CONTROLE E SERVOMECANISMO - 05 Representação em Espaço de Estado de Sistemas de Controle Digital

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DESCRIÇÃO
Cálculo da taxa de amostragem. Modelos discretos em espaço de estado. Função de transferência
discreta. Simulação de modelos discretos e contínuos em espaço de estado, a partir de sinais de
entrada fornecidos e com condições iniciais não nulas. Fórmula de Ackermann. Realimentação de
estados. Rastreamento assintótico da entrada em degrau pela saída do sistema.
PROPÓSITO
Compreender, do ponto de vista da teoria de controle moderno, alguns meios disponíveis de simulação e
controle de sistemas dinâmicos, modelados sob a forma de espaço de estado, visando à implementação
em computadores digitais.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste Tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica.
Seria interessante também que tivesse disponível o software Matlab ou similar.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular um modelo discreto em espaço de estado equivalente ao modelo contínuo
MÓDULO 2
Calcular a resposta numérica de modelos em espaço de estado por simulação
MÓDULO 3
Modificar o comportamento dinâmico de sistemas pela realimentação de estados
MÓDULO 4
Calcular as matrizes para o rastreamento assintótico de uma entrada em degrau
Sistemas de controle digital
MÓDULO 1
 Calcular um modelo discreto em espaço de estado equivalente ao modelo contínuo
PARA COMEÇAR
Neste módulo, será discutido como um modelo contínuo em espaço de estado pode ser transformado
em um modelo discreto equivalente, de forma que possa ser mais facilmente implementado em um
computador digital.
MODELOS A TEMPO CONTÍNUO E MODELOS A
TEMPO DISCRETO
Os modelos em espaço de estado podem ser classificados em tempo contínuo ou a tempo discreto. No
primeiro caso, o tempo t é uma variável real. Já no segundo, o tempo somente é considerado em
múltiplos inteiros de T, isto é:
t = kT,     com    k ∈ {. . .   , - 1,     0,     + 1,     . . . }
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que T é conhecido como período de amostragem. Um modelo discreto é mais apropriado para a
realidade digital, uma vez que os sinais de entrada e de saída passam a ser representados como
conjuntos de valores e armazenados sob a forma de vetor. Entretanto, ambos os tipos de modelos
buscam representar a mesma realidade física, ou seja, os valores disponibilizados nas saídas desses
modelos, em um mesmo instante t = kT, apresentarão valores iguais ou muito próximos.
Observe nos gráficos abaixo essa situação.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 1: sinal y(t) para: (a) sistema contínuo; e (b) sistema discreto.
Os gráficos do sinal y nas figuras 1(a) e 1(b) são exatamente os mesmos em ambos os sistemas.
Entretanto, para o sistema discreto somente existem valores de y nos instantes t = kT, com T = 2 s.
O modelo contínuo em espaço de estado de um sistema linear apresenta o seguinte formato:
˙
x t = Ax t + Bu t
y(t) = Cx(t) + Du(t)
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse modelo possui a seguinte representação discreta equivalente:
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k) (2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que t = kT, sendo T um valor fixo previamente estabelecido. As matrizes Φ e Γ em (2) correspondem,
respectivamente, às matrizes de estado e de entrada no modelo contínuo em (1). Já a matriz de saída
C e a de transmissão direta D são as mesmas do modelo contínuo.
O modelo discreto em (2) apresenta uma forma bastante peculiar, uma vez que permite determinar os
estados e os sinais de saída, de forma recursiva, a partir do estado inicial x(0) e do sinal de entrada u(k),
com k ∈ {0, 1, 2, . . . . }
CÁLCULO DE MODELOS DISCRETOS
Para determinar as matrizes discretas de transição de estados Φ e de entrada Γ será necessário
calcular a seguinte matriz:
Ψ = IT   +   
AT 2
2 !   +   
A2T 3
3 !   +   
A3T 4
4 !   +  ⋯(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, quanto menor o valor de T, mais rapidamente convergirá o valor de Ψ em (3) e,
consequentemente, mais o modelo discreto tenderá para o contínuo. De posse da matriz Ψ , é possível
calcular as matrizes Φ e Γ por meio das seguintes equações:
Φ   =   I   +   AΨ   =   I  +   AT   +  
A2T 2
2 !   +   
A3T 3
3 !   +    ⋯ (4)
e
Γ  =   ΨB (5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
 ATENÇÃO
Uma questão bastante relevante na discretização de modelos é a escolha do período de amostragem T.
Se o valor de T for selecionado demasiadamente grande, corre-se o risco de não conseguir representar
a dinâmica do modelo corretamente. Imagine verificar um sinal do tipo y(t) = sen(wt) a cada meio ciclo
da senoide, ou seja, em t = kπ /w, com k ∈ {0, 1, 2, . . . }.A percepção de y(t) seria de um conjunto de
pontos sobre o eixo x, isto é, a reta y(t) = 0.
Por outro lado, a escolha de T demasiadamente pequena também poderá trazer consequências graves
na representação discreta do modelo, uma vez que será necessário um número exageradamente
grande de iterações para o cálculo da resposta do modelo em um intervalo de tempo pequeno. Por
exemplo, suponhamos que a resposta de um modelo contínuo submetido a uma entrada do tipo degrau
apresente um transitório de 10 segundos. Se esse modelo for discretizado com T = 100 μs, então seriam
necessárias 105 iterações para se observar esse transitório.
Mas como escolher um valor adequado de T? Na literatura, encontram-se várias sugestões. Uma delas
consiste em calcular os autovalores do modelo contínuo e, em seguida, seus correspondentes módulos
λi . O valor de T deverá ser preferencialmente escolhido no seguinte intervalo:
2π
20λ̄
≤   T ≤ 
2π
5λ̄
 (6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
onde λ representa o maior valor entre os módulos dos autovalores, isto é:
λ̄ = maxi λi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cabe alertar que a escolha de T não é procedimento de grande precisão. A escolha de valores inferiores
ao limite em (6), desde que não excessivos, não causará maiores problemas.
Clique nas abas abaixo e aprenda com os seguintes exemplos:
EXEMPLO 1
Determinação da faixa de valores indicada para o período de amostragem T
Considere um modelo em espaço de estado de 5ª ordem, cujos autovalores da matriz de transição de
estados são:
λ1 = - 2;   λ2 = - 3 + 4j;   λ3 = - 3 - 4j;   λ4 = - 6 + 8j  e  λ5 = - 6 - 8j.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a faixa de valores indicados para o período T na discretização do modelo, segundo a regra
em (6).
(| |)
| |
Solução: Nesse caso, inicia-se com o cálculo dos módulos dos autovalores:
λ1 = 2;   λ2 = 5;   λ3 = 5;   λ4 = 10  e  λ5 = 10.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e com a determinação do valor do módulo máximo, que corresponde a λ = 10 neste exemplo. Aplicando
(6), chega-se à faixa de valores indicada para T:
0,0314 ≤ T ≤ 0,1257
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com a unidade de tempo utilizada no modelo. Observe que empregar valores menores próximos para T,
por exemplo, T = 0,01, em princípio, não causará maiores problemas. Já valores maiores de T podem
levar a uma perda de qualidade nos sinais de saída fornecidos pelo modelo discreto.
EXEMPLO 2
Determinação de um modelo discreto a partir do modelo contínuo em espaço de estado
Considere o seguinte modelo contínuo em espaço de estado:
˙
x(t) =
-1 2
0 -3
x
_
(t) + 
4
1
u(t)
y(t) = 1 0 x
_
t + 2 u t
 (7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine um modelo discreto equivalente, utilizando T = 0,2s.
Solução: Para determinar um modelo discreto, deve-se calcular ψ em (3) e, posteriormente, ϕ e Γ,
respectivamente, em (4) e (5). Aproximando (3) apenasnas matrizes Mx, Mu e M para que esse sistema
consiga executar o rastreamento assintótico da entrada? Simule o sistema a partir da matriz M
calculada.
RESOLUÇÃO
Solução: Para executar o rastreamento assintótico, será necessário calcular, inicialmente, as matrizes
Mx e Mu por meio do sistema de equações em (31), ou seja:
Mx
Mu
=
A B
C D
- 1 0
1 =
0 1 0
-2 -0,5 1
1 0 0
- 1 0
0
1
=
0 0 1
1 0 0
0,5 1 2
0
0
1
=
1
0
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Mx =
1
0
  e  Mu = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A matriz M pode ser calculada com o auxílio de (33):
M̄ = Mu + KMx = 2 + 3 3,5
1
0 = 2 + 3 = 5
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ][ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De posse dessas matrizes e observando que u(t) = F(t), por (33):
F(t) = - Kx
_
(t) + M̄r(t) = - 3 3,5 x
_
t + 5r(t) (34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (34) no modelo em espaço de estado do sistema massa-mola no enunciado, chega-se
nas seguintes equações de estado no modelo em malha fechada:
˙
x = 
0 1
-2 -0,5
 x
_
 -   
0
1
 3 3,5 x
_
  +   
0
1
5r(t)
˙
x = 
0 1
-5 -4
 x
_
  +   
0
5
r(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o novo modelo em espaço de estado em malha fechada será:
 
˙
x = 
0 1
-5 -4 x
_
  +   
0
5 r(t)
y = 1 0 x
_
 (35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No gráfico a seguir, vemos uma simulação a partir do modelo obtido em (35) considerando F(t) uma
sequência de degraus.
Fonte: O autor.
 Figura 17 - Posição do bloco de massa (curva vermelha) para o sinal de força aplicada (curva azul)
Observe que a realimentação deixou a resposta do sistema massa-mola mais rápida e menos
oscilatória. Além disso, o sistema ajustado com a matriz M permitiu que a posição do bloco de massa
acompanhasse assintoticamente o sinal da força aplicada.
[ ] ( )
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
Rastreando assintoticamente
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE A=[–2], B=[1], C=[4] E D=[0] AS MATRIZES DE UM MODELO EM
ESPAÇO DE ESTADO DE 1ª ORDEM. PARA QUE ESSE SISTEMA CONSIGA
REALIZAR O RASTREAMENTO ASSINTÓTICO DE UM SINAL DE ENTRADA DO
TIPO DEGRAU, QUAL DEVERIA SER O FATOR DE AJUSTE NU?
A) 0,20
B) 0,25
C) 0,40
D) 0,50
E) 0,75
2. CONSIDERE A=[–10], B=[5], C=[2] E D=[1,5] AS MATRIZES DE UM MODELO EM
ESPAÇO DE ESTADO DE 1ª ORDEM. PARA QUE A SAÍDA ESSE SISTEMA
CONSIGA REALIZAR O RASTREAMENTO ASSINTÓTICO DE UM SINAL DE
ENTRADA DO TIPO DEGRAU, QUAL DEVERIA SER O FATOR DE AJUSTE NU?
