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ESTATÍSTICA
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onde:
μ = número médio da variável por unidade de exposição
e = é um número irracional que representa a base do sistema 
de logaritmos naturais (é uma constante), com valor aproximada-
mente igual a 2,71828.
x! = fatorial do número de ocorrência do evento
Em resumo temos:
- Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória 
define os valores de probabilidade de todas as possibilidades de 
ocorrência dessa variável aleatória X.
- Quando a variável é aleatória, os valores de probabilidade são 
determinados por processos acidentais, ao acaso, que não estão 
sob o controle de nenhum observador.
- Para a distribuição binomial, em cada tentativa existem ape-
nas dois resultados possíveis mutuamente exclusivos, chamados de 
sucesso e fracasso. Cada tentativa caracteriza-se por ser um evento 
independente, permanecendo a probabilidade de sucesso de ocor-
rência do evento constante de tentativa em tentativa, assim como a 
probabilidade de fracasso.
- A probabilidade de sucesso é atribuída a “p”, e a probabili-
dade de fracasso ou insucesso, representada por um “q”, é igual a 
(1 - p).
- A probabilidade binomial determina a probabilidade de ocor-
rência de “x” número de sucessos em “n” número de experimentos 
do evento, com probabilidade de sucesso igual a “p” e uma proba-
bilidade de ocorrência de fracasso igual a “q”.
- Nos cálculos de probabilidade é comum o uso de expressões 
como: “no mínimo”, “no máximo”, “pelo menos”, “menos de”, 
“mais de”. Como essas expressões indicam que mais de um resulta-
do é possível, faz-se necessário o cálculo da probabilidade de cada 
evento separadamente e depois se somam esses valores. Por exem-
plo, no máximo dois significa que o evento pode não ocorrer (P=0), 
ocorrer uma única vez (P=1) ou ainda ocorrer duas vezes (P=2); pelo 
menos cinco significa que o evento pode ocorrer cinco vezes, seis 
vezes, ... e tantos quantos o problema permitir.
- Para poder aplicar a probabilidade binomial em situações de 
eventos dependentes, há a necessidade de haver reposição.
- A distribuição de Poisson é utilizada quando a variável alea-
tória está referida a uma unidade de exposição de tempo, de su-
perfície ou de volume que possa assumir qualquer valor inteiro e 
positivo, ou seja, uma variável discreta, admitindo-se ser conhecido 
o valor médio da variável por unidade de exposição.
- Ela é utilizada para descrever o comportamento de eventos 
com pequenas probabilidades de ocorrência.
- A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de pro-
babilidade de uma variável aleatória, cujo experimento consiste na 
contagem do número de vezes, x, que um evento ocorre em deter-
minado intervalo, com igual probabilidade de ocorrência em cada 
intervalo, independendo o número de ocorrências em um intervalo 
do número de ocorrências em outros intervalos.
- Aplica-se no fluxo de veículos, na previsão de acidentes, no 
uso de estoques por unidade de tempo, fluxo interno de pessoas 
em um ambiente, em qual não se tem o número total de elemen-
tos, pois o fluxo é contínuo, não sendo possível determinar o limite 
populacional. 
- Em um cálculo de estoque, costuma-se utilizar Poisson, pois 
não há necessidade de haver a reposição de dados.
Distribuição básica de probabilidade de variáveis contínuas
Partindo da ideia de organização de intervalos de classe de va-
riáveis contínuas, com determinada amplitude e com um número 
muito grande de dados, com a redução dessa amplitude e aumento 
do número de intervalos progressivamente, pode-se chegar a uma 
situação teórica de um número infinitamente grande de interva-
los e amplitudes infinitamente pequenas. Dessa maneira, forma-
-se uma linha contínua com a forma aproximada de um sino. Essa 
curva está ligada à história da descoberta das probabilidades em 
