Projeto-de-ensino-matematica-Tema-Modelagem-da-funcao-AFIM

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universidade pitágoras unopar anhanguera
licenciatura eM MATEMÁTICA
TAMIRES BIANK de souza
PROJETO DE ENSINO EM MATEMÁTICA
MODELAGEM DA FUNÇÃO AFIM
Barra de São Francisco
2024
Cidade
2022
TAMIRES BIANK de souza
PROJETO DE ENSINO EM MATEMÁTICA
MODELAGEM DA FUNÇÃO AFIM
Projeto de Ensino apresentado à Universidade Pitágoras Unopar Anhanguera, como requisito parcial à conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.
Tutor à distância: Tatiana Romagnolli Peres
Barra de São Francisco
2024
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO	3
1	TEMA	4
2	JUSTIFICATIVA	5
3	PARTICIPANTES	7
4	OBJETIVOS	8
5	PROBLEMATIZAÇÃO	9
6	REFERENCIAL TEÓRICO	10
7	METODOLOGIA	15
8	CRONOGRAMA	23
9	RECURSOS	23
10	AVALIAÇÃO	24
CONSIDERAÇÕES FINAIS	25
REFERÊNCIAS	26
INTRODUÇÃO
A falta de interesse dos alunos quanto ao aprendizado da disciplina de matemática é nitidamente verificada na etapa do Ensino Médio da Educação Básica, isso contribui para que os educadores busquem novas estratégias de ensino que incentivem o ensino aprendizado dos alunos na disciplina de matemática, uma estratégia é a elaboração de projetos utilizando metodologias alternativas. 
Nesse contexto, a metodologia da Modelagem Matemática se constitui como uma alternativa pedagógica, sendo que nesta alternativa objetivamos fazer uma abordagem matemática partindo de uma situação-problema que não necessariamente precisa ser matemática. 
Assim, apresenta-se o projeto cujo tema foi Aprendizagem significativa para o ensino de função afim, em que se pretende mostrar a possibilidade de realização de atividades de Modelagem Matemática em sala de aula, bem como as implicações positivas dessa abordagem no ensino e aprendizagem de funções. 
Podemos destacar vários motivos para a realização de atividades de modelagem nas aulas de matemática, como a motivação dos estudantes que passam a ser agentes totalmente ativos no processo de ensino e aprendizagem além de desenvolver a capacidade de resolver problemas do dia a dia. 
O desenvolvimento da proposta é apresentado por meio de uma Trajetória Hipotética de aprendizagem construída com base na etapa do 1º ano do Ensino Médio da Educação Regular. Realizada por meio de levantamentos bibliográficos acerca da temática apoiados nos referenciais teóricos propostos por Para Barbosa (2001),Burak (1992), Almeida e Dias (2005), Simon (1995), entre outros. 
Na construção da atividade de modelagem em sala de aula, utilizamos a primeira etapa de familiarização com a metodologia proposta por Almeida, Silva e Vertuan (2012), em que o aluno e professor tenha, primeiramente, a familiarização com a modelagem, e que esta ocorra de forma gradativa. Assim, o professor coloca os estudantes em contato com a situação-problema, juntamente com os dados e as informações necessárias, sendo todo o processo acompanhado pelo professor. 
Com isso, a seguir encontra-se todo o processo de elaboração do Projeto de ensino em questão, com os tópicos necessários para seu desenvolvimento. Vale ressaltar que o projeto apresentado se constitui em uma elaboração teórica, mas que pode vir a ser efetivamente aplicada na Educação Básica. 
TEMA 
Uma das principais metas do ensino da matemática é a compreensão conceitual de fenômenos observados na natureza. Para tanto, é importante que o conceito matemático esteja atrelado às situações-problemas da realidade. Além disso, o ensino da matemática deve dar ênfase no desenvolvimento da habilidade dos estudantes problematizarem. 
Nessa perspectiva, deve-se entender a aprendizagem matemática como algo adivinho da interação entre os conceitos trabalhados em sala de aula e a matemática utilizada no cotidiano, o que acaba contribuindo para a busca por soluções de problemas existentes em nosso dia a dia. 
Com base no contexto apresentado da educação matemática, o tema escolhido para esse projeto de ensino foi Aprendizagem significativa para o ensino de função afim, onde serão apontadas as principais aplicações de funções na sociedade como forma de promover um ensino mais completo, abrangente e significativo para o aluno. 
A utilização da metodologia da modelagem matemática nessa proposta cria um ambiente potencializador, pelas possibilidades que podem ser criadas em sala de aula. No caminho da contextualização, mostra a importância do conteúdo de funções pela relação com problemas reais e do cotidiano dos alunos, o que motiva a participação de todos, inclusive pela maior autonomia que é dada ao aluno. 
 