A) 0,10
B) 0,25
C) 0,50
D) 0,75
E) 1,00
3. SABE-SE QUE B=[4], C=[8] E D=[2] SÃO MATRIZES DE UM MODELO EM
ESPAÇO DE ESTADO DE UM SISTEMA DE 1ª ORDEM. SE A SAÍDA CONSEGUE
RASTREAR ASSINTOTICAMENTE O SINAL DE ENTRADA DO TIPO DEGRAU COM
FATOR DE AJUSTE NU = 0,25, QUAL DEVERIA SER A MATRIZ A DESSE
SISTEMA?
A) [–16]
B) [–10]
C) [–8]
D) [–4]
E) [–1]
4. A PARTIR DO MODELO DE 2ª ORDEM DE UM SISTEMA DINÂMICO, COM
REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS, AS MATRIZES PARA ELIMINAÇÃO DO ERRO
EM REGIME PERMANENTE PARA ENTRADAS DO TIPO DEGRAU FORAM
DETERMINADAS COMO MX = [1 0]T E MU = 4. SE O GANHO DE
REALIMENTAÇÃO FOI K = [5 1], QUAL DEVERÁ SER O VALOR DO FATOR DE
GANHO M ?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
5. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO DE 2ª ORDEM DE UM SISTEMA:
˙
X = 
-1 2
0 -5 X
_
 + 
3
1 U
Y = 1 -1 X
_
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL SERIA O FATOR DE AJUSTE NU PARA QUE A SAÍDA DESSE SISTEMA
CONSIGA RASTREAR ASSINTOTICAMENTE UMA ENTRADA DO TIPO DEGRAU?
A) 0,7125
B) 0,6175
C) 0,5125
D) 0,4175
E) 0,3125
6. O MODELO DE 2ª ORDEM, A SEGUIR, REFERE-SE A UM PÊNDULO:
Θ̇
Θ̈
= 
0 1
- G
L 0
Θ
Θ̇
 + 
0
1
ML2
 TC
Y = 1 0 
Θ
Θ̇
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE Θ É O ÂNGULO ENTRE O PÊNDULO E A VERTICAL, TC É O TORQUE
APLICADO, G É A GRAVIDADE, M A MASSA DO PÊNDULO E L SEU
COMPRIMENTO. SE G = 10 M/S2, M = 0,02 KG, L = 0,5 M E SE FOR UTILIZADA A
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
REALIMENTAÇÃO DE ESTADO K = [–0,07 0,025], QUAL DEVERÁ SER O FATOR
DE GANHO M PARA QUE O SISTEMA REALIZE RASTREAMENTO ASSINTÓTICO
PARA UMA ENTRADA EM DEGRAU?
A) 1
B) 0,1
C) 0,03
D) 0,02
E) 0,01
GABARITO
1. Considere A=[–2], B=[1], C=[4] e D=[0] as matrizes de um modelo em espaço de estado de 1ª
ordem. Para que esse sistema consiga realizar o rastreamento assintótico de um sinal de entrada
do tipo degrau, qual deveria ser o fator de ajuste Nu?
A alternativa "D " está correta.
Solução: Para calcular o valor do fator Nu, basta utilizar a equação de estado com u = 1 e zerar a
derivada do estado. Assim, 0 = –2xss + 1 e então xss = 1/2. Como y = Cx, yss = 4.0,5 = 2. Portanto, Nu =
1/yss = 0,5.
2. Considere A=[–10], B=[5], C=[2] e D=[1,5] as matrizes de um modelo em espaço de estado de 1ª
ordem. Para que a saída esse sistema consiga realizar o rastreamento assintótico de um sinal de
entrada do tipo degrau, qual deveria ser o fator de ajuste Nu?
A alternativa "B " está correta.
Solução: Para calcular o valor do fator Nu, basta utilizar a equação de estado com u = 1 e zerar a
derivada do estado. Assim, 0 = –10xss + 5 e então xss = 0,5. Como y = Cx + Du, yss = 2.0,5 + 2.1,5 = 4.
Portanto, Nu = 1/yss = 0,25.
3. Sabe-se que B=[4], C=[8] e D=[2] são matrizes de um modelo em espaço de estado de um
sistema de 1ª ordem. Se a saída consegue rastrear assintoticamente o sinal de entrada do tipo
degrau com fator de ajuste Nu = 0,25, qual deveria ser a matriz A desse sistema?
A alternativa "A " está correta.
Solução: Na equação de estado, com u = 1 e zerando a derivada do estado: 0 = Axss + 4.1 e xss=–4/A.
Como Nu = 0,25, então yss = 1/0,25 = 4. Na equação de saída: yss = Cxss+Du e 4 = 8.(–4/A) + 2.1 => A =
–32/2 = –16.
4. A partir do modelo de 2ª ordem de um sistema dinâmico, com realimentação de estados, as
matrizes para eliminação do erro em regime permanente para entradas do tipo degrau foram
determinadas como Mx = [1 0]T e Mu = 4. Se o ganho de realimentação foi K = [5 1], qual
deverá ser o valor do fator de ganho M ?
A alternativa "C " está correta.
Solução: Por (33),
M̄ = Mu + KMx = 4 + 5 1
1
0
= 4 + 5 = 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere o seguinte modelo de 2ª ordem de um sistema:
˙
x = 
-1 2
0 -5 x
_
 + 
3
1 u
y = 1 -1 x
_
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual seria o fator de ajuste Nu para que a saída desse sistema consiga rastrear assintoticamente
uma entrada do tipo degrau?
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
6. O modelo de 2ª ordem, a seguir, refere-se a um pêndulo:
θ̇
θ̈
= 
0 1
- g
l 0
θ
θ̇
 + 
0
1
ml2
 Tc
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
y = 1 0 
θ
θ̇
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que θ é o ângulo entre o pêndulo e a vertical, Tc é o torque aplicado, g é a gravidade, m a
massa do pêndulo e l seu comprimento. Se g = 10 m/s2, m = 0,02 kg, l = 0,5 m e se for utilizada a
realimentação de estado K = [–0,07 0,025], qual deverá ser o fator de ganho M para que o
sistema realize rastreamento assintótico para uma entrada em degrau?
A alternativa "C " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
GABARITO
MODAL
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Fonte:fonte.com.br
VERIFICANDO O APRENDIZADO
[ ][ ]
javascript:void(0);
1. SABE-SE QUE A=[–1], C=[10] E D=[2] SÃO MATRIZES DO MODELO EM
ESPAÇO DE ESTADO DE UM SISTEMA DE 1ª ORDEM. SE A SAÍDA CONSEGUERASTREAR ASSINTOTICAMENTE O SINAL DE ENTRADA DO TIPO DEGRAU COM
FATOR DE AJUSTE NU = 0,4, QUAL SERIA A MATRIZ B DESSE SISTEMA?
A) 0,13
B) 0,11
C) 0,09
D) 0,07
E) 0,05
2. PARA A ELIMINAÇÃO DO ERRO EM REGIME PERMANENTE PARA ENTRADAS
DO TIPO DEGRAU, UTILIZANDO UM SISTEMA DINÂMICO DE 2ª ORDEM, COM
REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS, OBTEVE-SE MX = [5 2]T. SABENDO-SE QUE O
GANHO DE REALIMENTAÇÃO ADOTADO FOI K = [1 4] E O FATOR DE GANHO
M = 16, QUAL SERÁ O FATOR DE AJUSTE MU QUE RELACIONA O SINAL DE
REFERÊNCIA COM A ENTRADA DO SISTEMA?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
GABARITO
1. Sabe-se que A=[–1], C=[10] e D=[2] são matrizes do modelo em espaço de estado de um
sistema de 1ª ordem. Se a saída consegue rastrear assintoticamente o sinal de entrada do tipo
degrau com fator de ajuste Nu = 0,4, qual seria a matriz B desse sistema?
A alternativa "E " está correta.
Solução:
Na equação de estado, com u = 1 e zerando a derivada do estado: 0 = Axss+Bu=–1xss + B.1 e xss = B.
Como Nu = 0,4, então yss = 1/0,4 = 2,5. Na equação de saída: yss=Cxss + Du e 2,5 = 10.B + 2.1 => B =
0,05.
2. Para a eliminação do erro em regime permanente para entradas do tipo degrau, utilizando um
sistema dinâmico de 2ª ordem, com realimentação de estados, obteve-se Mx = [5 2]T. Sabendo-
se que o ganho de realimentação adotado foi K = [1 4] e o fator de ganho M = 16, qual será o
fator de ajuste Mu que relaciona o sinal de referência com a entrada do sistema?
A alternativa "A " está correta.
Por (33),
M̄ = Mu + KMx
Logo,
Mu = M̄ - KMx = 16 - 1 4
5
2
= 16 - 13 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo você aprofundou seu conhecimento na teoria de controle moderno, que é baseada no
domínio do tempo e nos modelos em espaço de estado.
No módulo 1, aprendeu a calcular um valor coerente para a taxa de amostragem e, a partir disso,
determinar um modelo discreto em espaço de estado equivalente ao modelo contínuo. Esse modelo
discreto é mais bem adaptado aos computadores digitais.
Em seguida, observou como simular os modelos, isto é, como calcular numericamente a resposta de
modelos discretos e contínuos em espaço de estado, conhecendo o sinal de entrada fornecido. Nesse
caso, o sinal de entrada não necessita ter uma forma padronizada, tipo degrau, senoide, rampa etc.
[ ][ ]
No módulo 3, o foco esteve sobre a realimentação de estado. O principal objetivo é modificar o
comportamento dinâmico do sistema em malha fechada, por meio da realocação de seus polos. Foram
apresentados dois métodos com essa finalidade, sendo um deles pela fórmula de Ackermann.
Por fim, no último módulo, o principal objetivo foi acrescentar uma estrutura ao sistema, de maneira a
viabilizar o rastreamento assintótico do sinal de entrada por sua saída.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Pearson/Prentice Hall, 2003.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; NAEINI, A. E. Sistemas de Controle para Engenharia. 6. ed.
Bookman, 2013.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema:
Leia o capítulo 12 do livro Engenharia de Controle Moderno, de Katsuhiko Ogata, principalmente
os itens iniciais, a partir da página 678.
Leia o capítulo 7, (7.1 a 7.6) a partir da página 356, bem como o capítulo 8 que fala sobre controle
digital. Sistemas de Controle para Engenharia, de Franklin, Powell e Naeini (2013).
CONTEUDISTA
Roberto Ades
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);
javascript:void(0);por seus quatro primeiros termos:
Ψ =
1 0
0 1 T +
-1 2
0 -3
T2
2 ! +
-1 2
0 -3
-1 2
0 -3
T3
3 ! +
-1 2
0 -3
-1 2
0 -3
-1 2
0 -3
T4
4 !
Ψ =
1 0
0 1 0,2 +
-1 2
0 -3
0 , 22
2 ! +
1 -8
0 9
0 , 23
3 ! +
-1 26
0 -27
0 . 24
4 !
Ψ =
0,1813 0,0311
0 0,1502
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e substituindo em (4) e (5):
Φ = I + AΨ =
0,8187 0,2693
0 0,5494 
| | | | | | | | | |
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ] ( )
[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
Γ = Ψ B =
0,1813 0,0311
0 0,1502
 
4
1
 = 
0,7561
0,1502
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, o modelo discreto equivalente será:
x
_
(k + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494 x
_
(k) + 
0,7561
0,1502 u(k)
 y k = 1 0 x
_
k + 2 u k
 (8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma segunda questão de interesse nesse contexto é a posição dos autovalores no modelo discreto, isto
é, como se relacionam com os autovalores do modelo contínuo?
