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Matemática Aplicada 1 de 10
Funções
Para os babilônios, por volta de 2000 a.C., ideia de
função já estava presente em algumas tabelas, onde na
primeira coluna eram colocados alguns números e na se-
gunda coluna o produto desses números por algum valor
constante.
Podemos considerar o conceito de função, nome dado
pelo matemático alemão Leibniz, como um dos mais im-
portantes da matemática. Ele está presente quando re-
lacionamos duas grandezas variáveis. É muito comum
representarmos fenômenos físicos, biológicos, sociais, en-
tre outros, por meio de funções. No cotidiano, podemos
citar como exemplos de funções:
• O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do
espaço percorrido;
• A área de um quadrado é função da medida do seu
lado;
• A distância percorrida a uma velocidade constante
é função do tempo.
Como podemos observar há uma variável que depende
da outra. Assim, a distância percorrida vai depender do
tempo.
Para de�nirmos funções, vamos ver como foi a pri-
meira de�nição dada pelo matemático alemão Dirichlet.
De�nição 1. Uma variável y se diz função de uma va-
riável x se, para todo valor atribuído a x, corresponde,
por alguma lei ou regra, um único valor de y. Nesse
caso, x denomina-se variável independente e y, a va-
riável dependente.
Exemplo:
1. Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações
entre variáveis. Em cada caso, identi�que a variável in-
dependente e a dependente.
a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e
a quantia a ser paga.
b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da
chamada.
2. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui
uma parcela �xa de R$ 6,00 ,denominada bandeirada
mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado.
Determine:
a) A função que representa o preço P de uma corrida
em função de x quilômetros rodados.
b) O preço de uma corrida de 12 km.
c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou
R$ 96,00 pela corrida.
1 De�nição de função por meio de
conjuntos
Agora vamos usar um conceito mais moderno, par-
tindo da teoria de conjuntos, podemos de�nir uma fun-
ção como:
De�nição 2 (Função). Dados os conjunto X e Y , uma
função f : X → Y (lê-se: uma função de X em Y ) é
uma regra que determina como associar a cada elemento
x ∈ X um único y = f(x) ∈ Y
Assim temos:
Figura 1: Uma função de A para B (f : A→ B)
Podemos usar a seguinte notação para a lei de associ-
ação que de�ne uma função:
y = x+ 5 ou f(x) = x+ 5
1.1 Domínio, Imagem e Contra-Domínio de
uma Função
Seja a função f : A→ B, dizemos que o conjunto A é o
domínio da função, B é o contra-domínio e os elementos
onde y = f(x) são a imagem da função, ou seja, são os
elementos de B que se relacionam com os de A.
Figura 2: Domínio, contra-domínio e imagem de uma
(f : A→ B)
Vale ressaltar que para ser função é necessário que
todos os elementos do conjunto A devem estar �ligados�
a somente um elemento em B.
Exemplos:
3. Dados A = {−3,−2, 0, 3} e B = {−1, 0, 1, 2, 4, 5, 7}
e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x
pertencendo a A e y pertencendo a B.
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a) Faça o diagrama e veri�que se f é uma função de A
em B.
b) Se for uma função de A em B, determine o domínio,
a imagem e o contra-domínio de f .
4. Seja a função f : R → R de�nida por f(x) =
x2 − 7x+ 9. Determine:
a) O valor de f(−1).
5. Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a.
Sabendo que f(2)− g(1) = 3, calcule o valor de a.
1.1.1 Domínio de uma Função Real de Variável
Real
Quando trabalhamos com uma função, é importante
sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai
determinar os valores possíveis para a variável indepen-
dente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio
não vêm explicitados, devemos, então, considerar como
domínio o conjunto de todos os números reais que
podem ser colocados no lugar da variável independente
na fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um
número real, já, o contradomínio será os números reais.
São exemplos onde nem todos os números reais podem
ser usados: quando pode ocorrer raiz quadrada de
número negativo ou divisão por zero.