JUSTIFICATIVA
As constantes mudanças conceituais que vem acontecendo na sociedade atual se refletem diretamente na educação, que cada dia mais precisa ser direcionada ao contexto e as vivencias do aluno, não cabendo mais formas tradicionais de ensino dentro da escola. De acordo com os parâmetros curriculares nacionais (PCNs) 
Aprender matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação (BRASIL, 2002, p. 111). 
Em relação ao ensino de funções no ensino médio busca-se inserir no contexto escolar o uso de diferentes linguagens no processo de ensino-aprendizagem, procurando tornar a construção do conhecimento matemático mais dinâmico e interessante para os alunos. 
A aplicação de situações cotidianas na motivação, estudo e ensino de tópicos de conteúdos programáticos aumenta, na maioria das vezes, o interesse e compreensão dos alunos da educação básica, além de evidenciar que a matemática faz realmente parte da vida de todos nós. No ensino das funções, que pode ser iniciado já no nível fundamental, as aplicações são muito indicadas para fugir do formalismo teórico. (Hellmeister, RPM 63, p. 1). 
Nesse sentido, sugestões de uso de diferentes instrumentos e metodologias que abordam diferentes formas de ensino em consonância com outras áreas do saber podem contribuir para essa perspectiva. 
Dentre as diversas metodologias do ensino da matemática Almeida e Dias (2005) defende a Modelagem Matemática como uma ótima alternativa pedagógica que aborda, por meio da Matemática, situações não essencialmente matemáticas. 
Dessa forma, acredita-se que o uso da Modelagem Matemática contribuirá de maneira potencializadora para o alcance de melhores resultados melhores e satisfatórios durante o processo de ensino e aprendizagem, pois seu uso procura trazer para a sala de aula a discussão de problemas reais, de caráter social, o que leva os alunos a buscarem, adaptares ou criarem modelos matemáticos que sejam capazes de auxiliá-los na solução frente ao desafio proposto. 
O ensino de funções por meio da modelagem é algo relativamente novo para alguns docentes que estão acostumados a ensinar esse conteúdo de modo tradicional, mecanizado. Ao fazer uma integração entre a função afim e situações cotidianas proporcionam ao aluno uma múltipla aprendizagem, mais dinâmica, contextualizada e significativa, permitindo a aquisição de conhecimentos de modo integrado. 
PARTICIPANTES
Os participantes deste projeto de ensino serão alunos do 1º ano do Ensino Médio da educação regular e o professor de matemática licenciado, onde ao longo da execução do projeto poderão ter um diálogo aberto, realizando discussões importantes sobre o tema em questão. 
Nessa proposta, os alunos serão os autores principais do processo de aprendizagem, envolvendo-se em uma investigação que o permitirá atribuir sentido e conhecer a aplicabilidade e a importância de conceitos matemáticos estudado sem sala de aula. 
Nesse contexto, o professor deixa de apresentar o caráter de detentor e transmissor do conhecimento e assume um papelde condução, pois conduz as atividades, numa posição de participante delas. 
 
  
OBJETIVOS
	
Objetivo geral: Possibilitar uma experiência com a Metodologia de Modelagem Matemática em sala de aula, mostrando a importância do conteúdo de funções pela relação com problemas reais e do cotidiano. 
 
	 
Objetivos específicos: 
Desenvolver a habilidade de resolução de problemas; 
Identificar e utilizar corretamente os conceitos função do primeiro grau; 
Utilizar conhecimentos prévios dessa etapa de ensino para a construção do modelo matemático. 
Aplicar de maneira satisfatória o modelo matemático construído. 
 