Pois bem, os polos zp do modelo discreto se relacionam com os polos sp do modelo contínuo por meio
da seguinte equação:
zp = espT (9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a estabilidade assintótica, é necessário que todos os autovalores, no modelo contínuo, possuam
parte real negativa; no modelo discreto, essa condição passa a ser que todos os autovalores possuam
módulo menor do que 1.
CÁLCULO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
DISCRETA
Equivalentemente ao modelo contínuo, é possível determinar a função de transferência associada ao
modelo discreto. Nesse caso, em vez do domínio em s, teremos o domínio na variável z. Considere a
aplicação da transformada z na equação de estado do modelo discreto em (2):
zX(z) = ΦX(z) + ΓU(z)
(zI - Φ)X(z) = ΓU(z)
X z = zI - Φ) - 1 ΓU z
 (10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada z também na equação de saída em (2) e substituindo X(z) em (10):
Y z = C zI - Φ) - 1 ΓU z + DU z
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) [ ] ( ) [ ] ( )
( ) ( ( )
( ) ( ( ) ( )
G(z) = 
Y ( z )
U ( z ) = C zI - Φ) - 1 Γ + D (11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
chega-se na função de transferência discreta G(z) associada ao modelo discreto.
Clique nas abas abaixo e aprenda com os seguintes exemplos:
EXEMPLO 3
Cálculo da função de transferência discreta G(z).
Considere o modelo discreto em espaço de estado obtido no exemplo 2. Determine sua função de
transferência discreta.
Solução: Partindo de (11), é possível determinar a função de transferência discreta associada ao
modelo em espaço de estado, ou seja:
G(z) = 1 0
z 0
0 z -
0,8187 0,2693
0 0,5494
- 1
 
0,7561
0,1502 + 2
G(z) = 1 0
z - 0,5494 -0,2693
0 z - 0,8187 
0,7561
0,1502 
1
( z - 0,8187 ) ( z - 0,5494 ) + 2
G(z) = z - 0,5494 -0,2693 
0,7561
0,1502
 
1
( z - 0,8187 ) ( z - 0,5494 ) + 2
G(z) = 
0,7561z - 0,4559
( z - 0,8187 ) ( z - 0,5494 ) + 2 = 
2z2 - 1,9801z + 0,4437
z2 - 1,3681z - 0,4498
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualmente ao caso contínuo, é possível determinar a EDO que relaciona os sinais de entrada e de
saída, aplicando a transformada z inversa para se obter, nesse caso, a equação diferença, conforme
ilustrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO 4
Cálculo da equação diferença a partir da função de transferência discreta.
Determine a equação diferença entre os sinais de entrada u e de saída y para o modelo discreto
representado pela seguinte FT:
G(z) = 
Y ( z )
U ( z ) = 
2z + 1
z2 + 4z + 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução: partindo da FT fornecida, basta fazer a multiplicação cruzada entre os termos da igualdade e
aplicar, em seguida, a transformada z inversa em ambos os lados da equação:
Y z z2 + 4z + 3 = U z 2z + 1
(
[ ]([ ] [ ]) [ ] [ ]
[ ][ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
( )( ) ( ) ( )
javascript:void(0)
z2 Y z + 4z Y z + 3 Y z = 2z U z + U z
y(k + 2) + 4 y(k + 1) + 3 y(k) = 2 u(k + 1) + u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, determina-se a equação diferença correspondente da FT:
y(k + 2) = - 4y(k + 1) - 3y(k) + 2u(k + 1) + u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a determinação da FT discreta, a partir da equação diferença, decorre diretamente da
aplicação da transformada z nessa última.
EDO
Equação Diferencial Ordinária
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o circuito RC, apresentado na figura abaixo, e seu modelo contínuo em espaço de estado,
obtido com
R1 = 2 Ω e C1 = 3 F.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 2 - Circuito RC
Determine um modelo discreto em espaço de estado para esse circuito, utilizando T = 0,1 s.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
RESOLUÇÃO
Solução:
As matrizes C e D não serão modificadas no cálculo do modelo discreto. Resta, então, determinar as
matrizes Φ e Γ, o que poderá ser feito com o auxílio de (3), (4) e (5). Aproximando a série com 3
termos, já será suficiente, nesse caso, para garantir alguma precisão nos resultados. Assim, de (3):
Ψ = 0, 1 +
- 1 / 6 0 , 1 )2
2 ! +
- 1 / 6 )2 0 , 1 )3
3 ! = 0, 0992
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e, então, a partir de (4) e (5): Φ = 1 + (–1/6).0,0992 = 0,9835 e Γ = 0,0992.(1/6) = 0,0165.
Portanto, o modelo discreto equivalente calculado será:
x k + 1 = 0,9835x k + 0,0165νi k (12)
νo k = x k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
lembrando que t = kT, com k ∈ {0, 1, 2, ... }.
Discretizando o modelo
MÃO NA MASSA
1. COM RELAÇÃO À TRANSFORMAÇÃO DE UM MODELO CONTÍNUO EM
ESPAÇO DE ESTADO NO SEU EQUIVALENTE DISCRETO, É CORRETO AFIRMAR
QUE:
( ) ( ( ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A) A matriz da dinâmica não será modificada.
B) A matriz de entrada não será modificada.
C) A matriz de saída não será modificada.
D) A matriz de transmissão direta será modificada.
E) Os autovalores da matriz da dinâmica permanecem os mesmos.
2. A MATRIZ DA DINÂMICA DE UM MODELO CONTÍNUO EM ESPAÇO DE ESTADO
POSSUI UM DE SEUS AUTOVALORES LOCALIZADO EM Λ1 = – 2. NO MODELO
DISCRETO, OBTIDO A PARTIR DE UMA TAXA DE AMOSTRAGEM T = 0,1 S, A
POSIÇÃO DESSE AUTOVALOR NO PLANO Z SERÁ:
A) 0,2762
B) 0,3090
C) 0,6511
D) 0,8187
E) 1,2113
3. A MATRIZ DA DINÂMICA DE UM MODELO CONTÍNUO EM ESPAÇO DE ESTADO
POSSUI UM DE SEUS AUTOVALORES LOCALIZADO EM Λ1 = – 1 + 2J. NO
MODELO DISCRETO EQUIVALENTE, OBTIDO A PARTIR DE UMA TAXA DE
AMOSTRAGEM T = 0,1 S, A POSIÇÃO DESSE AUTOVALOR, NO PLANO Z, SERÁ:
A) 0,8868
B) 0,8868 + j0,1451
C) 0,8868 + j0,1798
D) 0,8868 + j0,2218
E) 0,2218 + j0,8127
4. A EQUAÇÃO DIFERENÇA DE UM SISTEMA DISCRETO É Y(K+1) = –2Y(K) +
3U(K). QUAL É O POLINÔMIO DO DENOMINADOR DE SUA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA?
A) z + 2
B) z – 2
C) z + 3
D) z – 3
E) z + 1
5. A EQUAÇÃO DIFERENÇA DE UM SISTEMA DISCRETO É Y(K+1) = –4Y(K) +
2U(K+1) +U(K). QUAL É O POLINÔMIO DO NUMERADOR DE SUA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA?
A) z – 4
B) 2z + 1
C) z + 4
D) 2z – 4
E) z + 1
6. EM FUNÇÃO DAS REGRAS SUGERIDAS, SE OS AUTOVALORES DA MATRIZ
DA DINÂMICA DO MODELO CONTÍNUO FOREM
Λ1 = – 1 + 3J; Λ2 = – 1– 3J; Λ3 = – 2; Λ4 = – 10; E Λ5 = – 18,
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL SERIA O PERÍODO DE AMOSTRAGEM T MAIS INDICADO PARA
DETERMINAR UM MODELO DISCRETO, ENTRE AS ALTERNATIVAS A SEGUIR?
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,01
E) 0,001
GABARITO
1. Com relação à transformação de um modelo contínuo em espaço de estado no seu equivalente
discreto, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
Solução: Como vimos, as matrizes da dinâmica e da entrada serão modificadas, de acordo com (4) e
(5). Já as matrizes de saída e de transmissão direta permanecem as mesmas. Com relação aos
autovalores,são alterados pelo mapeamento em (9).
2. A matriz da dinâmica de um modelo contínuo em espaço de estado possui um de seus
autovalores localizado em λ1 = – 2. No modelo discreto, obtido a partir de uma taxa de
amostragem T = 0,1 s, a posição desse autovalor no plano z será:
A alternativa "D " está correta.
Solução: Para determinar a posição do autovalor no modelo discreto, basta aplicar a fórmula em (9).
Assim, λd1 = e - 0 , 2 = 0, 8187.
3. A matriz da dinâmica de um modelo contínuo em espaço de estado possui um de seus
autovalores localizado em λ1 = – 1 + 2j. No modelo discreto equivalente, obtido a partir de uma
taxa de amostragem T = 0,1 s, a posição desse autovalor, no plano z, será:
A alternativa "C " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
Carregando conteúdo
4. A equação diferença de um sistema discreto é y(k+1) = –2y(k) + 3u(k). Qual é o polinômio do
denominador de sua função de transferência?
A alternativa "A " está correta.
Solução: Para determinar a função de transferência discreta, basta aplicar a transformada z na equação
diferença fornecida. Assim, zY(z) = –2Y(z) + 3U(z) e, então, G(z) = Y(z)/U(z) = 3/(z+2).
5. A equação diferença de um sistema discreto é y(k+1) = –4y(k) + 2u(k+1) +u(k). Qual é o
polinômio do numerador de sua função de transferência?
A alternativa "B " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
Carregando conteúdo
6. Em função das regras sugeridas, se os autovalores da matriz da dinâmica do modelo contínuo
forem
λ1 = – 1 + 3j; λ2 = – 1– 3j; λ3 = – 2; λ4 = – 10; e λ5 = – 18,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
qual seria o período de amostragem T mais indicado para determinar um modelo discreto, entre
as alternativas a seguir?
A alternativa "D " está correta.
Solução: Nitidamente, entre os autovalores fornecidos, λ5 é o que apresenta o maior módulo. Aplicando
a regra proposta em (6) e buscando a alternativa que mais se aproxima do limite inferior ( ≈ 0, 017),
mesmo que esteja fora da faixa, é D.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA DE UM SISTEMA É G(Z) =
5Z/(Z+2), QUAL SERIA SUA EQUAÇÃO DIFERENÇA?
A) y(k+1) = –2y(k) + 0,4u(k)
B) y(k+1) = –0,4y(k) + u(k+1)
C) y(k+1) = 2y(k) + 5u(k)
D) y(k+1) = –2y(k) + 5u(k)
E) y(k+1) = –2y(k) + 5u(k+1)
2. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO CONTÍNUO EM ESPAÇO DE ESTADO DE
PRIMEIRA ORDEM:
Ẋ = - 2X + 3U
Y = 5X + 4U
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE FOR ADOTADO UM PERÍODO DE AMOSTRAGEM T = 0,1 S, QUAL DEVERÁ
SER A MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE ESTADO Φ NO MODELO DISCRETO?
