Princípios de análise no domínio do tempo

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Apresentação dos conceitos norteadores dos sistemas pneumáticos, com foco nas características, nas especificações e no princípio de</p><p>funcionamento dos compressores e nos sistemas de controle de circuitos pneumáticos.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Apresentar os conceitos envolvidos na especificação dos sistemas pneumáticos, especialmente os compressores. Citar os principais atuadores</p><p>pneumáticos e seu funcionamento. Introduzir as noções de controle, acionamento e os princípios envolvidos no conceito de sistemas de controle e</p><p>acionamentos pneumáticos. Exemplificar os circuitos abordados bem como, as partes que os compõem e seu modo de funcionamento.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Antes de iniciar a leitura deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a de seu smartphone/computador.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Identificar os sistemas de primeira ordem</p><p>MÓDULO 2</p><p>Identificar os sistemas de segunda ordem</p><p>MÓDULO 3</p><p>Analisar a solução das equações de estado por meio da transformada de Laplace</p><p>MÓDULO 4</p><p>Analisar a solução das equações de estado no domínio do tempo</p><p>A ANÁLISE DE EQUAÇÕES DE ESTADO NO DOMÍNIO DO TEMPO</p><p>MÓDULO 1</p><p> Identificar os sistemas de primeira ordem</p><p>MODELAGEM DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM</p><p>ANÁLISE DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO</p><p>Após a determinação do modelo matemático que define o sistema físico, e que pode ser obtido a partir de sua função de transferência, é possível</p><p>realizar a análise do desempenho do mesmo, quando este recebe estímulos em sua entrada (resposta à entrada).</p><p>AS ENTRADAS DO TIPO PADRÃO (OU ENTRADAS DE TESTE) SÃO AQUELAS QUE</p><p>PERMITEM COM QUE AS PROPRIEDADES ESSENCIAIS DE UM SISTEMA SEJAM</p><p>DETERMINADAS POR MEIO DA RESPOSTA A ESSAS ENTRADAS</p><p>CORRESPONDENTES.</p><p>As principais entradas do tipo padrão aplicadas a um sistema físico com o objetivo de analisar sua resposta são, como pode ser visto na imagem a</p><p>seguir, as funções do tipo degrau, rampa e senoidal:</p><p> Entradas do tipo padrão: (a) entrada em degrau; (b) entrada em rampa; e (c) entrada senoidal.</p><p>Também é possível aplicar entradas do tipo impulso ou parabólica, como pode ser observado na imagem adiante:</p><p> Entradas do tipo padrão: (a) impulso; e (b) parábola.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Todos os sinais de entrada respeitam o princípio da causalidade. Sendo assim, estes só passam existir após um instante</p><p>positivo</p><p>.</p><p>A resposta de um sistema no tempo, também chamada de resposta temporal, é a resposta de um sistema de controle a um estímulo na entrada. Esta</p><p>é constituída em duas partes: resposta transitória e estacionária.</p><p></p><p></p><p>RESPOSTA TRANSITÓRIA:</p><p>é a resposta de um sistema desde o seu estado inicial até seu estado de estabilidade. Nesta resposta, a saída do sistema é vista desde o princípio até</p><p>um instante de tempo no qual o sistema se estabiliza. Em geral, nesse período, o sistema apresenta oscilações amortecidas.</p><p></p><p></p><p>RESPOSTA ESTACIONÁRIA:</p><p>é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que o intervalo de tempo</p><p>aumenta, tendendo ao infinito.</p><p>t</p><p>(t > 0)</p><p>t</p><p> EXEMPLO</p><p>Considere um sistema definido por uma função de transferência</p><p>qualquer. Caso este seja estimulado por uma entrada padrão</p><p>, este produzirá uma saída</p><p>definida como a resposta do sistema ao estímulo</p><p>:</p><p> Resposta do sistema a um estímulo de entrada.</p><p>Sendo assim, a resposta</p><p>do sistema ao estímulo de entrada pode ser escrita como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Ou:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é a resposta transitória do sistema e</p><p>, a sua resposta estacionária.</p><p>G(s)</p><p>r(t)</p><p>c(t)</p><p>r(t)</p><p>c(t)</p><p>c(t) = ctransitório (t) + cestacionário (t)</p><p>c(t) = ctr(t) + css(t)</p><p>ctr(t)</p><p>css(t)</p><p>SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM</p><p>Os sistemas de primeira ordem são largamente utilizados para a representação de processos simples, como a velocidade de um corpo de massa M, a</p><p>temperatura de um líquido em um tanque, o nível de um tanque e a tensão em um circuito com um resistor e um capacitor em série (circuito RC série).</p><p>Basicamente, os sistemas de primeira ordem são aqueles cuja função de transferência possui apenas um polo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em um projeto de um sistema de controle, o objetivo principal é a obtenção da estabilidade absoluta. Um sistema que não possua essa estabilidade é</p><p>considerado instável.</p><p>ERRO DE REGIME ESTACIONÁRIO</p><p>Um sistema, mesmo em regime estacionário, pode apresentar um erro de regime, ou seja, um desvio em relação ao sinal de entrada.</p><p>O erro em regime representa uma diferença entre o que se espera na saída do sistema e aquilo que efetivamente é produzido.</p><p>Um exemplo de erro estacionário ou erro de regime pode ser visto na imagem a seguir:</p><p>Grafico: Erro de regime.</p><p>Por exemplo, inserindo uma entrada degrau unitário, isto é, amplitude igual a</p><p>unidade, em um sistema físico com uma função de transferência do tipo</p><p>, pode-se produzir um sinal de saída com a metade da amplitude do sinal de entrada</p><p>.</p><p>Desse modo, como era esperado para um sinal de 1 unidade:</p><p>G(s) =</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>H(s)</p><p>(0, 5)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo assim, considere o circuito ilustrado na imagem adiante:</p><p> Diagrama em blocos representativo do sistema.</p><p>Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima, pode representar um circuito elétrico do tipo resistor e capacitor (circuito RC), um sistema térmico</p><p>ou outro sistema físico simples. A relação entre a entrada e a saída desse sistema pode ser descrita por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Supondo as entradas do tipo padrão já citadas, pode-se obter as saídas desse sistema da seguinte maneira:</p><p>RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO</p><p>Para</p><p>, aplicando a transformada de Laplace ao impulso, tem-se:</p><p>Assim:</p><p>Erro estacionário = 1 − 0, 5</p><p>Erro estacionário = 0, 5</p><p>C(s) = G(s) ⋅ R(s)</p><p>=</p><p>C(s)</p><p>R(s)</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>r(t) = δ(t)</p><p>R(s) = 1</p><p>C(s) = ⋅ R(s)</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, substituindo na equação a entrada impulso unitário, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa maneira, a saída produzida terá a forma:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando a função produzida na saída:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é definida como a constante de tempo do sistema. Considerando a transformada de Laplace da função exponencial, verifica-se que:</p><p>Função (f(t)) Transformada (F(s))</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, aplicando a transformada de Laplace no sentido inverso da função, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando</p><p>C(s) = ⋅ 1</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) =</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = ⋅</p><p>1</p><p>T</p><p>1</p><p>s + 1</p><p>T</p><p>T</p><p>e−at</p><p>1</p><p>s + a</p><p>c(t) = ⋅ e− , para t ≥ 0</p><p>1</p><p>T</p><p>t</p><p>T</p><p>, pode-se definir os valores da resposta</p><p>para diferentes instantes de tempo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>1 0</p><p>0,368 1</p><p>0,135 2</p><p>0,050 3</p><p>0,018 4</p><p>0,007 5</p><p>0,002 6</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela 1: Valores da função</p><p>para diferentes instantes de tempo</p><p>.</p><p>Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.</p><p>Ao produzir o gráfico da resposta ao impulso em relação ao tempo</p><p>, obtém-se:</p><p>T = 1</p><p>c(t)</p><p>c(t) = e−t</p><p>c(t)  t (segundos)</p><p>c (t)</p><p>(t)</p><p>t</p><p>Representação do sistema na resposta ao impulso.