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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às melhores univer-
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concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plan-
tão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos 
estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixação da matéria 
dada em aula. 
Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio, buscando a con-
solidação do aprendizado. 
Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade. 
dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais vestibulares do 
Brasil. 
enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano, preparando o 
aluno para esse tipo de exame. 
objetivas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios de múltipla escolha das universidades 
públicas de São Paulo. 
dissertativas (unesp, Fuvest, uniCamp e uniFesp): exercícios dissertativos da segunda fase das 
universidades públicas de São Paulo 
uerj (exame de qualiFiCação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolidação do 
aprendizado para o vestibular da Uerj. 
uerj (exame disCursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do aprendizado para 
o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado receberão o encarte 
Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, a que conteúdo do livro teórico 
corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a diagnosticar em quais assuntos você encontra mais 
dificuldade. Essa é uma inovação do material didático. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande 
aliado para seu sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
4
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA 3
AULAS 27 E 28: FUNÇÃO COMPOSTA 4
AULAS 29 E 30: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 11
AULAS 31 E 32: EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES 20
AULAS 33 E 34: FUNÇÕES MODULARES 24
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA 35
AULAS 27 E 28: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 36
AULAS 29 E 30: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 40
AULAS 31 E 32: FATORIAL, PERMUTAÇÃO SIMPLES E PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO 50
AULAS 33 E 34: ARRANJOS 56
GEOMETRIA ESPACIAL 61
AULAS 27 E 28: VOLUME DE PRISMAS 62
AULAS 29 E 30: PIRÂMIDES E TRONCOS DE PIRÂMIDE 73
AULAS 31 E 32: CILINDROS 82
AULAS 33 E 34: CONES E TRONCOS DE CONE RETO 91
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
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ÁLGEBRA
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E.O. AprEndizAgEm
1. (UEPB) Dada f(x) = x2 + 2x + 5, o valor de f(f(–1)) é: 
a) –56.
b) 85.
c) –29.
d) 29.
e) –85.
2. (IFCE) Seja f: ] 1, +` [ ⊂ R→ R uma função dada 
por f(x) = x _____ x – 1 . A expressão da função composta 
g(x) = f(f(x + 1)) é:
a) g(x) = 1 _____ x – 1 .
b) g(x) = x _____ x – 1 .
c) g(x) = x + 1.
d) g(x) = x – 1.
e) g(x) = x + 1 _____ x – 1 .
3. (PUCRJ) Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x + 1. Então 
f(g(3)) – g(f(3)) é igual a: 
a) –1
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
4. (UERN) Sejam as funções f(x) = x – 3 e g(x) = x2 – 2x + 4. 
Para qual valor de x tem f(g(x)) = g(f(x))? 
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
5. (Espcex (Aman)) Sejam as funções reais f(x) = dXXXXXXX x2 + 4x 
e g(x) = x – 1. O domínio da função f(g(x)) é 
a) D = {x [ R | x ≤ –3 ou x ≥ 1}
b) D = {x [ R | –3 ≤ x ≤ 1}
c) D = {x [ R | x ≤ 1}
d) D = {x [ R | 0 ≤ x ≤ 4}
e) D = {x [ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4}
6. (UFSM) Os praticantes de exercícios físicos se preo-
cupam com o conforto dos calçados utilizados em cada 
modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em 
corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses cal-
çados é diferente em vários países, porém existe uma 
forma para converter essa numeração de acordo com 
os tamanhos. Assim, a função g(x) = x __ 6 converte a nu-
meração dos tênis fabricados no Brasil para a dos tênis 
fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 
converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados 
Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função 
h(x) que converte a numeração dos tênis brasileiros 
para a dos tênis coreanos é:
a) h(x) = 20 ___ 3 x + 
1 __ 6 .
b) h(x) = 2 __ 3 x + 1.
c) h(x) = 20 ___ 3 x + 1.
d) h(x) = 20x + 1 _______ 3 .
e) h(x) = 2x + 1 ______ 3 .
7. (IFCE) Sendo f(x) = 3x – a, onde a é um número real 
fixado, a expressão f(2a) – f(a – 1) é equivalente a:
a) 2a – 3.
b) 2a.
c) 3(a + 1).
d) 2a – 1.
e) 1 – a.
8. (UERN) Sejam as funções compostas f(g(x)) = 2x – 1 e 
g(f(x)) = 2x – 2. Sendo g(x) = x + 1, então f(5) + g(2) é:
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
9. (CFTCE) Se f (g(x)) = 5 x – 2 e f(x) = 5 x + 4, então g(x) 
é igual a:
a) x – 2.
b) x – 6.
c) x – 6 ___ 5 .
d) 5 x + 2.
e) 5 x – 2.