A) [– 0,2116]
B) [– 0,5900]
C) [– 0,8187]
D) [– 0,9794]
E) [– 1,4552]
GABARITO
1. Se a função de transferência discreta de um sistema é G(z) = 5z/(z+2), qual seria sua equação
diferença?
A alternativa "E " está correta.
Você entendeu como determinar a equação diferença a partir de uma função de transferência discreta.
Como G(z) = Y(z)/U(z), então zY(z) + 2Y(z) = 5zU(z). Aplicando a transformada z inversa, chega-se à
seguinte equação diferença: y(k+1) = – 2y(k) + 5u(k+1).
2. Considere o seguinte modelo contínuo em espaço de estado de primeira ordem:
ẋ = - 2x + 3u
y = 5x + 4u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se for adotado um período de amostragem T = 0,1 s, qual deverá ser a matriz de transição de
estado Φ no modelo discreto?
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu como discretizar um modelo contínuo em espaço de estado. Entretanto, nesse caso, não
seria necessário utilizar as séries em (3) e (4) para determinar a matriz Φ. Observe que, por se tratar de
um sistema de primeira ordem, o elemento da matriz A é o seu autovalor. Esse autovalor será mapeado
no plano z por meio de (9), e o resultado será o valor da matriz Φ.
MÓDULO 2
 Calcular a resposta numérica de modelos em espaço de estado por simulação
PARA COMEÇAR
Neste módulo, será ensinado como realizar uma simulação a partir do modelo discreto em espaço de
estado, bem como do contínuo. Note que simular significa calcular a resposta de um modelo,
numericamente, a partir do sinal de entrada e de suas condições iniciais.
SIMULANDO AS RESPOSTAS DOS MODELOS
DISCRETOS
A maior utilidade de um modelo consiste na possibilidade de ele fornecer boas aproximações das
respostas do sistema analisado. Por meio do modelo, é possível analisar o comportamento dinâmico do
sistema. Entretanto, o cálculo da expressão analítica da resposta de um modelo, geralmente, só é viável
em caso de sinais de entrada padronizados, como degraus, senoides etc., e para modelos lineares de
baixas ordens, utilizando a transformada de Laplace. Assim, o que nos resta é determinar as respostas
dos modelos numericamente por simulação.
O problema de simulação consiste na determinação dos sinais de saída, de forma numérica, a partir do
fornecimento do sinal de entrada, do modelo e de suas condições iniciais.
ENTRETANTO, COMO FAZER A SIMULAÇÃO?
Será necessário, para isso, um computador e um software específico, sendo o Matlab o mais conhecido
para esse fim. Porém, existem outros similares, inclusive livres e gratuitos, como o Scilab, que pode ser
baixado diretamente na Internet. Quanto ao tipo de modelo, o discreto parece ter um formato mais
adequado para calcular a resposta com um computador digital. Em problemas simples, embora seja
uma tarefa repetitiva, é possível calcular a resposta do modelo de forma manual.
Fonte: Por Trismegist san /Shutterstock
Clique nas abas abaixo e aprenda com o exemplo:
EXEMPLO 5
Cálculo da resposta de um circuito RC, supondo o sinal de entrada a tensão contínua de 12V
fornecida por uma bateria
Considere o circuito RC, a seguir, e seu modelo discreto calculado anteriormente para T = 0,1 s:
Fonte: Fonte: EnsineMe.
x k + 1 = 0,9835x k + 0,0165νi k
νo k = x k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a resposta do circuito nos dois primeiros segundos, de forma manual, considerando o circuito
relaxado (capacitor descarregado), para um sinal de entrada correspondente à tensão contínua de +12V,
fornecida por uma bateria, a partir de t= 0.
Solução: Lembre-se de que t = kT e, consequentemente, vi(k) é uma simplificação da notação de vi(k) =
vi(kT) = vi(t). A taxa de amostragem utilizada foi T = 0,1 s. Logo, para simular dois segundos, deveremos
determinar a resposta até k = 20. Como o sinal de entrada corresponde a uma tensão contínua de +12V,
teremos que vi(k) = 12, para k ∈ {0, 1, 2, ... }. A partir do modelo e considerando o circuito relaxado,
vo(0) = x(0) = 0, é possível determinar sua resposta da seguinte maneira:
em k = 0 vo(0) = x(0) = 0 e x(1) = 0,9835 x(0) + 0,0165 vi(0) = 0,0165 . 12 = 0,1980.
em k = 1 vo(1) = x(1) = 0,1980V e x(2) = 0,9835x(1) + 0,0165 vi(1) = 0,3927
em k = 2 vo(2) = x(2) = 0,3927V e x(3) = 0,9835x(2) + 0,0165 vi(2) = 0,5843
em k = 3 vo(3) = x(3) = 0,5843V e x(4) = 0,9835;x(3) + 0,0165 vi(3) = 0,7726
em k = 4 vo(4) = x(4) = 0,7726V e x(5) = 0,9835x(4) + 0,0165 vi(4) = 0,9579
( ) ( ) ( )
( ) ( )
em k = 5 vo(5) = x(5) = 0,9579V e x(6) = 0,9835x(5) + 0,0165 vi(5) = 1,1401
em k = 6 vo(6) = x(6) = 1,1401V e x(7) = 1,3192
em k = 7 vo(7) = x(7) = 1,3192V e x(8) = 1,4955
em k = 8 vo(8) = x(8) = 1,4955V e x(9) = 1,6688
em k = 9 vo(9) = x(9) = 1,6688V e x(10) = 1,8393
em k = 10 vo(10) = x(10) = 1,8393V e x(11) = 2,0069
em k = 11 vo(11) = x(11) = 2,0069V e x(12) = 2,1718
em k = 12 vo(12) = x(12) = 2,1718V e x(13) = 2,3340
em k = 13 vo(13) = x(13) = 2,3340V e x(14) = 2,4935
em k = 14 vo(14) = x(14) = 2,4935V e x(15) = 2,6503
em k = 15 vo(15) = x(15) = 2,6503V e x(16) = 2,8046
em k = 16 vo(16) = x(16) = 2,8046V e x(17) = 2,9563
em k = 17 vo(17) = x(17) = 2,9563V e x(18) = 3,1055
em k = 18 vo(18) = x(18) = 3,1055V e x(19) = 3,2523
em k = 19 vo(19) = x(19) = 3,2523Ve x(20) = 3,3966
em k = 20 vo(20) = x(20) = 3,3966V
Na figura a seguir, encontra-se o gráfico da tensão de saída vo em função de k. Nele, variou-se k de 0
até 300, o que corresponde a 30 segundos, pois T= 0,1s.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 3 - Gráfico da tensão de saída vo em função de k
Como você deve ter observado, a simulação numérica é uma tarefa cansativa e repetitiva quando é
realizada de forma braçal. É por esse motivo que utilizamos um computador digital. Outro aspecto
importante diz respeito à escolha da taxa de amostragem. Observe que, no exemplo 5, conforme o
gráfico apresentado na Figura 3, foi necessário simular 300 iterações para chegar próximo do valor da
tensão de saída de regime permanente do circuito.
Lembre-se de que, no circuito RC, como a tensão de entrada é constante e de 12V, o capacitor vai se
carregar até alcançar essa tensão.
Com relação à simulação, dentro de um mesmo intervalo de tempo, existe um compromisso entre a
quantidade de iterações e a qualidade dos dados calculados. Nesse caso, como a dinâmica do circuito é
relativamente lenta, seria possível aumentar a taxa de amostragem para valores como T = 0,5 s ou até T
= 1 s, sem maiores prejuízos para a simulação.
Com o modelo discreto, a simulação se torna um mero problema recursivo, alternando-se os cálculos
entre as equações de estado e as equações de saída.
SIMULANDO COM CONDIÇÕES INICIAIS NÃO
NULAS
Diferentemente da função de transferência, o modelo em espaço de estado permite a simulação com
condições iniciais não nulas. O exemplo 6 aborda esse aspecto.
EXEMPLO 6
Simulação com condições iniciais não nulas.
Considere novamente o circuito RC, cujo modelo discreto obtido para T = 0,1 s encontra-se reproduzido
a seguir:
x k + 1 = 0,9835x k + 0,0165νi k
νo k = x k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Faça uma simulação para verificar a resposta do circuito, considerando que o capacitor esteja carregado
com 15V em t = 0 e seja aplicada uma tensão contínua de 12V em sua entrada.
Solução: Esse exemplo difere do anterior apenas quanto à condição inicial. Nesse caso, a tensão inicial
do capacitor é de 15V e, consequentemente, vo(0) = x(0) = 15V. No restante, em relação à simulação,
seguem as mesmas contas e equações. Desse modo, utilizando o software Matlab ou outro qualquer
que permita implementar a rotina de cálculo a partir do modelo, é possível determinar os valores de v0(k)
para k ∈ {1, 2, 3, ... }. Na figura 4, encontra-se apresentado o gráfico da resposta vo, a partir dos
valores calculados na simulação do modelo.
Observe que a curva apresentada na Figura 4 abaixo é compatível com o comportamento esperado do
circuito. A tensão inicial do capacitor é 15V e, com a introdução da tensão contínua de 12V na entrada, o
capacitor se descarrega até 12V, zerando a corrente elétrica que passa pela malha do circuito.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 4 - Gráfico da tensão de saída vo em função de k
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Para realizar as simulações dos exemplos 5 e 6, gerando os respectivos gráficos nas figuras 3 e 4,
bastaria implementar, em Matlab ou outra linguagem de programação, o pseudocódigo apresentado a
seguir:
Fonte: Fonte: EnsineMe.
SIMULANDO A PARTIR DO MODELO CONTÍNUO
Embora a simulação que utiliza o modelo discreto em espaço de estado seja um pouco mais fácil de
implementar, a simulação a partir do modelo contínuo também pode ser realizada de diversas maneiras.
Uma das possibilidades mais simples consiste em aproximar a derivada do vetor de estados do seguinte
modo:
˙
x(t) =
dx
_
t
dt = lim
Δt → 0
x
_
t + Δt - x
_
t
Δt ≈ 
x
_
t + Δt - x
_
t
Δt (13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Δt corresponde ao intervalo entre duas amostras, renomearemos Δt como T. Assim, a partir de
(13):
˙
x(t) = 
x
_
t + T - x
_
t
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e, consequentemente,
x
_
t + T = T
˙
x t + x
_
t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, com t = kT, conclui-se que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
_
k + 1 T = x
_
k + 1 = T
˙
x k + x
_
k (14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, é possível simular diretamente a partir do modelo contínuo em espaço de estado, conhecendo-se
o estado inicial x(0), o sinal de entrada u(t), em t = kT, e calculando, recursivamente, as seguintes
equações:
˙
x(k) = A x
_
(k) + Bu(k)
x
_
(k + 1) = T
˙
x(k) + x
_
(k)
y(k) = C x
_
(k) + D u(k)
 (15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exemplo 7, a seguir, mostra que as simulações a partir dos modelos contínuo e discreto apresentam
resultados equivalentes, a menos de aproximações na determinação do modelo discreto ou no cálculo
de (14) para o modelo contínuo.