Exemplos
6. Explicite o domínio das funções a seguir:
a) f(x) =
x+ 2
−2x+ 4
b) f(x) = x2 + 3
c) f(x) =
√
x2 + 1
d) f(x) =
√
x− 1
2 Função Sobrejetora, Função Inje-
tora e Função Bijetora
Algumas funções, f : A → B, apresentam algumas
características em relação ao seu domínio e imagem po-
dendo ser classi�cadas como:
2.1 Função injetora
Uma função f : A → B é injetiva (ou injetora)
quando elementos diferentes de A são transformados por
f em elementos diferentes de B, ou seja, não há elemento
em B que seja imagem de mais de um elemento de A.
x1 6= x2 em A⇒ f(x1) 6= f(x2) em B
(a) É uma função in-
jetora
(b) Não é uma função
injetora
Isso implica em dizer que caso f(x1) = f(x2), então
x1 = x2.
Exemplos:
7. Dados A = {0, 2, 3}, B = {1, 5, 7} e f : A → B
de�nida por y = 2x+ 1, essa função é injetora?
8. Considerando o exemplo anterior, só que nesse caso
com B = {1, 5, 7, 9}, essa função é injetora?
9. Dados A = {−5,−1, 1, 4, 5}, B = {1, 5, 7, 16, 25} e
f : A→ B de�nida por y = x2, essa função é injetora?
10. Classi�que em verdadeiro (V) ou falso (F) as sen-
tenças abaixo:
( ) A função f : R+ → R+ de�nida por y = x2 é inje-
tora.
( ) A função f : R→ R de�nida por y = x+1 é injetora
( ) A função f : R→ R de�nida por y = 3
√
x é injetora.
( ) A função f : R→ R de�nida por y = x2 é injetora.
2.2 Função Sobrejetora
Uma função f : A → B é sobrejetiva (ou sobreje-
tora) quando elementos y ∈ B , pode-se encontrar um
elemento x ∈ A tal que f(x) = y. Ou seja, f é sobreje-
tiva quando todo elemento de B é imagem de pelo menos
um elemento de A.
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(a) É uma função sobreje-
tora
(b) Não é uma função so-
brejetora
Assim temos que:
Im(f) = B ou Im(f) = CD
Exemplos:
11. A função f : R → R de�nida por f(x) = x + 2 é
sobrejetora?
12. A função f : R → R de�nida por y = x2 é
sobrejetora?
2.3 Função Bijetora
Uma função f : A→ B é bijetiva (ou bijetora) se ela
for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Quando isso
ocorre dizemos que há uma bijeção ou uma correspon-
dência biunívoca entre A e B.
Figura 3: Função bijetora
Observação: Uma função ser bijetora possuí inversa
(f−1(x)). Com isso, é possível calcular os valores de x,
partindo dos y calculados.
Exemplos:
13. Considere três funções f , g e h, tais que:
• A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua
idade.
• A função g atribui a cada país, a sua capital
• A função h atribui a cada número natural, o seu
dobro.
a) Quais são injetoras?
b) Quais são sobrejetoras?
c) Quais são bijetoras?
3 Função Par e Função Ímpar
3.1 Função Par
Seja uma função f : A → B, dizemos que ela é
uma função par quando para qualquer x ∈ A ocorre
f(x) = f(−x). Neste caso teremos uma função que o
seu grá�co será simétrico em relação ao eixo y. Assim,
podemos dizer que função aplicada em x e aplicada no
seu simétrico resultam no mesmo valor de y.
Exemplo:
14. A função f(x) = x2 é par?
3.2 Função Ímpar
Seja uma função f : A → B, dizemos que ela é uma
função ímpar quando para qualquer x ∈ A ocorre
f(x) = −f(−x). Assim, podemos dizer que f(x) = y,
então f do simétrico de x resultará em −y.
Exemplo:
15. A função f(x) = 3x é ímpar?
4 Função Crescente e Função Decres-
cente
4.1 Função Crescente
Uma função f é dita crescente quando para quaisquer
valores de x1 e x2, com x1 f(x2).
Exercícios:
1. (Unesp) Uma pessoaobesa, pesando num certo
momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam
perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos
que isso realmente ocorra. Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo,
P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.
b) Calcule o número mínimo de semanas completas que
a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá
com menos de 120 kg de peso.
2. (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em
graus centígrados usa-se a fórmula: C =
5(F − 32)
9
,onde
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F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de
graus centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahre-
nheit.
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o
número de graus Fahrenheit é o dobro do número de
graus centígrados?
3. (Fuvest) A função que representa o valor a ser
pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
4. (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é
de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa
se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida
linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do
número de semanas transcorridas desde o início do curso.