</p><p>RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO</p><p>Considerando uma entrada degrau unitário</p><p>e o mesmo sistema anterior:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O degrau unitário é definido por</p><p>. Já sua transformada em Laplace é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com isso, a saída</p><p>é definida por:</p><p>R(s)</p><p>C(s) = ⋅ R(s)</p><p>1</p><p>Ts +</p><p>1</p><p>u(t)</p><p>r(t) = u(t)</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s</p><p>C (s)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A resolução desse sistema depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo esse sistema, tem-se:</p><p>C(s) = ⋅</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>s</p><p>C(s) = × = +</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>s</p><p>A</p><p>s</p><p>B</p><p>Ts + 1</p><p>× = +</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>s</p><p>A</p><p>s</p><p>B</p><p>Ts + 1</p><p>=</p><p>1</p><p>s(Ts + 1)</p><p>A(Ts + 1) + Bs</p><p>s(Ts + 1)</p><p>A(Ts + 1) + Bs = 1</p><p>{A ⋅ T + B = 0</p><p>A = 1</p><p>A ⋅ T + B = 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo os valores de A e B:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando a equação:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Fazendo a transformada inversa de Laplace, obtém-se:</p><p>1 ⋅ T + B = 1</p><p>B = −T</p><p>C(s) = +</p><p>A</p><p>s</p><p>B</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = +</p><p>1</p><p>s</p><p>−T</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = −</p><p>1</p><p>s</p><p>T</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = −</p><p>1</p><p>s</p><p>1</p><p>s + 1</p><p>T</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>T</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A análise da saída no domínio do tempo deve ser realizada para o intervalo</p><p>. A primeira análise tem de ser observada para o instante inicial em</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Já a última análise precisa ser observada para o instante final em</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Vale destacar que, para essas duas análises, o valor da constante</p><p>é indiferente, tendo em vista que sua influência é desprezível em relação aos instantes de tempo definidos para</p><p>t ≥ 0</p><p>t = 0</p><p>c(0) = 1 − e− 0</p><p>T</p><p>c(0) = 1 − 1</p><p>c(0) = 0</p><p>t = ∞ :</p><p>c(∞) = 1 − e− ∞</p><p>T</p><p>c(∞) = 1 − 0</p><p>c(∞) = 1</p><p>T</p><p>t</p><p>.</p><p>No instante em que</p><p>:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível perceber que, quanto menor o valor da constante de tempo t, mais rapidamente o sistema responde. Confira a seguir:</p><p>Supondo uma constante de tempo igual a</p><p>t = T</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>T</p><p>c(T ) = 1 − e− T</p><p>T</p><p>c(T ) = 1 − e−1</p><p>c(T ) = 1 − 0, 368</p><p>c(T ) = 0, 632</p><p>2 (T = 2) :</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>T</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>0 0</p><p>0,393 1</p><p>0,632 2</p><p>0,777 3</p><p>0,865 4</p><p>0,918 5</p><p>0,950 6</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela 2: Valores da função</p><p>para diferentes instantes de tempo</p><p>.</p><p>Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.</p><p>Ao produzir o gráfico dessa resposta ao impulso em relação ao tempo t, tem-se:</p><p>Representação do sistema na resposta ao degrau unitário.</p><p>Supondo uma constante de tempo igual a</p><p>:</p><p>c(t)  t (segundos)</p><p>c (t)</p><p>(t)</p><p>4 (T = 4)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>0 0</p><p>0,221 1</p><p>0,393 2</p><p>0,528 3</p><p>0,632 4</p><p>0,713 5</p><p>0,777 6</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Tabela 3: Valores da função</p><p>para diferentes instantes de tempo</p><p>.</p><p>Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.</p><p>Ao produzir o gráfico dessa resposta ao impulso em relação ao tempo</p><p>obtém-se:</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>T</p><p>c(t) = 1 − e− t</p><p>4</p><p>c(t)  t (segundos)</p><p>c (t)</p><p>(t)</p><p>t,</p><p>Representação do sistema na resposta ao degrau unitário.</p><p>A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em</p><p>segundos de</p><p>, pois:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESPOSTA À RAMPA</p><p>A resposta do sistema à uma entrada do tipo rampa é definida como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A transformada de Laplace é definida como:</p><p>Função (f(t)) Transformada (F(s))</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa forma, aplicando a transformada de Laplace no sinal de entrada:</p><p>t = 0</p><p>1/T</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣t=0</p><p>= e− ∣</p><p>∣</p><p>∣t=0</p><p>=</p><p>∂c(t)</p><p>∂t</p><p>1</p><p>T</p><p>t</p><p>T</p><p>1</p><p>T</p><p>r(t) = tu(t)</p><p>t</p><p>1</p><p>s2</p><p>r(t) = tu(t)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando</p><p>um sinal unitário:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando uma função de transferência de primeira ordem com a seguinte estrutura:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com isso, a saída desse sistema de primeira ordem com uma rampa na entrada é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A resolução desse sistema também depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo esse sistema, verifica-se que:</p><p>R(s) = U(s)</p><p>1</p><p>s2</p><p>U(s)</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s2</p><p>=</p><p>C(s)</p><p>R(s)</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = ⋅</p><p>1</p><p>s2</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>C(s) = ⋅ = +</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>s2</p><p>A</p><p>Ts + 1</p><p>Bs + C</p><p>s2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo os valores de A e B:</p><p>⋅ = +</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>1</p><p>s2</p><p>A</p><p>Ts + 1</p><p>Bs + C</p><p>s2</p><p>=</p><p>1</p><p>s2(Ts + 1)</p><p>A ⋅ s2 + (Bs + C) ⋅ (Ts + 1)</p><p>s2(Ts + 1)</p><p>As2 + BTs2 + Bs + CTs + C = 1</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>A + BT = 0</p><p>B + CT = 0</p><p>C = 1</p><p>B + 1 ⋅ T = 0</p><p>B = −T</p><p>A + −T ⋅ T = 0</p><p>A = T 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando a equação:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Fazendo a transformada inversa de Laplace:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O erro da saída desse sistema é definido por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>, considerando</p><p>:</p><p>C(s) = +</p><p>T 2</p><p>Ts + 1</p><p>−Ts + 1</p><p>s2</p><p>C(s) = + +</p><p>T 2</p><p>Ts + 1</p><p>−Ts</p><p>s2</p><p>1</p><p>s2</p><p>C(s) = − +</p><p>T 2</p><p>Ts + 1</p><p>T</p><p>s</p><p>1</p><p>s2</p><p>c(t) = te− − T + t</p><p>t</p><p>T</p><p>e(t) = r(t) − c(t)</p><p>r(t) = tu(t)</p><p>u(t) = 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para</p><p>, o erro tende a</p><p>.</p><p>ESTABILIDADE DO SISTEMA</p><p>Considerando que as funções de transferência de primeira ordem possuem uma estrutura, definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>É possível verificar por meio do mapeamento de polos e zeros (gráfico que reflete a posição de polos e zeros da função de transferência) que o</p><p>sistema tende à estabilidade.</p><p>As raízes da equação de primeira ordem definida, estão posicionadas no semiplano esquerdo, como pode ser visto na imagem a seguir:</p><p>e(t) = t − (te− − T + t)</p><p>t</p><p>T</p><p>e(t) = −te− + T</p><p>t</p><p>T</p><p>e(t) = T − te− t</p><p>T</p><p>t → ∞</p><p>T</p><p>=</p><p>C(s)</p><p>R(s)</p><p>1</p><p>s + 1</p><p>Mapeamento de polos e zeros de uma função de transferência do primeiro grau.</p><p>Da função de transferência de sistemas de primeira ordem é possível extrair algumas conclusões. Considere a função de transferência de um sistema</p><p>físico de primeira ordem, como o mostrado a seguir:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é definido como o ganho da função de transferência e</p><p>, a constante de tempo da mesma. Essa função é relacionada ao inverso da constante de tempo, ou seja, é definida pela sua frequência</p><p>.