matemática, no século XVII. O responsável mais direto dessa curva, 
chamada normal, foi Abraham de Moivre, que a definiu em 1730, a 
partir dos trabalhos de Jacob e Nicolaus Bernoulli, da Lei dos Gran-
des Números. Moivre publicou os seus trabalhos em 1773 na obra 
The Doctrine of chances. Assim, Laplace em 1783 a utilizou para 
descrever a distribuição dos erros e Gauss, 1809, a empregou para 
analisar dados astronômicos.
Posteriormente Karl Pearson propôs o termo Distribuição Nor-
mal para a curva normal desenvolvida por Moivre, na área da Esta-
tística, e o nome de Curva de Gauss foi dado em homenagem a K. F. 
Gauss, que é aplicada em Matemática.
Atualmente a curva normal representa um ganho para a ciên-
cia, pois a normalidade ocorre naturalmente em muitas medidas de 
situações físicas, biológicas e sociais e é utilizada para fazer inferên-
cias estatísticas.
Assim, os modelos contínuos encontram importantes apli-
cações na engenharia, nas ciências físicas, em finanças e ciências 
sociais. Alguns exemplos de fenômenos aleatórios contínuos são a 
altura, peso, tempo, como, por exemplo, tempo necessário de aten-
dimento a clientes, ou na execução de tarefas etc.
Nesse caso, a proporção da área incluída entre dois pontos 
quaisquer, debaixo da curva de probabilidade, identifica a probabi-
lidade de que a variável aleatória contínua selecionada assuma um 
valor entre tais pontos.
Características da Distribuição Normal
A curva normal é definida como sendo simétrica e unimodal. 
Essa característica encontra-se na natureza quando o número de 
dados do universo analisado é relativamente grande e principal-
mente com uma variável contínua. Nesse caso, a distribuição dos 
valores acontece em uma curva em forma de um sino, com um 
ponto máximo no centro, em que as áreas, em ambos os lados da 
média, são idênticas.
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Essa situação simétrica é estabelecida porque os valores da média, mediana e moda são iguais. Como nem sempre essa situação acon-
tece exatamente dessa forma, comumente usa-se também a expressão de distribuição aproximadamente normal, que se caracteriza por 
pequenas deformações, em que as medidas da média, moda e mediana não são mais iguais, mas com valores muito próximos.
Para facilitar o uso da distribuição Normal, trabalha-se com uma curva normal padronizada, que, além das características já apresen-
tadas, ainda assume que a curtose seja mesocúrtica, ou seja, com um pico mediano, nem muito empinado nem achatado.
Uma curva normal padronizada baseia-se em parâmetros automaticamente definidos para qualquer escala de medida que for utiliza-
da, sendo a média sempre zero e a variância igual a um. Para isso existem tabelas construídas para essa curva que mostram o percentual 
da população que se encontra em determinada faixa.
Considerando essas características, a distribuição Normal é importante na estatística pelos seguintes aspectos:
- Inúmeros fenômenos contínuos parecem segui-la ou poderem ser aproximados por meio dela;
- Pode também ser usada como aproximação para distribuições de probabilidade discreta, em situações específicas;
- Oferece a base para a inferência estatística clássica devido à sua afinidade com o teorema do limite central.
- Em termos gerais, as características de uma Distribuição Normal padronizada podem ser resumidas da seguinte maneira:
- Em termos de aparência, a curva é simétrica e tem o formato de um sino;
- A reta que passa pelo ponto máximo divide a área da curva em duas partes exatamente iguais, em forma e tamanho;
- As medidas de tendência central (média, mediana e moda) são idênticas;
- A dispersão média é igual a 1,33 desvio-padrão. Isto significa que o intervalo interquartílico está contido dentro de um intervalo de 
dois terços de um desvio-padrão, abaixo da média aritmética e dois terços de um desvio-padrão, acima da média;