5. Dados os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B =
{−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, faça o diagrama das relações abaixo,
e diga, qual delas é uma função A em B.
a) R1 = {(x, y) ∈ AxB|y = x2 − 2}
b) R2 = {(x, y) ∈ AxB|y = 2x+ 1}
6. Calcular o domínio das funções:
a) f(x) = 3x+ 4
b) f(x) = x2 − 3x+ 6
c) y =
3x+ 9
x+ 4
d) f(x) =
2x+ 5
4x+ 8
+
5x− 7
x+ 3
e) f(x) =
√
3x− 6
7. Classi�que as funções em crescentes ou decrescentes.
a) f(x) = 2x
b) f(x) = −2x
c) f(x) = x2, com x ∈ R+
d) f(x) = x2, com x ∈ R−
8. Em que intervalos reais a função cujo o grá�co é
apresentado a seguir é crescente? E decrescente?
9. Os diagramas de �echas abaixo representam relações
binárias. Pede-se para cada relação binária:
I) diga se é ou não função;
II) em caso a�rmativo, veri�que se a função é sobreje-
tora, injetora ou bijetora.
10. Como resultado do aquecimento da Terra, algumas
geleiras estão derretendo. Doze anos depois do desapare-
cimento das geleiras, pequenas plantas chamadas líquens
começaram a crescer nas pedras. Cada líquen cresce de
forma mais ou menos circular. A relação entre o diâme-
tro desse circulo e a idade do líquen pode ser calculada,
aproximadamente, pela fórmula d = 7, 0.
√
t− 12, para
t ≥ 12. Nessa fórmula, d representa o diâmetro do líquen
em milímetros e t representa o número de anos passados
depois do desaparecimento das geleiras. O diâmetro do
líquen, em milímetros, 16 anos após o derretimento do
gelo será:
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5 Coordenadas Cartesianas
Foi René Descartes que trouxe a ideia do plano cartesi-
ano. Foi ele que formalizou o conceito de coordenada em
sua obra La Géométrie. Este conceito se tornou muito
importante na matemática, pois foi por meio dele que
Álgebra e Geometria foram conectados.
No plano cartesiano, indicaremos um par ordenado
como (a, b) ou simplesmente por (x, y). O plano car-
tesiano é composto por um sistema de eixos ortogonais,
Ox eOy, que são perpendiculares e tem a mesma origem
em O. Esses eixos ortogonais dividem o plano cartesiano
em quatro regiões, denominadas quadrantes.
(a) Figura contendo os
quadrantes
(b) Eixo das abcissas e eixo
das ordenadas
Como visto anteriormente, (a, b) são coordenadas
cartesianas, onde a é a abscissa e b é a ordenada.
Trabalharemos na sequência a forma de como cons-
truir o grá�co de algumas funções, mas antes disso vamos
de�nir o que é o grá�co de uma função f .
De�nição 3 (Grá�co de uma função). Dada uma função
f : R→ R, o seu grá�co é o conjunto formado por todos
os pares ordenados (x, y), para x ∈ R, y ∈ Re y = f(x),
ou seja,
G(f) = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R e y = f(x)}
Agora abordaremos algumas funções.
6 Função A�m
Algumas situações do cotidiano, como ir a padaria,
podemos observar a presença de conteúdos matemáticos.
Citaremos como exemplo o caso onde ao comprarmos al-
guns pães o valor a pagar será diretamente proporcional
a quantidade de pães comprados.
Assim podemos de�nir uma função a�m como:
De�nição 4 (Função a�m). Uma função f : R → R
chama-se função a�m quando existem dois números
reais a e b tal que f(x) = ax + b, com a 6= 0, para todo
x ∈ R.
Podemos citar como exemplo de função a�m:
• f(x) = 2x+ 1, (a = 2 e b = 1)
• f(x) = −x+ 4, (a = −1 e b = 4)
• 1
3
+ 5, (a =
1
3
e b = 5)
6.1 Valor de uma função a�m
O valor de uma função a�m f(x) = ax + b para
x = x0 é dado por f(x0) = ax0 + b.
Observação: Em uma função a�m f(x) = ax + b, o
número b = f(0) chama-se valor inicial da função f .