</p><p>A transformada inversa de Laplace de uma função com as características da função</p><p>é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O parâmetro frequência é chamado de frequência exponencial.</p><p>A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos polos. O polo da função de transferência é obtido pela raiz do denominador. Então:</p><p>G(s) = =</p><p>C(s)</p><p>R(s)</p><p>K</p><p>s + 1</p><p>T</p><p>K</p><p>T</p><p>( )</p><p>1</p><p>T</p><p>G (s)</p><p>→ e−at1</p><p>s + a</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Pode-se dizer que o polo fica localizado no inverso da constante de tempo. Por exemplo, considere a função de transferência com constante de tempo</p><p>igual a</p><p>:</p><p></p><p>Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O polo dessa função de transferência é definido por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O mapeamento dos polos e os zeros da função de transferência pode ser definido como na imagem adiante:</p><p>Mapeamento de polos e zeros de uma função de transferência do primeiro grau.</p><p>Observando o diagrama de polos e zeros, é possível reafirmar a relação entre a constante de tempo e a resposta do sistema (quanto menor o valor da</p><p>constante de tempo t, mais rapidamente o sistema responde).</p><p>Isso acontece, pois, quanto menor a constante de tempo, mais distante do eixo imaginário o polo se situa; sendo assim, mais rápida é a resposta</p><p>transitória do sistema.</p><p>s + a = 0</p><p>s = −a</p><p>2(T = 2)</p><p>G(s) = =</p><p>C(s)</p><p>R(s)</p><p>1</p><p>s + 1</p><p>2</p><p>s + = 0</p><p>s = − = −0, 5</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>TEMPO DE SUBIDA (RISE TIME)</p><p>O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que o sinal varie de aproximadamente 10 até 90% do valor final do sistema. Sendo</p><p>assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>TEMPO DE ASSENTAMENTO (SETTLING TIME)</p><p>É definido como o tempo necessário para que a resposta do sistema alcance uma faixa de 2% em torno do valor final do sistema, e mantenha-se</p><p>estável nesse patamar.</p><p>O tempo de assentamento pode ser aproximado por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA</p><p>DE PRIMEIRA ORDEM</p><p>É POSSÍVEL IDENTIFICAR A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA FÍSICO</p><p>Tr = −</p><p>Ts =</p><p>2, 31</p><p>a</p><p>0, 11</p><p>a</p><p>2, 2</p><p>a</p><p>Ts =</p><p>4</p><p>a</p><p>POR MEIO DA RELAÇÃO ENTRE A ENTRADA E A SAÍDA DO MESMO.</p><p>A aplicação de uma entrada conhecida, como um degrau unitário por exemplo, em um sistema de primeira ordem, permite determinar a constante de</p><p>tempo e o valor do sistema no estado estacionário.</p><p>Sendo assim, considere que um sistema físico possua uma relação entre a saída e a entrada definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando uma entrada degrau unitário, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo a entrada degrau unitário:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A solução desse sistema pode ser feita por intermédio das frações parciais:</p><p>G(s) =</p><p>K</p><p>s + a</p><p>C(s) = ⋅ R(s)</p><p>K</p><p>s + a</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s</p><p>C(s) = ⋅</p><p>K</p><p>s + a</p><p>1</p><p>s</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da resposta ao degrau, a constante de tempo (tempo necessário para que o sistema chegue a 63% do valor de regime) pode ser determinada</p><p>por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa maneira, basta encontrar o tempo em que a resposta chega a essa amplitude.</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>Sistemas de primeira ordem</p><p>Definindo a Função de transferência</p><p>= +</p><p>K = A(s + a) + Bs</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>A + B = 0</p><p>Aa = K</p><p>A =</p><p>+ B = 0</p><p>B = −</p><p>C(s) = +</p><p>C(s) = ⋅ −</p><p>c(t) = (1 − e−ta)</p><p>K</p><p>s(s + a)</p><p>A</p><p>s</p><p>B</p><p>s + a</p><p>K</p><p>a</p><p>K</p><p>a</p><p>K</p><p>a</p><p>A</p><p>s</p><p>B</p><p>s + a</p><p>K</p><p>a</p><p>1</p><p>s</p><p>K</p><p>a</p><p>1</p><p>s + a</p><p>K</p><p>a</p><p>Amplitude 63% = 0, 63 ⋅  Valor de Regime</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>MODELAGEM DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM</p><p>SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM</p><p>MÓDULO 2</p><p> Identificar os sistemas de segunda ordem</p><p>Os sistemas de segunda ordem são utilizados para representar processos mais complexos, tais como:</p><p></p><p></p><p>A aceleração de um corpo de massa</p><p>;</p><p></p><p></p><p>A posição de uma massa em um sistema do tipo massa-mola com atrito;</p><p></p><p></p><p>O deslocamento angular do eixo de um motor de corrente contínua;</p><p></p><p></p><p>A tensão de carga de um capacitor em um circuito com um resistor, um capacitor e um indutor em série (circuito RLC série);</p><p></p><p></p><p>Ou qualquer outra combinação de dois elementos armazenadores de energia.</p><p>Diferente dos sistemas de primeira ordem, os de segunda ordem são aqueles cuja função de transferência possui dois polos:</p><p>M</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>Além da preocupação com a estabilidade absoluta, os sistemas de segunda ordem possuem uma frequência natural não amortecida, um coeficiente</p><p>de amortecimento e uma frequência natural amortecida. Cada um desses parâmetros apresenta um efeito específico sobre o comportamento do</p><p>sistema.</p><p>FORMA PADRÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA</p><p>A forma padrão de um sistema de segunda ordem é dada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é a frequência natural não amortecida;</p><p>, o coeficiente de amortecimento; e</p><p>, a frequência natural amortecida do sistema. A equação característica é dada por</p><p>; portanto, o comportamento dinâmico do sistema de segunda ordem pode ser escrito pelos parâmetros</p><p>e</p><p>Dependendo do valor desses parâmetros, pode-se definir três tipos de sistema de segunda ordem. Clique nas abas e conheça melhor cada</p><p>um deles:</p><p>SISTEMA SUBAMORTECIDO</p><p>Nesse tipo de sistema, o coeficiente de amortecimento possui valor entre</p><p>e</p><p>G(s) =</p><p>1</p><p>Ts + 1</p><p>T (s) = =</p><p>Y (s)</p><p>R(s)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>ωn</p><p>ζ</p><p>ωd =</p><p>ωn√1 − ζ2</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>ωn</p><p>ζ</p><p>0</p><p>. Os polos da malha fechada desse sistema são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do complexo</p><p>. Nesse caso, as raízes da equação característica são:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As raízes da função de transferência no plano s podem ser vistas a seguir:</p><p> Raízes do sistema de segunda ordem no plano imaginário.</p><p>Já a função de transferência é dada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O valor do coeficiente de amortecimento é capaz de definir a posição do sistema em relação ao plano complexo, como pode ser visto adiante:</p><p>1(0</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em impulso unitário.</p><p>Vale destacar que, com o fator de amortecimento nulo</p><p>, a resposta do sistema oscilará na frequência natural do mesmo</p><p>sem amortecimento:</p><p>⋅ e−ζωnt senωn(√1 − ζ2) t</p><p>ωn</p><p>√1 − ζ2</p><p>ω2</p><p>n</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>c(t) = ⋅ e−ζωnt senωn(√1 − ζ2) t</p><p>ωn</p><p>√1 − ζ2</p><p>t ≥ 0</p><p>ωn = 2rad/segundo e ζ = 0, 5 :</p><p>(ζ = 0)</p><p>(ωn)</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em impulso unitário.