PROBLEMATIZAÇÃO
	
O ensino da Matemática, em sua grande maioria das vezes é efetuado de forma descontextualizada e tradicional, onde o professor apenas repassa conhecimentos já firmados sem inter-relacionar com o contexto em que ao aluno está inserido. 
Esse é um dos fatores que certamente prejudica o processo de aprendizagem em Matemática e provoca nos estudantes um sentimento de aversão pela disciplina é essa maneira como ela é ensinada: de maneira desvinculada da realidade. 
No estudo de funções, muitas das dificuldades apresentadas pelo aluno devem--se à falta de contextualização desse conteúdo com situações reais. Observa-se que no contexto da matemática escolar o estudo das funções é entendido como o estudo das relações entre grandezas que variam. No entanto, é necessário fazer a contextualização desses conceitos com situações da realidade dos alunos, permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. 
Dessa forma, os professores devem estar atentos para as dificuldades do aluno referentes a essa questão e elaborar novas estratégias que potencialize o ensino de funções. Nesse sentido, temos as atividades de Modelagem, que favorecem o estudo de funções. 
A metodologia de Modelagem Matemática pode ser considerada como alternativa para minimizar tais problemas de aprendizagem, uma vez que aproxima Matemática da realidade ao aplicar conceitos dessa área em situações-problemas advindas de fenômenos reais, sendo esses fenômenos pauta dos nos interesses dos alunos. 
Dessa forma, a compreensão de objetos matemáticos é facilitada, uma vez que o aluno se sente motivado em aprender, ao perceber que há aplicação da Matemática estudada na sala de aula em situações reais, inclusive em situações que envolvem outras áreas do conhecimento. 
 Neste sentido a problemática do projeto está em: Qual a importância da modelagem nos ensinos de função afim? 
 
 
 