EXEMPLO 7
Comparação entre simulações a partir dos modelos contínuo e discreto.
Considere o modelo contínuo do exemplo 2 e o discreto equivalente calculado com T = 0,2s, ambos
reproduzidos a seguir:
˙
x(t) =
-1 2
0 -3
x
_
(t) + 
4
1
u(t)
y t = 1 0 x
_
t + 2 u t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x
_
(k + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494
 x
_
(k) + 
0,7561
0,1502
u(k)
y(k) = 1 0 x
_
(k) + 2 u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simule as respostas desses modelos considerando o estado inicial x 0 = [3 1]T e o sinal de entrada
como um degrau de amplitude 5. Faça gráficos das curvas obtidas.
( ( ) ) ( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
( ) [ ] ( ) [ ] ( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
Solução: Simulando os modelos mencionados a partir das condições iniciais fornecidas e do sinal de
entrada proposto, obtém-se o gráfico abaixo:
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 5 - Respostas dos modelos contínuo (vermelho) e discreto (azul)
Observe que ocorreu alguma diferença, durante o transitório, entre as respostas do modelo contínuo e a
do discreto. Este erro, entretanto, pode ser significativamente reduzido, a ponto de desaparecer
visualmente se, no cálculo do modelo discreto, forem considerados mais termos na série de ψ em (4) e
for aumentado o número de algarismos nos elementos das matrizes Φ e Γ. Além disso, caso seja exigida
uma maior precisão, deverá ser considerada a redução do valor da taxa de amostragem T, que nesse
caso foi de 0,2 s.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o sistema massa-mola-amortecedor, cuja representação encontra-se a seguir.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 6 - Sistema massa-mola-amortecedor
A entrada desse sistema é a força F(t) aplicada sobre o bloco de massa M, e o sinal de saída, a posição
y(t) do bloco. A superfície em que se desloca o bloco foi considerada sem atrito.
O modelo contínuo em espaço de estado calculado foi:
˙
x = 
0 1
- k
M
- b
M
 x
_
  + 
0
1
M
 F(t)
y(t) = [1  0] x
_
 + 0 F(t)
 (16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e os estados x1 e x2 representam, respectivamente, a posição y(t) do bloco de massa e sua velocidade.
Considere, para efeito de simulação, que M = 1 kg, k = 2 N/m, b = 0,5 Ns/m e o sistema em repouso.
Discretize o modelo em (16) com o auxílio de um software, a partir de uma taxa de amostragem
conveniente, e simule a posição do bloco, após ser aplicada na entrada uma força do tipo impulso
discreto.
RESOLUÇÃO
Após determinar os autovalores da matriz de estados em (16), adotou-se T = 0,1s. O modelo contínuo
em (16) foi discretizado e obteve-se as seguintes matrizes para o modelo discreto:
Φ =
0, 9902 0, 0972
-0, 1944 0, 9416   e  Γ =
0, 0049
0, 0972
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para efeito de simulação, utilizou-se o sinal de entrada F(0) = 10 N e F(t) = 0, para t ≠ 0. Observe que
esse sinal de entrada, que excitao sistema, corresponde a uma espécie de “peteleco”. Lembre-se de
que esse sinal também foi discretizado, de forma que seu gráfico corresponderia a um pulso de
amplitude 10 e duração entre 0 ≤ t ≤ T = 0, 1 s.
Considerando o sistema em repouso (relaxado), ao aplicar o sinal de entrada proposto, o sistema
responde com o comportamento ilustrado no gráfico a seguir, em que a curva em vermelho corresponde
à posição do bloco (estado x1) e a curva em azul, à velocidade do bloco (estado x2).
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 7 - Resposta do modelo massa-mola – estado x1 (posição do bloco, em vermelho) e estado x2
(velocidade do bloco, em azul)
Simulando o modelo massa-mola
MÃO NA MASSA
1. NA SIMULAÇÃO, A ESCOLHA DA TAXA DE AMOSTRAGEM T É UMA QUESTÃO
SIGNIFICATIVA. COM RELAÇÃO AOS VALORES A SEREM ADOTADOS PARA T, É
CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Independem da dinâmica do modelo.
B) Possuem apenas um valor máximo.
C) Podem ser diminuídos, sem limitações de valores.
D) Possuem um intervalo mais adequado.
E) Estão contidos em um intervalo cujos limites não podem ser ultrapassados.
2. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO DISCRETO OBTIDO COM T = 0,2S:
X
_
(K + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494 X
_
(K) + 
0,7561
0,1502 U(K)
Y(K) = 1 0 X
_
(K) + 2 U(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE A CONDIÇÃO INICIAL FOR NULA, ISTO É, X 0 = [0 0]T E O SINAL DE
ENTRADA FOR UM DEGRAU DE AMPLITUDE 1, QUAL SERIA O VALOR EXATO
DA RESPOSTA Y(T) EM T = 0,2S?
A) 0,1502
B) 1,2693
C) 1,5494
D) 1,8187
E) 2,7561
3. CONSIDERE OS GRÁFICOS DOS ESTADOS DE UM SISTEMA NA FIGURA
ABAIXO:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
SABENDO QUE O INTERVALO DE TEMPO DOS GRÁFICOS É DE 20 SEGUNDOS,
QUAL SERIA, ENTRE AS ALTERNATIVAS ABAIXO, O VALOR MAIS ADEQUADO
PARA A TAXA DE AMOSTRAGEM T, EM SEGUNDOS, NUMA SIMULAÇÃO?
A) 2
B) 1
C) 0,2
D) 0,01
E) 0,005
4. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO DISCRETO OBTIDO COM T = 0,1S:
X
_
(K + 1) =
0,1 0,2
0 0,5 X
_
(K) + 
0,7
0,1 U(K)
Y(K) = 1 0 X
_
(K) + 0,4 U(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE AS CONDIÇÕES INICIAIS SÃO NULAS E FOR APLICADO NA ENTRADA UM
DEGRAU COM AMPLITUDE 2, QUAL SERÁ O VETOR DE ESTADO EM T = 0,3S ?
[ ] [ ]
[ ] [ ]
A) [1,618 0,350]T
B) [1,755 2,004]T
C) [2,039 2,610]T
D) [9,076 2,841]T
E) [9,912 0,740]T
5. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO DISCRETO OBTIDO COM T = 0,1S:
X
_
(K + 1) =
0,1 0,2
0 0,5 X
_
(K) + 
0,7
0,1 U(K)
Y(K) = 1 0 X
_
(K) + 0,4 U(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE AS CONDIÇÕES INICIAIS FOREM X 0 = [1 2]T E FOR APLICADO NA
ENTRADA UM IMPULSO DISCRETO UNITÁRIO, QUAL SERÁ A SAÍDA EM T = 0,2S
?
A) 0,69
B) 0,57
C) 0,41
D) 0,34
E) 0,28
6. CONSIDERE O MODELO DISCRETO DE UM CIRCUITO RC, OBTIDO COM T =
0,1S:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
X(K + 1) = 0,9835X(K) + 0,0165ΝI(K)
ΝO(K) = X(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE O CAPACITOR ESTÁ INICIALMENTE CARREGADO COM UMA TENSÃO DE
18V E FOR APLICADA UMA TENSÃO CONTÍNUA DE 12V NA ENTRADA DESSE
CIRCUITO, QUAL DEVERÁ SER A TENSÃO, EM VOLTS, SOBRE OS TERMINAIS
DO CAPACITOR EM T = 10S?
A) 11,0016
B) 11,8002
C) 12,2107
D) 12,5344
E) 13,1365
GABARITO
1. Na simulação, a escolha da taxa de amostragem T é uma questão significativa. Com relação
aos valores a serem adotados para T, é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Solução: A escolha do valor de T apresenta uma faixa de valores mais indicada, embora seus limites
possam ser ultrapassados. A escolha de um valor muito pequeno para T, tornará a simulação muito
onerosa, em termos computacionais. Por outro lado, valores muito superiores aos sugeridos, acarretará
na perda de detalhes da dinâmica simulada.
2. Considere o seguinte modelo discreto obtido com T = 0,2s:
x
_
(k + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494 x
_
(k) + 
0,7561
0,1502 u(k)
y(k) = 1 0 x
_
(k) + 2 u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a condição inicial for nula, isto é, x 0 = [0 0]T e o sinal de entrada for um degrau de
amplitude 1, qual seria o valor exato da resposta y(t) em t = 0,2s?
A alternativa "E " está correta.
Solução: Para calcular a resposta do modelo em t = 0,2s, basta utilizar a equação de saída para k = 1.
Como x 0 = [0 0]T e u = 1, o estado em k=1 será x 1 = [0, 7561 0, 1502]T.
Nesse caso,
y(1) = 0, 7561 + 2 = 2, 7561
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere os gráficos dos estados de um sistema na figura abaixo:
Sabendo que o intervalo de tempo dos gráficos é de 20 segundos, qual seria, entre as
alternativas abaixo, o valor mais adequado para a taxa de amostragem T, em segundos, numa
simulação?
A alternativa "C " está correta.
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( ) ( )
VÍDEO COM AVALIAÇÃO
Veja, a seguir, a resolução da questão:
4. Considere o seguinte modelo discreto obtido com T = 0,1s:
x
_
(k + 1) =
0,1 0,2
0 0,5 x
_
(k) + 
0,7
0,1 u(k)
y(k) = 1 0 x
_
(k) + 0,4 u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se as condições iniciais são nulas e for aplicado na entrada um degrau com amplitude 2, qual
será o vetor de estado em t = 0,3s ?
A alternativa "A " está correta.
Solução: Como t = 0,3s será necessário calcular o vetor de estados até k = 3.
Como u = 2, x(1) = [1, 4 0, 2]T.
Para k = 2, x(2) = [1, 58 0, 3]T
e finalmente, para k = 3, x(3) = [1, 618 0, 350]T.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere o seguinte modelo discreto obtido com T = 0,1s:
x
_
(k + 1) =
0,1 0,2
0 0,5 x
_
(k) + 
0,7
0,1 u(k)
y(k) = 1 0 x
_
(k) + 0,4 u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Se as condições iniciais forem x 0 = [1 2]T e for aplicado na entrada um impulso discreto
unitário, qual será a saída em t = 0,2s ?
A alternativa "D " está correta.
Solução: Como é pedido a saída em t = 0,2s e T = 0,1s, deveremos calculá-la até k = t/T = 2. O
caminho é determinar x(2) e, em seguida, y(2). Como o sinal de entrada é um impulso unitário discreto,
u=1 somente em k=0 e u=0 para os demais valores de k.
Partindo do estado inicial fornecido, em k = 1, x(1) = [1, 2 1, 1]T.
Em k = 2, x(2) = [0, 34 0, 55]T.