10. (UFU) Considere as funções polinomiais p(x) = x2 – 3x 
e q(x) = ax + b, onde a e b são números reais não nulos. 
 FUNÇÃO COMPOSTA
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
27 E 28
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Sabendo que 0 e –1 são raízes do polinômio h(x) = (poq)
(x), sendo que poq indica a composição das funções p e 
q, pode-se afirmar que a diferença b – a é igual a:
a) 6 c) −6
b) 0 d) −3
E.O. FixAçãO
1. (Mackenzie) O polinômio do 2º grau f(x) que verifica 
a identidade f(x + 1) = x2 - 7x + 6 é:
a) f(x) = x2 - 14 x + 9
b) f(x) = x2 + 9 x + 14
c) f(x) = x2 - 5 x
d) f(x) = x2 - 9 x + 14
e) f(x) = x2 - 7 x + 4
2. (Esc. Naval) Considere f e g funções reais de variável 
real definidas por, f(x) = 1 _______ 4x – 1 e g(x) = 2x
2. Qual é o 
domínio da função composta (f o g)(x)?
a) R
b) { x [ R | x ≠ – 1 ____ 2 dXX 2 , x ≠ 1 ____ 2 dXX 2 } 
c) { x [ R | x ≠ 1 __ 4 } 
d) { x [ R | x ≠ 1 __ 4 , x ≠ 1 ____ 2 dXX 2 } 
e) { x [ R | x ≠ – 1 __ 4 , x ≠ – 1 ____ 2 dXX 2 } 
3. (PUCRJ) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x2 – 1. Então a 
equação f(g(x)) – g(f(x)) = –2 tem duas soluções reais. O 
produto das duas soluções é igual a: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
4. (ESPM) A figura abaixo representa o gráfico cartesia-
no da função f (x).
Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f (f(p)) é: 
a) 1
b) 3 __ 2 
c) 3 __ 4 
d) 2
e) 5 __ 2 
5. (UFV) Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x – 2 
e f(g(x)) = x + 2, para todo x [ R, então g(f(2)) é igual a: 
a) 4.
b) 1.
c) 0.
d) 2.
e) 3.
6. (UFPR) Dadas as funções f: R → R e g: R → R 
definidas por f(x) = ax + b e g(x) = x2, considere as 
seguintes afirmativas:
I. (g o f)(1) = (a + b)2.
II. (f o g)(-x) = (f o g)(x), para qualquer x [ R.
III. (g o f)(x) = (f o g)(x), para qualquer x [ R.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
7. (UFPR) Considere a função f definida no conjunto dos 
números naturais pela expressão f(n + 2) = f(n) + 3, com 
n [ N, e pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. É correto afirmar 
que os valores de f(20) e f(41) são, respectivamente: 
a) 21 e 65.
b) 40 e 56.
c) 21 e 42.
d) 23 e 44.
e) 40 e 65.
8. (UFU) Sobre a função f : [0, 2] → R sabe-se que:
• f é injetora;
• (f o f) (0) = f (0);
• O gráfico de f está representado em uma das alter-
nativas a seguir.
Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico de f.
a) 
y
xO 2
b) y
xO 2
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c) y
xO 2
d) y
xO 1
9. (CFTMG) Define-se acomposição de funções f e g, 
pela equação (gof)(x) = g(f(x)), para todo valor x, cuja 
imagem pela função f esteja no domínio de g.
Dadas as funções reais
f(x) = 1 – x, se x ≥ 1
x – 1, se x < 1
 e g(x) = x2 + 2x + 1,
a composição de f e g para o ponto 2 vale 
a) 0 c) –1
b) 1 d) –2
10. (UEL)Seja h(x) = [f o g](x) · [g o f](x), onde 
f(x) = (x + 0,5)(x – 0,5) e g(x) = 1 _________ 
x2 + 0,25
 . Qual o valor 
de h(0,5)?
a) 15
b) 15 ___ 8 
c) 16
d) – 3 __ 4 
e) – 15 ___ 4 
E.O. COmplEmEntAr
1. (IME) Sejam as funções f: R → R, g: R → R, 
h: R → R. A alternativa que apresenta a condição neces-
sária para que se f(g(x)) = f(h(x)), então é g(x) = h(x) é:
a) f(x) = x
b) f(f(x)) = f(x)
c) f é bijetora 
d) f é sobrejetora 
e) f é injetora 
2. (Epcar (AFA)) Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3,} e 
a função f: A → A tal que f(3) = 1 e f(x) = x + 1, se x ≠ 3. 
A soma dos valores de x para os quais (f o f o f)(x) = 3 é:
a) 2 c) 4
b) 3 d) 5
3. (IFAL) Considere o gráfico da função y = f(x) represen-
tado por segmentos de reta:
I. ( ) f(4) = f(21).
II. ( ) f(f(f(0))) = f(2).
III. ( ) f(f(6)) = 2f(f(f(8))).
Podemos afirmar que 
a) somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras. 
b) somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras. 
c) somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras. 
d) todas as afirmativas são verdadeiras. 
e) todas as afirmativas são falsas. 
4. (FGV) Seja f uma função real tal que f ( x - 1 ______ x ) = x - 1, 
para todo x real não nulo.
Sendo 0 < θ < π __ 2 o valor de f(sen2θ) é:
a) sen2θ
b) cos2θ
c) tg2θ
d) sec2θ
e) cossec2θ
5. (CFTMG) Sendo f(x) = dXXXXXXXXXXX x2 + 2x + 1 definida em 
A = {x [ R | x ≥ –1} e g(x) = x2 definida em R+ o 
gráfico que representa a função(g o f)(x) é:
a) 
b) 
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d) 
E.O.dissErtAtivO
1. (UFU) Fixado um sistema de coordenadas cartesianas 
xOy, considere as funções reais de variável real 
y = f(x) = x2 + b · x + c e y = g(x) = k · x + 4, em que as 
constantes b, c, k são números reais.
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de 
vértice V = (1,1), determine todos os possíveis valores 
reais que k poderá assumir de maneira que a equação 
definida pela composição (g o f)(x) = 0 tenha raiz real. 
2. (UFPR) Considere as funções f e g, definidas por 
f(x) = x + 1 e g(x) = 2 · sen(x), com x real.
a) Esboce os gráficos de f e g.
 