</p><p>Resposta ao degrau unitário</p><p>Para uma entrada degrau unitário, a saída do sistema apresentará um comportamento, como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O degrau unitário é definido por</p><p>. Já sua transformada em Laplace é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, a saída</p><p>é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A resolução desse sistema depende do desenvolvimento por meio das frações parciais. Sendo assim, pode-se reescrever a saída</p><p>C(s) = ⋅ R(s)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>u(t)</p><p>r(t) = u(t)</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s</p><p>C(s)</p><p>C(s) = ⋅</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>1</p><p>s</p><p>da seguinte maneira:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo esse sistema, tem-se:</p><p>C(s)</p><p>C(s) = ⋅</p><p>ω2</p><p>n</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>1</p><p>s</p><p>⋅ = +</p><p>=</p><p>(As + B)s + C (s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n) = ω2</p><p>n</p><p>As2 + Bs + Cs2 + 2sCζωn + Cω2</p><p>n = ω2</p><p>n</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>A + C = 0</p><p>B + 2Cζωn = 0</p><p>Cω2</p><p>n = ω2</p><p>n</p><p>C = 1</p><p>B + 2 ⋅ 1 ⋅ ζωn = 0</p><p>B = −2ζωn</p><p>A + 1 = 0</p><p>A = −1</p><p>ω2</p><p>n</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>1</p><p>s</p><p>As + B</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>C</p><p>s</p><p>ω2</p><p>n</p><p>s (s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n)</p><p>(As + B)s + C (s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n)</p><p>s (s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo os valores de A e B:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Retornando à representação original:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como</p><p>, pode-se redefinir que:</p><p>C(s) = +</p><p>C(s) = −</p><p>−1s − 2ζωn</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>1</p><p>s</p><p>1</p><p>s</p><p>s + 2ζωn</p><p>s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>= s2 + 2sζωn + ω2</p><p>n</p><p>C(s) = −</p><p>1</p><p>s</p><p>s + 2ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>C(s) = −</p><p>C(s) = − −</p><p>1</p><p>s</p><p>s + ζωn + ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>1</p><p>s</p><p>s + ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>ωd = ωn√1 − ζ2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, substituindo na equação anterior:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Fazendo a transformada inversa de Laplace de acordo com a definição:</p><p>Função (f(t)) Transformada (F(s))</p><p>1</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p>ωn =</p><p>ωd</p><p>√1 − ζ2</p><p>C(s) = − −</p><p>C(s) = − −</p><p>1</p><p>s</p><p>s + ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>ζ( )ωd</p><p>√1−ζ2</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>1</p><p>s</p><p>s + ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>ωd( )ζ</p><p>√1−ζ2</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>1</p><p>s</p><p>eat cosωt</p><p>s − a</p><p>(s − a)2 + ω2</p><p>eat senωt</p><p>ω</p><p>(s − a)2 + ω2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Somando as frações:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por meio das relações trigonométricas, é possível simplificar a equação para:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Vale destacar que o termo</p><p>é chamado de coeficiente de atenuação, tendo em vista que este é responsável por controlar o amortecimento do sistema.</p><p>Esse coeficiente representa a facilidade com o qual um material (sensor) reage ao estímulo de energia.</p><p>L−1{ }→ 1</p><p>L−1{ }→ e−ζωnt cos(ωdt)</p><p>L−1{ }→ e−ζωnt sen(ωdt)</p><p>1</p><p>s</p><p>s + ζωn</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>ωd</p><p>(s + ζωn)2 + ω2</p><p>d</p><p>y(t) = 1 − e−ζωnt(cos(ωdt) + sen(ωdt))</p><p>ζ</p><p>√1 − ζ2</p><p>y(t) = 1 − sen(ωdt + θ),  para t ≥ 0</p><p>e−ζωnt</p><p>√1 − ζ2</p><p>θ = tan−1( )</p><p>√1 − ζ2</p><p>ζ</p><p>ζωn</p><p>A frequência natural amortecida</p><p>é denominada frequência de oscilação transitória e varia de acordo com</p><p>. Por sua vez, o sinal de erro é definido como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para</p><p>, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.</p><p>Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do plano imaginário, como pode ser visto adiante:</p><p>(ωd)</p><p>ζ</p><p>e(t) = r(t) − y(t)</p><p>e(t) = 1 −(1 − sen(ωdt + θ))</p><p>e(t) = sen(ωdt + θ)</p><p>e−ζωnt</p><p>√1 − ζ2</p><p>e−ζωnt</p><p>√1 − ζ2</p><p>t ≥ 0</p><p>ωn = 2rad/segundo e ζ = 0, 5 :</p><p> Mapeamento de polos e zeros do sistema subamortecido.</p><p>É interessante observar que, caso o coeficiente de amortecimento seja nulo</p><p>, a resposta do sistema oscilará na frequência natural do sistema</p><p>sem amortecimento, de acordo com a equação a seguir:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>(ζ = 0)</p><p>(ωn)</p><p>ωd = ωn√1 − ζ2</p><p>ωd = ωn√1 − 02</p><p>ωd = ωn</p><p>y(t) = 1 − cos(ωnt),  para t ≥ 0</p><p> Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.</p><p>SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO</p><p>Em sistemas criticamente amortecidos, o coeficiente de amortecimento é unitário</p><p>. Nesse caso, os polos da malha fechada são reais e iguais. Além disso, ficam situados na frequência natural do sistema</p><p>. Sendo assim, a função de transferência de um sistema criticamente amortecido pode ser definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A resposta desse sistema à um degrau unitário</p><p>produz uma saída como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando o sistema, tem-se:</p><p>(ζ = 1)</p><p>(−ωn)</p><p>=</p><p>Y (s)</p><p>R(s)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ωn) (s + ωn)</p><p>(u(t))</p><p>r(t) = u(t)</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s</p><p>Y (s) = ⋅ R(s)</p><p>Y (s) =</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ωn) (s + ωn)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ωn) (s + ωn) s</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Utilizando frações parciais, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Montando o sistema:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Y (s) =</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ωn)2</p><p>s</p><p>= +</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ωn)2</p><p>s</p><p>As + B</p><p>(s + ωn)2</p><p>C</p><p>s</p><p>(As + B)s + C(s + ωn)2 = ω2</p><p>n</p><p>As2 + Bs + Cs2 + 2Cωns + Cω2</p><p>n = ω2</p><p>n</p><p>⎧⎪</p><p>⎨</p><p>⎪⎩</p><p>As2 + Cs2 = 0</p><p>Bs + 2Cωns = 0</p><p>Cω2</p><p>n = ω2</p><p>n</p><p>C = 1</p><p>Bs + 2 ⋅ 1 ⋅ ωns = 0</p><p>B = −2ωn</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo os valores de A, B e C nas frações:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A transformada inversa de Laplace da saída da função de transferência</p><p>é dada de acordo com:</p><p>Função (f(t)) Transformada (F(s))</p><p>As2 + 1s2 = 0</p><p>A = −1</p><p>Y (s) = +</p><p>Y (s) = +</p><p>As + B</p><p>(s + ωn)2</p><p>C</p><p>s</p><p>−s − 2ωn</p><p>(s + ωn)2</p><p>1</p><p>s</p><p>Y (s) = − −</p><p>Y (s) = − −</p><p>1</p><p>s</p><p>(s + ωn)</p><p>(s + ωn)2</p><p>ωn</p><p>(s + ωn)2</p><p>1</p><p>s</p><p>1</p><p>(s + ωn)</p><p>ωn</p><p>(s + ωn)2</p><p>Y (s)</p><p>1</p><p>1</p><p>S</p><p> Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para</p><p>, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros</p><p>e</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.</p><p>Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do</p><p>plano imaginário, como pode ser visto adiante:</p><p>e−ωnt</p><p>1</p><p>(s + ωn)</p><p>te−ωnt</p><p>1</p><p>(s + ωn)2</p><p>y(t) = 1 − e−ωnt (1 + ωnt) , t ≥ 0</p><p>t ≥ 0</p><p>ωn = 2rad/segundo</p><p>ζ = 1 :</p><p>Mapeamento de polos e zeros do sistema criticamente amortecido.</p><p>Observando o mapeamento de polos e zeros, é possível confirmar que os polos são situados na frequência natural do sistema</p><p>.</p><p>SISTEMA SUPERAMORTECIDO</p><p>Em um sistema superamortecido, o coeficiente de amortecimento é maior do que uma unidade</p><p>Nesse caso, os polos da malha fechada são reais e diferentes. Sendo assim, a função de transferência de um sistema criticamente amortecido pode</p><p>ser definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A resposta desse sistema à um degrau unitário</p><p>produz uma saída, como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo assim:</p><p>(−ωn)</p><p>(ζ > 1).