 
REFERENCIAL TEÓRICO 
O ensino da Matemática, na grande maioria das vezes é efetuado de forma descontextualizada e tradicional e, no ensino de funções isso não é diferente. Podemos verificar que a construção de conhecimento da função afim acontece inicialmente por definições, passando em seguida exemplos, e na sequência aplicação de exercícios iguais aos exemplos. O professor apenas repassa conhecimentos já firmados sem inter-relacionar com o contexto em que ao aluno está inserido. 
Os conceitos de função afim são muito importantes para a sociedade em geral, várias áreas de conhecimento se utilizam desse conhecimento para explorar situações cotidianas. Dessa forma, é essencial que os alunos tenham uma compreensão eficaz deste conteúdo para que possa compreender vários problemas adivinhos do seu dia a dia. 
O ensino de função afim é de grande relevância para a sociedade como um todo, haja vista sua ampla aplicabilidade em diversas situações presentes no cotidiano, e sua exploração no ensino médio ocorre intencionalmente no primeiro ano. A forma de ensinar função não se restringe à sala de aula, os alunos apreciam inovações, novas formas de retratar os assuntos, metodologias que envolvam situações corriqueiras com o seu estudo, tornando, assim, o ensino-aprendizagem algo mais gratificante, mostrando para os alunos os benefícios que este conteúdo acrescentará em sua vida. (ALMEIDA, et al, 2019, p. 01). 
Um recurso didático muito eficaz para um ensino e uma aprendizagem significativa de funções é a Modelagem Matemática, uma metodologia que tem como objetivo a construção de um modelo matemático, colaborando como desenvolvimento do conhecimento matemático aliado à motivação e ao envolvimento. 
Na literatura encontramos uma diversidade de concepções de Modelagem na Educação Matemática. Para Barbosa (2001): 
Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (BARBOSA, 2001, p. 06). 
Burak (1992, p. 62), defende que “a modelagem matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo o objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões” 
Segundo D’Ambrósio (1986, p. 12), “Modelagem é um processo muito rico de encarar situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com simples resolução formal de um problema artificial”. 
Para este trabalho consideramos a perspectiva defendida por Almeida e Dias, em que defende a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica que aborda, por meio da Matemática, situações não essencialmente matemáticas (ALMEIDA e DIAS, 2004). 
No entanto, todas essas concepções de Modelagem estão intimamente ligadas à ideia de trabalhar com “problemas da realidade” por meio da Matemática e de construir um modelo ou de aproveitar um modelo já pronto para investigar uma situação de interesse. 
Existem bons motivos para a realização de atividades de modelagem nas aulas de matemática, podemos destacar que esse tipo de atividade pode motivar os estudantes que passam a ser agentes totalmente ativos no processo de ensino e aprendizagem além de desenvolver a capacidade de resolver problemas do dia a dia. Além de promover a habilidade em formular e resolver problemas, aplicar o conteúdo matemático de forma contextualizada desenvolvendo a criatividade dos alunos, com o intuito de levá-los a refletir questões socioeconômicas, ambientais, dentre outras, o que os tornam mais críticos e atuantes na sociedade. 
O desenvolvimento de uma atividade de modelagem durante as aulas de matemática se configura como uma atividade que requer a coordenação de uma série de habilidades e ações, como a coleta de dados, a formulação e teste de hipóteses, a construção de um modelo matemático e sua validação, culminando com a obtenção e interpretação de uma resposta para o problema. (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2010, p. 224). 
Na atividade de modelagem, o importante não é chegar a um modelo matemático final e sim, o processo para se chegar ao modelo. Corroborando Bassanezi (2004) enfatiza que: 
 [...] no ensino é apenas uma estratégia de aprendizagem, onde o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem-sucedido, mas caminhar seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado” (BASSANEZI, 2004, p. 38). 
Ao discutir situações da realidade e verificar a aplicabilidade da matemática em diferentes contextos, os alunos podem entender melhor a realidade que os cerca, procurando meios para agir sobre ela e transformá-la. Para Almeida e Dias (2004, p. 25) a Modelagem pode proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos matemáticos. 
Considerando este conjunto de ações dos alunos, Almeida e Dias (2004) ponderam que a introdução de atividades de Modelagem Matemática em sala de aula pode ser realizada de forma gradativa. Nesse contexto os autores sugerem que inicialmente o professor coloque os alunos em contato com uma situação problema, juntamente com os dados e as informações necessárias. A investigação do problema, a dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático são acompanhadas pelo professor, de modo que ações como definição de variáveis e hipótese, a simplificação, atransição para a linguagem matemática, obtenção e validação, são em certa medida, orientadas e avaliadas pelo professor. 
No entanto, Bassanezi (2002) aponta alguns obstáculos que o trabalho com Modelagem pode oferecer. O primeiro a ser destacado é que a atividade de modelagem é um trabalho demorado, o que dificulta o cumprimento do programa dos cursos. Outro ponto é em relação aos alunos, visto que, o fato de se tornarem centro de um processo de ensino e aprendizagem pode fazer com que o aluno se sinta perdido e se desinteresse pelas aulas. 
Muitos professores se sentem despreparados para desenvolver atividades de Modelagem Matemática em suas turmas. Essa insegurança é justificada, basicamente, por dois motivos: ou o professor não tem conhecimento sobre o que é e como desenvolver uma atividade na perspectiva da Modelagem Matemática, ou tem medo de se envolver em uma situação embaraçosa em que não conseguirá aplicar conhecimentos matemáticos em áreas que para ele são totalmente ou parcialmente desconhecidas. Ainda, relacionado ao obstáculo instrucional, o professor teme que o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática demande muito tempo de suas aulas, prejudicando que ele consiga cumprir o programa do curso. 
A utilização da Modelagem Matemática precisa ser bem orientada e, para isso, o professor precisa se sentir confiante e estar bem preparado para conduzir esse tipo de atividade. Caso contrário, como a utilização da Modelagem Matemática difere da rotina tradicional de estudos do estudante, esta pode se tornar responsável por gerar um sentimento apático às aulas. 
Dessa forma, o professor deverá planejar a atividade de modelagem matemática com bastante cuidado, elaborando um tema que seja de conhecimento e interesse dos alunos e assim terem mais facilidade em compreender as ideias matemáticas envolvidas. Assim, o professor pode utilizar uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem, um recurso pedagógico que pode ser THA pode ser entendida como um planejamento bem detalhado que o professor utiliza para orientar seu trabalho em sala de aula. 
De modo geral, é compreendida como um plano de aula que leva em consideração o máximo de especificidades de cada um dos estudantes que compõem uma turma. 
Nesta perspectiva nos deparamos com as teorias “Trajetória Hipotética da Aprendizagem” (THA) de Martin A. Simon (1995). O autor propõe uma THA baseada no construtivismo que indica caminhos que auxiliam na compreensão de como ocorre à aprendizagem, favorecendo uma aprendizagem significativa. 
Nas palavras de Simon em se referir ao termo trajetória hipotética de aprendizagem 
Uso o termo “trajetória hipotética de aprendizagem” para me referir a previsão do professor como um caminho pelo qual a aprendizagem pode ocorrer. É hipotético porque a trajetória real de aprendizagem não é conhecida previamente. A aprendizagem individual dos estudantes ocorre de forma individual, embora muitas vezes em caminhos semelhantes. É reconhecido que uma aprendizagem individual tem alguma regularidade, que a sala de aula limita a atividade matemática frequentemente de formas previsíveis, e que muitos estudantes na mesma sala podem se favorecer da mesma tarefa matemática. Uma trajetória hipotética de aprendizagem fornece ao professor uma análise racional para escolher um projeto instrucional particular; assim, eu tomo as minhas decisões baseadas nas minhas melhores suposições de como a aprendizagem pode acontecer (SIMON, 1995, p. 135, tradução própria). 
A THA é constituída por três componentes: 
1. O objetivo do professor para a aprendizagem de seus alunos com direções definidas; 2. As tarefas de ensino; 3. As suposições que são feitas sobre o processo de hipotético de aprendizagem. Dada a natureza hipotética, inerente incerta deste processo, o professor é obrigatoriamente a mudar ocasionalmente cada aspecto da THA. 
Uma trajetória considera as particularidades dos alunos em relação a sua aprendizagem e conhecimentos prévios. As tarefas matemáticas fornecem as ferramentas para promover a aprendizagem especifica sobre conceitos matemáticos e, portanto, são um elemento-chave do processo de instrução. 
Embora não contida nos componentes essencial de uma THA a avaliação do desenvolvimento da aprendizagem do aluno pode trazer ajustes a respeito de qualquer conhecimento do professor. Isso possibilita uma alteração em qualquer componente de uma trajetória dando origem a uma nova ou uma modificada Trajetória Hipotética de Aprendizagem. 
 