Finalmente, y(2) = [1 0] x(2) = 0, 34.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere o modelo discreto de um circuito RC, obtido com T = 0,1s:
x(k + 1) = 0,9835x(k) + 0,0165νi(k)
νo(k) = x(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o capacitor está inicialmente carregado com uma tensão de 18V e for aplicada uma tensão
contínua de 12V na entrada desse circuito, qual deverá ser a tensão, em volts, sobre os terminais
do capacitor em t = 10s?
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
( )
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO:
X
_
(K + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494 X
_
(K) + 
0,7561
0,1502 U(K)
Y(K) = 1 0 X
_
(K) + 2 U(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE X(0)=[3 1]T E O SINAL DE ENTRADA, UM DEGRAU DE AMPLITUDE 5. QUAL É
O VALOR EXATO DA RESPOSTA Y(T) EM T=0?
A) 12,6
B) 13,0
C) 13,4
D) 13,8
E) 14,2
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2. CONSIDERE O MODELO DISCRETO DE UM CIRCUITO RC, OBTIDO COM T =
0,1S:
X(K + 1) = 0,9835X(K) + 0,0165ΝI(K)
ΝO(K) = X(K)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
SE O CAPACITOR ESTÁ INICIALMENTE DESCARREGADO E FOR APLICADA
UMA TENSÃO CONTÍNUA DE 12V NA ENTRADA DESSE CIRCUITO, QUAL
DEVERÁ SER A TENSÃO, EM VOLTS, SOBRE OS TERMINAIS DO CAPACITOR EM
T = 15S?
A) 11,3571
B) 11,0107
C) 10,9162
D) 10,7633
E) 10,5044
GABARITO
1. Considere o seguintemodelo:
x
_
(k + 1) =
0,8187 0,2693
0 0,5494 x
_
(k) + 
0,7561
0,1502 u(k)
y(k) = 1 0 x
_
(k) + 2 u(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se x(0)=[3 1]T e o sinal de entrada, um degrau de amplitude 5. Qual é o valor exato da resposta
y(t) em t=0?
A alternativa "B " está correta.
Para calcular a resposta do modelo em t=0, basta utilizar a equação de saída.
Assim, y(0) = Cx(0) + Du(0).
Mas, x(0) = [3 1]T e u(0) = 5,
logo y(0) = 1 0 [3 1]T + 2 5 = 13.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o modelo discreto de um circuito RC, obtido com T = 0,1s:
x(k + 1) = 0,9835x(k) + 0,0165νi(k)
νo(k) = x(k)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o capacitor está inicialmente descarregado e for aplicada uma tensão contínua de 12V na
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
entrada desse circuito, qual deverá ser a tensão, em volts, sobre os terminais do capacitor em t =
15s?
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu como simular um modelo em espaço de estado. A tensão é calculada na simulação por
meio de um computador digital, fazendo o cálculo do estado até k = 150. Nesse exercício, em vista da
simplicidade do modelo, é possível calcular diretamente a tensão solicitada a partir do modelo e da
condição inicial nula. Na equação de estado, para k = 149, o cálculo recai numa progressão geométrica
(PG):
x(150) = 0,9835x(149) + 0,0165νi(149)
 = (0,9835)2x(148) + 0,0165.12. (1 + 0,9835)
 = (0,9835)150x(0) + 0,0165.12. 1 + 0,9835 + ⋯ + (0,9835)149
 = 0,0165.12. 1 + 0,9835 + ⋯ + (0,9835)149
 = 0,0165.12.
1 - ( 0,9835 ) 150
1 - 0,9835 = 11,0107
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Modificar o comportamento dinâmico de sistemas pela realimentação de estados
PARA COMEÇAR
Neste módulo, será discutido como alterar o comportamento dinâmico de um sistema a partir da
realimentação de estados.
REALIMENTAÇÃO DINÂMICA DA SAÍDA
( )
( )
( )
Como sabemos, o comportamento dinâmico de um sistema é função da posição dos polos de sua
função de transferência no plano s complexo ou, ainda, pela posição dos autovalores do modelo em
espaço de estado no plano complexo. Para modificar esse comportamento, é necessário alterar as
posições desses polos ou dos autovalores.
Na teoria de controle clássico, isso é realizado por meio do projeto de compensadores, que são, na
prática, funções de transferência calculadas e inseridas na malha de controle.
O primeiro passo sempre é a estabilização do sistema, caso este seja instável. Para isso, torna-se
necessária a utilização da realimentação.

O segundo passo é buscar a alteração do comportamento dinâmico para atender às especificações de
desempenho.

As técnicas do Lugar das Raízes — também conhecida por Root Locus — de Nyquist e de Resposta em
Frequência são as metodologias normalmente utilizadas.
Clique na seta da Figura 8 abaixo e veja como estão apresentados o sistema inicial não compensado e
a nova configuração com o compensador.
Fonte: O autor.
Figura 8: Diagrama (a): sistema inicial não compensado.
Fonte: O autor.
Figura 8: Diagrama (b): sistema compensado.
No exemplo a seguir, temos a estabilização de um sistema por realimentação dinâmica de saída,
conforme o diagrama (b).
EXEMPLO 8
Estabilização de um sistema por realimentação dinâmica de saída.
Considere um sistema cuja função de transferência é G(s) = 1/(s – 1). Mostre que é possível estabilizar
o sistema por realimentação dinâmica de saída.
Solução: Como a FT G(s) do sistema possui um polo no semiplano s direito, em s = 1, trata-se de um
sistema instável. Para estabilizá-lo, será necessário realizar a realimentação negativa da saída de G(s),
por meio de um compensador H(s). A função de transferência de malha fechada GMF(s) do sistema
realimentado, apresentado na Figura 8 (b), será:
GMF(s) =
G ( s )
1 + G ( s ) H ( s )
 (17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Adotando H(s) = K/(s + 5), em que K é um ganho a ser ajustado, e substituindo em (17):
GMF(s) = 
1
s - 1
1 + 
1
s - 1
K
s + 5
 = 
s + 5
( s - 1 ) ( s + 5 ) + K = 
s + 5
s2 + 4s + K - 5
 (18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme pode ser visto em (18), a dinâmica de malha fechada é diferente daquela do sistema inicial
somente com G(s). A nova dinâmica é função das raízes da equação característica, ou seja:
s2 + 4s + (K - 5) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se K for ajustado em 10, os polos do sistema em malha fechada estarão em s1,2 = –2 ± j1 e, como
estarão localizados no semiplano s esquerdo, é possível afirmar que o sistema terá sido estabilizado.
Observe que as posições dos polos de malha fechada dependem do valor de ganho K a ser utilizado.
Para K ≤ 5, o sistema compensado ainda será instável.
Ainda que o compensador H(s), no exemplo 8, tenha sido arbitrado sem maiores considerações, é
importante notar que a estabilização do sistema instável G(s) somente foi viável a partir da
realimentação da saída, conforme proposto na Figura 8 (b).
Considere, então, que H(s) = 4(s – 1)/(s + 10). É comum imaginar que seria possível colocar um
compensador em série com G(s), conforme ilustrado no diagrama da Figura 9, a fim de estabilizar o
sistema planta-compensador por cancelamento de polos e zeros.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 9 - Diagrama com o compensador em série.
Nesse caso, a função de transferência entre u e y seria:
Gys s =
1
s - 1
4 ( s - 1 )
s + 10 =
4
s + 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
À primeira vista, isso parece ser estável, já que o polo do sistema com compensador estaria em s = –10.
Entretanto, infelizmente, não é possível fazer cancelamentos de polos e zeros instáveis. Do ponto de
vista externo, realmente o sistema aparenta ser estável e, de fato, é BIBO estável. No entanto, do ponto
de vista de estabilidade interna, isso já não ocorre, visto que, na saída de G(s), haverá um sinal
crescendo ilimitadamente.
REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS
O exemplo 8 mostrou a importância da realimentação para a estabilização de um sistema de controle.
Do ponto de vista da teoria de controle moderno, a realimentação também é utilizada, mas a partir dos
estados, sendo esses os sinais correspondentes medidos na planta ou a partir de sinais estimados dos
estados.
Na figura 10 abaixo apresentam-se dois sistemas representados por modelos em espaço de estado,
sendo um deles em malha aberta e o outro em malha fechada, a partir da realimentação de estados. O
vetor K que contém os ganhos de realimentação de cada estado é conhecido por Lei de Controle.
( )
Fonte: O autor.
 Figura 10
Diagrama (a): Sistema em malha aberta, representado por modelo em espaço de estado.
Fonte: O autor.
 Figura 10
Diagrama (b): Sistema em malha fechada, com realimentação de estado.
Como no diagrama (b) da Figura 10 o sinal de entrada é u(t) = – Kx(t), com K ∈ R1 x n, a dinâmica do
sistema em malha fechada passará a ser:
˙
x = Ax
_
 + Bu = Ax
_
 - BKx
_
 = A - BK x
_
 (19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consequentemente, seus autovalores serão calculados a partir da matriz A – BK, que é a matriz de
estados do sistema realimentado. Por meio desse mecanismo, é possível alterar as posições dos
autovalores de um sistema e modificar seu comportamento dinâmico. De acordo com o diagrama (b)
apresentado, a entrada passará a ser o sinal de realimentação dos estados e, nessas condições, sem
que haja uma entrada externa, o sistema é conhecido por regulador. Se a matriz A – BK for estável, isto
é, possuir todos os seus autovalores no semiplano s esquerdo, então, ao ser fechada amalha, os
estados do sistema irão convergir para zero. Os sistemas reguladores têm aplicação quando se deseja
retornar os estados para a condição inicial, como é o caso do ajuste de posicionamento de satélites
geoestacionários em órbita na Terra.
( )
Dentro desse contexto, surge a seguinte pergunta: como calcular o valor de K para que os polos sejam
posicionados em localizações desejadas? Uma primeira possibilidade consiste em modelar o sistema
por meio da forma canônica controlador, que se encontra reproduzida a seguir:
˙
x = 
-a1 -a2 ⋯ -an - 1 -an
1 0 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 0
0 0 ⋯ 1 0
 x
_
 + 
1
0
⋮
0
0
 u (20)
y = b1 b2 ⋯ bn x + c0 u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
onde a1 , a2 , ... , an são os coeficientes do polinômio do denominador da função de transferência, em
ordem decrescente de grau em s, e b1 , b2 , ... , bn , de forma análoga, são os coeficientes do polinômio
do numerador. Desse modo, com o auxílio de (19) e de (20), a matriz de estados do sistema em malha
fechada poderá ser determinada:
Ac - BcK = 
-a1 -a2 ⋯ -an - 1 -an
1 0 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 0
0 0 ⋯ 1 0
 - 
1
0
⋮
0
0
 K1 K2 ⋯ Kn - 1 Kn
= 
-K1 - a1 -K2 - a2 ⋯ -Kn - 1 - an - 1 -Kn - an
1 0 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 0
0 0 ⋯ 1 0
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, seus autovalores serão as raízes do seguinte polinômio:
det λI - Ac + BcK = λn + K1 + a1 λn - 1 + K2 + a2 λn - 2 + ⋯ + Kn + an (21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se o polinômio característico desejado for:
λn + α1λn - 1 + α2λn - 2 + ⋯ + αn (22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
torna-se simples determinar os ganhos da lei de controle, fazendo a identidade dos polinômios em (21) e
(22):
K1 = - a1 + α1
K2 = - a2 + α2
 ⋮ 
Kn = - an + αn
 (23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODO DE ACKERMANN
Uma segunda maneira de calcular os ganhos da lei de controle para posicionar os autovalores da matriz
de estados em malha fechada, em localizações previamente estabelecidas, é pela fórmula de
Ackermann.