 
b) Obtenha as expressões de f o g e g o f em função de 
x, e esboce o gráfico dessas duas funções compostas.
 
 
3. (CFTCE) Sendo g(f(x)) = 5x + 6 e g(x) = x + 3, determine f(x). 
4. (UFG) Considere as funções f(x) = mx +3 e g (x) = x2 – 2x +2, 
onde m [ R. Determine condições sobre m para que a 
equação f(g(x)) = 0 tenha raiz real.
5. (ITA) Considere as funções f: R → R, f(x) = eax em que 
a é uma constante real positiva, e g:[0, ∞[→ R, g(x) = dXX x . 
Determine o conjunto-solução da inequação 
(g o f)(x) > (f o g)(x).
6. (PUCRJ) Seja f(x) = x + 1 _______ –x + 1 .
a) Calcule f(2).
b) Para quais valores reais de x temos f(f(x)) = x?
c) Para quais valores reais de x temos f(f(f(f(x)))) = 2011? 
7. (UFU) Sejam f : [0,6] → R a função quadrática defini-
da por f (x) = x2 – 6 x + 5 e g: [-5, 5] → R a função, cujo 
gráfico está esboçado a seguir.
y - g(x)
x-5 -3 0 5
=
Sabendo-se que g o f denota a composição da função 
g com a função f, resolva a equação (g o f) (x) = 0, na 
variável x. 
8. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma 
montadora durante um dia, após t horas de operação, é 
dado por N(t) = 20 · t - t2, sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha 
que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N 
caminhões seja dado por C(n) = 50 + 30n.
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a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de 
operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo 
alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
9. (UFV) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 
e (fog)(x) = 2x3 – 4x + 1. Determine os valores de x para 
os quais g(x) > 0. 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições 
ambientais de uma comunidade, com uma população p, 
em milhares de habitantes:
• C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, 
em partes por milhão, corresponde a C(p) = 0,5 p +1;
• em um determinado tempo t, em anos, p será igual 
a p(t) = 10 + 0,1 t2.
Em relação à taxa C,
a) expresse-a como uma função do tempo;
b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 
partes por milhão. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere as funções f e g, cujos gráficos 
estão representados na figura abaixo.
O valor de f(g(1)) – g(f(1)) é igual a:
a) 0.
b) –1.
c) 2.
d) 1.
2. (Fuvest) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. 
A soma dos valores absolutos das raízes da equação 
f(g(x)) = g(x) é igual a:
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
3. (Fuvest - 2017) Considere as funções f(x) = x2 + 4 e 
g(x) = 1 + log 1/2 x, em que o domínio de f é o conjunto 
dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos nú-
meros reais maiores do que 0. Seja h(x) = 3f(g(x)) + 2g(f(x)), 
em que x > 0. Então, h(2) é igual a:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
e) 20
4. (Unicamp - 2017) Considere as funções f(x) = 3x e 
g(x) = x3, definidas para todo número real x. O número 
de soluções da equação f(g(x)) = g(f(x)) é igual a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
5. (Unicamp) Considere a função afim f(x) = ax + b de-
finida para todo número real x, onde a e b, são núme-
ros reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que 
f(f(3) + f(5)) é igual a :
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Seja x o número de anos decorridos a partir 
de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, 
aproximadamente, a média de concentração de CO2 na 
atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. 
A média de variação do nível do mar, em cm, em função 
de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = ( 1 __ 5 ) x. 
Seja h a função que fornece a média de variação do 
nível do mar em função da concentração de CO2.
No diagrama seguinte estão representadas as funções 
f, g e h.
Determine a expressão de h em função de y e calcule 
quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quan-
do a concentração de CO2 na atmosfera for de 400 ppm.
2. (Fuvest) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) 
para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se 
que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x – 1) + 1 
para todo o número real x.
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a) Calcule g(3).
b) Determine f(x), para todo x real.
c) Resolva a equação g(x) = 8. 
3. (Unesp) Considere as funções
f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b.
Determine o conjunto C, dos pontos (a,b) [ R2 tais que 
f o g = g o f.
4. (Unicamp) Seja a um número real positivo e considere 
as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 - 2x, definidas 
para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequa-
ção f(x)g(x) > 0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para 
todo número real x.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. C 3. A 4. B 5. A
6. C 7. C 8. A 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. D 5. E
6. C 7. E 8. A 9. A 10. A
E.O. Complementar
1. E 2. B 3. D 4. C 5. A
E.O. Dissertativo
1. -4 ≤ k < 0
2. 
a) 
 
