DISTRIBUIÇÃO DISCRETA - POISSON

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
FLÁVIA CRISTINA FRANCO DE LIMA ROSA
JEFFERSON TADEU DE GODOI PEREIRA
1
UNIDADE 8
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA - 
POISSON
1. Estimar chances pontualmente de ocorrência em situações na área de 
gestão e negócios.
2. Analisar variáveis na área de gestão e negócios que se comportam se-
gundo modelos probabilísticos.
C
O
M
PE
TÊ
N
C
IA
S
1. CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Dando continuidade aos estudos relacionados às distribuições de probabilidade relacio-
nadas às variáveis aleatórias discretas, será abordada a Distribuição de Poisson.
Para compreender esta distribuição de probabilidade, vamos analisar o seguinte exem-
plo: em uma fábrica de tecidos, por mais apurado que seja o processo de fabricação, é 
natural que ocorram pequenas imperfeições no produto final. Inicialmente, pode-se afir-
mar que a variável aleatória “ter imperfeição” possui características que se aproximam 
de uma distribuição binomial.
Ocorre que a distribuição binomial necessita da definição do tamanho da amostra para o 
seu cálculo (número de vezes que o experimento será repetido). No exemplo citado, por 
mais que se possa definir uma área de observação do tecido, a quantidade de pontos que 
se pode observar é infinita, impossibilitando assim a aplicação da distribuição binomial.
A partir deste contexto surge o que se denomina como Distribuição de Poisson.
Para tanto, seja X a variável aleatória que representa o número de imperfeições en-
contradas em uma área de tecido T , se seja λ (se lê lambda) o número médio de 
imperfeições que se espera em cada unidade de área. O valor esperado imperfeições 
na área definida, pode ser calculado fazendo:
( )E X Tλ=
Desta forma, a partir da Distribuição de Poisson, a probabilidade de se encontrar x imper-
feições em uma área T a partir de uma média de imperfeições λ pode ser calculada por:
( ) ( )
!
xTe T
P X x
x
λ λ−
= =
U8
2Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta - Poisson
Onde:
x → é a quantidade de imperfeições que se deseja;
λ → média de imperfeições por unidade de área;
T → área total observada;
 e → valor constante definido a partir da base do logaritmo natural ln, sendo 
2,718282e ≅ .
2. APLICAÇÕES UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Aplica-se a fórmula da Distribuição de Poisson para a resolução das seguintes situações:
Exercício resolvido 1
No processo de fabricação de um tecido são esperadas 3 imperfeições a cada 2m pro-
duzido. A partir desta informação, em uma área total de 210m , calcule a probabilidade 
de encontrar, exatamente, 32 imperfeições.
RESOLUÇÃO
A partir da situação estudada, sabe-se que 23 /imperfeições mλ = , 210T m= e 
32 x imperfeições= . Aplicando a fórmula da Distribuição de Poisson:
( ) ( )
!
xTe T
P X x
x
λ λ−
= =
( ) ( ) ( ) ( )32 323.10 303.10 30
32 32
32! 32!
e e
P X P X
− −
= = → = =
( ) ( )3230 30
32 0,0659 6,59%
32!
e
P X
−
= = ≅ ≅
Observação: a partir dos valores de λ e T pode-se calcular a média, variância e des-
vio padrão para a variável aleatória estudada.
( )E x Tµ λ= =
 valor esperado ou média
( ) 2V X Tσ µ λ= = =
 variância 
Tσ µ λ= = desvio padrão
3 Métodos Quantitativos
U8 Distribuição Discreta - Poisson
Exercício resolvido 2
Em um departamento de call center, sabe-se que alguns clientes não conseguem com-
pletar a ligação por dificuldades técnicas. Espera-se que, a cada hora, 6 clientes não 
consigam completar a ligação. Em um período de 8 horas, qual é a probabilidade de 50 
clientes não conseguirem completar suas ligações?
RESOLUÇÃO
Espera-se que a cada hora 6 clientes não consigam completar a ligação, ou seja, 6λ =
. Para 8 T horas= e 50x = , aplicando a distribuição de Poisson:
( ) ( ) ( ) ( )50 506.8 486.8 48
50 50 
50! 50!
e e
P X P X
− −
= = → = =
( )50 0,0541 5,41%P X = ≅ ≅
Ou seja, a probabilidade de 50 clientes não conseguirem completar a ligação, em um 
período de 8 horas é de 5,41%.
3. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE 
POISSON
Para explorar o gráfico da Distribuição de Probabilidade de Poisson, vamos adotar o in-
tervalo [ ]0;12 para a variável x . Desta forma, para 1µ = , se terá os seguintes valores:
Tabela 01. ( )P x em distribuição de Poisson para 1µ =
X P(X)
0 0,3679
1 0,3679
2 0,1839
3 0,0613
4 0,0153
5 0,0031
6 0,0005
7 0,0001
8 0,0000
9 0,0000
10 0,0000
11 0,0000
12 0,0000
Fonte: elaborada pelos autores.