</p><p>=</p><p>Y (s)</p><p>R(s)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn + ωn√ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn√ζ2 − 1)</p><p>(u(t))</p><p>r(t) = u(t)</p><p>R(s) =</p><p>1</p><p>s</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A transformada inversa de Laplace da saída da função de transferência</p><p>é dada por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Vale destacar que, se</p><p>, então</p><p>decai muito mais rápido do que</p><p>é o polo dominante e a resposta pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para</p><p>, a resposta do sistema de segunda ordem pode ser vista na imagem a seguir. Considere a entrada degrau unitário e os parâmetros</p><p>e</p><p>Y (s) = ⋅ R(s)</p><p>Y (s) = ⋅</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn + ωn√ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn√ζ2 − 1)</p><p>ω2</p><p>n</p><p>(s + ζωn + ωn√ζ2 − 1)(s + ζωn − ωn√ζ2 − 1)</p><p>1</p><p>s</p><p>Y (s)</p><p>y(t) = 1 + ( − ) , t > 0</p><p>ωn</p><p>2√ζ2 − 1</p><p>e−s1t</p><p>s1</p><p>e−s2t</p><p>s2</p><p>|s1| ≪ |s2|</p><p>e−s2t</p><p>e−s1t, s1</p><p>y(t) ≈ 1 + ( ) , t > 0</p><p>ωn</p><p>2√ζ2 − 1</p><p>e−s1t</p><p>s1</p><p>t ≥ 0</p><p>ωn = 2rad/segundo</p><p>ζ = 2 :</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.</p><p>Os polos e os zeros desse sistema estão localizados no semiplano esquerdo do plano imaginário, como pode ser visto na imagem adiante:</p><p>Mapeamento de polos e zeros do sistema superamortecido.</p><p>ESPECIFICAÇÕES E ESTIMATIVAS DA RESPOSTA TRANSITÓRIA EM</p><p>SISTEMAS</p><p>No geral, as características de um sistema de controle tomam como referência os termos da resposta transitória e a entrada em degrau.</p><p>Para sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT), conhecendo a resposta em degrau, é possível calcular a resposta a qualquer entrada aplicada ao</p><p>sistema. A condição inicial geralmente é adotada com o sistema em repouso.</p><p>Dentre as especificações mais comuns, tem-se:</p><p>Tempo de atraso (td): tempo necessário para que a resposta à determinada entrada aplicada ao sistema alcance cerca da metade do seu valor</p><p>final pela primeira vez. Cabe destacar que a saída não necessariamente fica dentro do limite do erro nesse primeiro instante.</p><p>Tempo de subida (tr): tempo necessário para que a resposta se encontre na faixa de 10% a 90% (em alguns casos, podendo ser de 5% a 95%</p><p>ou de 0% a 100%) do valor final. Para sistemas de segunda ordem subamortecidos, toma-se como referência a faixa de 0% a 100% do valor</p><p>final. Para sistemas superamortecidos, assume-se geralmente uma faixa de 10% a 90%.</p><p>Tempo de pico (tp): tempo necessário para que a resposta atinja o primeiro pico. É possível especificar esses parâmetros tomando como</p><p>referência o coeficiente de acomodação e a frequência natural do sistema:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando a magnitude da resposta, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Máximo pico ou máximo overshoot (Mp): valor máximo de pico da curva de resposta. Em alguns casos, utiliza-se a mensuração do máximo pico</p><p>como porcentagem do valor em que este ultrapassa à resposta em regime. Esse parâmetro pode ser estimado a partir do valor de regime (valor</p><p>final) e do valor máximo da resposta:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é o valor máximo da resposta e</p><p>, o valor em regime permanente. Este valor também pode ser estimado pelo coeficiente de amortecimento:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Tempo de acomodação (de assentamento ou settling time): tempo necessário para que a resposta permaneça com valores dentro da faixa de</p><p>tolerância</p><p>Tp =</p><p>π</p><p>ωn√(1 − ζ2)</p><p>y(t) = 1 + e</p><p>ζπ</p><p>√(1−ζ2)</p><p>Mp = × 100%</p><p>C (tp) − C(∞)</p><p>C(∞)</p><p>C (tp)</p><p>C(∞)</p><p>Mp = e</p><p>−</p><p>× 100%</p><p>ζπ</p><p>√(1−ζ2)</p><p>em torno do valor final. Pode ser estimado por meio do coeficiente de acomodação e da frequência natural do sistema:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Todos os parâmetros podem ser observados na curva da imagem:</p><p>Resposta de um sistema de segunda ordem a uma entrada em degrau.</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>Sistemas de primeira ordem versus segunda ordem</p><p>Variáveis do sistema</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>(±2% ou ± 5%)</p><p>Ts ≅</p><p>4</p><p>ζ ⋅ ωn</p><p>MÓDULO 3</p><p> Analisar a solução das equações de estado por meio da transformada de Laplace</p><p>SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR LAPLACE</p><p>RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR MEIO DA</p><p>TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>Considere a estrutura básica das equações de estado:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando a transformada de Laplace a esse sistema, pode-se obter:</p><p>ẋ = Ax + Bu</p><p>y = Cx + Du</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>A utilização da matriz identidade permite estabelecer uma relação algébrica entre as matrizes de estado. Para tal, deve-se multiplicar o vetor de</p><p>estado</p><p>pela matriz identidade</p><p>com dimensões</p><p>compatíveis com os vetores e a matriz.</p><p>Assim, pode-se combinar os termos em</p><p>da seguinte maneira:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Isolando o termo</p><p>, pode-se reescrever:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é a matriz inversa de</p><p>. A matriz inversa pode ser representada por:</p><p>sX(s) − x(0) = AX(s) + BU(s)</p><p>X(s)</p><p>(I)</p><p>n × n</p><p>X(s)</p><p>(sI − A)X(s) = x(0) + BU(s)</p><p>X(s)</p><p>X(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1BU(s)</p><p>(sI − A)−1</p><p>(sI − A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é a matriz adjunta de</p><p>. Dessa forma, pode-se simplificar a equação anterior para:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira similar, aplicando a transformada de Laplace na equação de saída, pode-se obter:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO POR MEIO DA TRANSFORMADA DE</p><p>LAPLACE</p><p>Confira o exemplo a seguir:</p><p>EXEMPLO</p><p>Dado o sistema de equações no espaço de estados a seguir (representativo de um sistema físico genérico), resolva a equação de espaço de estados</p><p>precedente e obtenha a saída para uma entrada do tipo exponencial.</p><p>(sI − A)−1 =</p><p>adj(sI − A)</p><p>det(sI − A)</p><p>adj(sI − A)</p><p>(sI − A)</p><p>X(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1BU(s)</p><p>X(s) = [x(0) + BU(s)]</p><p>adj(sI − A)</p><p>det(sI − A)</p><p>Y (s) = CX(s) + DU(s)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considere que a condição inicial seja definida pelo vetor:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Para resolver essa questão, deve-se primeiramente determinar as partes componentes da representação geral no espaço de estados. Sendo assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível notar que a matriz de alimentação direta (D) é nula. Logo, não há relação direta entre a entrada e a saída. Em seguida, deve-se fazer as</p><p>respectivas substituições que permitam a determinação das partes que compõem o vetor de estados:</p><p>ẋ =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>−24 −26 −9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>x +</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>e−t</p><p>y = [ 1 1 0 ]x</p><p>x(0) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>A =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>−24 −26 −9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>B =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>C = [ 1 1 0 ]</p><p>u(t) = e−t</p><p>X(s) = [x(0) + BU(s)]</p><p>adj(sI − A)</p><p>det(sI − A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Conhecendo a matriz do sistema</p><p>, é possível definir as dimensões da matriz identidade</p><p>necessária:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplicando pelo operador de Laplace:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo na equação anterior:</p><p>(sI − A)</p><p>A(3 × 3)</p><p>(I)</p><p>I =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>sI =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s 0 0</p><p>0 s 0</p><p>0 0 s</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A DETERMINAÇÃO DA MATRIZ ADJUNTA</p><p>O cálculo da matriz adjunta de uma matriz</p><p>é feito considerando os seguintes passos:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Primeiramente, deve-se determinar a matriz com o determinante dos fatores menores:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplicam-se todos os elementos</p><p>por</p><p>para