 
b) fog(x) = 2senx + 1
 
gof(x) = 2sen (x + 1)
 
3. f(x) = 5x + 3.
4. –3 ≤ m < 0.
5. S = ] 4, + ∞ [.
6. 
a) f(2) = 2 + 1 ______ 
–2 + 1
 = –3.
b) Não existe um valor de x tal que x2 = –1.
c) x = 2011.
7. S = {0, 2, 4, 6}
8. 
a) C(t) = –30t2 + 600 t + 50.
b) t = 5h.
9. ]– √
__ 
 2 , 0[ ∪ ] √
__ 
 2 , + `[.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) C(t) = 6 + 0,05 t2.
b) 12 anos.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. D 3. B 4. C 5. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicampe Unifesp)
1. h(y) = 
(y – 320)
 _________ 5 e h(400) = 16 cm.
2. 
a) g(3) = 2.
b) f(x) = x ___ 
2
 .
c) S = {15}.
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3. 3a – b = 3.
4. 
a) x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, ou seja, a inequação possui 
7 soluções inteiras.
b) a = 1 ___ 
2
 .
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E.O. AprEndizAgEm
1. (CFTMG) O esboço do gráfico da função f(x) = a + b cos (x) 
é mostrado na figura seguinte.
Nessa situação, o valor de a · b é: 
a) 2. c) 5.
b) 3. d) 6.
2. (UECE) Se f : R ∫ R é a função definida por f(x) = 2senx + 1, 
então o produto do maior valor pelo menor valor que f assu-
me é igual a: 
a) 4,5. 
b) 3,0. 
c) 1,5. 
d) 0. 
3. (UFSM) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em 
excesso pelos veículos causam graves problemas a toda 
população. Durante o inverno, a poluição demora mais 
para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimen-
to de doenças respiratórias.
Suponha que a função
N(x) = 180 – 54 cos ( p __ 6 (x – 1) ) 
represente o número de pessoas com doenças respi-
ratórias registrado num Centro de Saúde, com x = 1 
correspondendo ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de 
fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respira-
tórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e 
julho é igual a: 
a) 693. 
b) 720. 
c) 747. 
d) 774. 
e) 936. 
4. (Acafe) Com o objetivo de auxiliar os maricultores a au-
mentar a produção de ostras e mexilhões, um engenhei-
ro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da 
água na região do sul da ilha, em Florianópolis. Para isso, 
efetuou medições durante três dias consecutivos, em in-
tervalos de 1 hora. As medições iniciaram às 5 horas da 
manhã do primeiro dia (t = 0) e os dados foram represen-
tados pela função periódica T(t) = 24 + 3 cos ( pt ___ 6 + p __ 3 ) , em 
que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início 
da medição e T(t), a temperatura (em °C) no instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima e 
o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro 
dia de observação valem, respectivamente: 
a) 6h, 25,5°C e 10h. 
b) 12h, 27°C e 10h. 
c) 12h, 27°C e 15h. 
d) 6h, 25,5°C e 15h. 
5. (UFSM) Cerca de 24,3% da população brasileira é hi-
pertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo 
excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em 
mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do 
tempo por P(t) = 100 – 20 cos ( 8p ___ 3 t ) , onde t é dado em 
segundos. Cada período dessa função representa um 
batimento cardíaco.
Analise as afirmativas:
I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 bati-
mentos por minuto.
II. A pressão em t = 2 segundos é de 110 mmHg.
III. A amplitude da função P(t) é de 30 mmHg. 
Está(ão) correta(s):
a) apenas I. 
b) apenas I e II. 
c) apenas III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
6. (FGV) Um triângulo isósceles tem os lados congruen-
tes com medida igual a 5. Seja a medida do ângulo da 
base, para a qual a área do referido triângulo é máxima. 
Podemos afirmar que: 
a) 10º ≤ a < 20º.
b) 20º ≤ a < 30º.
c) 30º ≤ a < 40º.
d) 40º ≤ a < 50º.
e) 50º ≤ a < 60º.
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
29 E 30
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7. (UERN) A razão entre o maior e o menor número in-
teiro que pertencem ao conjunto imagem da função 
trigonométrica y = –4 + 2 cos ( x – 2p ___ 3 ) é: 
a) 2.
b) 1 ___ 3 .
c) –3.
d) – 1 ___ 2 .
8. (PUC-RS) A figura a seguir representa um esboço do 
gráfico de uma função y = A + B sen ( x __ 4 ) , que é muito útil 
quando se estudam fenômenos periódicos, como, por 
exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o 
produto das constantes A e B é:
a) 6.
b) 10.
c) 12.
d) 18.
e) 50.
9. (PUC - 2017) A pressão arterial é a pressão que o san-
gue exerce sobre as paredes das artérias. Ela atinge o 
valor máximo (pressão sistólica) quando os ventrículos 
se contraem, e o valor mínimo (pressão diastólica) quan-
do eles estão em repouso. Suponhamos que a variação 
da pressão arterial (em mmHg) de um cidadão portoale-
grense em função do tempo (em segundos) é dada por 
P(t) = 100 - 20 ∙ cos ( 8π ___ 3 ∙ t ) . Diante disso, os valores 
da pressão diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, 
respectivamente, a:
a) 60 e 100.
b) 60 e 120.
c) 80 e 120.
d) 80 e 130.
e) 90 e 120.
10. (UFPB) Um especialista, ao estudar a influência da 
variação da altura das marés na vida de várias espécies 
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, 
dada em metros, em um espaço de tempo não muito 
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
A(t) = 1,6 – 1,4 sen ( p __ 6 t ) .
Nessa função, a variável t representa o tempo decorri-
do, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse 
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], 
está representada pelo gráfico:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
E.O. FixAçãO
1. (UFRGS) O gráfico da função f, definida por f(x) = cos x, 
e o gráfico da função g, quando representados no mes-
mo sistema de coordenadas, possuem somente dois pon-
tos em comum.
Assim, das alternativas abaixo, a que pode representar 
a função g é: 
a) g(x) = (senx)2 + (cosx)2.
b) g(x) = x2.
c) g(x) = 2x.
d) g(x) = log x.
e) g(x) = sen x.
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2. (UCS) Suponha que, em determinado lugar, a tempera-
tura média diária T, em °C, possa ser expressa, em função 
do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por 
T(t) = 14 + 12 sen [ 2p(t – 105) ___________ 364 ] .
Segundo esse modelo matemático, a temperatura mé-
dia máxima nesse lugar, ocorre no mês de:
a) julho. d) dezembro. 
b) setembro. e) março.
c) junho. 
3. (UFRGS) O período da função definida por 
f(x) = sen ( 3x – p __ 2 ) é:
a) p __ 2 .
b) 2p ___ 3 .
c) 5p ___ 6 .
d) p.
e) 2p.
4. (UFSM) Sobre a função representada no gráfico, é 
correto afirmar:
a) O período da função é 2p.
b) O domínio é o intervalo [–3, 3].
c) A imagem é o conjunto R.
d) A função é par.
e) A função é y = 3 sen ( x __ 2 ) .
5. (UERN) Um determinado inseto no período de repro-
dução emite sons cuja intensidade sonora oscila entre 
o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 de-
cibéis, sendo t a variável tempo em segundos. Entre as 
funções a seguir, aquela que melhor representa a varia-
ção da intensidade sonora com o tempo I(t) é: 
a) 50 – 10 cos ( p __ 6 t ) .
b) 30 + 10 cos ( p __ 6 t ) .
c) 40 + 20 cos ( p __ 6 t ) .
d) 60 – 20 cos ( p __ 6 t ) .
6. (UEPB) Sendo f(x) = –4 cos ( p __ 2 – x ) + 2 cos x, o valor 
de f ( – 7p ___ 4 ) é: 
a) dXX 2 .
b) 2.
c) – dXX 2 .
d) –1.
e) 
dXX 2 ___ 2 .
 7. (ITA - 2017) O maior valor de tgx, com x = 1 __ 2 arcsen ( 3 __ 5 ) e 
x ∈ [ 0, π __ 2 ] , é:
a) 1 __ 
4
 .
b) 1 __ 
3
 .
c) 1 __ 
2
 .
d) 2.
e) 3.
8. (Mackenzie) Considerando o esboço do gráfico da 
função f(x) = cos x, entre 0 e 2p a reta que passa pelos 
pontos P e Q define com os eixos coordenados um tri-
ângulo de área:
 