Nesse caso, os ganhos de realimentação de estados são calculados pela seguinte fórmula:
K = 0 0 ⋯ 1 C - 1 αc A (24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que C é conhecida como matriz de controlabilidade do sistema, sendo definida por:
C = B AB A2B ⋯ An - 1B (25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e n é a ordem do sistema e do vetor de estados. Além disso, αc(A) é uma matriz calculada a partir do
polinômio característico desejado. Supondo que fosse o apresentado em (22), então αc(A) seria
calculado como:
αc A = An + α1 An - 1 +  ⋯  + αn I (26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que A é uma matriz e, consequentemente, as operações com as potências da matriz são realizadas
da seguinte maneira: An = A.A.A ... A, em que o produto das n parcelas de A é feita na forma matricial.
Como vimos, quase sempre é possível reposicionar os polos de um sistema. Entretanto, algumas vezes,
quando o sistema não é controlável, a matriz C de controlabilidade não será inversível e, portanto, a
fórmula de Ackermann em (24) não poderá ser aplicada. Nesses casos, o sistema apresentará
subsistemas que não serão afetados pelo controle. Também existirão casos em que o sistema será
pouco controlável e, embora os polos possam ser reposicionados, essa operação pode se tornar
[ ] ( )
[ ]
( )
bastante onerosa, uma vez que exigirá ganhos elevados na matriz K. A pouca controlabilidade se
refletirá, também, no valor do determinante da matriz C, que será um número muito pequeno.
Resta uma última questão importante relacionada com a temática, isto é, quais deveriam ser as
posições escolhidas para o posicionamento dos polos em malha fechada? Pois bem, a determinação
das posições dos polos em malha fechada será função das especificações e das restrições técnicas.
Caso esses critérios não sejam suficientes para estabelecer as localizações dos polos, provavelmente, o
que será buscado é o posicionamento em uma região do semiplano s esquerdo, de acordo com a figura
ao lado. O objetivo do posicionamento na região indicada em cinza será garantir um amortecimento σo
mínimo, afastando os polos do eixo imaginário, bem como impor um fator de amortecimento mínimo,
que corresponderá às limitações impostas pelas retas que partem da origem.
Fonte: O autor.
 Figura 11 - Região do plano s indicada para o posicionamento dos polos em malha fechada, em caso
de inexistência de especificações.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o sistema massa-mola-amortecedor e seu modelo, discutidos anteriormente e reproduzidos a
seguir, adotando-se, novamente, M = 1 kg, k = 2 N/m e b = 0,5 Ns/m.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 6 - Sistema massa-mola-amortecedor
 
˙
x = 
0 1
-2 -0,5
 x
_
 + 
0
1
 F(t)
y = 1 0 x
_
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por realimentação de estado, determine a lei de controle de modo que os polos de malha fechada
estejam em s1,2 = –2 ± j.
RESOLUÇÃO
Solução: Para aplicar o primeiro método, é necessário modificar a realização do sistema para a forma
canônica controlador. Uma das possibilidades seria calcular a função de transferência e, em seguida,
aplicar os coeficientes em (20). A função de transferência desse sistema é:
G(s) = 
Y ( s )
F ( s ) = 
1
M s2 + b s + k
 = 
1
s2 + 0,5 s + 2
 (27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e seus polos estão em s1,2 = – 0,25 ± j1,39. Portanto, de G(s) em (27), conclui-se que, em (20), a1 =
0,5 e a2 = 2. Como os polos em malha fechada deverão estar em s1,2 = –2 ± j, o novo polinômio
característico deverá ser:
s + 2 + j s + 2 – j = s2 + 4s + 5 (28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e, então, comparando com a forma em (22), encontra-se α1 = 4 e α2 = 5. Por fim, utilizando (23), é
possível determinar os ganhos da lei de controle:
K1 = – 0, 5 + 4 = 3, 5 e K2 = – 2 + 5 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] [ ]
[ ]
( )( )
Com isso, a matriz de transição de estados do sistema em malha fechada será:
AMF1 = Ac - BcK =
-0,5 -2
1 0 - 
1
0 3,5 3 = 
-4 -5
1 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
cujos autovalores são os valores desejados, isto é, λ1 , 2 = - 2 ± j.
Vamos agora aplicar a fórmula de Ackermann e confirmar que também é possível determinar os ganhos
da lei de controle para realimentar diretamente o modelo fornecido no enunciado. Observe que os
valores desses ganhos serão diferentes daqueles calculados acima. Entretanto, quando a malha for
fechada, a matriz de estados possuirá também os autovalores nas posições desejadas. Iniciaremos com
o cálculo da matriz de controlabilidade em (25):
C = B AB = 
0 1
1 -0,5
e de sua inversa:
C - 1 = 
0,5 1
1 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por (26) e a partir do polinômio característico desejado calculado, em (28):
αc(A) = A2 + 4A + 5I = 
0 1
-2 -0,5 
0 1
-2 -0,5 + 4 
0 1
-2 -0,5 + 5
1 0
0 1
αc(A) = 
3 3,5
-7 1,25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, aplicando a fórmula de Ackermann em (24), obtém-se os ganhos de realimentação dos
estados para a realização fornecida no enunciado:
KN = K1 K2 = 0 1 
0,5 1
1 0 
3 3,5
-7 1,25 = 3 3,5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resta-nos verificar se a matriz da dinâmica em malha fechada apresentaseus autovalores nas posições
desejadas. Assim,
AMF2 = A - BKN = 
0 1
-2 -0,5 - 
0
1 3 3,5 = 
0 1
-5 -4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
cujos autovalores são também os valores desejados, isto é, λ1 , 2 = - 2 ± j.
Note que os estados da realização do enunciado correspondem à posição (x1) e à velocidade (x2) do
bloco de massa. Na figura 12, apresenta-se a evolução do sistema em malha fechada, partindo da
condição inicial x0 = [0 1]T. Como os polos de malha aberta estavam em s1,2 = –0,25 ± j1,39 e, ao
fechar a malha, foram reposicionados em s1,2 = –2 ± j, o sistema se tornou mais rápido e menos
oscilatório, o que pode ser constatado comparando-se a Figura 12, abaixo, com a Figura 7 no Teoria na
Prática do módulo anterior.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 12: evolução dos estados do sistema massa-mola em malha fechada, sendo x1 a posição do
bloco (curva vermelha) e x2 a velocidade do bloco (curva azul).
Realimentação de estados
MÃO NA MASSA
1. QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS FINALIDADES DO FECHAMENTO DA MALHA POR
MEIO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADO?
A) Estabilização do sistema e diminuição do tempo de resposta.
B) Desestabilização do sistema e diminuição do tempo de resposta.
C) Estabilização do sistema e degradação do desempenho.
D) Estabilização do sistema e ajuste do desempenho.
E) Desestabilização do sistema e ajuste do desempenho.
2. NO CASO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS, SE AS POSIÇÕES FINAIS
DESEJADAS DOS POLOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM FOSSEM S1 =
–3 E S2 = –4, QUAL DEVERIA SER O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO DESEJADO?
A) s2 + 7s + 12
B) s2 – 4s + 12
C) s2 – 4s – 7
D) s2 + 4s + 7
E) s2 + 12s + 7
3. NO CASO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS, SE AS POSIÇÕES FINAIS
DESEJADAS DOS POLOS DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM FOSSEM S1,2
= –3 ± J, QUAL DEVERIA SER O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO DESEJADO?
A) s2 + 6s + 9
B) s2 + 5s + 8
C) s2 + 6s + 10
D) s2 + 7s + 10
E) s2 + 5s + 9
4. EM UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM, AS MATRIZES DA DINÂMICA E DA
ENTRADA SÃO, RESPECTIVAMENTE,
A =[–3] E B=[2]. QUAL DEVERIA SER A MATRIZ DE CONTROLABILIDADE C?
A) [1]
B) [2]
C) [2,5]
D) [3]
E) [6]
5. CONSIDERE O SEGUINTE SISTEMA DE 2ª ORDEM:
˙
X =
-1 0
2 -2 X
_
+
1
0 U
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL DEVERIA SER A MATRIZ DE CONTROLABILIDADE C?
A) 
1 0
0 2
B) 
1 4
0 2
C) 
1 0
3 2
D) 
1 0
0 4
E) 
1 -1
0 2
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
6. EM UM SISTEMA DE 2ª ORDEM, OBTEVE-SE A SEGUINTE MATRIZ DE
CONTROLABILIDADE:
C = [B    AB] =
2 1
4 2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
É POSSÍVEL AFIRMAR QUE O SISTEMA É
A) estável.
B) controlável.
C) pouco controlável.
D) não controlável.
E) instável.
GABARITO
1. Quais são as principais finalidades do fechamento da malha por meio de realimentação de
estado?
A alternativa "D " está correta.
Solução: Inicialmente, a finalidade é a estabilização do sistema em malha fechada. Após isso, procura-
se ajustar o desempenho apresentado para que seja possível atender as especificações.
2. No caso de realimentação de estados, se as posições finais desejadas dos polos de um
sistema de segunda ordem fossem s1 = –3 e s2 = –4, qual deveria ser o polinômio característico
desejado?
A alternativa "A " está correta.
Solução:
O polinômio característico pode ser obtido pelo produto dos monômios contendo cada uma das raízes:
P s = s + 3 s + 4 = s2 + 7s + 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ]
( ) ( )( )
3. No caso de realimentação de estados, se as posições finais desejadas dos polos de um
sistema de segunda ordem fossem s1,2 = –3 ± j, qual deveria ser o polinômio característico
desejado?
A alternativa "C " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
4. Em um sistema de primeira ordem, as matrizes da dinâmica e da entrada são, respectivamente,
A =[–3] e B=[2]. Qual deveria ser a matriz de controlabilidade C?
A alternativa "B " está correta.
Solução: A matriz de controlabilidade está definida em (25). Como o sistema é de primeira ordem C = B
= [2], ou seja, a matriz de controlabilidade será a matriz de entrada do sistema.
5. Considere o seguinte sistema de 2ª ordem:
˙
x =
-1 0
2 -2 x
_
+
1
0 u
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual deveria ser a matriz de controlabilidade C?
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a resolução da questão:
6. Em um sistema de 2ª ordem, obteve-se a seguinte matriz de controlabilidade:
C = [B    AB] =
2 1
4 2
[ ] [ ]
[ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível afirmar que o sistema é
A alternativa "D " está correta.