que seja possível obter a matriz dos cofatores. Dessa maneira, são invertidos os sinais daqueles termos cuja soma</p><p>produz um resultado ímpar:</p><p>(sI − A)</p><p>(sI − A) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s 0 0</p><p>0 s 0</p><p>0 0 s</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>−</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>−24 −26 −9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>(sI − A) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s −1 0</p><p>0 s −1</p><p>24 26 s + 9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>(2 × 2)</p><p>A = [ a b</p><p>c d</p><p>]</p><p>M = [</p><p>det(d) det(c)</p><p>det(b) det(a)</p><p>]</p><p>Mi,j</p><p>(−1)i+j</p><p>i + j</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, faz-se a transposição (matriz transposta) da matriz dos cofatores:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira resumida, invertem-se os elementos da diagonal principal e trocam-se os sinais dos elementos da diagonal secundária:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>DETERMINAÇÃO DA MATRIZ ADJUNTA PARA UMA MATRIZ</p><p>Para toda matriz na forma:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A matriz dos cofatores de A é definida por:</p><p>M = [</p><p>det(d) − det(c)</p><p>− det(b) det(a)</p><p>]</p><p>M = [</p><p>det(d) − det(b)</p><p>− det(c) det(a)</p><p>]</p><p>A = [ d −b</p><p>−c a</p><p>]</p><p>(3 × 3)</p><p>A =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>a b c</p><p>d e f</p><p>g h i</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A matriz adjunta é produzida por meio da transposição da matriz de cofatores (A):</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, para a matriz</p><p>, tem-se:</p><p>Cofatores (A) =</p><p>⎡</p><p>⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢</p><p>⎣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>e f</p><p>h i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>d f</p><p>g i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>d e</p><p>g h</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>b c</p><p>h i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a c</p><p>g i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a b</p><p>g h</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>b c</p><p>e f</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a c</p><p>d f</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a b</p><p>d e</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>⎤</p><p>⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥</p><p>⎦</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>e f</p><p>h i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>=  ao determinante da matriz</p><p>Δ = e ⋅ i − f ⋅ h</p><p>Adjunta (A) =</p><p>⎡</p><p>⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢</p><p>⎣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>e f</p><p>h i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>b c</p><p>h i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>b c</p><p>e f</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>d f</p><p>g i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a c</p><p>g i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a c</p><p>d f</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>d e</p><p>g h</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a b</p><p>g h</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>a b</p><p>d e</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>⎤</p><p>⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥</p><p>⎦</p><p>(sI − A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O determinante</p><p>da matriz</p><p>é definido por:</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s −1 0</p><p>0 s −1</p><p>24 26 s + 9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>Adjunta ((sI − A)) =</p><p>⎡</p><p>⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢</p><p>⎣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s −1</p><p>26 s + 9</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−1 0</p><p>26 s + 9</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−1 0</p><p>s −1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>0 −1</p><p>24 s + 9</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s 0</p><p>24 s + 9</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s 0</p><p>0 −1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>0 s</p><p>24 26</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>−</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s −1</p><p>24 26</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>+</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s −1</p><p>0 s</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>⎤</p><p>⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥</p><p>⎦</p><p>Adjunta ((sI − A)) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s2 + 9s + 26 s + 9 1</p><p>−24 s2 + 9s s</p><p>−24s − (26s + 24) s2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>(Δ)</p><p>(SI − A)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, determina-se</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a entrada do sistema é exponencial</p><p>e a transformada de Laplace da entrada é</p><p>, pode-se fazer:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sabendo que:</p><p>(sI − A) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s −1 0</p><p>0 s −1</p><p>24 26 s + 9</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>Δ =</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s −1 0</p><p>0 s −1</p><p>24 26 s + 9</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>s −1</p><p>0 s</p><p>24 26</p><p>Δ = s2 (s + 9) + 24 + 26s</p><p>Δ = s3 + 9s2 + 26s + 24</p><p>(sI − A)−1 :</p><p>l(sI − A)−1 =</p><p>(sI − A)−1 =</p><p>adjunta (A)</p><p>Δ</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s2 + 9s + 26 s + 9 1</p><p>−24 s2 + 9s s</p><p>−24s − (26s + 24) s2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>s3 + 9s2 + 26s + 24</p><p>(u(t) = e−t)</p><p>(U(s) = )1</p><p>(s + 1)</p><p>X(s) = (sI − A)−1[x(0) + BU(s)]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>B =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>x(0) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>U(s) =</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>X(s) =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>+</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>s2 + 9s + 26 s + 9 1</p><p>−24 s2 + 9s s</p><p>−24s −(26s + 24) s2</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>s3 + 9s2 + 26s + 24</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>X1(s) =</p><p>X2(s) =</p><p>X3(s) =</p><p>(s3 + 10s2 + 37s + 29)</p><p>(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)</p><p>(2s2 − 21s − 24)</p><p>(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)</p><p>s (2s2 − 21s − 24)</p><p>(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)</p><p>Para a equação de saída, define-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Vale destacar que a função de transferência também pode ser definida pela equação:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Utilizando o método das frações parciais, pode-se definir que:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Y (s) = [ 1 1 0 ]</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>X1(s)</p><p>X2(s)</p><p>X3(s)</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>= X1(s) + X2(s)</p><p>Y (s) =</p><p>(s3 + 12s2 + 16s + 5)</p><p>(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)</p><p>H(s) = = C(sI − A)−1B + D</p><p>Y (s)</p><p>U(s)</p><p>Y (s) = [C(sI − A)−1B + D]U(s)</p><p>= + + +</p><p>Y (s) = + −</p><p>(s3 + 12s2 + 16s + 5)</p><p>(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)</p><p>A</p><p>(s + 1)</p><p>B</p><p>(s + 2)</p><p>C</p><p>(s + 3)</p><p>D</p><p>(s + 4)</p><p>−6, 5</p><p>s + 2</p><p>19</p><p>s + 3</p><p>11, 5</p><p>s + 4</p><p>Aplicando a transformada inversa de Laplace:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>Embora, na função original, deva-se produzir quatro frações parciais, um polo do sistema foi responsável pelo cancelamento de um zero do sistema</p><p>(superposições entre polos e zeros provocam os seus respectivos cancelamentos).</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>Qual é a importância de se resolver uma equação de estado no domínio de Laplace?