a) p __ 2 .
b) p __ 4 .
c) p.
d) p __ 8 .
e) p __ 6 .
9. (UFPA) O gráfico da função f dada por f(t) = cos [ t + ( p __ 2 ) ] 
no intervalo [0, 2p] é:
a) 
b) 
c) 
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d) f(t)
t
1
-1
0 2 π
e) 
10. (UFSM)
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma 
certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 
meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para 
descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) 
é igual a: 
a) 100.
b) 97.
c) 95.
d) 92.
e) 90.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Cefet MG) A função
f(x) = sec x · sen (2x) · sen2 ( x + p __ 2 ) ·cos(p – x) · tg2 x
deve ser reescrita como produto de uma constante pe-
las funções seno e cosseno, calculadas no mesmo valor 
x, como f(x) = k · senm x · cosn x.
O valor de m é: 
a) –2.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
2. (Insper) A figura mostra o gráfico da função f, dada 
pela lei:
f(x) = (senx + cosx)4 – (senx – cosx)4.
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a: 
a) 5p ___ 12 .
b) 4p ___ 9 .
c) 3p ___ 8 .
d) 5p ___ 6 .
e) 2p ___ 3 .
3. (Espcex (Aman)) A função real f(x) está representada 
no gráfico abaixo.
A expressão algébrica de f(x) é: 
a) f(x) = { –  sen x  , se x < 0  cos x  , se x ≥ 0 
b) f(x) = {  cos x  , se x < 0  sen x  , se x ≥ 0 
c) f(x) = { –  cos x  , se x < 0  sen x  , se x ≥ 0 
d) f(x) = {  sen x  , se x < 0  cos x  , se x ≥ 0 
e) f(x) = { –sen x, se x < 0 cos x, se x ≥ 0 
4. (UFF) Nas comunicações, um sinal é transmitido por 
meio de ondas senoidais, denominadas ondas portadoras.
Considere a forma da onda portadora modelada pela 
função trigonométrica
f(t) = 2 sen [ 3t – ( p __ 3 ) ] , t [ R
Pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa 
f(t) é:
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5. (Ime - 2017) Calcule o valor de sen
4a + cos4a _____________ 
sen6a + cos6a
 , saben-
do-se que sena cosa = 1 __ 5 .
a) 22 ___ 21 .
b) 23 ___ 22 .
c) 25 ___ 23 .
d) 13 ___ 12 .
e) 26 ___ 25 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) Suponha que, durante certo período do ano, a 
temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago 
possa ser descrita pela função F(t) = 21 – 4 cos ( p ___ 12 t ) , 
sendo t o tempo em horas medido a partir das 06h00 
da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 
24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 ºC? 
2. (UFPR) O pistão de um motor se movimenta para 
cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra 
a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altu-
ra h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita 
pela expressão:
h(t) = 4 sen ( 2pt _____ 0,05 ) + 4
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, fun-
cionando durante um minuto?
3. (FGV) Uma fórmula que mede a magnitude M de um 
terremoto pode ser escrita como M = 0,67 ∙ log E - 3,25, 
sendo E a energia mecânica liberada pelo abalo, medi-
da em Joules.
a) Calcule, por meio da fórmula dada, a energia me-
cânica liberada por um terremoto de magnitude 2,11.
b) A figura a seguir mostra um modelo trigonométrico 
que, por meio da função cosseno y = A + B∙cos(mx + n), 
ajuda a prever a magnitude de terremotos em uma 
ilha do Pacífico. Nesse modelo, x indica a magnitude 
do terremoto, e y indica o ano de ocorrência, sendo 
x = 1 correspondente ao ano 1980, x = 6 correspon-
dente ao ano 1990, x = 11 correspondente ao ano 
2000, e assim sucessivamente.
 
