pares imagináveis de valores da média de desvios-padrão, logo, é tabelado as
áreas para a distribuição normal com e , a chamada distribuição normal padronizada. Por esse
artifício, é possível obter áreas sob qualquer curva normal, fazendo a mudança de escala que transforma as
unidades de medida da escala original, ou seja, a escala x, em unidades padronizadas, escores padronizados
ou denominados escores z utilizando a fórmula . É importante ressaltar que seu uso demanda conhecer
dois valores numéricos que devem ser previamente informados, a média e o desvio-padrão .
Uma vez que e geram uma distribuição normal, as tabelas de probabilidade normal são fundamentadas em
uma distribuição normal de probabilidade com e . A próxima tabela sinaliza as proporções de áreas
para diversos intervalos de valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com o limite
inferior do intervalo começando sempre na média (CASTANHEIRA, 2013).
A curva tem dois pontos de inflexão, simétricos em relação à
média, indicados por serem o desvio padrão da distribuição
normal.
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#PraCegoVer: tabela com 11 colunas e 32 linhas com distribuição dos valores de x e escores z.
Agora vamos colocar em prática as definições apresentadas anteriormente nesse importante conteúdo da
probabilidade?
Exemplo: Calcule algumas probabilidades e represente-as graficamente:
(a) (atenção para similaridade)
(b) 
(c) 
(d)
As curvas normais que as representam são:
Tabela 2 - Área de uma distribuição normal padrão
Fonte: CASTANHEIRA, 2013.
Figura 4 - Curvas normais referentes a (a) (b) e (c) 
Fonte: MORETTIN; BUSSAB, 2012, p. 180.
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#PraCegoVer: três curvas normais ou curvas em forma de sino que representam: (a) a probabilidade da
distribuição normal entre 0 e 1,73; (b) a probabilidade da distribuição normal maior ou igual a 1,73 e menor ou
igual a 1,73; (c) a probabilidade da distribuição normal entre 0,47 e 1,73.
A seguir, aprofundaremos nossos estudos sobre o teorema central do limite.
4.4.2 Entendendo um pouco mais sobre o teorema central do limite
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Para Freund e Simon (2009), entre as muitas distribuições contínuas, a mais importante é a distribuição
normal, cujo estudo remonta pesquisas do século XVIII relacionadas a erros de mensuração. Conforme
apontam os autores, as discrepâncias entre repetidas medidas de mesma grandeza física apresentam um
grau surpreendente de regularidade, sendo que a distribuição dessas discrepâncias pode ser aproximada
por uma curva contínua em forma de sino, conhecida como curva normal ou curvagaussiana.
Diante esse contexto, é correto afirmar que o cálculo da probabilidade de variável aleatória com distribuição
normal com μ=10 e σ=5 no intervalo de 12 a 15
I. é igual a 0,1859;
II. depende dos valores dos escores z iguais a 0,4 e 1,0;
III. depende dos valores aproximados na tabela iguais a 0,1554 e 0,3413;
IV. independem das unidades padronizadas;
V. a área sob a curva que antecede o intervalo de 12 a 15 é igual a 75,54%.
A sequência correta é igual a:
V,V,F,F,V;
V,F,V,V,F;
V,V,V,F,F;
F,V,V,V,F;
F,V,V,F,V.
Verificar 
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O teorema central do limite tem importância fundamental na estatística porque fundamenta o uso da
distribuição normal a uma ampla gama de problemas, sendo aplicado automaticamente, segundo Freund e
Simon (2009), à amostragem de populações infinitas. A distribuição normal também é justificada pela aplicação
em amostragem de populações finitas, desde que a amostra (n), embora grande, seja uma fração pequena da
população (N), sendo suficiente, a menos que a distribuição da população tenha uma forma rara. Nessa
situação, o procedimento para calcular a área sob a curva normal é igual ao apresentado anteriormente, no
entanto, temos uma mudança quanto à fórmula do escore z, que passa a considerar o tamanho da amostra.
Assim, para amostras aleatórias de populações infinitas, temos que é a média de uma amostra aleatória de
tamanho n de uma população infinita com média e desvio-padrão , e se n é grande, então,
é o valor de uma variável aleatória que tem aproximadamente distribuição normal padronizada.
Com base no teorema do limite central, qual é a probabilidade de o erro ser
inferior a 5 quando usamos a média de uma amostra aleatória de tamanho
 para estimar a média de uma população infinita com (FREUND;
SIMON, 2009, p. 192).