- A área debaixo da curva é igual a 1 ou 100%;
- Os valores encontrados abaixo da curva da distribuição Normal padronizada podem ser medidos em desvios-padrão e suas probabi-
lidades por intervalo são as seguintes:
+ 1σ a - 1σ = 68,27% da área da curva;
+ 2σ a - 2σ = 95,44% da área da curva;
+ 3σ a - 3σ = 99,73% da área da curva.
- A curva apresenta em ambos os ladosum ponto de inflexão que está a uma distância de (-1) desvio-padrão (s) e (+1) desvio-padrão 
(s)) da origem do centro da curva, onde a média, a mediana e a moda são coincidentes;
- Na curva, ambos os lados se acercam cada vez mais ao eixo das abcissas, porém sem jamais tocá-lo;
- Sua variável aleatória associada possui um intervalo infinito (-∞ 5 ou n.q > 5);
- a aproximação melhora com o crescimento do número de ob-
servações e no limite (infinito) as duas distribuições coincidem.
Em resumo temos:
Na natureza, quando o número de dados do universo analisado 
é relativamente grande e principalmente quando for de uma va-
riável contínua, a distribuição dos dados apresenta uma curva com 
formato de um sino, com um ponto máximo no centro, em que as 
áreas, em ambos os lados da média, são idênticas.
- A curva formada chama-se de curva normal, que é definida 
como sendo simétrica e unimodal, tendo como característica a 
igualdade entre as medidas: média, moda e mediana.
- Quando as medidas, média, moda e mediana não são iguais, 
mas semelhantes, chama-se a distribuição de aproximadamente 
normal.
- Pela distribuição normal padronizada, que apresenta como 
características uma curva simétrica e mesocúrtica, podem-se deter-
minar valores de probabilidade e apresentá-los em tabelas que ex-
pressam os valores da função densidade ou curva de probabilidade, 
com base na variável padronizada z.
- Os valores da função densidade localizam-se abaixo da curva 
da distribuição e seu valor total é de 100%, localizando-se 50% à 
direita da média e 50% à sua esquerda.
- Para determinar os valores de z, precisa-se dos valores da mé-
dia, do desvio-padrão e do valor de Xi de referência.
- Os valores de z, à direita da média, são positivos e os localiza-
dos à esquerda, negativos. 
- Uma das alternativas é a determinação da probabilidade em 
função de Xi, sendo a média e o desvio-padrão conhecidos.
- No cálculo do valor de z devem ser usados dois dígitos após 
a vírgula. 
- Os valores da probabilidade encontrados no Apêndice III refe-
rem-se sempre ao intervalo entre o valor da média e o valor de Xi.
- Para a solução do problema, existem várias possibilidades: o 
próprio valor encontrado na tabela, a soma ou subtração do valor 
da tabela de 0,5, a soma de 0,5 ao valor da tabela e subtração do 
valor menor do valor maior, encontrados na tabela.
- Para facilitar a solução de problemas de probabilidade Nor-
mal, recomenda-se sempre fazer o desenho da curva e indicar a 
área a ser conhecida.
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- Outra alternativa é a determinação do valor de Xi em função da probabilidade desejada, conhecendo a média e o desvio-padrão.
- Deve-se ter o cuidado para atribuir o sinal correto de z, pois os seus valores de z, à direita da média, são positivos e os localizados à 
esquerda, negativos.
- Valores de variáveis discretas podem ser adaptados à distribuição normal, nas seguintes condições: número de observações ≥ 30; 
probabilidades de sucesso (p) e de fracasso (q) não serem muito próximas a zero e as médias de sucesso e de fracasso serem maiores do 
que cinco.
- Na aproximação da Binomial à Normal deve-se fazer a correção de continuidade, pela soma ou subtração de 0,5 ao valor inteiro da 
variável discreta X (número de sucessos).
Essa correção é necessária e deve ser feita de forma equitativa, pois entre dois números consecutivos da variável discreta há um es-