</p><p>A transformada de Laplace</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>y(t) = −6, 5e−2t + 19e−3t − 11, 5e−4t</p><p>MÓDULO 4</p><p> Analisar a solução das equações de estado no domínio do tempo</p><p>SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NO DOMÍNIO DO TEMPO</p><p>RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO NO DOMÍNIO DO TEMPO</p><p>Em uma primeira análise, é fundamental considerar que a equação de estado é homogênea na forma:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O objetivo é calcular o vetor de variáveis de estado</p><p>Uma das soluções envolve o desenvolvimento por séries de maneira similar ao processo matemático utilizado na resolução das equações diferenciais</p><p>escalares.</p><p>ẋ(t) = Ax(t)</p><p>x.</p><p>EXPANSÃO EM SÉRIES</p><p>A EXPANSÃO EM SÉRIES É UMA METODOLOGIA MATEMÁTICA QUE PERMITE</p><p>DETERMINAR O VALOR DE UMA FUNÇÃO QUANDO ESTA NÃO PODE SER EXPRESSA</p><p>SIMPLESMENTE POR MEIO DAS QUATRO OPERAÇÕES MATEMÁTICAS</p><p>FUNDAMENTAIS (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO).</p><p>As séries, denominadas séries resultantes, são frequentemente limitadas por um número finito de termos e produz uma aproximação da função</p><p>(dentro de um erro considerado razoável para determinada quantidade de termos).</p><p>Entre os tipos de séries existentes, podem ser destacados:</p><p></p><p></p><p>SÉRIE DE TAYLOR:</p><p>Consiste em uma</p><p>série de potências baseada em derivadas de uma função em um simples ponto.</p><p></p><p></p><p>SÉRIE DE MACLAURIN:</p><p>Um caso especial de uma série de Taylor com centro em zero.</p><p></p><p></p><p>SÉRIE DE LAURENT:</p><p>Uma extensão da série de Taylor que permite valores com expoentes negativos.</p><p></p><p></p><p>SÉRIE DE DIRICHLET:</p><p>Extensamente usada na teoria dos números.</p><p></p><p></p><p>SÉRIE DE FOURIER:</p><p>Utilizada para descrever funções periódicas como uma série de funções senos e cossenos.</p><p></p><p></p><p>POLINÔMIO DE LEGENDRE:</p><p>Utilizada na física para relacionar os campos elétricos com os dipolos, os quadrupolos etc.</p><p></p><p></p><p>POLINÔMIO DE ZERNIKE:</p><p>Muito empregado em sistemas ópticos.</p><p>Com isso, é possível perceber que as séries representam uma função em particular por meio do somatório de potências em uma variável ou por</p><p>intermédio do somatório de potências de outras funções. Um exemplo de série de potências pode ser visto a seguir:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> SAIBA MAIS</p><p>Vale destacar que, quanto menos termos forem utilizados na sequência, mais simples será a aproximação. Entretanto, é possível perceber que a</p><p>redução na quantidade de termos (e sua simplificação matemática) também contribuirá para um aumento na imprecisão (isto é, um aumento no erro).</p><p>Sendo assim, pode-se reescrever o vetor de variáveis de estado como uma série de potências:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo essa série na equação de espaço de estados, tem-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir da série do vetor de estados, é possível determinar a derivada do mesmo</p><p>.</p><p>RELEMBRANDO O CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO</p><p>A derivada de uma função pode ser calculada de diferentes maneiras: por meio dos limites da função ou pelas regras de derivação.</p><p>DERIVADA PELOS LIMITES DA FUNÇÃO</p><p>DERIVADA PELAS REGRAS DE DERIVAÇÃO</p><p>Como a derivada consiste na inclinação da reta tangente à uma função, ela corresponde à taxa de variação da mesma. Dessa forma, a formulação da</p><p>derivada pode ser escrita como:</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>cn(x − a)n = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + ⋯</p><p>x(t) = b0 + b1t + b2t</p><p>2 + ⋯ + bkt</p><p>k + bk+1t</p><p>k+1 + ⋯</p><p>ẋ(t) = Ax(t)</p><p>ẋ(t) = A (b0 + b1t + b2t</p><p>2 + ⋯ + bkt</p><p>k + bk+1t</p><p>k+1 + ⋯)</p><p>(ẋ(t))</p><p>( )d(f(x))</p><p>dx</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim,</p><p>é a derivada da função</p><p>. Por isso, diz-se que a função</p><p>é derivável no ponto</p><p>As regras de derivação são aplicáveis em funções deriváveis. Sendo assim, sendo</p><p>um número real qualquer, valem as propriedades:</p><p>se</p><p>, então</p><p>se</p><p>, então</p><p>se</p><p>, então</p><p>, sendo a uma constante</p><p>Clique na aba a seguir e confira um exemplo prático:</p><p>f ′(x) = lim</p><p>x→p</p><p>f(x) − f(p)</p><p>x − p</p><p>f ′(x)</p><p>f(x)</p><p>f(x)</p><p>p.</p><p>a</p><p>f(x) = a</p><p>f ′(x) = 0</p><p>f(x) = ax</p><p>f ′(x) = a</p><p>f(x) = xa</p><p>f ′(x) = a ⋅ xa−1</p><p>[f(x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x)</p><p>[ a. f(x)]′ = a ⋅ f ′(x)</p><p>[f(x) ⋅ g(x)]′ = f ′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)</p><p>[ ]</p><p>′</p><p>=</p><p>f(x)</p><p>g(x)</p><p>f ′(x) ⋅ g(x) − f(x) ⋅ g′(x)</p><p>[g(x)]2</p><p>EXEMPLO</p><p>Determine a derivada da função:</p><p>.</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>Observando as regras das derivadas citadas, podese aplicar a propriedade III, obtendo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, aplicando a definição, a derivada do vetor das varáveis de estado é definida por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Igualando as duas séries, é possível determinar o valor de cada parâmetro da seguinte maneira:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo assim, cada termo pode ser definido como:</p><p>f(x) = x3</p><p>f(x) = x3, então  f '(x) = 3 ⋅ x3−1</p><p>f '(x)= 3 ⋅ x2</p><p>ẋ(t) = b1 + 2b2t + ⋯ + kbkt</p><p>k−1 + (k + 1)bk+1t</p><p>k + ⋯</p><p>ẋ(t) = A (b0 + b1t + b2t</p><p>2 + ⋯ + bkt</p><p>k + bk+1t</p><p>k+1 + ⋯)</p><p>ẋ(t) = b1 + 2b2t + ⋯ + kbkt</p><p>k−1 + (k + 1)bk+1t</p><p>k + ⋯</p><p>b1 + 2b2t + ⋯ + kbkt</p><p>k−1 + (k + 1)bk+1t</p><p>k + ⋯</p><p>= A (b0 + b1t + b2t</p><p>2 + ⋯ + bkt</p><p>k + bk+1t</p><p>k+1 + ⋯)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa maneira, o vetor de estados pode ser escrito apenas em função de</p><p>da seguinte forma:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O uso da matriz inversa</p><p>permite isolar o termo</p><p>da equação da seguinte maneira:</p><p>b1 = Ab0</p><p>2b2t = Ab1t</p><p>b2 = Ab1 = b2 = AAb0 = b2 = A2b0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>⋮</p><p>bk = Akb0</p><p>bk+1 = Ak+1b0</p><p>1</p><p>k!</p><p>1</p><p>(k + 1)!</p><p>⋮</p><p>b0</p><p>x(t) = b0 + Ab0t + A2b0t</p><p>2 + ⋯ + Akb0t</p><p>k + Ak+1b0t</p><p>k+1 + ⋯</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>k!</p><p>1</p><p>(k + 1)!</p><p>(I)</p><p>b0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Entretanto, a partir da equação:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O valor inicial</p><p>para o vetor de estados pode ser dado por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Portanto, é possível reescrever a série que define o vetor de estados como uma função da condição inicial do vetor de estados da seguinte maneira:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Definida entre parênteses, essa expressão indica uma matriz de dimensões $n \times n$ denominada matriz exponencial.</p><p>MATRIZ EXPONENCIAL</p><p>x(t) = (I + At + A2t2 + ⋯ + Aktk + Ak+1tk+1 + ⋯) b0</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>k!</p><p>1</p><p>(k + 1)!</p><p>x(t) = b0 + b1t + b2t</p><p>2 + ⋯ + bkt</p><p>k + bk+1t</p><p>k+1 + ⋯</p><p>(t = 0)</p><p>x(0) = b0 + b1 ⋅ 0 + b2 ⋅ 02 + ⋯ + bk ⋅ 0k + bk+1 ⋅ 0k+1 + ⋯</p><p>x(0) = b0</p><p>x(t) = (I + At + A2t2 + ⋯ + Aktk + Ak+1tk+1 + ⋯)× (0)</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>k!</p><p>1</p><p>(k + 1)!</p><p>A matriz exponencial apresenta grande importância na análise do espaço de estados devido às suas propriedades.</p><p>Por exemplo, é possível provar que a matriz exponencial de uma matriz A com dimensões</p><p>pode ser definida por meio da expansão em séries de Taylor:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira resumida:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível observar que a série converge de forma absoluta para todo instante</p><p>finito. Por essa convergência, a série anterior pode ser derivada termo a termo, produzindo:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como:</p><p>n × n</p><p>ex = 1 + + + + ⋯ , −∞</p><p>A2t2 + ⋯ + Aktk + Ak+1tk+1 + ⋯)x(0)</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>k!