Solução: Precisamos calcular a área sob a curva normal padronizada, mas,
primeiramente, vamos calcular o valor do escore z corresponde:
 e 
De acordo com a tabela, temos que a área correspondente a é igual a
0,4772 e a também é igual a 0,4772. Lembre-se de considerar somente os
valores de z positivos. Assim, temos que a probabilidade procurada é igual a
. Essa expressão pode ser entendida como: a
probabilidade de uma amostra aleatória de tamanho diferir de pelo
menos 5 da média populacional é igual a 95%.
Dessa maneira, o teorema central do limite nos permite fazer afirmações probabilísticas muito mais fortes
sobre nossos erros potenciais. Aprendemos que ele tem importância fundamental na estatística e para os
conceitos relacionados à Estatística Inferencial, que nos proporcionará novos métodos de avaliação do mérito
dos nossos resultados.
Caso
Conclusão
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No âmbito da probabilidade e estudo das distribuições de probabilidade de
variáveis discretas, conhecemos a categoria denominada distribuição de
Poisson, bem como suas particularidades e aplicações em nosso cotidiano.
No contexto de variáveis aleatórias contínuas foram analisadas: a distribuição
acumulada, a distribuição exponencial e, a mais importante e mais utilizada, a
distribuição normal, que se baseia na proporção da área ocupada em uma
curva normal. A partir dessas três distribuições, foram apresentadas a
fundamentação teórica e a aplicação e resolução de problemas envolvendo
tais definições.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
conhecer a definição e aplicabilidade da distribuição de Poisson;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição de Poisson;
entender sobre as distribuições de probabilidade de variáveis contínuas;
conhecer a definição e aplicabilidade das distribuições acumuladas;
resolver situações-problema por distribuições acumuladas;
conhecer a definição e aplicabilidade da distribuição exponencial;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição exponencial;
compreender as peculiaridades de uma distribuição normal;
ler e interpretar os dados contidos na tabela de distribuição normal;
resolver situações-problema por intermédio da distribuição normal.
CAIRE, E. A história da origem da curva normal. 2013. Dissertação
(Mestre em Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista Júlio
de Mesquita Filho, Rio Claro, 2013. Disponível em:
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_m
e_rcla.pdf?sequence=1
(https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1).
Acesso em: 15 dez. 2020.
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: Intersaberes, 2013.
CHWIF, L.; MEDINA, A. C. Modelagem e simulação de eventos discretos: teoria e prática. São
Paulo: Ed. dos autores, 2006.
COSTA, G. G. O. Curso de estatística básica: teoria e prática. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2015.
COSTA, K. R. Siméon Denis Poisson, Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm
(https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm). Acesso em: 2 jul. 2019.
Referências
11/05/2024, 10:55 Estatística Descritiva
https://codely-fmu-content.s3.amazonaws.com/Moodle/EAD/Conteudo/EDU_ESDESC_19/unidade_4/ebook/index.html# 16/17
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91024/caire_e_me_rcla.pdf?sequence=1
https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm
https://brasilescola.uol.com.br/biografia/simeon-denis.htm
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva,2009.
ESTATÍSTICA – Aula 09. 2017. 1 vídeo (24 min.). Publicado no canal UNIVESP. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ (https://www.youtube.com/watch?
v=ZAIBVL4koGQ). Acesso em: 8 jan. 2021.
FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Estatística Aplicada: economia, administração e contabilidade. Porto
Alegre: Bookman, 2009.
JACQUES Bernoulli. Só Matemática. [S. l.]. Disponível em:
https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php
(https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php). Acesso em: 30 jun. 2019.
LARSON, R; FARBER, B. Estatística Aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2016.
MARTINS, G. A.; DOMINGUES, O. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Atlas, 2017.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística Básica, 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
COSTA NETO, P. L. O; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 2012.
TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e Estatística para engenharias e ciências. São Paulo:
Pearson, 2008.
11/05/2024, 10:55 Estatística Descritiva
https://codely-fmu-content.s3.amazonaws.com/Moodle/EAD/Conteudo/EDU_ESDESC_19/unidade_4/ebook/index.html# 17/17
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
https://www.youtube.com/watch?v=ZAIBVL4koGQ
https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php
https://www.somatematica.com.br/biograf/bernoulliJacques.php