Exemplos:
16. Dada a função f(x) = 3x + 1 e g(x) =
1
3
x +
1
2
,
calcule os seus valor para:
a) x0 = 3
b) x0 =
1
2
c) x0 = −2
d) x0 = −
1
3
17. Considere as funções a�ns a seguir e calcule o seu
valor inicial e a f(1).
a) f(x) = 3x+
2
3
b) g(x) = 2x+
3
4
6.2 Propriedade
Uma função a�m, (f(x) = ax+ b), é crescente quando
a é positivo e decrescente quando a é negativo.
6.3 Grá�co da função a�m f(x) = ax+ b
Para traçarmos o grá�co de uma função a�m é ne-
cessário determinar apenas dois pontos por onde ela irá
passar. Isso se deve ao fato de seu grá�co ser uma reta
e por dois pontos passa uma única reta.
O número a é chamado de coe�ciente angular da
reta em relação ao eixo horizontal Ox.
O número b chama-se valor inicial da função f ou
coe�ciente linear dessa reta.
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6.4 Traçado de grá�cos de funções a�ns
Como mencionado anteriormente, o grá�co da função
a�m é uma reta. Assim, basta determinarmos dois pon-
tos distintos da função e traçarmos uma reta.
Vamos considerar como exemplo a função
f(x) = 3x + 2. Para determinar os dois pontos
vamos atribuir valores pra x, onde irá retornar os
valores de y.
x f(x)
0
1
Nesse caso a = 3, ou seja, a > 0, logo teremos uma
função crescente e a reta é ascendente.
Agora vamos considerar outro exemplo, onde
f(x) = −2x+ 1.
x f(x)
0
1
Nesse caso, temos a = −2, ou seja, ae tem coe�ciente angular a.
Assim, ao sabermos o coe�ciente angular e um ponto,
podemos determinar a equação da reta.
Exemplos:
19. Calcule a equação da reta que passa pelo ponto
(5,−2) e tem coe�ciente angular a = −3.
20. Determine a equação da reta que:
a) Passa pelo ponto A(4, 6) e tem coe�ciente angular
a = 3.
b) Passa pelo ponto B(−4, 0) e tem coe�ciente angular
a = −2.
c) Passa pelos ponto D(0, 4) e E(−2,−6).
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7 Zero da função a�m
O valor x para o qual a função f(x) = ax+b se anula,
ou seja, para o qual f(x) = 0, denomina-se zero da
função a�m. Para determinar o zero de uma função
a�m basta resolver a equação ax+ b = 0.
A interpretação geométrica do zero da função é o
ponto onde a função corta o eixo x.
Figura 4: Função a�m com zero em
5
2
No grá�co apresentado na �gura 4, o zero da função
é igual a
5
2
.
Exemplos:
21. Calcule o zero da função f(x) = 2x+ 5.
22. Calcule o zero da função f(x) = 2x− 4 e construa
o seu grá�co.
8 Estudo do sinal da função a�m
Tomaremos como exemplo a seguinte situação:
Um comerciante gastou R$300, 00 na compra de um
lote de maçãs. Como cada maçã será vendida a R$2, 00,
Quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro
no �m da venda?
Estudando o sinal:
Exemplo:
23. Determine os valores reais de x tais que f(x) =
−2x+ 5 seja:
a) Negativa.
b) Positiva.
c) Igual a zero.
Exercícios:
15. Calcule os pontos onde a reta corta os eixos x e y.
a) f(x) = x− 5
b) f(x) = −2x
c) f(x) = −x+ 4
d) f(x) =
1
2
− 1
16. Calcule os intervalos onde a função é positiva e
onde é negativa.
a) f(x) = x+ 4
b) f(x) = −2x+ 1
c) f(x) = 3x− 5
d) f(x) = −1 + 1
5
x
17. Qual é o zero da função a�m que o grá�co passa
pelos pontos (2, 5) e (−1, 6)?
9 Distância entre dois pontos
No plano cartesiano, podemos calcular a distância en-
tre dois pontos P1 e P2 de maneira simples.
Dados dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), a distância
entre eles é dada pela equação:
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (4)
Exemplo:
24. Calcule a distância entre os pontos A(1,−4) e
B(−3, 2).
Exercícios:
18. Dado o plano cartesiano a seguir, responda.
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a) Quais as coordenadas cartesianas de cada ponto do
plano cartesiano?
b) A distância entre os pontos A e B.
c) A distância entre os pontos C e E.
d) A distância entre os pontos F e D.