Determine domínio, imagem e período da função cujo 
gráfico está indicado na figura. Em seguida, determine 
os valores dos parâmetros A, B, m e n da lei dessa função.
4. (UFPR - 2017) Considere a função f(x) = 4 cos ( xπ ___ 4 ) - 3, 
com x ∈ (- ∞, + ∞).
a) Qual é o valor mínimo que a função f atinge? 
b) Para que valores de x temos f(x) = - 1?
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5. (FGV) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e 
g(x) = 2 + cos 2x para 0 ≤ x ≤ 2p.
Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das ações 
das empresas F e G na bolsa de valores de São Paulo 
no intervalo de horas 0 ≤ x ≤ 2p (x = 0 indica 12h00, e 
x = 2p ≈ 6,28 indica, aproximadamente, 18h17). De-
termine algebricamente (equações e/ou inequações) o 
intervalo de horas, com 0 ≤ x ≤ 2p, em que a cotação 
das ações da empresa F foi maior ou igual à cotação das 
ações da empresa G.
6. (UFC) Considere as funções definidas f: R∫ R e g: R ∫ R, 
respectivamente, por f(x) = x2 + 1 e g(x) = cosx - senx.
a) Explicite a função composta h(x) = f(g(x)). 
b) Determine o valor máximo da função composta 
h(x) = f(g(x)). 
7. (UFPE) Seja f uma função que tem como domínio o con-
junto dos números reais e é dada por f(x) = a · sen(v · x + b), 
com a, v e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o grá-
fico de f, restrito ao intervalo fechado [ - p __ 6 , 5p ___ 6 ] . A função 
f tem período p e seu conjunto imagem é o intervalo 
fechado [–5, 5]. 
Determine as constantes a e v e o menor valor positivo 
de b. Indique a2 + v2 + 3b ___ p . 
8. (UFRRJ) Determine os valores reais de k, de modo que 
a equação 2 – 3cos x = k – 4 admita solução. 
9. (IME). Determine o conjunto solução da equação:
(sen x) ( 1 + tg x tg x __ 2 ) = 4 - cotg x
10. (PUC-RJ)
a) Esboce os gráficos de y = sen(x) e de y = cos(x).
b) Para quantos valores de x entre 0 e 2p temos 
sen(x) = 2cos(x)?
E.O. EnEm
1. (Enem) Um satélite de telecomunicações, t minutos 
após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de dis-
tância do centro da Terra. Quando r assume seus valores 
máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apo-
geu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para 
esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por:
r(t) = 5865 ____________________ 
1 + 0,15 · cos (0,06t)
 .
Um cientista monitora o movimento desse satélite para 
controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para 
isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no 
apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge 
o valor de: 
a) 12 765 km. d) 10 965 km.
b) 12 000 km. e) 5 865 km.
c) 11 730 km.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) No esquema abaixo, estão representados 
um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, 
tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.
 
A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a par-
tir da seguinte identidade trigonométrica:
tg (a - b) = 
tg(a) - tg(b)
 ________________ 
1 + tg(a) x tg(b)
 
O valor da tangente de θ é igual a: 
a) 0,65 b) 0,60 c) 0,55 d) 0,50
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Em situação normal, observa-se que os su-
cessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos 
pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem 
como na quantidade de ar inalada e expelida. A velo-
cidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de 
um indivíduo está representada pela curva do gráfico, 
considerando apenas um ciclo do processo.
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Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, 
um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a 
cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e 
exalação, em módulo, é 0,6 l/s, a expressão da função 
cujo gráfico mais se aproxima da curva representada 
na figura é:
a) V(t) = 2p ___ 5 sen ( 3 __ 5 t ) .
b) V(t) = 3 __ 5 sen ( 5 ___ 2p t ) .
c) V(t) = 0,6 cos ( 2p ___ 5 t ) .
d) V(t) = 0,6 sen ( 2p ___ 5 t ) .
e) V(t) = 5 ___ 2p cos (0,6t).
 2. (Unesp) Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma função trigonomé-
trica, a função y(x) é: 
a) –2 cos (3x).
b) –2 sen (3x).
c) 2 cos (3x).
d) 3 sen (2x).
e) 3 cos (2x).
3. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal 
é mantida a temperatura constante, e seu volume varia 
com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
V(t) = log2(5 + 2 sen (πt)), 0 ≤ t ≤ 2,
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3. 
A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] 
ocorre no instante
a) t = 0,4
b) t = 0,5
c) t = 1
d) t = 1,5
e) t = 2
4. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal 
que a sequência (tg x, sec x, 2) é uma progressão aritmé-
tica (PA). Então, a razão dessa PA é igual a
a) 1.
b) 5/4.
c) 4/3.
d) 1/3.
E.O. dissErtAtivAs(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda gi-
gante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao 
solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10 sen [ ( p ___ 12 ) · (t – 26) ] , 
onde o tempo t é dado em segundos e a medida angu-
lar em radianos.
a) Determine a altura em que seu amigo estava quan-
do a roda começou a girar (t = 0).
b) Determine as alturas mínima e máxima que seu 
amigo alcança e o tempo gasto em uma volta com-
pleta (período). 
2. (Unifesp) Considere a função y = f(x) = 1 + sen ( 2px – p __ 2 ) 
definida para todo x real.
a) Dê o período e o conjunto imagem da função f.
b) Obtenha todos os valores de x no intervalo [0, 1], 
tais que y = 1. 
3. (Unesp) Considere a representação gráfica da função 
definida por f(x) = sen ( 3px ____ 2 ) . ( –1 + dXXXXX x – 1 ) .
gráfico da função f(x), sem escala
P Q R S
1.0 x
y
Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pon-
tos de interseção do gráfico da função f com o eixo das 
abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R 
e S, nessa ordem.
4. (Unifesp 2017) Os pontos T e U deslocam-se so-
bre retas paralelas r1 e r2 de tal forma que 

 TU passe 
sempre pelo centro C de um quadrado PQRS de lado 
2, e forme um ângulo de medida a com r1, conforme 
indica, como exemplo, a sequência de cinco figuras.
 
a) Calcule as medidas de 

 TU nas situações em que a = 45º 
e a = 90º.
b) Denotando TU por y, determine y em função de a e 
o respectivo domínio dessa função no intervalo de a 
em que a posição de T varia de P até Q.
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5. (Unifesp) Por razões técnicas, um armário de altura 
2,5 metros e largura 1,5 metro está sendo deslocado 
por um corredor, de altura h metros, na posição mostra-
da pela figura.
 
a) Calcule h para o caso em que a = 30º.
b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. A 3. B 4. C 5. B
6. D 7. B 8. A 9. C 10. A
E.O. Fixação
1. B 2. A 3. B 4. E 5. B
6. C 7. B 8. B 9. D 10. C
E.O. Complementar
1. E 2. A 3. A 4. A 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) A temperatura varia de 17 °C a 25 °C na superfície 
do lago.
b) 14h e 22h.
2. 
a) hmáx = 8 cm e hmin = 0 cm. 
b) 1200 ciclos completos.
3. 
a) E = 108 joules.
b) Domínio ⇒ D = {R}
Imagem ⇒ Im = {4; 8}
Período ⇒ T = 11 - 1 = 10
m = π/5
n = – π/5
A = 6
B = 2
4. 
a) - 7.
b) S = {x ∈ R | x = 4/3 + 8k ou x = 20/3 + 8k, k ∈ ℤ}.
5. 
a)
b) f(x) ≥ g(x)
2 + senx ≥ 2 + cos(2x)
2 + senx ≥ 2 + cos2 x – sen2x
senx ≥ cos2 x – sen2x
senx ≥ 1 – sen2x – sen2x
2 sen2x + senx – 1 ≥ 0
Resolvendo a inequação, temos:
senx = –1 logo x = 3p ___ 
2
 (16h e 43 min).
senx ≥ 1 __ 
2
 logo p __ 
6
 ≤ x ≤ 5p ___ 
6
 