 
 
  
METODOLOGIA
1º MOMENTO – ETAPAS DA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA. 
 
Orientações ao professor: Os alunos desenvolverão uma atividade de Modelagem Matemática. Desta forma os alunos deverão primeiramente compreender as etapas de uma atividade de modelagem matemática. Assim o professor explica que nessa aula a atividade será um pouco diferente, e é necessário que, primeiramente, eles entendam as etapas da modelagem matemática. 
 
1º etapa Inteiração: Essa etapa consiste em se inteirar sobre o tema em questão lendo as informações fornecidas. 
2º etapa Matematização: formulação de hipóteses, selecionar variáveis e resolução do problema. 
3º interpretação e validação do modelo: Nesta etapa acontece a avaliação do modelo matemático sugerido na etapa de matematização, tendo em vista o objetivo de verificar o nível de aproximação do mesmo para com a situação-problema representada. 
 
POSSIVEIS PERGUNTAS 
A1 – Como é feita a primeira etapa? 
P – Essa etapa pode ser realizada através de uma leitura atenta do problema apresentado. É importante nesta etapa, efetuar uma descrição detalhada dos dados levantados, pois esses dados serão utilizados durante todo o processo de modelagem. 
 A2 – O que é um modelo matemático? 
P – Modelo matemático é qualquer representação matemática da situação em estudo. Pode ser representado por expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas. 
A3 – Como é feita a validação do modelo? 
P – Podemos validar o modelo faz-se uma avaliação para verificar em que nível ele se aproxima da situação-problema representada. Faz-se então, uma interpretação do modelo, uma verificação de sua adequabilidade e uma avaliação do significado da solução. 
 
2º MOMENTO – APRESENTAÇÃO DA ATIVIDADE DE MODELAGEM 
 
Orientações ao professor: Os alunos deverão formar grupos para realizar a atividade. Será entregue a atividade para cada aluno do grupo para que cada um possa realizar uma leitura atenta do caso. 
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE) 
 
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o órgão responsável por realizar o censo demográfico brasileiro a partir do ano de 1940, sendo o último censo tendo sido realizado no ano de 2010. 
O censo ou recenseamento demográfico é um estudo estatístico referente a uma população que possibilita o recolhimento de várias informações, tais como o número de homens, mulheres, crianças e idosos, onde e como vivem as pessoas. Esse estudo é realizado, normalmente, de dez em dez anos, na maioria dos países. 
Segundo a definição da ONU, "um recenseamento de população pode ser definido como o conjunto das operações que consistem em recolher, agrupar e publicar dados demográficos, econômicos e sociais relativos a um momento determinado ou em certos períodos, a todos os habitantes de um país ou território". 
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza estimativas populacionais por meio de formulas obtidas com base em dados estatísticos nos períodos entre dois censos. Observe o gráfico: 
 
Fonte: IBGE (2010). 
Os dados do gráfico acima foram obtidos do Censo demográfico 2010, que é uma pesquisa realizada a cada 10 anos pelo IBGE. 
Com base nos dados do gráfico, qual a estimativa da população para o ano de 2020? 
 
 
 
POSSIVEIS PERGUNTAS 
 
A1 – Como é realizado o censo? 
P – Os pesquisadores do IBGE visitam todos os domicílios do país no intervalo entre dois censos demográficos, aproximadamente cinco anos depois e cinco anosantes, para aplicar um questionário e posteriormente os dados são analisados e publicados em estudos sobre diversos temas. 
A2 – O gráfico já é o modelo matemático? 
P – Não, neste caso queremos encontrar uma formula ou função que represente o gráfico. 
A3 – Como podemos fazer essa estimativa? 
P – Determinado o modelo matemático será possível realizar a estimativa da população para 2020. 
A4 – Como podemos determinar o modelo? 
P – Primeiramente, como característica da 1ª etapa, o texto e o gráfico atentamente. Segundo o texto como é realizado as estimativas pelo IBGE? 
A5 - Por meio de formulas obtidas com base em dados estatísticos nos períodos entre dois censos. 
P – Assim podemos concluir que queremos encontrar a função que relaciona a quantidade da população em função do tempo. O que o gráfico mostra? 
A6 – O crescimento da população brasileira de 1940 a 2010. 
A7 – Dados são apresentados de 10 em 10 anos, por que os censos são realizados nesses períodos. 
P – Alguém pode me dizer qual será o grau dessa função? 
A8 – Pode ser do 1º grau, pois o gráfico apresenta a tendência de uma possível reta. 
A9 – Concordo por que se fosse do 2º grau a tendência seria uma curva. 
P – Qual a equação geral de uma função do 1º grau? 
A10 – f(x) ax + b. 
P – Muito bem, e como poderemos determinar a função desse gráfico? 
A10 – Quando estudamos essa função, lembro que podemos determinar uma função do primeiro grau conhecendo dois de seus pontos. 
P – Quais são os pontos do gráfico? 
A11 – Observando o gráfico temos x para o ano e y para a quantidade da população em milhões. 
P – Muito bem. A função que encontrarem será o modelo matemático, com ele será possível fazer a estimativa para 2020. 
A12 – Quais pontos deveram escolher? 
P – Esta etapa fica por conta de vocês, apenas escolham dois dos pontos do gráfico e trabalhem com eles. 
 
POSSIVEL RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 
 
1ª Etapa – Inteiração: Essa etapa consiste em se inteirar sobre o tema em questão lendo as informações fornecidas. 
 
2ª Etapa: Matematização: 
Hipóteses: 
 Os dados do crescimento da população brasileira indicam uma reta, portanto podem ser representados por meio de uma função polinomial do primeiro grau. 
 Os dados apresentam comportamento crescente, portanto o coeficiente angular é positivo. 
Variáveis: 
t – tempo em anos; 
P – População; 
P(t) – População em função do tempo. 
Resolução: 
De acordo com as hipóteses temos que a função que descreve os dados da estimativa da população é do primeiro grau, logo ela será do tipo f(x) = ax + b, para este caso temos P(t) = at + b. Precisamos encontrar o valor de a e b, para isso podemos escolher dois pontos do gráfico. Escolhendo os pontos (1940, 41.2) e (2010, 190.8). Substituindo esses pares ordenados na função S(t) obteremos um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, resolvendo esse sistema obteremos o valor das incógnitas a e b. 
P(t) = at + b. 
(1940, 41.2) → 1940a + b = 41.2 
(2010, 190.8) → 2010a + b = 190.8 
 
Obtemos o sistema: 
1940a + b = 41.2 
2010a + b = 190.8 
 
Analisando o sistema o método de resolução mais adequado é o método da adição que consiste em somar membro a membro as duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. O sistema não possua coeficientes opostos, assim vamos preparar uma das equações multiplicando-a por (-1) e assim obter coeficientes opostos nas equações. 
 
1940a + b = 41,2 (-1) 
2010a + b = 190.8 
 
-1940a - b = -41,2 
2010a + b = 190,8 70a = 149,6 a = 149,6 / 70 a = 2,14 
 
Em seguida, substituímos (a) por 2,14 em uma das equações do sistema. 
 
1940a + b = 41,2 
1940(2,14) + b = 41,2 4151,6 + b = 41,2 b = 41,2 – 4151,6 b = -4110,4 
 
Obtendo os valores de a e b podemos escrever o seguinte modelo matemático: 
P(t) = 2,14t – 4110,4 
Com a criação desse modelo podemos fazer uma estimativa para a população brasileira em 2020. 
 
P(t) = 2,14t – 4110,4 
P(2020) = 2,14 ∙ 2020 – 4110,4 
P(2020) = 4322,8 – 4110,4 
P(2020) = 212,4 
 
Logo, a estimativa em 2020 a população terá 212,4 milhões de habitantes. 
 
Orientações ao professor: Em uma atividade de modelagem matemática é bem provável que cada grupo siga um caminho diferente. Se o grupo escolher pontos diferentes os resultados serão diferentes. Os alunos também poderão escolher outros caminhos para encontrar o modelo matemático assim como utilizar o método da substituição para encontrar os valores das incógnitas a e b. 
 
3ª Etapa – Interpretação e validação do modelo: 
 
A validação dos resultados pode ser feita calculando a quantidade da população em seu determinado ano de acordo com a função encontrada: 
	Ano 
	População Brasileira (Real) 
	População Brasileira 
(Modulada) 
	1940 
	41,2 
	41,2 
	1950 
	52 
	62,6 
	1960 
	71 
	84 
	1970 
	94,5 
	105,4 
	1980 
	121,2 
	126,8 
	1990 
	147 
	148,2 
	2000 
	169,6 
	169,6 
	2010 
	190,8 
	191 
 
Orientações ao professor: Os alunos poderão fazer questionamentos referentes às diferenças entre o valor real e modelado. Também serão levantados questionamentos em relação a diferenças entre os modelos encontrados pelos alunos. 
 
POSSIVEIS PERGUNTAS 
A1 – Por que o valor modelado é diferente do valor real? 
P - Essa discrepância acontece devido às hipóteses elaboradas e ao método utilizado para encontra a função do primeiro grau. Ao analisar a última coluna da tabela acima, podemos concluir que é um bom modelo, pois os valores vão se ajustando adequadamente visto que o erro é pequeno. 
A2 – Meu modelo ficou diferente, mas a estimativa ficou aproximada. Por que isso aconteceu? 
P – Isso acontece devido a escolha dos pontos para obtenção do modelo. 
A2 – Qual está certo? 
P – Esses cálculos são para calcular estimativas, ou seja, um valor aproximado ao real, portanto o modelo encontrado se aproxima da função real, se na validação deste modelo os valores se aproximaram do real o seu modelo será valido. 
A3 – O meu modelo é valido, pois observei o crescimento nas últimas décadas e variam um crescimento entre 21 e 22 milhões de habitantes, e isso conferem com o crescimento de 2020. 
P – O que acharam desta atividade? 
A4 – Eu gostei, pois podemos entender a aplicação dos conceitos de função do 1º grau, sistema linear e estimativo em situações cotidianas, e aplicações na sociedade. 
A5 – Podemos fazer estimativas utilizando funções em outras áreas? 
P – Sim, é possível fazer a estimativa em diversos campos, desde que já se obtenha dados anteriores. 
A6 – Escuto bastante em jornais a palavra estimativa, como por exemplo, na previsão do tempo. 
A7 – Na taxa de desemprego. 
P – Exatamente. 
A8 – Em geografia estudamos muitos gráficos com estimativas, nessa área de ensino também é utilizado as funções? 
P – Sim, determinar uma formula ou função que expresse a relação entre grandezas tem sido uma atividade desenvolvida não apenas por matemáticos, mas também por engenheiros, biólogos, geógrafos, médicos entre outros. 
 
Orientações ao professor: Assim a aula é finalizada. O professor poderá agora utilizar outras etapas de familiarização da atividade de modelagem matemática em sala de aula, são elas: 
2ª etapa de familiarização: professor sugere uma situação problema para os estudantes, e estes, divididos em grupos, complementam a coleta de informações para investigar a situação e realizam a definição de variáveis e a formulação das hipóteses, a obtenção e validação do modelo matemático e sua utilização. 
3ª etapa de familiarização: os estudantes, distribuídos em grupos, são responsáveis pela condução de uma atividade de Modelagem Matemática, desde a identificação de uma situação-problema até a validação e utilização do modelo. Além disso, nesse momento já são capazes de comunicar a investigação realizada para a comunidade escolar. 
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CRONOGRAMA
Uma atividade de modelagem matemática demanda muito tempo, sendo necessário o planejamento de um cronograma adequado para a realização das atividades. O cronograma também é importante para que tanto o professor quanto os alunos tenham conhecimentos das etapas que já executarame das que ainda faltam ser executadas, servindo assim, como um norteador das ações de ambos os envolvidos. 
 
	 
Etapas do Projeto 
 
	 
Período 
	 
1. Planejamento 
 
	 
3 dias – Serão necessários três dias para a construção da THA, escolha do tema a ser trabalhado, atividades, objetivos, método avaliativo e etc... 
 
	 
 
2. Execução 
	 
1 aula – Conceituação das etapas da atividade de modelagem matemática. 
 
2 aulas – serão necessárias duas aulas para o desenvolvimento da atividade, discussões e esclarecimento de dúvidas. 
 
	 
3. Avaliação 
	 
2 aulas – O método avaliativo, será efetuado durante todo o desenvolvimento da atividade, ou seja, durante as aulas destinadas a execução do projeto. 
 
 
RECURSOS 
•	Computador para pesquisa sobre o tema; 
•	Jornais e revistas com notícias sobre o censo populacional; 
•	Folha de papel A4 contendo a atividade; 
•	Data show para explorar o gráfico da atividade; 
•	Calculadora para auxílio nos cálculos; 
•	Quadro e pincel; 
•	Caderno; caneta; lápis e borracha.
AVALIAÇÃO
A avaliação do referido Projeto, será diagnóstica, processual e continua, ou seja, ao longo do desenvolvimento das atividades durante as aulas. Nesse meio tempo se observará desde a participação inicial, até a produção das atividades, bem como a participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento das atividades. 
Por meio desse processo avaliativo será possível verificar as aprendizagens que os alunos conseguiram absorver, quais objetivos conseguiram alcançar e, com isso determinar possíveis mudanças em futuras aulas. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Desenvolver um projeto de ensino na perspectiva da construção de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem utilizando como metodologia a modelagem matemática foi de grande importância profissional. A elaboração deste projeto propiciou pesquisas mais aprofundadas referentes às metodologias alternativas no ensino da matemática e suas contribuições para o ensino, assim como, a utilização de uma THA em sala de aula, como forma de melhorar o ensino e aprendizagem do aluno. 
Atualmente em algumas escolas, o ensino da matemática ainda se encontra centrado num método tradicional de transmissão de conteúdo, o que causa bastante desinteresse por parte dos alunos, que se perguntam para que serve isso? Será que um dia vou usar isso? Dessa forma ao realizar esse projeto verificou-se que a utilização da modelagem matemática deve motivar os alunos a encontrar a matemática no seu cotidiano apontando a necessidade da modelagem de matemática na perspectiva da Educação matemática. 
Propostas como a apresentada, além de contribuírem para uma aprendizagem significativa de Funções, contribuem para a inclusão social, a contextualização da Matemática a mobilização e valorização de conhecimentos prévios dos alunos, dentre muitos outros fatores. 
A inserção da Modelagem matemática em sala de aula no Ensino Médio tem que ser bastante estudada, pois o professor precisa estar bastante preparado, ele deve ser criativo, motivador e acima de tudo deve assumir a postura de um mediador entre o saber comum e o saber matemático, fazendo com que o aluno passe a ser um agente ativo no processo de construção do saber. 
Por fim, ressalto que a construção de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem contribui para a formação inicial de um professor, de forma a criar um plano de aula, hipotetizando a sua trajetória, criando possíveis dúvidas dos alunos podendo assim estar preparado ao entrar em sala de aula. 
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REFERÊNCIAS
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