Solução:
Como o próprio nome da matriz diz, o que se verifica com a matriz de controlabilidade é exatamente
essa característica do sistema. Para analisar a controlabilidade, basta calcular o determinante da matriz
C, ou seja, det(C) = (2 x 2) – (4 x 1) = 0. Como o determinante é zero, o sistema é não controlável.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM, AS MATRIZES DA DINÂMICA E DA
ENTRADA SÃO, RESPECTIVAMENTE, A =[–2] E B=[3]. SABENDO QUE O
SISTEMA EM MALHA FECHADA, POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS, DEVE
TER O POLO POSICIONADO EM S = –4, QUAL DEVERIA SER O GANHO DE
REALIMENTAÇÃO K PELO MÉTODO DE ACKERMANN?
A) 1
B) 2
C) 1/3
D) 3/2
E) 2/3
2. CONSIDERE O SEGUINTE SISTEMA DE 2ª ORDEM:
˙
X =
-2 -5
1 0 X
_
+
1
0 U
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
PARA QUE OS POLOS DE MALHA FECHADA ESTEJAM LOCALIZADOS EM S1,2 =
–2 ± J, QUAL DEVERIA SER A MATRIZ DE GANHO K DE REALIMENTAÇÃO DE
ESTADOS?
A) [1 2]
B) [2 0]
C) [1 3]
D) [0 1]
E) [2 3]
GABARITO
1. Em um sistema de primeira ordem, as matrizes da dinâmica e da entrada são, respectivamente,
A =[–2] e B=[3]. Sabendo que o sistema em malha fechada, por realimentação de estados, deve
ter o polo posicionado em s = –4, qual deveria ser o ganho de realimentação K pelo método de
Ackermann?
A alternativa "E " está correta.
Pela fórmula de Ackermann em (24), teremos de calcular a matriz de controlabilidade C e o termo αc(A),
função do polinômio característico desejado em (26). Mas C = B = [3] e αc(s) = s + 4.
Portanto, αc A = A + 4. I = – 2 + 4. 1 = 2. 
Logo, por (24), K = 1 · C - 1 αc(A) = 1 · (3) - 1 · 2 = 2/3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o seguinte sistema de 2ª ordem:
˙
x =
-2 -5
1 0 x
_
+
1
0 u
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para que os polos de malha fechada estejam localizados em s1,2 = –2 ± j, qual deveria ser a
matriz de ganho K de realimentação de estados?
A alternativa "B " está correta.
Observe que o sistema de 2ª ordem fornecido já se encontra na forma canônica controlador em (20) e,
portanto, o primeiro método discutido pode ser aplicado diretamente.
O polinômio característico desejado é P s = s + 2 + j s + 2 – j = s2 + 4s + 5.
Assim, por (22), α1 = 4 e α2 = 5.
Observe que, na matriz A da dinâmica, pela forma controlador em (20), a1 = 2 e a2 = 5.
Portanto, pelas fórmulas em (23),
K1 = – a1 + α1 = – 2 + 4 = 2 e K2 = – a2 + α2 = – 5 + 5 = 0
Assim, K = K1 K2 = 2 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Calcular as matrizes para o rastreamento assintótico de uma entrada em degrau
PARA COMEÇAR
Neste módulo, serão apresentadas duas configurações nas quais o sistema a ser controlado poderá ser
inserido de forma que, em malha fechada, seja possível realizar o rastreamento de sinais de referência.
( ) ( )( )
[ ] [ ]RASTREAMENTO ASSINTÓTICO DA ENTRADA
DE REFERÊNCIA
O que significa rastrear um sinal de referência? Quer dizer que desejamos que o sistema em malha
fechada consiga produzir um sinal de resposta que acompanhe o sinal fornecido na entrada.
ATIVIDADE DE REFLEXÃO DISCURSIVA
A RESPOSTA AINDA PODE PARECER CONFUSA,
AFINAL, SE DESEJAMOS QUE A SAÍDA DO SISTEMA
SEJA UM SINAL PARECIDO COM O QUE ESTÁ
SENDO FORNECIDO NA ENTRADA, NÃO SERIA MAIS
FÁCIL FORNECER COMO SAÍDA O PRÓPRIO SINAL
DE ENTRADA?
RESPOSTA
A resposta é não.
javascript:void(0)
É nesse ponto que surge a dúvida. Lembre-se de que o sistema funciona como um mecanismo que
transforma os sinais de entrada, por meio de um fenômeno físico, nos sinais de saída. O fenômeno
físico é representado pela dinâmica considerada no modelo e, mais importante ainda, a natureza física
do sinal de entrada é distinta daquela do sinal de saída.
 EXEMPLO
Em uma usina hidrelétrica, suponhamos que o eixo da turbina esteja conectado ao de um gerador. A
entrada de referência desse sistema corresponde a um sinal de tensão de baixa potência, em mV, cuja
amplitude equivale, numericamente, à velocidade angular desejada do eixo do gerador. Não esqueça
que o conjunto turbina-gerador pode ter vários metros de diâmetro, ou seja, trata-se de uma peça
mecânica de grande porte. Além disso, a rotação do eixo desse conjunto depende de vários fatores
como a vazão de água que passa pela turbina e a carga que o gerador está alimentando. Portanto,
observe que as naturezas físicas dos sinais de entrada e de saída desse sistema são completamente
distintas.
Como estamos utilizando modelos em espaço de estado lineares, se este for estável, é possível ajustar
o erro em regime permanente para uma entrada em degrau, verificando o ganho do sistema quando a
resposta se estabiliza. Uma vez descoberto esse ganho, é possível zerar o erro em regime permanente
amplificando a amplitude do sinal de entrada por um fator Nu igual ao inverso do ganho. A seguir, vemos
a configuração proposta para ajustar o erro em regime permanente.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 13 - Configuração proposta para ajustar o erro em regime permanente
No próximo exemplo, é indicado o processo de cálculo de Nu para eliminar o erro em regime
permanente da resposta. Clique e aprenda mais.
EXEMPLO 9
Cálculo de Nu para eliminar o erro em regime permanente da resposta.
Considere o seguinte modelo em espaço de estado de um sistema:
˙
x = 
-1 - 2
1 0 x
_
 + 
1
2 F(t)[ ] [ ]
y = [1 4] x
_
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calcule o fator de ajuste Nu para eliminar o erro em regime permanente da resposta para um sinal de
entrada do tipo degrau.
Solução: Como o sinal de entrada é um degrau, faremos F(t) = 1. Em regime permanente:
˙
x = 0 = 
-1 - 2
1 0 x
_ ss
 + 
1
2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e então os valores dos estados serão:
x
_ ss
 =
-1 - 2
1 0
- 1
 
-1
-2
 =
0 1
-0,5 - 0,5
 
-1
-2
= 
-2
1,5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o valor da saída em regime permanente será:
y
_ ss
 = [1 4] 
-2
1,5 = - 2 + 6 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, como o ganho calculado foi 4, o fator de ajuste será o inverso desse valor: Nu = 1/4.
O gráfico a seguir, apresenta a resposta desse modelo para uma sequência de degraus, ajustando-se
Nu = 1/4.
Fonte: Fonte: EnsineMe.
 Figura 14 - Resposta do sistema (curva vermelha) com Nu = 1/4 para uma sequência de degraus
(curva azul).
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
Observe que, com o ajuste do fator Nu, a resposta do sistema consegue realizar o rastreamento
assintótico da entrada, isto é, consegue acompanhar a entrada em regime permanente.
RASTREAMENTO COM REALIMENTAÇÃO DE
ESTADOS
No módulo anterior, vimos que, a partir da realimentação de estado, é possível modificar as posições
dos polos do sistema. Entretanto, foi considerado que u(t) = – Kx(t) e, consequentemente, o sistema
realimentado ficou sem uma entrada externa. Nessas condições, o sistema assume a forma de um
regulador, ou seja, quando a malha é fechada e o comportamento dinâmico é estável, o sistema volta
para a sua posição de equilíbrio na origem, com todos os estados retornando para zero. Um modo direto
de acrescentar uma entrada externa seria considerar u(t) = r(t) – Kx(t), em que r(t) é conhecido como
sinal de referência. Entretanto, infelizmente, isso não garante que a saída conseguirá realizar o
rastreamento assintótico do sinal de entrada e, provavelmente, existirá um erro estacionário entre a
entrada e a saída.
Conforme (Franklin et al., 2013), o modo de corrigir esse problema é determinar os valores em regime
permanente dos estados e da entrada para reduzir o erro na saída. Considerando esses valores como
xss e xss, a nova fórmula de controle deverá ser:
u(t) = uss - K x(t) - xss (29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, se x = xss , então u(t) = uss, que é o sinal de entrada disponível para eliminar o erro entre a
saída e a entrada, em regime permanente. Para calcular os valores corretos de xss e uss, devemos partir
das equações de estado e forçar para que haja erro nulo em regime permanente.
Assim, das equações de estado, temos:
˙
x(t) = Ax
_
(t) + Bu(t)
y(t) = Cx
_
(t) + Du(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e, em regime permanente:
0 = A x
_ ss
+ Buss
yss = C x
_ ss
+ Duss
 (30)
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desejamos resolver o sistema de equações em (30),
de maneira que yss = rss. Fazendo:
x
_ ss
= Mxrss
uss = Murss
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e substituindo em (30), chega-se na equação a seguir, após eliminar rss:
0
1 =
A B
C D
Mx
Mu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo essas equações para Mx e Mu:
Mx
Mu
=
A B
C D
- 1 0
1 (31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
chegamos aos valores corretos para obter erro nulo em regime permanente para uma entrada tipo
degrau. Em (29), teremos que:
u(t) = Mur(t) - K x(t) - Mxr(t)
= - K x
_
(t) + Mu + KMx r(t)
 (32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Mu + KMx é uma constante, podemos reescrever (32) da seguinte forma:
u(t) = - Kx(t) + Mu + KMx r(t) = - Kx(t) + Mr(t) (33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na Figura 15, temos a configuração proposta para o sistema em (32), considerando a realimentação de
estado e a entrada de referência, com rastreamento assintótico da entrada pela saída. Embora seja
equivalente em termos matemáticos, na Figura 16, temos a configuração proposta para o sistema a
partir de (33), substituindo os fatores Mx e Mu por M. A vantagem da configuração na Figura 15 é que as
matrizes de rastreamento Mx e Mu são determinadas independentemente do ganho de realimentação de
estados K.
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
( )
Fonte: O autor.
 Figura 15
Configuração proposta com Mx e Mu para o rastreamento assintótico
Fonte: O autor.
 Figura 16
Configuração proposta com M para o rastreamento assintótico.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o sistema massa-mola-amortecedor e seu modelo discutidos anteriormente e reproduzidos
abaixo, adotando-se novamente M = 1 kg, k = 2 N/m e b = 0,5 Ns/m:
Fonte: Fonte: EnsineMe.
˙
x = 
0 1
-2 -0,5 x
_
 + 
0
1 F(t)
y = 1 0 x
_
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que x1 corresponde à posição do bloco de massa e x2 à sua velocidade. Se for realizada uma
realimentação de estados com
K = [3 3,5], quais deveriam ser os valores adotados