19. Marque os pontos X(−2, 2), Y (2, 2), Z(−2,−2)
e W (2,−2) em um sistema cartesiano ortogonal e de-
termine a área da região limitada pelo polígono XYWZ.
20. Demonstre que a distância de um ponto P (x, y) à
origem O(0, 0) é igual a
√
x2 + y2.
10 Análise grá�ca
10.1 Determinar se o grá�co é uma função
Como visto anteriormente, para que f : A → B seja
uma função, cada elemento x ∈ A deve corresponder a
um único y ∈ B. Ao fazermos essa análise de forma ge-
ométrica, percebemos que isso implica que ao traçarmos
retas perpendiculares ao eixo x, eles devem interceptar
o grá�co uma única vez.
(a) É função. (b) Não é função.
10.2 Domínio e Imagem
Também por meio da análise grá�ca é possível deter-
minar o domínio e a imagem de uma função. O domínio
é o eixo x (eixo das abscissas), já a imagem está no eixo
y (eixo das ordenadas).
Figura 5: Domínio e imagem de uma função
• Qual é o domínio e a imagem da função apresentada
na �gura 5?
10.3 Função Injetora
Também podemos fazer uma análise grá�ca para de-
terminar se a função é injetora.
Para uma função ser injetora, ao traçarmos linhas
horizontais, elas nunca intersectam o grá�co mais de
uma vez, conforme a �gura 6.
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Figura 6: Uma função injetora
10.4 Zeros de uma função
Gra�camente, os zeros de uma função, ou raízes, são
os ponto onde o grá�co intercepta o eixo das abscissas.
Veja na �gura 7, onde os pontos ____ e ____ são
as raízes da função ou seu zeros.
Figura 7: Raízes de uma função
10.5 Crescimento e Decrescimento
Como visto anteriormente, ao termos x1 f(x2)
• Constante: f(x1) = f(x2)
Na �gura 8 podemos visualizar a forma grá�ca para
os intervalos onde a f pode ser crescente, constante e
decrescente.
Figura 8: Função com intervalos de crescimento, decres-
cimento e constante
10.6 Valor máximo e valor mínimo de uma
função
Como o próprio nome diz, são os pontos onde a fun-
ção atinge os seu valor máximo e/ou mínimo. Assim,
teremos a imagem máxima e/ou mínima da função.
Figura 9: Ponto de máximo e ponto de mínimo de uma
função
Como é possível ver na �gura 9, no ponto (x1, f(x1))
temos um ponto de máximo. No ponto (x2, f(x2)) temos
um ponto mínimo.
Caso esses pontos sejam o máximo e mínimo de toda
a função dizemos que eles são pontos de máximo global e
mínimo global, ou ainda podemos dizer que são máximo
e mínimo absoluto. No entanto, se eles representam má-
ximo e mínimo dentro de um intervalo, dizemos que são
pontos de máximo e mínimo local.
• Uma função sempre tem um ponto de máximo e/ou
mínimo absoluto?
Exercícios:
21. Os grá�cos abaixo representam funções. Sem sim,
qual(is) são injetoras?
a)
b)
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c)
22. O grá�co a seguir representa a depreciação de uma
máquina, projetada para durar 8 anos.
Tendo como base a o grá�co apresentado a cima, res-
ponda:
a) Qual o domínio dessa função?
b) Qual a sua imagem?
c) Qual o seu ponto de máximo e mínimo?
d) Qual é o valor pago pela máquina quando foi com-
prada?
e) Qual a função que representa da depreciação sofrida
pela máquina?
23. (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses a letra (V) se a a�rmativa for verdadeira ou
(F) se for falsa.
O grá�co a seguir fornece o per�l do lucro de uma
empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano
zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o grá-
�co, podemos a�rmar que:
( ) 10 foi o único ano em que ela foi de�citária.
( ) 20 foi o ano de maior lucro.
( ) 25 foi um ano de�citário.
( ) 15 foi um ano de lucro.
( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da
fundação até o ano
24. (U�) O grá�co da função f está representado na
�gura:
Sobre a função f é FALSO a�rmar que:
a) f(1) + f(2) = f(3)
b) f(2) = f(7)
c) f(3) = 3f(1)
d) f(4)− f(3) = f(1)
e) f(2) + f(3) = f(5)
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