(12h e 31min ≤ x ≤ 14h e 37 min).
6. 
a) h(x) = f(g(x)) = (cos x – sen x)2 + 1 ä
h(x) = cos2 x – 2 sen x cos x + sen2x + 1 ä
h(x) = 2 – sen 2x
b) 3
7. Sabendo que o período fundamental da função seno é 2p, e 
que o período de f é p, temos p = 2p __ v à  v  = 2.
Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [–1, 1], 
e a imagem de f é o intervalo [–5, 5], temos [–5, 5] = a · [–1, 1] 
ä a = 5 (supondo senb > 0).
Finalmente, como f ( – p __ 6 ) = 0, temos:
0 = 5 · sen [ 2 · ( – p __ 6 ) + b ] à
à sen ( – p __ 3 + b ) = sen 0,
donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz 
a igualdade é b = p __ 
3
 .
Portanto, a2 + v2 + 3b ___ p = 5
2 + 22 + 3 __ p · 
p __ 
3
 = 30
8. 3 ≤ k ≤ 9 
9. S = {x ∈ R | x = π/12 + kπ ou x = 5π/12 + kπ, k ∈ ℤ}.
10. 
a) Observe o gráfico a seguir:
b) Para dois valores.
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E.O. Enem
1. B
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 6,5 m.
b) período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura 
máxima: 21,5 m. 
2. 
a) P = 1; Im = [0; 2].
b) { 1 __ 4 , 3 __ 4 } .
3. P ( 4 __ 3 , 0 ) ; Q (2, 0), R ( 8 __ 3 , 0 ) e S ( 10 ___ 3 , 0 ) .
4. 
a) Com a=45º, TU=2√2. Com α=90º,  TU = 2
b) sena = 2 __ y ⇔ y = 2 cosseca, com a∈ [ π __ 4 , 3π ___ 4 ] .
5. 
a) A altura h será: h = 5 + 3 
dXX 3 _______ 
4
 m
b) A altura h será: h = 1,2 + 1,5 ⇒ h = 2,7 m
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-MG) O valor de  2 – dXX 5  +  3 – dXX 5  é:
a) 5 – 2 dXX 5 .
b) 5 + 2 dXX 5 .
c) 5
d) 1 + 2 dXX 5 .
e) 1.
2. (UECE) Seja W = { x [ R;  3x + 1  =  x – 2  } . A soma dos 
elementos de W é:
a) – 5 __ 4 . c) 
1 __ 4 .
b) – 3 __ 4 . d) 
7 __ 4 .
3. (UFPI) A soma das raízes da equação  x  2 + 2  x  – 15 = 0 é: 
a) 0. d) 6.
b) –2. e) 2.
c) –4.
4. (UEPB) A soma das raízes da equação modular 
   x – 2  – 7  = 6 é:
a) 15. d) 2.
b) 30. e) 8.
c) 4.
5. (UECE) Se f(x) = x
2
 __ 2 – 2, então as raízes irracionais da 
equação  f(x) – 6  = 8 são:
a) ±2 √
__
 2 . c) ±4 √
__
 2 .
b) ±3 √
__
 2 . d) ±5 √
__
 3 .
6. (PUC-MG) Os pesos aceitáveis do pãozinho de 50 g 
verificam a desigualdade  x – 50  ≤ 2, em que x é medi-
do em gramas. Então, assinale o peso mínimo aceitável 
de uma fornada de 100 pãezinhos, em quilogramas. 
a) 4,50
b) 4,80
c) 5,20
d) 5,50
7. (FGV) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem si-
multaneamente as desigualdades:  x – 5  < 3 e  x – 4  ≥ 1 é: 
a) 25. d) 18.
b) 13. e) 21.
c) 16.
8. (Unitau) Se x é uma solução de  2x – 1  < 5 – x, 
então: 
a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) -5 < x < 7.
d) 4 < x < 7.
e) - 4 < x < 2.
9. (PUC-MG) As alturas das mulheres adultas que ha-
bitam certa ilha do Pacífico satisfazem a desigualdade 
 h - 153 _______ 22 ≤ 1, em que a altura h é medida em centíme-
tros. Então, a altura máxima de uma mulher dessa ilha, 
em metros, é igual a: 
a) 1,60.
b) 1,65.
c) 1,70.
d) 1,75.
10. (PUC-RJ) O conjunto dos números reais x tais que 
 x – 2  <  x – 5  é: 
a) vazio.
b) finito.
c) o conjunto de todos os números reais menores que 7 __ 2 .
d) o conjunto de todos os números reais entre 2 e 5.
e) o conjunto de todos os números reais.
E.O. FixAçãO
1. (Udesc) A soma das raízes distintas da equação 
x2 – 5x + 6 =  x – 3  é:
a) 10. d) 3.
b) 7. e) 4.
c) 0.
2. (Esc. Naval) A soma das raízes reais distintas da equa-
ção   x – 2  – 2  = 2 é igual a: 
a) 0. d) 6.
b) 2. e) 8.
c) 4.
3. (ITA) O produto das raízes reais da equação 
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a:
a) –5. d) 2.
b) –1. e) 5.
c) 1.
 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19 e 21
MT
AULAS 
31 E 32
21
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4. (Fatec) A igualdade –  –x  = –(–x) é verdadeira para 
todos os elementos do conjunto: 
a) R.
b) {x [ R | x ≥ 0}.
c) {x [ R | x ≤ 0}.
d) {x [ R | 0 ≤ x ≤10}.
e) {x [ R | –3 ≤ x ≤ 3}.
5. (UFES) Se x = dXXXXXXXX (2x – 1) e y2 = 5, então  x3 y  é igual a:
a) dXX 5 .
b) 8 dXX 5 .
c) 5.
d) –5.
e) 1.
6. (Unioeste) Seja S o conjunto solução de;
   –2  + 4x – ( 3 __ 2 ) –2– dXXX 20 ____ dXX 5 _________________________ 2  < 1
É correto afirmar que S é igual a: 
a) S = {x [ R; –1 < x < 1}.
b) S = { x [ R; – 7 ___ 18 < x < 11 ___ 18 } .
c) S = {x [ R; x > – 1}.
d) S = { x [ R; – 1 __ 2 < x < 7 ___ 16 } .
e) S = {x [ R; x < 10}.
7. (Espcex (Aman)) Considerando a função real 
f(x) = (x – 1) ·  x – 2  , o intervalo real para o qual; f(x) ≥ 2 é: 
a) {x [ R | x ≥ 3}.
b) {x [ R | x ≤ 0 ou x ≥ 3}.
c) {x [ R | 1 ≤ x ≤ 2}.
d) {x [ R | x ≥ 2}.
e) {x [ R | x ≤ 1}.
8. (PUC-MG) Considere os conjuntos
A = {x [ z |  x + 1  < 5} e B = {x [ z |  x  > 3}.
O número de elementos do conjunto A ù B é:a) 2. d) 9.
b) 4. e) 11.
c) 8.
9. (UFC) A soma dos inteiros que satisfazem a desigual-
dade  x – 7  >  x + 2  +  x – 2  é: 
a) 14. d) –15.
b) 0. e) –18.
c) –2.
10. Na desigualdade dXXXXXXX (x – 1)2 + x > k, x e k são números 
reais. Então k pode ser:
a) log5 2.
b) log2 5.
c) p
d) p __ 2 .
e) 2,7.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Espcex (Aman)) O número de soluções da equação
 1 __ 2 
 x  ·  x – 3  = 2 ·  x – 3 __ 2  , no conjunto R é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. (ITA) Sobre a equação na variável real x, 
    x – 1  – 3  – 2  = 0 podemos afirmar que: 
a) ela não admite solução real.
b) a soma de todas as suas soluções é 6.
c) ela admite apenas soluções positivas.
d) a soma de todas as soluções é 4.
e) ela admite apenas duas soluções reais.
3. (Mackenzie) A soma das soluções reais da equação 
a seguir é:
  log2  x – 2   = 
  x  ___ x 
a) 8. d) 4.
b) 10. e) 2.
c) 6.
4. (Mackenzie) O número de soluções reais da equação 
  x + 1  – 2  = dXXXXXX (x + 4) é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
5. (Uespi) Se x varia no conjunto dos números reais, qual 
dos intervalos a seguir contém o conjunto solução da 
desigualdade 
|x| + 2 _______ 
|x| – 1
 > 4?
a) (–2, 0).
b) (–2, 2).
c) (–3, –1).
d) (1, 3).
e) (–3, 1).
6. (IFCE) Se escrevermos  x2 – 4  < N, para todo x, tal que 
 x – 2  < 0,01, então o menor valor que podemos usar 
para N é:
a) 0,0301.
b) 0,0349.
c) 0,0399.
d) 0,0401.
e) 0,0499.
7. (ITA) Os valores de x [ R, para os quais a função real 
dada por f(x) = dXXXXXXXXXXXXXX 5 –   2x – 1  – 6  está definida, formam 
o conjunto:
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a) [0, 1].
b) [–5, 6].
c) [ –5, 0 ] ø [ 1, ` ).
d) ( –`, 0 ] ø [ 1, 6 ].
e) [ –5, 0 ] ø [ 1, 6 ].
8. (UFRN) Considere a região S dos pontos (x, y) do pla-
no cartesiano, tais que
  x  ≤ 1 __ 2 e  y  ≤ 
1 __ 2 . 
A área de S é igual a: (u.a = unidade de área) 
a) 1 u.a.
b) 2 u.a.
c) 2 √
__
 2 u.a.
d) √
__
 2 u.a.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFRJ) Durante o ano de 1997, uma empresa teve seu 
lucro diário L dado pela função:
L(x) = 50 (  x – 100  +  x – 200  ) 
onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e 
L é dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de 
R$10.000,00.
2. (UFRJ) Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um 
valor aproximado de Q, obtido através de uma certa 
medição. O erro relativo E desta medição é definido por:
E = 
|Q – M|
 _______ 
Q
 .
Considere ainda um instrumento com uma precisão de 
medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no 
máximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi 
medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido.
Determine o menor valor possível de Q. 
3. Encontre o conjunto solução da equação  log2 (x – 4)  
= 2.
4. Encontre o conjunto solução da equação a seguir:
 