paço vazio de uma unidade.
- Os valores da média e do desvio-padrão são obtidos pelas fórmulas de cálculo das propriedades das variáveis discretas.
Normalmente em concursos a banca traz os valores das tabelas na própria questão, visto que são muitos valores para serem memori-
zados. Então não se preocupe com isso, o importante é o entendimento e como se faz os cálculos.
Valor esperado
Na tentativa de resumir o comportamento de uma variável aleatória vamos estudar uma medida que estuda a tendência central da 
variável aleatória, chamada de esperança ou valor esperado de uma variável aleatória.Para ilustrar os vários momentos em que lidamos 
com o valor esperado vamos apresentar alguns exemplos.
Exemplos:
1) Em um restaurante quando pedimos nossa comida e perguntamos para o garçom quanto tempo leva para ficar pronto, ele vai nos 
fornecer um valor esperado, ou seja, o tempo médio em que a comida deve demorar a ficar pronta.
2) Quando estamos em um ponto de ônibus e perguntamos para a pessoa ao lado, quanto tempo leva até que o próximo ônibus ve-
nha, ela prontamente vai nos dar o valor esperado, o qual ela conseguiu constatar depois de algum tempo de experiência.
Nos exemplos acima o garçom e a pessoa que esperava no ponto de ônibus resumiram toda a informação de um modelo em um único 
número, o valor esperado. Nesta seção iremos estudar como se obter a esperança ou valor esperado de uma variável aleatória, estudare-
mos algumas de suas propriedades, e também a função geradora de momentos, responsável por gerar todos os limites centrais.
Propriedades do valor esperado
Veremos algumas importantes propriedades do valor esperado de uma variável aleatória. Em cada caso, admitimos que todos os 
valores esperados mencionados, existem.
P1. Se com uma constante real, então .
De fato, se é uma variável aleatória discreta, temos que
P2. Seja uma constante real e uma variável aleatória. Então,
De fato, no caso discreto temos que
De modo análogo, temos no caso contínuo, que
P3. Sejam e duas variáveis aleatórias quaisquer. Então,
De fato, no caso discreto, considere a função de probabilidade conjunta e e as funções de probabilidade 
marginais de e respectivamente. Então, temos que
de onde segue que
Portanto, concluímos que
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Se e são variáveis aleatórias contínuas, considere a função densidade de probabilidade conjunta e e as 
funções densidade de probabilidade marginais de e respectivamente. Então
ou seja,
demonstrando o resultado.
P4. Sejam variáveis aleatórias . Então,
A demonstração deste caso é análoga a anterior. Basta fazer uma indução sobre .
P5. Sejam e variáveis aleatórias independentes. Então,
De fato, suponha que e são variáveis aleatórias independentes com função de probabilidade conjunta para o caso 
discreto ou função densidade de probabilidade conjunta para o caso contínuo. Como, por hipótese, e são independentes, 
temos do Teorema 3.1.2 que
no caso discreto e do Teorema 3.2.1 que
no caso contínuo. Desta forma, se e são variáveis aleatórias discretas independentes, temos que
 
de onde segue que
 
Analogamente, para o caso contínuo, temos que
 
ou seja,
 
demonstrando assim o resultado.
P6. (Desigualdade de Jensen)Seja uma função convexa e uma variável aleatória integrável, ou seja, . 
Então temos que
 
Ressaltamos que uma função é dita convexa se seu gráfico for convexo, ou seja, dado quaisquer pontos a reta que passa 
pelos pares ordenados e não intercepta o gráfico de em nenhum ponto no intervalo .
Uma definição equivalente seria que para quaisquer e para todo temos que:
 
De fato, se é uma função convexa então dado um par ordenado no gráfico de , temos que existe uma reta tal que a 
reta passa pelo ponto e deixa a curva toda acima dela, ou seja, existe um tal que .
Então temos que 
 
Portanto, se aplicarmos o valor esperado em ambos os lados obtemos: