METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA - APOSTILA

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João José Saraiva da Fonseca 
Osvaldo Neto Sousa Costa 
 
 
 
 
METODOLOGIA DO 
ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
Sobral/ 2017 
 
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Sumário 
Apresentação do Professor 
Sobre os autores 
 
Unidade de Estudo I: A História da Matemática 
Introdução 
Origem 
A Matemática no século XX 
A Matemática no Brasil 
O Ensino da Matemática 
Etnomatemática 
A História da Matemática 
Matemática Crítica 
Modelagem Matemática 
Resolução de Problemas 
Contribuição da resolução de problemas para o Ensino da Matemática 
Modelo para resolução de problemas 
Diferença entre problema e exercício 
O professor e a formação para o Ensino da matemática 
 
Unidade de Estudo II: Epistemologia do pensamento matemático 
A Epistemologia Genética de Jean Piaget 
A construção do pensamento lógico matemático 
Provas Operatórias de Piaget 
 
Unidade de Estudo III: O ensino da Matemática e as competências para o 
cotidiano 
 
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Elementos essenciais para o Ensino da Matemática 
Avaliação Matemática 
O Currículo do Ensino da Matemática a partir dos Parâmetros Curriculares Nacionais 
A Comunicação Matemática 
 
Bibliografia 
Bibliografia Web 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação do Professor 
 
A Matemática está inserida na vida do ser humano, de forma que, está 
presente em tudo que fazemos ou desenvolvemos. Portanto, é necessário que seja 
trabalhada nas séries iniciais do ensino fundamental como instrumento de leitura, 
interpretação e análise de problemas que, as crianças enfrentam no cotidiano. A 
busca pela resolução, e solução de problemas faz revisar concepções, modificar 
ideias antigas, inventar procedimentos e elaborar novos conhecimentos. 
Dentro desta perspectiva é necessário ajudar o estudante a aprender 
matemática e a organizar situações didáticas que, contribuam efetivamente para que 
ele se envolva em atividades intelectuais. 
Esta disciplina foi estruturada com o objetivo de propiciar reflexões sobre a 
Metodologia do Ensino de Matemática, bem como propor discussões com os mais 
atuais teóricos em Educação Matemática, objetivando estruturar sua prática 
pedagógica. 
Seu aproveitamento efetivo é necessário para que a disciplina lhe ofereça 
estratégias didáticas interessantes e aplicáveis em sala de aula. A troca de 
experiências produz novos conhecimentos. 
 
Os autores! 
 
 
 
 
 
 
 
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Sobre os autores 
João José Saraiva da Fonseca, pós-Doutor em Educação pela Universidade de Aveiro em 
Portugal, Doutor em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2008), 
Mestre em Ciências da Educação pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1999) 
(validado no Brasil pela Universidade Federal do Ceará), Especialista em Educação 
Multicultural pela Universidade Católica Portuguesa - Lisboa (1994). Graduou-se em 
Ensino de Matemática e Ciências pela Escola Superior de Educação de Lisboa 
(validado no Brasil pela Universidade Estadual do Ceará). Pesquisador na área da 
produção de conteúdo para educação a distância. Atualmente desempenha a função 
de Pró-Diretor de Inovação Pedagógica das Faculdades INTA - Sobral CE. 
 
 
Osvaldo Neto Sousa Costa, Especialista em Gestão, Supervisão e Orientação 
Educacional. Graduado em Pedagogia, pela Universidade Estadual Vale do Acaraú 
(UVA). Atua como professor efetivo na Escola de Ensino Fundamental Inácia Ro-
drigues/ Cariré- CE. Possui experiência docente em Institutos de Educação Superior, 
atuando em disciplinas nos cursos de licenciatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A História da 
Matemática 
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Introdução 
 
Aprender matemática é um direito básico de todas as pessoas e uma 
resposta às necessidades individuais e sociais de natureza cultural, prática e cívica 
que tem a ver ao mesmo tempo com o desenvolvimento dos estudantes enquanto 
indivíduos e membros da sociedade. Neste sentido, seria impensável que não se 
proporcionasse a todos a oportunidade de aprender matemática de um modo 
realmente significativo. Isto implica que todas as crianças e jovens devem ter 
possibilidade de constatar, a um nível apropriado, com as ideias e os métodos 
fundamentais da matemática e de apreciar o seu valor e a sua natureza. A 
matemática pode contribuir de um modo significativo e insubstituível, para ajudar os 
estudantes a se tornarem indivíduos não dependentes, mas pelo contrário 
competentes críticos e confiantes nos aspectos essenciais em que a sua vida se 
relaciona com a matemática (ABRANTES; SERRAZINA ; OLIVEIRA, 1999). 
 
Origem 
A matemática ('ciência', conhecimento' ou 'aprendizagem'=inclinado a 
aprender') é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. A matemática estuda 
quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas. 
A História da matemática parte do princípio de que o estudo da construção 
histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão da evolução 
do conceito. (D’AMBROSIO, 1989). 
Os homens das cavernas não conheciam os números e nem sabiam contar. 
No decorrer dos anos sentiram a necessidade de utilizar a contagem. Com isso 
surgiu os números. Nesse período o homem realizava atividades como: a caça e 
pesca, plantar, criar animais. A partir do momento que sentiram a necessidade de 
verificar se havia perdido algum animal, passava a representá-lo com uma pedra, a 
cada animal que saia para pastar, uma pedra era separada. 
Com o passar do tempo houve a necessidade de efetuar contagens mais 
extensas, com isso cada civilização desenvolveu o seu próprio sistema numérico de 
 
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forma sistematizada. No antigo Egito foi desenvolvido um sistema de base 101, na 
Babilônia foi desenvolvido um sistema com base 60, na Grécia um sistema de 
representação alfabético, já na Índia utilizavam um sistema decimal. 
 
Mas, o que é sistema numérico decimal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma parte significativa do que se denomina hoje matemática provém de 
ideias que originalmente estavam centradas nos conceitos de número, grandeza e 
forma. Em um determinado período considerou-se que a matemática se ocupava no 
mundo em que nosso sentido percebia. A partir do século XIV a matemática pura 
libertou-se das limitações sugeridas apenas pela natureza. Ao analisar o surgimento 
evolutivo desta disciplina parece pouco provável que tal noção tenha sido uma 
descoberta apenas de um individuo, ou de uma tribo. O seu surgimento deu-se de 
forma gradual surgida tão cedo no desenvolvimento humano quanto ao uso do fogo, 
talvez haja 3.000 anos. 
É suposto que o surgimento da matemática venha em resposta a 
necessidades práticas, entretanto estudos antropológicos sugerem outras 
possibilidades de origem. Estudos relevantes apontam que a arte de contar surgiu 
com uma conexão entre rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal 
precedeu o conceito quantitativo. O conceito de número inteiro se perdeu com o 
O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que 
utiliza a base dez. Os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 
8 e 9 servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc. Da 
direita para a esquerda, cada algarismo tem um valor diferente 
segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro 
algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1. 
Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia_numeros.pdf 
 
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/historia_numeros.pdf
 
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tempo da antiguidade pré-histórica. Se a história dos números nos parece imprecisa 
imagine a aplicação na geometria. 
 
PARA SABER MAIS:Leia a obra: Introdução à História da Matemática. Nesta obra, o autor 
narra a História da Matemática desde a Antiguidade. 
 
 
 
A Matemática no século XX 
 
 
A matemática proposta no século XX foi essencialmente caracterizada por 
tendências que já eram percebidas no fim do século XIX. A ênfase dada nas 
estruturas subjacentes comuns, que indicam correspondências entre áreas da 
matemática que tinham sido consideradas até aquele momento, é uma teoria que 
pode se configurar nesta tendência. Dentre os aspectos mais notáveis, na 
matemática contemporânea, vem o ressurgimento da geometria, ainda que em 
forma moderna. Ao findar o século as atitudes com relação ao futuro da matemática, 
não estão de acordo com os pensamentos pessimistas do final do século XVIII, nem 
o otimismo de Hilbert (todo problema matemático bem colocado tem uma solução) 
ao fim do século XIX. Parece que a História é apoiada pela reflexão de André Weil, 
que surgiu em um período ainda mais sombrio. (BOYER, 2003). 
 
Baseado no estruturalismo de Bourbaki e Piaget resultou em uma reforma 
mundial de ensino, conhecida como Matemática Moderna. Com a pretensão de livrar 
cálculos sem sentido e com a reforma da Matemática Moderna incentivou a criação 
de grupos de estudos e pesquisas com a finalidade de transformar a instrução 
matemática em educação matemática. (D’ AMBRÓSIO, 2007). 
 
A instrução matemática era entendida como a transmissão de conhecimento, 
pois o estudante não tinha a possibilidade de exercitar seu raciocínio enquanto que 
 
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a educação matemática, o estudante tinha a possibilidade de pensar por si próprio. 
Diante da ruptura histórica, a vida contemporânea e o advento das novas 
tecnologias passaram a depender do computador. De acordo com D’ Ambrosio 
(1989) o uso de computadores: procura possibilitar ao estudante criar e fazer 
matemática, assumindo fazer parte integrante do processo de construção de seus 
conceitos. 
Matemática no Brasil 
 
No Brasil, a História da Matemática indica que a formação do matemático 
voltada para a pesquisa, teve seu marco na década de 30, conforme destaca 
D’Ambrósio (2007, p.56): 
 
(...) Em 1933 foi criada a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da 
Universidade de São Paulo e logo em seguimento a Universidade do Distrito 
Federal, foi mudada em Universidade do Brasil em 1937. Nessas 
instituições inicia-se a formação dos primeiros pesquisadores Modernos de 
Matemática no Brasil. (...) 
 
 
Foi através da criação das Faculdades de Letras, Filosofia e Ciências que, 
surgiram os primeiros cursos de licenciatura para formação de professores de 
matemática do antigo ginásio que, corresponde ao então atual 6º ao 9° ano. Nesse 
período, as séries iniciais eram de responsabilidade de professores oriundos do 
curso normal equivalente ao ensino médio atual, com a disciplina matemática nas 
três séries. No entanto, o modelo adotado nas licenciaturas era de três anos 
dedicados ao estudo da matemática e ao término do curso o estudante recebia o 
titulo de bacharel. Com mais um ano no curso com as disciplinas pedagógicas, 
como: Didática Geral, Didática Especial da Matemática e Psicologia da Criança e do 
Adolescente, o estudante adquiria o titulo de licenciado para ensinar matemática. 
 
A literatura utilizada nessa época era de origem francesa com uma 
mesclagem de algumas produções didáticas brasileiras, dos quais se merece 
destaque, a de Júlio Cesar de Melo e Souza no qual se inspirou na literatura árabe e 
passou a escrever sobre o pseudônimo de Malba Tahan, as coleções de Jácomo 
 
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Stávale, Ary Quintella e Algacyr Munhoz Maeder, também são de importância para a 
História da Matemática no Brasil. 
 
O Brasil passou três décadas nos moldes tradicionais sem propostas de 
inovação, apenas nos conteúdos sugeridos por essas literaturas. Na década de 60, 
surgiu o primeiro grupo de estudos de matemática, liderado por Osvaldo Sangiorgi, 
em São Paulo. 
 
Posteriormente começaram a surgir novos grupos nos Estados do Rio 
Grande do Sul e Rio de Janeiro, justamente no período em que diferentes países do 
mundo passaram a discutir questões relativas à educação matemática, influenciada 
pelo movimento da Matemática moderna. Esse movimento marcou o inicio de 
mudanças na metodologia do ensino da Matemática, dessa forma começou a 
conceber uma lógica de organização das operações realizadas dentro do universo 
de conjuntos numéricos em consonância com teoremas, fórmulas, axiomas e 
demonstrações peculiares ao conhecimento matemático. 
 
Atualmente, o professor de Matemática das séries iniciais do Ensino 
Fundamental é formado pelo curso de Licenciatura Plena em Pedagogia, 
trabalhando com turmas do 6° ao 9° ano, enquanto que para o Ensino Médio são 
formados em licenciatura plena em Matemática. 
 
 
O Ensino da Matemática 
 
As tendências pedagógicas mencionam às concepções teóricas dos 
modelos pedagógicos que, são estruturadas para qualquer tipo de saber, inclusive o 
matemático. Elas foram elaboradas por Dermeval Saviani (1991) que desenvolveu 
um esquema lógico baseado na criticidade. As teorias foram classificadas em: 
“teorias não-críticas” e “teorias críticas”. 
 
O quadro abaixo mostra de forma literal ou sintética as ideias de Dermeval 
Saviani (1990): 
 
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Classificação das Teorias 
Concepções Teóricas / Modelos Pedagógicos 
Não – Críticas (liberais) 
Pedagogia Tradicional 
Ensino Tradicional 
Concepção Humanista Moderna Escola Nova (Pedagogia Renovada) 
Concepção Humanista Moderna Tecnicista 
Crítico Reprodutivistas 
Violência Simbólica: não apresentam propostas pedagógicas, visto que entendem a 
escola como instrumento de reprodução das condições sociais. Fundamentos 
Metodológicos do Ensino de Língua Portuguesa- Revisão 
Dialéticas Pedagogia Histórico-Crítica: excluindo experiências esporádicas 
Progressistas - Pedagogia Crítico-Social dos Conteúdos. Esta corrente encontra 
pouca ressonância na prática pedagógica dos educadores brasileiros. 
Pedagogia Libertadora: tem sido empregada com êxito em vários setores dos 
movimentos sociais (sindicatos, associações de bairro, comunidades religiosas e 
alfabetização de adultos). 
 
A partir dos conhecimentos sobre as tendências pedagógicas, os 
responsáveis pelo ensino da matemática, propõem que o ensino não poderia mais 
continuar dentro dos moldes tradicionais, e partiram para a busca de alternativas 
que colocassem o processo de ensino e aprendizagem dentro das práticas 
pedagógicas em sintonia com modelos mais atuais de educação. 
Desta forma, existem cinco modelos de tendências para o ensino de 
matemática que são denominadas: Etnomatemática, História da Matemática, 
Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. Será 
definida de forma sintética cada uma dessas tendências: 
 
 
 
 
 
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Etnomatemática 
 
O prefixo Etno é semelhante à etnia, um grupo de pessoas que possuem a 
mesma língua, a mesma cultura e os mesmos rituais religiosos. Para D’Ambrósio 
(1993), a etnomatemática “é a matemática usada por um grupo cultural definido na 
solução de problemas e nas atividades do dia a dia”. O termo surgiu, após o 
fracasso da Matemática tradicional, que possuía um componente comum, uma só 
visão, uma só verdade. Sem espaço para questionamentos. Paralelamente ao 
ensino tradicional crescia uma corrente alternativa entre os educadores, que 
percebiam que não havia espaço dentro da matemática para o saber empírico do 
estudante. 
 
Etnomatemática valoriza a matemática dos diferentes grupos culturais. 
Propõe-se uma maior valorização dos conceitos matemáticos informais construídos 
pelos estudantes através de suas experiências, fora do contexto da escola. 
(D’AMBROSIO, 1989). 
Segundo D’Ambrósio (1993), o conceito de etnomatemática é um corpo de 
artes, técnicas, modo de conhecer, explicar e entender em ambientes com diferentes 
culturasas competências e habilidades de comparar, classificar, ordenar, medir, 
contar, inferir e transcender através do saber matemático e outros que fluem do 
ambiente natural e cultural dos seres humanos. 
 
O programa Etnomatemática, tem em sua proposta um rompimento de 
parâmetros do ensino tradicional, quando propõe uma adequação sociocultural 
através de formas de trabalhar, que estejam de acordo com o cotidiano dos mais 
diferentes espaços naturais da sobrevivência humana: 
 
 O Programa Etnomatemática tem importantes implicações 
pedagógicas. Educação é, em geral, um exercício de criatividade. 
Muito mais de transmitir ao aprendente teorias e conceitos feitos, 
para que ele as memorize e repita quando solicitado em exames e 
testes, a educação deve fornecer ao aprendente os instrumentos 
comunicativos, analíticos e tecnológicos necessários para sua 
sobrevivência e transcendência. Esses instrumentos só farão sentido 
se referidos à cultura do aprendente ou explicitados como tendo sido 
 
18 
 
adquiridos de outra cultura ou inserido num discurso crítico. O 
programa Etnomatemática destaca a dinâmica e a crítica dessa 
aquisição. (D’AMBROÓSIO, 1993, p.3) 
 
 
A etnomatemática é um programa de um campo de pesquisa com uso na 
prática pedagógica do ensino de matemática, que foge dos modelos tradicionais 
quando abre espaço para um sistema que utiliza tecnologia da informação e 
comunicação, ajustando-se nas exigências de uso dos saberes matemáticos no 
contexto sociocultural dos ambientes naturais dos seres humanos. É um misto de 
ciência pura, entendida como verdade absoluta e ciência advinda do saber popular. 
Esse misto consegue juntar harmoniosamente ciência e sabedoria popular. 
 
Segundo Sebastiani Ferreira (1997), considera a etnomatemática como uma 
proposta metodológica, em que os estudantes são preparados para realizar 
pesquisa de campo. O procedimento de coleta de dados, que culmina com a análise 
da pesquisa em sala de aula, a ação mais importante consiste no retorno nos 
resultados da pesquisa de campo à comunidade. De acordo com ele, “... o Programa 
Pedagógico da Etnomatemática é [...] um dos paradigmas mais completos da 
educação de hoje” (FERREIRA, 1997, p.44). 
 
 
A História da Matemática 
 
A tendência da Educação Matemática propõe colocar a construção histórica 
do pensamento matemático como, mecanismo de compreensão da evolução dos 
conceitos, dando ênfase aos obstáculos das dificuldades epistemológicas inerentes 
a sua evolução. A metodologia utilizada pela História da Matemática em sala de 
aula ou pesquisas conduz os estudantes ou pesquisadores a verificar que, as 
teorias expostas como acabadas, resultam sempre em desafios da sociedade. Para 
os matemáticos, o grande esforço, quase sempre é diferente dos resultados 
obtidos e mostrados após o processo de descoberta. 
 
Dentro desse contexto, o conhecimento matemático é exposto como uma 
criação humana em diferentes culturas e momentos históricos da evolução. Essa 
 
19 
 
ação poderá ser usada pelos professores, para desenvolver junto aos estudantes 
atitudes e valores dados ao desenvolvimento da relevância pelo estudo matemático. 
Sobre isto, vale a pena observar as considerações: 
 
 
Ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar 
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes 
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os 
conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o 
professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais 
favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. BRASIL, 
(1997, p.34) 
 
 
A tendência Histórica da Matemática propõe ao estudante a oportunidade de 
perceber que é um conjunto de conhecimentos em constante evolução que 
desempenha um importante papel na sua formação. De forma a permitir também a 
interdisciplinaridade com outros conhecimentos, apresentando-os como parte da 
cultura universal e indispensável à sobrevivência humana. 
 
 
Matemática Crítica 
 
Para você compreender o propósito da Educação Matemática Crítica, 
perguntamos primeiro o que significa ser crítica? Como o conhecimento matemático 
pode auxiliar no exercício de uma postura crítica? No primeiro momento, podemos 
dizer que ser crítico pode estar relacionado a alguma pessoa ou algum aspecto da 
realidade procurando ou identificando alternativas para algo. 
 
No século XX, o mundo foi aluído pela segunda guerra mundial, além do 
conflito diante da ameaça de armas nucleares, domínio ideológico e econômico, de 
forma que esse processo que o mundo vivenciou teve influência do socialismo 
marxista, que embasou a teoria histórico-crítica. 
 
Os mais diferentes setores da sociedade foram influenciados por essa teoria. 
A educação foi uma delas, no ensino de matemática surgiu à vertente denominada 
 
20 
 
“Educação Matemática Crítica”. Novas coordenadas foram propostas ao currículo de 
Matemática do ensino primário ao secundário, e tinha como principal ideal a 
reorganização do ensino da matemática diante as grandes transformações da 
ciência e sociedade. Uma das intenções dessa vertente era elevar o nível cientifico 
da sociedade escolarizada, no entanto, foi barrado por um movimento internacional 
liderado pelos Estados Unidos da América, chamado de Matemática Moderna que 
contribuiu com a organização dos conteúdos através da teoria dos conjuntos, e ao 
mesmo tempo colocou uma linguagem lógica em todos os níveis de ensino, que 
causou problemas de aprendizagem principalmente no nível elementar. 
 
O professor dinamarquês Ole Skovsmose é um dos principais responsáveis 
por divulgar o movimento da “educação matemática crítica” ao redor do mundo. Com 
Mestrado em Filosofia e Matemática pela Universidade de Copenhague e Doutorado 
em Educação Matemática pela Royal Danish School of Education Studies, 
Skovsmose, defende em seus trabalhos o direito à democracia e o ensino de 
matemática a partir de trabalhos com projetos. Para ele, a Educação Matemática 
crítica possui um importante papel no mundo. Skovsmose questiona as práticas 
tradicionais, muitas vezes realizadas sem reflexão, como a ênfase excessiva na 
realização de listas de exercícios, que pode comprometer a qualidade da aula de 
matemática e acredita que a Educação Matemática Crítica possui um importante 
papel no mundo atual, sobretudo em função do avanço tecnológico. (D’ AMBRÓSIO, 
1993). 
 
Skovsmose sempre se preocupou com os países localizados fora dos 
centros de poder, o que o levou a viajar pelo mundo orientando e desenvolvendo 
pesquisas. Está sempre em contato com professores e pesquisadores da África do 
Sul, Colômbia e Brasil. Em nosso país, ele visita anualmente o programa de Pós-
Graduação da Universidade Estadual Paulista - UNESP, em Rio Claro, São Paulo. 
Atualmente, Skovsmose é professor do Departamento de Educação, Aprendizagem 
e Filosofia da Universidade de Aalborg, na Dinamarca. Tem livros publicados em 
português, como Educação. 
 
 
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A Educação Matemática Crítica propõe uma prática pedagógica de sala de 
aula que deve ser baseada em um cenário de investigação, de forma a convidar os 
estudantes a formular questões e a pesquisar explicações. 
 
Modelagem Matemática 
 
A Modelagem Matemática procura estudar e formalizar fenômenos do dia a 
dia. Um aspecto essencial da atividade de modelagem consiste em construir um 
modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo 
e interpretar os resultados obtidos. Busca que o estudante se torne mais consciente 
da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do cotidiano. 
(D’AMBROSIO, 1989). 
O professor tem ao dispor diversas propostas de trabalho. A sua escolha é 
influenciada por múltiplas variáveis: o ponto de vista do professor a respeito da 
disciplina ensinada, seu ponto de vista a respeito dos objetivos gerais do ensino e a 
respeitodos objetivos que considera específicos da matemática, seu ponto de vista 
a respeito dos estudantes (suas possibilidades, suas expectativas), a imagem que 
faz das demandas da instituição de ensino (explícitas, implícitas e supostas), da 
demanda social e também dos pais dos estudantes (CHARNEY, 2001, p.38) 
Várias são as propostas de trabalho para o ensino de matemática e as 
diversas propostas se complementam, sendo difícil, num trabalho escolar, 
desenvolver a matemática de forma rica para todos os estudantes se enfatizarmos 
apenas uma linha metodológica. 
 
Resolução de Problemas 
A resolução de problemas apresenta-se nas propostas educacionais atuais 
como um elemento que favorece a construção de conhecimento matemático. A 
experiência tem mostrado que o conhecimento matemático, ganha significado 
quando os estudantes têm situações desafiadoras para resolverem e trabalharem no 
desenvolvimento das estratégias de resolução, daí a solução de problemas como 
ponto de partida da atividade matemática. A Declaração Mundial sobre Educação 
 
22 
 
para Todos da UNESCO, indica explicitamente a resolução de problemas como um 
dos instrumentos de aprendizagem essenciais. 
Conforme D’ Ambrósio (1989) a resolução de problemas visa à construção 
de conceitos matemáticos, pelo estudante, através de situações que estimulam a 
sua curiosidade matemática. Através de suas experiências com problemas de 
natureza diferente, o estudante interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-
lo dentro de sua concepção da matemática envolvida. 
No trabalho com resolução de problemas, o papel do estudante, é participar 
de um esforço coletivo para construir a resolução de um problema, com direito a 
ensaios e erros, exposição de dúvidas, explicitação, raciocínios e validação de 
resultados. Dessa forma, terá oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca 
de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como, de ampliar a visão que tem 
do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. Nessa perspectiva, a 
resolução de problemas, possibilita aos estudantes, mobilizar conhecimentos e 
organizar as informações de que eles dispõem para alcançar novos resultados 
(BRASIL, 1999). 
 
Contribuição da resolução de problemas para o Ensino de 
Matemática 
Um dos objetivos da utilização da resolução de problemas no ensino de 
matemática é conseguir que os estudantes pensem matematicamente, que não 
aprendam apenas regras, técnicas e estratégias prontas e acabadas, mas que 
cheguem também a compreender os conceitos subjacentes à prática da matemática. 
(RABELO, 2002). Um problema deve apresentar um desafio, a necessidade da 
elaboração de um planejamento e a validação do processo de solução. 
O ensino de matemática com o auxílio da resolução de problemas deve 
possibilitar aos estudantes: 
 Usar uma abordagem de resolução de problemas para investigar e 
compreender o conteúdo matemático; 
 
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 Formular problemas a partir de situações matemáticas e do 
cotidiano; 
 Desenvolver e aplicar estratégias para resolver uma grande 
variedade de problemas; 
 Verificar e interpretar resultados comparando-os com o problema 
original; 
 Adquirir confiança para usar a Matemática de forma significante. 
 
Os estudantes mais velhos podem ainda generalizar soluções e estratégias 
para novas situações problemas (MATOS; SERRAZINA, 1996). 
O ensino da resolução de problemas pode ser de três tipos: 
 Ensino para a resolução de problemas valoriza a aquisição de 
técnicas e conhecimentos matemáticos, que podem ser úteis na 
implementação de estratégias para a resolução de problemas; 
 No ensino acerca da resolução de problemas são relacionados 
procedimentos e estratégias, com o objetivo de modelar 
comportamentos capazes de ajudar os estudantes a se tornarem 
mais aptos em resolver problemas; 
 No ensino através da resolução de problemas, todos os conteúdos 
matemáticos são apresentados no contexto de situações 
problemas. 
 
Modelo para a resolução de problemas 
O modelo proposto por Polya (1995), na sua obra A arte de resolver 
problemas considera quatro fases: 
1ª - Compreensão do problema – Analisar detalhadamente o enunciado até 
encontrar, com precisão, quais são os dados e a sua condição. Muitas vezes as 
dificuldades encontradas na compreensão do problema advêm de dificuldades de 
leitura e de compreensão do texto. Mostra-se assim, indispensável, num primeiro 
 
24 
 
passo, trabalhar o texto cuidadosamente até à sua compreensão. Os estudantes 
procuram os dados do problema sem muito critério, operam com esses dados de 
qualquer forma e dão respostas que não têm sentido ou plausibilidade. Torna-se, 
pois, necessário alertá-los para a importância de procurar dados de uma maneira 
consciente, ver quais as condições que relacionam esses dados e interpretar o 
sentido que têm relativamente ao que é pedido. (SARRAZINA, 1993). 
Para compreender o problema é necessário fazer alguns questionamentos: 
a) O que se pede no problema? 
b) Quais são os dados e as condições do problema? 
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? 
d) É possível estimar uma resposta? 
 
2ª - Estabelecimento de um plano – Tentar, usando a experiência passada, 
encontrar um plano de ação, um método de solução. Isso, pode acontecer 
gradualmente, ou, então, após várias tentativas. É preciso encontrar conexões entre 
os dados. Ou seja: 
a) Qual o plano para resolver o problema? 
b) Que estratégia pode-se tentar desenvolver? 
c) Lembrar de um problema semelhante que pode ajudar a resolver. 
d) Organizar os dados em tabelas e gráficos. 
e) Tentar resolver o problema por partes. 
 
3ª - Execução do plano – Experimentar o plano de solução passo a passo. O 
plano proporciona apenas um roteiro geral. É preciso examinar e executar os 
detalhes um a um, até que, tudo fique perfeitamente claro, ou seja: 
a) Executar o plano elaborado, verificando-o passo a passo. 
b) Efetuar todos os cálculos indicados no plano. 
c) Executar todas as estratégias pensadas para resolver o mesmo 
problema. 
 
 
25 
 
4ª - Reflexão sobre o que foi feito – Checar o resultado por outros 
caminhos. Efetuar uma revisão crítica do trabalho realizado, checando o resultado e 
o raciocínio utilizado, ou seja: 
a) Examinar se a solução obtida está correta. 
b) Existe outra maneira de resolver o problema? 
c) É possível usar este método para resolver outros problemas? 
 
Diferença entre problema e exercício 
Um pormenor que, por vezes, suscita alguma discussão é a relação entre 
exercício e problema e recorrem a vários autores, para distinguirem sete tipos de 
problemas: 
1. O exercício formulado de uma maneira explícita, em que, o contexto é 
inexistente e em que as estratégias de resolução se resumem à aplicação de regras 
e algoritmos conhecidos que conduzem à solução que, regra geral, é única: 
 
Calcular o valor de x²-3x, para x=2. 
 
2. Os problemas de palavras que, de uma forma geral se distinguem dos 
exercícios na medida, em que é clara e explícita a presença do contexto do 
problema: 
 
Um cliente comprou num dia 2,3 metros de fazenda. No dia seguinte, 
comprou mais 1,5 metros da mesma fazenda. Quantos metros de fazenda comprou 
no total? 
 
3. Os problemas para descobrir, caracterizados por uma formulação e um 
contexto explícito, em que, as estratégias de resolução envolvem regra geral a 
 
26 
 
descoberta de um truque que conduz à solução que, nestes problemas, é regra 
geral, única: 
 
Usando apenas 6 fósforos, formar quatro triângulos equiláteros. 
 
4. Os problemas que consistem em provar uma conjectura, em que a 
formulação é explícita e onde a solução é, normalmente, única: 
 
Usando os casos de semelhança de triângulos, mostre que a altura relativa à 
hipotenusa, divide um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes. 
 
5. Os problemas da vida real, em que a formulação e o contexto não sãototalmente explícitos no respectivo enunciado, sendo pelo contrário, necessário 
proceder a recolha de informação complementar. Normalmente, a resolução desse 
tipo de problema envolve a criação de um modelo matemático que, traduza a 
situação apresentada, a aplicação de técnicas matemáticas na exploração do 
modelo e a tradução dos resultados obtidos, para a situação da vida real, a fim de, 
confirmar a validade da situação encontrada: 
 
Construir uma planta de um estádio – um campo de futebol e uma pista de 
atletismo. 
 
6. As situações problemas, em que o contexto é apenas parcialmente 
explícito e, em que as estratégias de resolução, além de envolverem a exploração 
do contexto, implicam a reformulação do problema e a exploração de novos 
problemas. 
 
 
27 
 
O produto de três números inteiros consecutivos é sempre um número par 
de múltiplos de 3. Comentar a situação se substituirmos produto por soma. 
 
7. As situações ainda não problemas, em que não há qualquer formulação do 
problema e em que é feito um convite à exploração do contexto: 
Considere uma página cheia de números: 
 
0 1 2 3 
4 5 6 7 
8 9 10 11 
12 13 14 15 
... ... ... .. 
 
Apesar de não ser a única dimensão a considerar, um aspecto essencial para 
caracterizar um problema é o fato de ser uma atividade para a qual o aluno não 
dispõe de um método de resolução imediato. “Não dispõe de um processo ou 
algoritmo que ele sabe previamente que conduzirá à solução”. (MATOS; 
SARRAZINA, 1996) 
 
O professor e a formação para o Ensino da Matemática 
 
O docente e a formação para o Ensino da Matemática, na educação infantil e 
nas séries iniciais do ensino fundamental têm sido muito questionados em função 
das propostas de formações iniciais e também nas agências de formadores de 
profissionais para este ramo do saber. Segundo D’Ambrósio (2007), as qualidades 
de um professor de matemática, estão sintetizadas em três categorias: 
emocional/afetiva, política e conhecimento. 
 
28 
 
Nessa definição, várias questões são esclarecidas no processo de formação 
do educador para trabalhar o ensino da matemática. Dentre essas questões, há de 
indagar sobre o comando do saber matemático que possui caráter abstrato, onde 
seus conceitos e resultados têm origem no mundo real, destinados às muitas 
aplicações em outras ciências e inúmeras aplicações práticas do cotidiano. Com 
relação à formação do professor de matemática, a racionalidade formativa mostra 
que, as competências e habilidades são capazes de responder as exigências e 
multiplicidades das situações que transpõem o exercício da docência na sociedade 
do conhecimento, da ciência, da informação e tecnologia. 
 
Essas competências e habilidades respondem também as exigências para a 
formação do professor com relação a interdisciplinaridade e a investigação do 
cotidiano, da prática pedagógica pela pesquisa e domínio intrínsecos a profissão 
docente. 
 
Pensar a formação de professores implica, portanto, pensar que o 
exercício da docência, conforme Tardif (1991), requer a mobilização 
de vários tipos de saberes: saberes pedagógicos (reflexão sobre a 
prática educativa mais ampla), saberes das disciplinas (envolvem 
vários campos do conhecimento e concretizam-se pela 
operacionalização dos programas), saberes curriculares 
(selecionados no contexto da cultura erudita) e os saberes da 
experiência (constituem-se saberes específicos no exercício da 
atividade profissional).(BRITO, 2006, p.45) 
 
 
De forma resumida, há de se entender que, em uma sociedade complexa 
onde a rapidez das informações e mudanças proporcionadas pelo avanço das 
ciências e tecnologias é constante, a formação do professor de matemática, requer 
reflexões e ações dinâmicas propostas para construir e reconstruir saberes que são 
necessários à prática pedagógica reflexiva. 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
Epistemologia do 
pensamento matemático 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
A Epistemologia Genética de Jean Piaget 
 
A Teoria cognitiva desenvolvida por Jean Piaget (1896-1980) chamada de 
epistemologia genética está, articulada em dois conceitos: Epistemologia (estudo do 
conhecimento) e Gênese (origem). Têm como principio a existência entre a 
continuidade dos processos biológicos de morfogênese e adaptação ao meio e a 
inteligência. Sua dedicação consistia no estudo da origem do conhecimento, como 
se dá o processo de aquisição do conhecimento menos organizado para um mais 
organizado. De forma que, a teoria de Piaget é uma teoria primeiramente do 
desenvolvimento e os esquemas de conhecimento são precisamente o que se 
desenvolve. 
 
Devido à pertinência do seu trabalho e suas preocupações epistemológicas, 
biológicas, psicológicas e lógica matemática, tem sido difundida e aplicada no 
ambiente educacional, em especial na Didática. Para Piaget, a evolução da lógica e 
da moral, pode ser resumida em quatro estágios de desenvolvimento mental: 
sensório-motor, intuitivo ou simbólico, operatório concreto e operatório 
formal. 
 
Quando a criança nasce sua maneira de conhecer o mundo, sobretudo, 
predominantemente seu desenvolvimento é o das percepções e movimentos. Não 
podendo dizer ainda, que a criança pensa. Sua evolução se dá à medida que, 
aprende a coordenar suas sensações e movimentos, a esse estágio, denominamos 
de sensório-motor. Aproximadamente por volta dos dois anos, a compreensão 
infantil passa por um salto, derivado da descoberta do símbolo. É o período em que 
está centrada em si mesma, tanto no aspecto da afetividade, quanto no 
conhecimento. De forma que, vive em um mundo de ausência de normas que só é 
superado aos quatro anos de idade, tornando mais associável, sendo capaz de 
aceitar as normas do mundo exterior. 
 
O egocentrismo deve ser entendido no aspecto intelectual, visto que não 
consegue transpor em pensamento a experiência de vida. Dos sete aos doze anos, 
que é o terceiro estágio, a lógica não é mais puramente intuitiva, mas passa a ser 
 
32 
 
operatória, sendo que a criança é capaz de interiorizar ações de maneira concreta. A 
criança fica presa às experiências vividas, o pensamento é mais coerente de forma a 
permitir construções mais elaboradas. O egocentrismo diminui, de forma que o 
discurso lógico tende a ser mais objetivo, confrontado com a realidade e com outros 
discursos. 
 
A adolescência é o ultimo estágio, período em que aparecem as 
características, que farão parte da vida adulta. O pensamento lógico atingirá o 
estágio das operações abstratas, onde o adolescente será capaz de distanciar-se da 
experiência, de tal forma a pensar por hipóteses. 
 
O desprendimento da própria subjetividade é sinal que o egocentrismo 
intelectual está em processo de superação. Essa superação afetivamente se 
caracteriza pela cooperação e a reciprocidade. A faculdade de reflexão leva a 
sistematização autônoma das regras e a deliberação. 
 
A evolução das estruturas mentais segue uma construção equivalente aos 
estudos da lógica, ou seja, os progressos da inteligência em seus sucessivos 
estágios seguem uma ordem coerente, podendo ser retratada em suas diversas 
etapas. 
 
O desenvolvimento intelectual para Piaget, ocorre por meio de duas 
características inatas aos quais denomina-se: organização (construção de processos 
simples ) e adaptação (mudança contínua que ocorre no indivíduo na interação com 
o meio). Segundo Piaget, as crianças elaboram seu próprio conhecimento. Essa 
elaboração pode ser limitada a exata relação das mesmas com o seu ambiente. A 
partir dessa interação é que Paperte (1985), um dos companheiros de estudo de 
Piaget, propõe que a ação físico-mental do individuo, se dá através de condições 
para a construção do conhecimento. 
 
Pesquisadores piagetianos,dentre eles Inhelder (1963), analisaram que a 
construção do conhecimento comprovaram que a ordem dessa construção é a 
 
33 
 
mesma, não havendo diferenças estruturais, desde que, sejam asseguradas 
condições externas de superação de seus limites. 
 
A construção do pensamento lógico matemático 
 
O conhecimento lógico matemático é uma construção e resultado da ação 
mental da criança sobre o mundo. E não é inerente ao objeto. Ele é concebido a 
partir das relações que a criança dispõe em sua prática de pensar o mundo, da 
mesma forma que o conhecimento físico é construído a partir das ações sobre os 
objetos (PIAGET, 1978). 
 
O número é um conceito do conhecimento lógico matemático, pois se 
caracteriza como uma operação mental e fundamenta-se das relações que não 
podem ser observáveis. O pensamento lógico matemático está fundamentado em 
construções mentais que se deve a diversos estados de abstração. O pensamento 
do sujeito para Piaget (1978) é construído com a participação considerável do grupo 
social que está inserido. Dessa forma, por meio de aquisições feitas a partir das 
relações sociais, o conceito de pensamento e as regras lógicas, excedem os limites 
da atividade individual, considera a colaboração e a participação entre os indivíduos. 
Os princípios lógicos são leis normativas necessárias às trocas interindividuais do 
pensamento, definidos por uma necessidade social, em objeção a desorganização 
das representações espontâneas do sujeito. 
 
Piaget (1978) analisou a gênese e evolução do pensamento lógico da criança 
ao adulto, com o objetivo de determinar o modo de sua construção. Ele buscava um 
esclarecimento estrutural das ações observadas nas crianças. Essa indagação 
forneceu um principio importante com respeito a estas ações: as atitudes do sujeito 
estão organizadas de maneiras distintas de acordo com as várias etapas do 
desenvolvimento. As formas de organização das atitudes do sujeito, de acordo com 
o autor, são a constituição de um conjunto que a partir, dessa ação “organizadora”, 
criam conceitos que passam a interagir uma totalidade coordenada e estruturada. 
Aparece então, a tarefa de especificar qual estrutura de conjunto que viabiliza 
 
34 
 
obtenção cognitiva, característica de cada período de desenvolvimento da 
inteligência. 
 
Deste modo, para compreender o que uma criança pode ou não fazer em 
determinada etapa e construir a outra, é necessário à descoberta da estrutura do 
conjunto que está permeando. 
 
A partir dessa constatação, Piaget (1978), em suas pesquisas procurou expor 
como surge no sujeito, à elaboração das estruturas de conjunto, que são 
características, dos períodos operatórios do pensamento da criança utilizando-se, 
para uso da linguagem da lógica e da matemática. Essa lógica apresenta-se como 
uma formação intermediária entre lógica natural dos indivíduos e a lógica formal dos 
lógicos. 
 
Três estágios básicos são destacados por Piaget (1973), para melhor 
entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas. Na criação dos 
primeiros esquemas de natureza lógico-matemática, as crianças se firmam em 
ações sensório-motoras sobre objetos materiais e através de repetições 
espontâneas, que chegam ao domínio e generalização da ação (estágio pré-
operatório). O segundo período está caracterizado pelo aparecimento das 
operações, as ações em pensamento; a criança ainda depende dos objetos 
concretos nessa fase, para que as ações se constituam em conceitos (estágio 
operatório concreto). Por fim, atingem o estágio das operações sobre os objetos 
abstratos de forma que já não dependem mais de ações concretas ou de objetos 
concretos, é o estabelecimento do pensamento puramente abstrato ou formal. 
 
O conhecimento lógico matemático é resultado da ação direta das crianças 
sobre o objeto. Desta maneira, não pode ser ensinado por repetição ou 
verbalização. Quando Piaget (1973) propôs uma autoconstrução do conhecimento 
pela criança, estava sugerindo que existisse uma capacidade cognitiva genérica, de 
forma que sua aplicação seria aos diferentes tipos de percepções, seria 
autoinstaurada por estágios, da percepção sensório-motora para a espacial, para 
verbal concreta, para as abstrações da linguagem e para operações matemáticas. 
 
35 
 
Provas Operatórias de Piaget 
 
As provas operatórias de Jean Piaget constituem-se de provas clássicas de 
experimentação em Psicologia genética e servem para acompanhar nas crianças as 
noções que são objetos de estudo da epistemologia (como a noção de tempo, 
espaço, conservação, causalidade, número, etc.). De forma que, a escola de 
Genebra tem buscado dar conta do nascimento da inteligência e do 
desenvolvimento das operações intelectuais. 
 
Através das provas podemos descrever o grau de aquisição de noções- chave 
de desenvolvimento cognitivo, dos quais os conteúdos levam em consideração cada 
uma delas de modo específico. Algumas provas referem-se à noção de 
conservação, referida aos aspectos numéricos, geométricos ou físicos, e outras 
propõe indagações sobre questões vinculadas às classes e as relações. 
 
O nível de construção alcançado pela criança, em cada grau de aquisição das 
noções mútua faz alusão, ao grau de estrutura operatória que subjazem em cada 
etapa do desenvolvimento. Através das provas de diagnóstico operatório é possível 
constatar o nível do pensamento atingido pela criança ou o nível de estrutura 
cognitiva com que o sujeito é capaz de operar em cada situação presente. 
 
As idades de obtenção das estruturas de pensamento, da mesma forma que 
os intervalos se classificam como as condições socioculturais, e mais 
especificamente com as escolares, as provas de diagnóstico operatório são 
situações experimentais bastantes elaboradas, que nos permitem descrever quais 
pensamentos da criança através do estudo do grau, até que ponto são assimilados 
ou não a essas noções em uma estrutura operatória, e se os julgamentos da criança 
resistem às argumentações contrárias que são formuladas. 
 
 Basicamente são utilizadas as mesmas técnicas em todas as provas. É feito 
uma interrogação às crianças na presença de fenômenos observáveis e ou 
manipuláveis, apresentando como proposta fazer uma relação entre eles. O modo 
de subordinação está de acordo aos problemas específicos que são colocados, isso 
 
36 
 
faz com que o desenvolvimento interrogatório, seja modificado conforme trate os 
problemas de natureza lógica ou de fenômenos físicos. 
 
PARA SABER MAIS: 
Leia sobre as Provas Operatórias de Piaget. Acesse: 
www.reeduc.com.br/mod/resource/view.php?id=465 
 
Veja abaixo o Quadro de Resumo das Provas Operatórias baseado em 
uma Proposta de Visca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seis anos: seriação; conservação de pequenos conjuntos discretos de 
elementos. 
Sete anos: seriação; conservação de pequenos conjuntos discretos de 
elementos; conservação de matéria; conservação de superfície; 
conservação de líquido; mudança de critério, inclusão de classes, espaço 
unidimensional. 
Oito a nove anos: conservação de peso (se não conseguir, aplique a de 
matéria); conservação de comprimento; conservação de superfície; 
conservação de líquido; mudança de critério; quantificação da inclusão de 
classes; interseção de classes, espaço bidimensional. 
Espaço unidimensional; espaço bidimensional (9 anos). 
Dez a onze anos: conservação de volume, peso, interseção. 
 
http://www.reeduc.com.br/mod/resource/view.php?id=465
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Ensino da Matemática 
e as Competências para 
o Cotidiano 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Elementos essenciais ao ensino da Matemática 
 
A questão essencial do ensino da matemática é que o estudante seja capaz 
de repetir ou refazer, mas também, de ressignificarem situações novas, de adaptar, 
de transferir seus conhecimentos para resolver novos problemas (CHARNAY, 2001). 
 
Alguns educadores têm manifestado a necessidade de modificar 
profundamente as condições em que se processa a aprendizagem da matemática. 
Trata-se de uma transformação de mentalidades que tem implicado modificações de 
objetivos, ideias e métodos. Diversas alterações têm sido apontadas como 
necessárias para modificar este estado: 
 
 A utilização de uma gestão de sala de aula que contribua para 
que os estudantes construam o seu próprio conhecimento, o que 
significa que o professor deve deixar de ser o centro de interesse 
da turma. Deve permitir que os estudantes, comuniquem-se muito 
mais com os outros, que aprendam uns com os outros. Mas, 
simultaneamente, deve haver lugar para uma exploração 
individual quando tal for necessário. A questão central é que o 
estudante se torne um participante ativo em vez de receptor 
passivo. 
 
 A utilização de materiais que permita uma boa base para a 
formação de conceitos, o que implica na alteração da forma como 
a utilização de suportes materiais tem vindo a ser encarada. Ao 
dar aos estudantes a oportunidade de experimentar a 
matematização através da manipulação de materiais, não 
estamos apenas a fomentar uma atividade lúdica, mas estamos a 
criar situações que favorecem o desenvolvimento do pensamento 
abstrato. A formação de conceitos, pertence à essência da 
aprendizagem da matemática e ela tem de ser fundamentalmente 
experiencial. A aprendizagem é um processo de crescimento 
caracterizado por etapas distintas. Ela deve partir do concreto 
 
40 
 
para o abstrato, com uma participação ativa do estudante e um 
período mais ou menos longo de contato informal, pois é 
necessário antes da formalização de um conceito. 
 
 A ligação da matemática ao real passa em formar pessoas que 
possuam uma cultura matemática que lhes permita aplicá-las a 
matemática nas suas atividades e na sua vida diária. O professor 
deve saber propor a execução de projetos de trabalho que 
utilizem conceitos matemáticos, ou saber “agarrar” as ideias que 
os estudantes proponham. 
 
 Uma abordagem da matemática voltada para a resolução de 
problemas defende que, ao invés de, um conhecimento factual e 
estático os estudantes passem a ter um conhecimento dinâmico, 
capaz de se adaptar a um mundo em mutação. (MATOS; 
SERRAZINA, 1996). 
 
 
Avaliação matemática 
 
A avaliação dos estudantes na disciplina de Matemática envolve 
interpretação, reflexão, informação e decisão sobre os processos de ensino e 
aprendizagem. A principal finalidade da avaliação é contribuir para a melhoria da 
formação dos estudantes (PONA; SOUSA; DIAS, 2005). 
Apontam-se passos a seguir pelo professor durante o processo de avaliação 
do conhecimento matemático dos estudantes: 
 
 Determinação dos conhecimentos do estudante a serem avaliados 
(conhecimento, capacidade de resolução de problemas, de raciocínio e de se 
comunicar matematicamente); 
 Especificação do conteúdo a ser avaliado (envolve a análise da extensão e 
profundidade do conhecimento); 
 
41 
 
 Seleção das tarefas para avaliar os conhecimentos. (MATOS; 
SARRAZINA,1996). 
No desenvolvimento do processo de avaliação, algumas prévias devem ser 
respondidas pelo professor: 
 
 Como articular as atividades de avaliação com as restantes atividades 
desenvolvidas nas aulas, bem como, relacionar os conteúdos programáticos 
com as necessidades e especificidades dos estudantes? 
 Sendo a avaliação um processo continuo inerente ao próprio processo de 
ensino e aprendizagem, com que frequência se pode/deve proceder 
registros dessa avaliação? (PONA; SOUSA; DIAS, 2005). 
 
Antes de iniciar o processo de avaliação é essencial que o professor planeje. 
O planejamento é indissociável a prática da avaliação. Neste processo de planejar e 
avaliar, os primeiros elementos sobre os quais se devem buscar uma explicitação 
são os objetivos da prática docente, em termos de competências, habilidades e 
atitudes a se desenvolver e de conceitos e procedimentos a se construir. [...] A 
clareza dos objetivos de ensino auxilia, o trabalho de planejar, avaliar e replanejar a 
atividade docente, conduzindo o professor a uma maior compreensão do 
desenvolvimento da aprendizagem do estudante e da sua própria intervenção 
pedagógica. Tal procedimento, intenciona mapear a relação entre o ensino e a 
aprendizagem para o ajustamento do planejado, dos objetivos pretendidos, da 
intervenção docente em função das necessidades de aprendizagem dos educandos. 
 
PARA SABER MAIS: 
 
Leia o artigo Matemática Lúdica no Ensino Fundamental e Médio. Ele trata do 
ensino da matemática de forma lúdica. Quando crianças ou jovens brincam, 
demonstram prazer e alegria em aprender. Eles têm oportunidade de lidar com suas 
energias em busca da satisfação de seus desejos. Acesse: 
http://www.somatematica.com.br/artigos.php?pag=3 
 
 
http://www.somatematica.com.br/artigos.php?pag=3
 
42 
 
O currículo do ensino da Matemática a partir dos 
Parâmetros Curriculares Nacionais 
 
A elaboração de um currículo envolve tanto a seleção de temas quanto à 
construção de experiências de aprendizagem para os estudantes. Enquanto que, a 
perspectiva tradicional de currículo está estreitamente associada às ideias de 
“documento oficial”, a perspectiva moderna dá cada vez mais importância ao 
professor como ator essencial na interpretação, elaboração e reformulação do 
currículo, adaptando-o às situações concretas. 
Um dos fatores fundamentais do desenvolvimento do currículo é a evolução 
da Matemática, chamando à atenção para novos temas e, ao mesmo tempo, 
permitindo um novo olhar sobre temas já conhecidos. Ele valoriza atualmente uma 
abordagem menos formalista, mais geométrica, rica em aplicações e em referências 
históricas e mais próximas das práticas matemáticas informais em curso na 
sociedade. 
 
As orientações curriculares atuais do ensino da disciplina sublinham também, 
a importância de trabalhar o desenvolvimento de capacidades como a resolução de 
problemas, o raciocínio, a comunicação e o pensamento crítico e de atitudes e 
valores como o gosto pela Matemática, à autonomia e a cooperação. Para atingir 
esses objetivos é necessário proporcionar aos estudantes experiências 
diversificadas, baseadas em tarefas matematicamente ricas, realizadas num 
ambiente de aprendizagem motivador. Tudo isto, implica alterações significativas 
tanto no papel do professor quanto no dos estudantes. (PONTE, 2006) 
 
As orientações curriculares apontam também para a necessidade de: 
 Definição de objetivos atendendo aos valores / atitudes, 
capacidades/aptidões e conhecimentos; 
 Existência de temas transversais; 
 Construção de conceitos a partir de situações concretas; 
 Abordagem de conceitos sob diferentes pontos de vista; 
 
43 
 
 Abordagem de conceitos a partir de progressivos níveis de rigor 
e formalização; 
 Ligação da Matemática com a tecnologia; 
 Existência de interdisciplinaridade; 
 A diversificação das formas de recolha de dados para avaliação 
dos alunos; 
 Ligação da Matemática com a vida real. (FEVEREIRO; 
BELCHIOR, 1998). 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o 3º e 4º ano do Ensino 
Fundamental explicitam o papel da Matemática no ensino, propondo-se contribuir 
para a sua melhoria por duas formas: 
 Constituindo um referencial que orienta a prática escolar e dá 
possibilidade ao acesso a um conhecimento matemático, visando 
à inserção do estudante, como cidadão, no mundo do trabalho 
das relações; 
 Referenciar a formação de professores e orientar a elaboração de 
materiais didáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a concretização destes propósitos os Parâmetros Curriculares 
Nacionais propõem no 3º e 4º ciclo: 
 Incorporaro estudo dos recursos estatísticos denominados como 
“Tratamento de Informação”; 
 Privilegiar no estudo dos números e operações o desenvolvimento 
do sentido numérico e a compreensão dos diferentes significados 
das operações; 
O documento aponta para diversas variáveis: 
 Valorização pelo estudante do papel da matemática, enquanto 
instrumento para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área 
do conhecimento que, estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de 
investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; 
 Desenvolvimento no estudante da autoconfiança em relação à capacidade 
de construir conhecimentos matemáticos, cultivar a autoestima, respeitar 
o trabalho dos colegas e ser perseverante na procura de soluções; 
 Seleção de conteúdos em função da sua relevância social e sua 
contribuição para o desenvolvimento intelectual do estudante; 
 Exploração dos conteúdos nas dimensões: conceito, procedimentos e 
atitudes tendo a resolução de problemas como ponto de partida do fazer 
matemática na sala de aula; 
 Apresentação dos objetivos em termos das capacidades a aperfeiçoar e 
dos conteúdos necessários para desenvolvê-las, destacando a história da 
matemática e das tecnologias da informação e comunicação para esse 
processo; 
 Apontar as possíveis conexões interdisciplinares, multidisciplinares e 
transversais; 
 Enquadrar a avaliação no processo de ensino aprendizagem, envolvendo 
as suas dimensões processuais e diagnósticas. 
 
 
45 
 
 Apresentar a álgebra incorporada nos demais blocos de 
conteúdos, privilegiando o desenvolvimento do pensamento 
algébrico e não o exercício mecânico do cálculo; 
 Enfatizar a exploração do espaço, de suas representações e a 
articulação entre a geometria plana e espacial. 
 
No que diz respeito aos Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio, eles 
propõem-se trabalhar para além do desenvolvimento de conhecimentos práticos, 
contextualizados, que respondam às necessidades da vida contemporânea, o 
desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos, que correspondam a 
uma cultura geral e a uma visão de mundo. 
 
De acordo com esses critérios isto é, particularmente relevante, pois a 
crescente valorização do conhecimento e da capacidade de inovar, demanda 
cidadãos capazes de aprender continuamente, para o que é essencial mais do que 
um treinamento específico, uma formação geral. 
 
Apresentar a Matemática integrada com as Ciências e com as suas 
Tecnologias é para os PCN´s do Ensino Médio, um claro sinal do entendimento da 
necessidade de promoção da interdisciplinaridade, bem como da importância da 
obtenção e análise de informações, a avaliação de riscos e benefícios em processos 
tecnológicos para a cidadania e para a vida profissional. 
 
Um dos pontos de partida desse processo é considerar, como conteúdo do 
aprendizado matemático, científico e tecnológico, aspectos do cotidiano dos 
estudantes, da escola e de sua comunidade próxima. A partir daí, é necessário e 
possível transcender a prática imediata e desenvolver conhecimentos de alcance 
mais universal. A aprendizagem da Matemática e a construção do conhecimento 
matemático devem ser no Ensino Médio, mais do que memorizar resultados. O 
domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático passa por 
um processo, cujo começo deve ser baseado na resolução de problemas de 
diversos tipos, com o objetivo de elaborar conjecturas, de estimular a busca de 
regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação, 
 
46 
 
elementos fundamentais para o processo de formalização do conhecimento 
matemático e para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura, 
interpretação da realidade e de outras áreas do conhecimento. Todo esse processo 
deve ser centralizado na contextualização e em projetos interdisciplinares. 
 
A partir destas referências, os PCN´s apontam como objetivos do ensino de 
Matemática no Ensino Médio, levar o estudante a: 
 
 Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias 
matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e 
adquirir uma formação científica geral; 
 Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, 
utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica 
e nas atividades cotidianas; 
 Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes 
fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma 
opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente, sobre 
problemas não somente da Matemática, mas também das outras 
áreas do conhecimento e da atualidade; 
 Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de 
problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e 
criativo; 
 Utilizar com confiança, procedimentos de resolução de problemas 
para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; 
 Expressar-se oral, escrita e graficamente em situações 
matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as 
demonstrações em Matemática; 
 Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e o 
conhecimento de outras áreas do currículo; 
 Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, 
relacionando procedimentos associados às diferentes 
representações; 
 
47 
 
 Promover a realização pessoal, mediante o sentimento de 
segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o 
desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. 
 
No domínio das competências e habilidades o documento propõe-se 
desenvolver nos estudantes a possibilidade de: 
 
 Comunicar; 
 Ler e interpretar textos de Matemática; 
 Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, 
gráficos, expressões etc); 
 Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para 
linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, 
tabelas etc.) e vice-versa; 
 Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, 
quanto na linguagem matemática, usando a terminologia correta; 
 Produzir textos matemáticos adequados; 
 Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como 
instrumentos de produção e de comunicação; 
 Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho; 
 Investigar; 
 Identificar o problema (compreender enunciados, formular 
questões etc); 
 Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao 
problema; 
 Formular hipóteses e prever resultados; 
 Selecionar estratégias de resolução de problemas; 
 Interpretar e criticar resultados numa situação concreta; 
 Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos; 
 Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a 
modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades; 
 Discutir ideias e produzir argumentos convincentes; 
 Contextualizar social e culturalmente o conhecimento; 
 
48 
 
 Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na 
interpretação e intervenção no real; 
 Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações 
reais, em especial em outras áreas de conhecimento; 
 Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da 
humanidade; 
 Utilizar adequadamente calculadoras e computador, 
reconhecendo suas limitações e potencialidades. 
 
PARA SABER MAIS: 
Leia os Parâmetros Curriculares Nacionais : Matemática. Esta disciplina sempre foi 
para alguns estudantes. Algo que foge à sua possibilidade de compreensão, de 
pouca utilidade prática, gerando representações e sentimentos que afastarão o 
estudante do conhecimento matemático. Acesse: 
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf 
 
 
A Comunicação Matemática 
A comunicação matemática é um aspecto importante do processo de ensino-
aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita, que os estudantes dão 
sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído. Esta comunicação 
desenvolve-se com base na utilização de diversos tipos de materiais,bem como de 
diferentes modos de trabalho e na gestão do espaço e do tempo realizada pelo 
professor. 
A comunicação inclui a leitura, a interpretação e a escrita de pequenos textos 
da matemática, sobre a matemática ou em que haja informação matemática. Na 
comunicação oral, são importantes as experiências de argumentação e de discussão 
em grande e pequeno grupo, assim como, a compreensão de pequenas exposições 
do professor. (MATOS, 2005). 
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf
 
49 
 
O ensino-aprendizagem da Matemática envolve como vimos interações dos 
estudantes entre si e entre os estudantes e o professor. Duas dessas formas de 
interação assumem um papel fundamental, a comunicação e a negociação de 
significados. A comunicação refere-se à interação dos diversos intervenientes na 
sala de aula, utilizando uma linguagem própria, que é um misto de linguagem 
corrente e de linguagem matemática. A negociação de significados respeita ao modo 
como estudantes e professores expõem uns aos outros o seu modo de encarar os 
conceitos e processos matemáticos, os aperfeiçoam e ajustam ao conhecimento 
matemático indicado pelo currículo. 
A comunicação é habitualmente analisada através do discurso dos diversos 
intervenientes. Na linguagem comum, discurso significa uma longa intervenção por 
parte de um orador, muitas vezes revestida de certa formalidade. No sentido técnico 
da linguística, discurso tem um significado muito diferente. Indica o modo como os 
significados são atribuídos e partilhados por interlocutores em situações concretas e 
contextualizadas. Envolve tanto o modo quanto as ideias são apresentadas como 
aquilo que elas veiculam implicitamente. Deste modo, o discurso pode ser oral, 
escrito ou gestual e existe necessariamente, sob uma ou outra forma, em toda a 
atividade de ensino-aprendizagem (PORTUGAL, 2005). 
A comunicação é um processo fundamental da atividade matemática em que 
estão envolvidos professor e estudante, no decorrer da aula. A comunicação é a 
essência do ensino e da aprendizagem da matemática escolar. A comunicação, pela 
sua natureza, assume um estatuto de transversalidade face a outros processos 
matemáticos, como a resolução de problemas (MENEZES, 2005). 
Nas aulas de Matemática, os intervenientes no discurso são o professor e os 
estudantes. De um modo geral, o discurso é controlado pelo professor, podendo 
este atribuir aos estudantes uma participação mais ou menos significativa. Por outro 
lado, os estudantes, nem sempre aceitam completamente o controle do seu 
discurso, procurando exprimir-se por meios próprios, por vezes, declarado conflito 
com as intenções do professor. (PORTUGAL, 2005) 
A natureza e o papel da comunicação na aula de Matemática são 
substancialmente diferentes, consoante às teorias de aprendizagem, que se adotam 
 
50 
 
como instrumento de análise. Em uma aula de inspiração construtivista, os 
estudantes falam, o professor ouve. Essa aula adota uma pedagogia centrada no 
estudante, pois o professor assume o papel de ouvinte atento e também de 
questionador, tentando, desse modo, clarificar o pensamento do estudante. A 
aprendizagem é uma mudança individual de acordo com etapas de 
desenvolvimento, servindo a linguagem para a expressão do pensamento. 
 
Analisar o processo comunicativo da aula de Matemática requer instrumentos 
conceituais apropriados. Propõem-se quatro modos de comunicação matemática: 
 
 Comunicação unidirecional - é associado ao ensino tradicional, dominando 
o professor o discurso da aula, apresentando os conceitos e explicando os modos 
de resolução dos exercícios. O papel dos estudantes é ouvir o professor falar, para 
depois reproduzir. Este modo de comunicação aproxima-se do monologismo. 
 
Comunicação contributiva - pressupõe a participação dos estudantes no 
discurso da aula, o que a distingue da modalidade anterior. Contudo, apesar da 
mudança quantitativa da intervenção, não existe uma alteração significativa da 
qualidade das interações, uma vez que, a participação dos estudantes se concretiza 
sob a forma de intervenções de baixo nível cognitivo. 
 
Comunicação reflexiva - a comunicação reflexiva pressupõe que aquilo 
que o professor e os estudantes fazem na aula, se torna subsequentemente um 
objeto explícito de discussão. Como o conhecimento matemático se encontra no 
discurso, nas suas mais variadas formas, esse discurso passa a ser objeto de 
reflexão. Esse modo de comunicação representa um avanço em relação aos 
anteriores, uma vez que o exercício do papel de validação do saber matemático se 
descentraliza e democratiza na aula. 
 
Comunicação instrutiva - de natureza diferente dos anteriores, uma vez 
que tem uma dimensão metacognitiva. A comunicação instrutiva “é aquela em que o 
curso da experiência da sala de aula é alterado como resultado da conversação” 
(BRENDEFUR; FRYKHOLM, 2000, p. 148). 
 
51 
 
A comunicação oral tem um papel fundamental na aula de Matemática. Ela é 
imprescindível para que os estudantes possam exprimir as suas ideias e confrontá-
las com as dos seus colegas. Ela é determinante para que os estudantes aprendam 
acerca da disciplina, quer sobre os conteúdos, quer sobre a própria natureza da 
Matemática. 
A condução do discurso na sala de aula é parte importante do papel do 
professor. Ele deve colocar questões e propor tarefas que facilitem, promovam e 
desafiem o pensamento de cada estudante. Para isso, o professor precisa saber 
ouvir com atenção as ideias dos estudantes e pedir-lhes que as clarifiquem e 
justifiquem, oralmente ou por escrito. Ele tem de gerir a participação dos estudantes 
na discussão e decidir quando e como encorajar cada estudante a participar. A 
condução do discurso impõe ao professor constantes decisões — o que deve ser 
aprofundado, quando se deve introduzir notações matemáticas e linguagens 
matemáticas quando deve fornecer informação, quando deve deixar os estudantes 
lutarem com uma dada dificuldade, etc. O professor pode tomar três atitudes: 
 
 Expor normalmente para introduzir novas palavras ou termos, 
novas maneiras de pensar, novas ideias, novas formas de trabalho. 
A exposição pode ser criticada quando se transforma na única 
forma de interação na sala de aula e o professor assume um 
controle excessivo que, conduz a dependência do aluno face às 
suas idéias e técnicas. 
 Questionar no sentido não tanto de tornar inteligível, mas sim, o de 
apontar caminhos, esboçar hipóteses, sugerir abordagens. 
 Conjecturar pela qual promove em sala de aula, um ambiente em 
que os alunos procuram tentar justificar o que foi dito por evidência 
ou argumento. 
 
Um ambiente de conjectura possibilita que os estudantes expressem seu 
pensamento quando estão inseguros e escutem os outros quando estão certos 
sobre um tópico, pois acreditam que podem justificar por evidência e argumento. 
 
52 
 
Desse modo os estudantes são encorajados a investigar e terá que procurar 
confrontar o que foi dito com a experiência. 
A comunicação escrita proporciona uma oportunidade também importante de 
expressão das ideias matemáticas. Os registros efetuados no quadro e no caderno 
do estudante desempenham um papel estruturante, muitas vezes decisivo das 
atividades de aprendizagem. Na prática, a produção escrita por parte dos estudantes 
tende a ser muito limitada, reduzindo-se muitas vezes à realização de cálculos 
necessários à resolução de exercícios e problemas. No entanto, hoje reconhece-se 
que ela pode ter um papel mais importante no ensino da Matemática. Assim, 
começa a pedir-se cada vez mais aos estudantes para redigirem relatórios ou 
ensaios explicando e justificando os seus raciocínios. (PORTUGAL, 2005). 
 
PARA SABER MAIS: 
Assista ao filme A Corrente do Bem. Eugene Simonet (Kevin Spacey), um 
professor de Estudos Sociais, faz um desafio aos seus estudantes em uma de suas 
aulas que eles criem algoque possa mudar o mundo. 
Assista também ao filme Uma mente brilhante que retrata a vida real de 
John Nash (Russell Crowe), um gênio da matemática que, aos 21 anos, formulou um 
teorema que provou sua genialidade e o tornou aclamado no meio onde atuava. 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
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