U8
4Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta - Poisson
Representando graficamente:
Figura 01. ( )P x em distribuição de Poisson para 1µ =
Fonte: elaborada pelos autores.
Para 2µ = , se terá:
Tabela 02. ( )P x em distribuição de Poisson para 2µ =
X P(X)
0 0,1353
1 0,2707
2 0,2707
3 0,1804
4 0,0902
5 0,0361
6 0,0120
7 0,0034
8 0,0009
9 0,0002
10 0,0000
11 0,0000
12 0,0000
Fonte: elaborada pelos autores.
5 Métodos Quantitativos
U8 Distribuição Discreta - Poisson
Graficamente:
Figura 02. ( )P x em distribuição de Poisson para 2µ =
Fonte: elaborada pelos autores.
Se alterarmos a média para 5µ = :
Tabela 03. ( )P x em distribuição de Poisson para 5µ =
X P(X)
0 0,0067
1 0,0337
2 0,0842
3 0,1404
4 0,1755
5 0,1755
6 0,1462
7 0,1044
8 0,0653
9 0,0363
10 0,0181
11 0,0082
12 0,0034
Fonte: elaborada pelos autores.
U8
6Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta - Poisson
Graficamente:
Figura 03. ( )P x em distribuição de Poisson para 5µ =
Fonte: elaborada pelos autores.
Observando o comportamento dos gráficos, nota-se que a medida que µ aumenta:
 ` O centro da distribuição de probabilidade (tendência central) também se desloca no sen-
tido positivo (para a direita).
 ` A dispersão das probabilidades aumenta. Quanto maior for µ , mais dispersos estarão os 
valores probabilísticos.
4. USO DE SOFTWARE PARA DETERMINAR A PROBABILIDADE 
UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Para o cálculo da probabilidade a partir de uma Distribuição de Poisson, utilizando o 
Excel, deve-se fazer uso da seguinte fórmula:
=DIST.POISSON(x;média;cumulativo)
Onde:
x → é o ponto em que se deseja calcular a probabilidade;
média → o valor esperado para variável aleatória ( )Tλ ;
cumulativo → para calcular a probabilidade para um valor x pontual (exatamente), 
deve-se utilizar “FALSO”. Para calcular a probabilidade para um intervalor menor ou 
igual a x , deve-se utilizar “VERDADEIRO”.
7 Métodos Quantitativos
U8 Distribuição Discreta - Poisson
Exercício resolvido 3
Sabe-se que a probabilidade de ocorrência de uma certa variável aleatória pode ser 
compreendida a partir de uma Distribuição de Poisson com 12 / horaλ = . Para um pe-
ríodo de 12 horas, calcule a probabilidade de observarmos 138 ocorrências da variável.
RESOLUÇÃO
Digite os valores dos parâmetros em uma planilha, conforme exemplo abaixo:
Figura 04. Inserindo os dados – Distribuição de Probabilidade Poisson
Fonte: elaborada pelos autores, com o auxílio do Excel.
Observação: note que a média é calculada fazendo:
 12.12 144Tµ λ µ= → = =
Logo abaixo de ( )P x , digite a seguinte fórmula:
=DIST.POISSON(F2;B3;FALSO)
Observação: note que o atributo “cumulativo” foi definido como “FALSO”, pois se está 
a calcular a probabilidade para um valor exato de x , 138x = .
Figura 05. Cálculo da Distribuição de Poisson - Excel
Fonte: elaborada pelos autores, com o auxílio do Excel.
U8
8Métodos Quantitativos
Distribuição Discreta - Poisson
Portanto, pode-se afirmar que a probabilidade de se observar 138 ocorrência da variá-
vel x , em um período de 12 horas é de 2,99%.
EXERCÍCIO PROPOSTO
O departamento de trânsito de uma prefeitura está analisando o tráfego de veículos au-
tomotores em uma via pública. Em horário de tráfego normal (fora dos horários de pico) 
espera-se que em um determinado período a média de veículos seja igual a 18, ou seja, 
µ =18 veículos. Sabendo que a variável número de veículos que trafegam na via pública 
tem distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de, neste período, trafegarem pela 
via 22 veículos.
Exercício 1.
Em um teste de gravaçãode discos rígidos, com base na gravação de um determinado 
arquivo foram contados quantos blocos do conteúdo estavam ausentes após o término 
da gravação. Considere que o número x de blocos ausentes assuma distribuição de 
Poisson com um parâmetro µ = 0,19 para um disco.
a. Sendo selecionado 1 disco, qual a probabilidade de o disco ter exatamente 2 blocos 
ausentes?
b. Sendo selecionados 2 discos, qual é a probabilidade de que não haja blocos ausentes?
Exercício 2.
O quantitativo de solicitações de assistência técnica para um determinado produto as-
sume distribuição de Poisson, com uma taxa de 6λ = solicitações por hora, em uma 
determinada região geográfica. Calcule a probabilidade de observarmos 20 solicitações 
de assistência técnica em um prazo de 3 horas.
Exercício 3.
EDUCANDO PARA A PAZ