</p><p>1</p><p>(k + 1)!</p><p>(I + At + + ⋯ + + ⋯) = eAt</p><p>A2t2</p><p>2!</p><p>Ak−1tk−1</p><p>(k − 1)!</p><p>x(t) = eAtx(0)</p><p>eAt = Φ(t)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é uma matriz</p><p>e a solução única de:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>No instante</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Isso pode ser verificado, observando que:</p><p>E:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por meio das propriedades apresentadas, é possível notar que:</p><p>x(t) = Φ(t)x(0)</p><p>Φ(t)</p><p>n × n</p><p>Φ̇(t)AΦ(t)</p><p>t = 0 :</p><p>Φ(0) = I</p><p>x(0) = Φ(0)x(0) = Ix(0)</p><p>ẋ(t) = Φ(t)x(0) = AΦ(t)x(0) = Ax(t)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Da demonstração:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível observar que a solução da equação:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo a expressão acima apenas uma transformação da condição inicial. Por esse motivo, a matriz única</p><p>é chamada de matriz de transição de estado, que contém toda a informação sobre movimentos livres do sistema definido pela equação anterior.</p><p>Sendo assim, considere a equação de estados não homogênea descrita por:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que</p><p>é um vetor</p><p>dimensional;</p><p>, uma matriz constante</p><p>Φ(t) = eAt</p><p>Φ−1(t) = e−At = Φ(−1)</p><p>x(t) = Φ(t)x(0)</p><p>ẋ(t) = Ax(t)</p><p>Φ(t)</p><p>ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)</p><p>x(t)</p><p>n</p><p>A</p><p>n × n;u</p><p>, um vetor</p><p>dimensional; e</p><p>, uma matriz constante</p><p>. Assim, pode-se escrever:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplicando os dois lados da equação por</p><p>, obtém-se:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Integrando a equação anterior no intervalo entre</p><p>e</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Que pode ser reescrito como:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo:</p><p>r</p><p>B</p><p>n × r</p><p>ẋ(t) − Ax(t) = Bu(t)</p><p>e−At</p><p>e−At[ẋ(t) − Ax(t)] = = e−AtBu(t)</p><p>d [e−Atx(t)]</p><p>dt</p><p>0</p><p>t :</p><p>e−Atx(t) = x(0) + ∫</p><p>t</p><p>0</p><p>e−AτBu(τ)dτ</p><p>x(t) = eAtx(0) + ∫</p><p>t</p><p>0</p><p>eA(t−τ)Bu(τ)dτ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A integral da equação anterior é chamada de integral de convolução.</p><p>Por meio da equação anterior, é possível observar claramente que</p><p>é a soma de um termo dependente da transição do estado inicial e um proveniente do vetor da entrada. Esse termo, que depende do estado inicial, e</p><p>não da entrada do sistema, é chamado de resposta à entrada zero.</p><p>Por outro lado, o segundo termo não depende do vetor do estado inicial e é chamado de resposta no estado zero, uma vez que corresponderá à</p><p>resposta total do sistema se o vetor do estado inicial for nulo</p><p>. Considerando que o instante inicial é</p><p>, então a solução fica na forma geral:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira similar, a transformada de Laplace da resposta de sistema não forçado é a transformada de:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Desse modo, o termo</p><p>é a transformada de Laplace da matriz de transição de estados</p><p>Φ(t) = eAt</p><p>x(t) = Φ(t)x(0) + ∫</p><p>t</p><p>0</p><p>Φ(t − τ)Bu(τ)dτ</p><p>x(t)</p><p>(x(0) = 0)</p><p>t0</p><p>x(t) = eA(t−t0)x (t0) + ∫</p><p>t</p><p>t0</p><p>eA(t−τ)Bu(τ)dτ</p><p>L[x(t)] = L[Φ(t)x(0)] = (sI − A)−1x(0)</p><p>(sI − A)−1</p><p>Φ(t)</p><p>. Como já vimos, o termo</p><p>é um polinômio em</p><p>cujas raízes são os polos do sistema. Então:</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em que cada termo de</p><p>deve ser a soma de exponenciais geradas pelos polos do sistema.</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>Qual é a importância de se resolver uma equação de estado no domínio do tempo?</p><p>Expansão em séries</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Neste conteúdo, discutimos a dinâmica de processos físicos e seu comportamento com as variações na entrada (que podem ser referentes a</p><p>variações na alimentação do processo, na carga ou em outros parâmetros). Para isso, apresentamos as principais entradas utilizadas nos processos</p><p>industriais, como rampa, degrau, impulso, senoidal e parabólica.</p><p>(sI − A)−1</p><p>s</p><p>L−1 [(sI − A)−1] = L−1 [ ] = Φ(t)</p><p>adj(sI − A)</p><p>det(sI − A)</p><p>Φ(t)</p><p>CONCLUSÃO</p><p>Também discutimos a diferença entre sistemas de primeira ordem e de segunda ordem, com especial destaque para o comportamento dos sistemas</p><p>de segunda ordem em relação a seus parâmetros, como o coeficiente de amortecimento e a frequência natural. Desse modo, destacamos a influência</p><p>que esses dois elementos exercem sobre a saída e o comportamento do sistema.</p><p>Debatemos ainda a transição do processo do regime transitório para o estacionário, pontuando que o transitório representa a reação de um sistema</p><p>às variações que este sofre em sua entrada na tentativa de se adaptar àquelas novas condições apresentadas. Já o permanente retrata a condição de</p><p>estabilidade, podendo apresentar um erro estacionário referente à diferença que existe entre o valor desejado para a saída – e que depende dos</p><p>parâmetros do sistema e da entrada colocada – e o valor real da variável.</p><p>Destacamos, em seguida, as influências que as mudanças nesses parâmetros exercem sobre o comportamento da resposta do sistema, influenciando</p><p>seu tempo de resposta, entre outros, no pico máximo e no tempo de assentamento. Também apresentamos a resolução de sistemas no domínio da</p><p>frequência por meio da utilização da transformada de Laplace, destacando sua importância devido à simplicidade matemática que a representação da</p><p>função de transferência nesse domínio apresenta para a análise do sistema.</p><p>Alguns assuntos, como a matriz identidade, a adjunta e a de cofatores, foram abordados com o intuito de que você relembrasse esses pontos</p><p>fundamentais para a obtenção da função de transferência a partir das equações de espaço de estado. Ainda discutimos a transformada inversa de</p><p>Laplace não apenas na representação de sistemas de primeira e de segunda ordem, mas também na resolução dos sistemas no domínio da</p><p>frequência.</p><p>Por fim, abordamos a resolução das equações de espaço de estado no domínio do tempo. Para isso, destacamos ferramentas, como, por exemplo, a</p><p>convolução, a matriz exponencial e os operadores, como integral e derivada.</p><p> PODCAST</p><p>Confira o conteúdo preparado especialmente para enriquecer o seu conhecimento!</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.</p><p>DANTAS, A. A. M. Modelagem e análise de sistemas dinâmicos: material didático. Natal: DCA/UFRN, 2003.</p><p>DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.</p><p>FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. Porto Alegre: McGraw-Hill Education, 2017.</p><p>NISE, N. S.; DA SILVA, F. R. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.</p><p>OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.</p><p>EXPLORE+</p><p>Para conhecer detalhes e considerações de projetos de sistemas, pesquise sobre o assunto nos livros Engenharia de controle moderno, de</p><p>Katsuhiko Ogata, e Engenharia de sistemas de controle, de Norman S. Nise.</p><p>Nessas referências, é possível observar alguns critérios práticos de ajustes de parâmetros dos sistemas para modificar seu comportamento:</p><p>modificações necessárias no coeficiente de amortecimento e na frequência com o objetivo de melhorar a resposta transitória, assim como aumento ou</p><p>diminuição do</p><p>pico máximo ou aumento/redução do tempo de assentamento.</p><p>Também é possível aprender como determinar os parâmetros da resposta do sistema a partir de suas características, como, por exemplo, a</p><p>determinação do tempo de subida ou do tempo de pico a partir do coeficiente de amortecimento e da frequência do sistema, assim como o máximo</p><p>overshoot e o tempo de acomodação.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Raphael de Souza dos Santos</p>