|x – 3|
 _______ 
|x – 2|
 = 6
5. Sabendo que f(x) =  x  e g(x) =  x – 5  , encontre as 
soluções da equação f(x) · g(x) = 6.
6. Encontre o conjunto solução da inequação  x2 – 3x – 4  ≤ 6.
7. Considere as funções f(x) = √
__
 x e g(x) = (x – 4)2. Encon-
tre o conjunto solução da inequação (f º g)(x) ≥ 2.
8. Considerando a função real f(x) =  2x – 6  , faça o que 
se pede:
a) Resolva a equação f(x) = 6.
b) Resolva a inequação f(x) ≤ 6.
9. Encontre o intervalo de x, em que a função 
f(x)=  x + 4  +  x – 3  – 2 em que temos f(x) > 5 .
10. (UFV) Considere as inequações:
I. 3 ≤ dXXXXX x + 1 ≤ 4.
II.  2x – 11  ≤ 9.
a) Determine os conjuntos soluções S(I) e S(II) das 
sentenças I e II respectivamente.
b) Represente os conjuntos S(I) e S(II) na reta real.
c) Determine S(I) ù S(II) e S(I) ø S(II).
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Sobre a equação
(x + 3) 2x2 – 9 log |x2 + x – 1| = 0
é correto afirmar que: 
a) ela não possui raízes reais.
b) sua única raiz real é –3.
c) duas de suas raízes reais são 3 e –3.
d) suas únicas raízes reais são –3, 0 e 1.
e) ela possui cinco raízes reais distintas.
2. (Unesp) No conjunto R dos números reais, o conjunto 
solução S da inequação modular |x| . |x - 5| ≥ 6 é:
a) S = {x ∈ R| - 1 ≤ x ≤ 6}.
b) S = {x ∈ R| x ≤ - 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.
c) S = {x ∈ R| x ≤ - 1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}.
d) S = {x ∈ R| x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
e) S = {R}
E.O.dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Resolva a equação x2 – 3  x  + 2 = 0, tomando 
como universo o conjunto R dos números reais.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. A 4. E 5. C
6. B 7. E 8. E 9. D 10. C
E.O. Fixação
1. E 2. D 3. A 4. C 5. A
6. B 7. A 8. A 9. E 10. A
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E.O. Complementar
1. D 2. D 3. A 4. E 5. B
6. C 7. E 8. A
E.O.Dissertativo
1. x = 50 e x = 250.
2. Q ≈ 5,092.
3. S = { 17 ____ 4 , 8 } .
4. S = { 9 ___ 5 , 15 ___ 7 } 
5. S ={-1, 2, 3, 6}.
6. S = [–2, 1] ø [2, 5].
7. S = {x [ R | x ≤ 2ou x ≥ 6}.
8. 
a) S = {0, 6}.
b) S = [0, 6].
9. S = {x [ R | x < –4 ou x > 3}. 
10. 
a) S(I) = {x [ R | 8 ≤ x ≤ 15}.
S(II) = {x [ R | 1 ≤ x ≤ 10}.
b) 
c) 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. V = {–2; –1; 1; 2}.
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1. (Udesc) A alternativa que representa o gráfico da fun-
ção f(x) =  x + 1  + 2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. (Mackenzie) Na figura 1, temos o esboço do gráfico 
de uma função f, de R em R. O melhor esboço do grá-
fico da função g(x)=f(  x  ) é:
a) d) 
b) e) 
c) 
3. A respeito da função f(x) =  x  , é verdadeira a sentença: 
a) f(x) = x, se x < 0.
b) f(x) = – x, se x > 0.
c) f(x) = 1, se x [ R.
d) o gráfico de f tem imagem negativa.
e) o gráfico de f não possui imagem negativa.
4. (Ufrgs) Se
é o gráfico da função f definida por y = f(x), então, das 
alternativas a seguir, a que pode representar o gráfico 
da função z, definida por z =  f(x)  , é: 
 FUNÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA(s)
3, 4 e 5
HABILIDADE(s)
12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
MT
AULAS 
33 E 34
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (UFMG) Considere a função f(x)= x  1 – x  .
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função 
está CORRETO.
a) 
b) 
c) 
d) 
6. (PUC-RJ) Considere a função real f(x) = | –x + 1|. O gráfico 
que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
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7. (UFES)
O gráfico acima representa a função; 
a) f(x) =   x  – 1  .
b) f(x) =  x – 1  +  x + 1  – 2.
c) f(x) =   x  + 2  – 3.
d) f(x) =  x – 1  .
e) f(x) =   x  + 1  – 2.
8. (UFC) Dadas as funções f : R → R e g : R → R 
definidas por f(x) =  1 – x2  e g(x) =  x  , o número de 
pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de 
g é igual a: 
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
9. (FEI) O conjunto imagem da função f: R → R, definida 
por f(x) = 1 –  x – 2  ,é: 
a) {y [ R | y ≤ 1 }.
b) {y [ R | y ≥ 1 }.
c) {y [ R | y > 0 }.
d) {y [ R | y ≤ 2 }.
e) {y [ R | y ≥ 2 }.
10. (Cesgranrio) O conjunto imagem da função 
f(x) =  x2 - 4x + 8  + 1 é o intervalo: 
a) [ 5, + ∞ [. d) [ 1, + ∞ [.
b) [ 4, + ∞ [. e) [ 0, + ∞ [.
c) [ 3, + ∞ [.
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) Considere a função real:
f(x) =  x + 1  +  x – 1  
O gráfico que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Para fazer um estudo sobre certo polinômio |P(x)|, um es-
tudante recorreu ao gráfico da função polinomial y = P(x), 
gerado por um software matemático.
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Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida 
para valores de x, de –5 até 2,7.
2. (UESC)O número de raízes da equação  P(x)  = 1, no 
intervalo [–5; 2,7], é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
3. (PUC-RS) Considerando a função f definida por f(x) = x2 – 1, 
a representação gráfica da função g dada por g(x) =  –f(x)  – 2 é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. (Ufrgs) A intersecção dos gráficos das funções f e g, 
definidas por f(x) =  x  e g(x)= 1 –  x  ,os quais são dese-
nhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, 
determina um polígono.
A área desse polígono é: 
a) 0,125. d) 1.
b) 0,25. e) 2.
c) 0,5.
5. (UFC) Seja f uma função real de variável real, cujo 
gráfico está representado adiante.
Se g(x) = 2 ∙ f(x) – 1, assinale a alternativa cujo gráfico 
melhor representa  g(x)  .
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. (Epcar (Afa)) Considere a figura abaixo, que represen-
ta um esboço do gráfico da função real f :
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Sabe-se que g(x) = f(x) – 3u, h(x) = g(x + u) e j(x) =  h(x)  .
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
7. (Insper) A figura a seguir mostra o gráfico da função 
f(x).
O número de elementos do conjunto solução da equa-
ção |f(x)| = 1, resolvida em R é igual a: 
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
8. (Mackenzie) Dadas as funções reais definidas por: 
f(x) =  x  2 – 4  x  e g(x) =  x2 – 4x  , considere I, II, III e IV abaixo.
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em re-
lação ao eixo das ordenadas.
II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.
IV. Não existe x real, tal que f(x) < g(x).
O número de afirmações corretas é: 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
9. (UPE) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao 
gráfico da função f(x) = ||x + 2| – 2 | no intervalo –5 > x > 5 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
10. (UECE) Sobre o conjunto M dos pontos de intersec-
ção dos gráficos das funções definidas por f (x) =|2x – 1| 
e g (x) = x + 1, é possível afirmar, corretamente, que M:
a) é o único conjunto vazio. 
b) é um conjunto unitário. 
c) possui dois elementos. 
d) possui três elementos. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (Mackenzie) Analise graficamente as funções (I), (II), 
(III) e (IV) a seguir.
I. f(x) = x + 2 
|x| ________ x de R* em R.
II. g(x) = 3x - x3 de [– dXX 3 , dXX 3 ] em [–2, 2]
 Obs.: g (-1) é mínimo. 
III. h(x) = ( 1 __ 3 ) 
x
 de R em R*+.
IV. t(x) = 3, de IR em {3}.
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O número de soluções reais da equação h(x) = f(x) é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
2. (Epcar 2017) Durante 16 horas, desde a abertura de 
certa confeitaria, observou-se que a quantidade q(t) de 
unidades vendidas do doce “amor em pedaço”, entre os 
instantes (t - 1) e t, é dada pela lei q(t) = ||t - 8| + t - 14|, 
em que t representa o tempo, em horas, e t ∈ {1, 2 3, ..., 16}.
É correto afirmar que: 
a) entre todos os instantes foi vendida, pelo menos, 
uma unidade de “amor em pedaço”.
b) a menor quantidade vendida em qualquer instante 
corresponde a 6 unidades.
c) em nenhum momento vendem-se exatamente 2 
unidades.
d) o máximo de unidades vendidas entre todos os 
instantes foi 10.
3. (FGV) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satis-
fazem a equação  x  +  y  = 2 determinam um polígono, 
cujo perímetro é: 
a) 2 dXX 2 .
b) 4 + 2 dXX 2 .
c) 4 dXX 2 .
d) 8 + 4 dXX 2 .
e) 8 dXX 2 .
4. (Esc. Naval) O gráfico que melhor representa a função 
real f, definida por
f(x) = 
 
– | x + 1 | | x |
 ____________ x + 1 + x se x > –1
x  x  se x ≤ – 1
 
é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. (Esc. Naval) A reta no R² de equação 2y – 3x = 0 inter-
cepta o gráfico da função f(x) =  x  x
2 – 1 ______ x nos pontos P 
e Q. Qual a distância entre P e Q?
a) 2 dXXX 15 .
b) 2 dXXX 13 .
c) 2 dXX 7 .
d) dXX 7 .
e) 
dXX 5 ___ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (Unirio) Sejam as funções f: R → R;
x → y= |x| e g: R → R; x → y = x2 – 2x – 8.
Faça um esboço gráfico da função fog. 
2. (UEG) Dada a função: f(x) =  x – 1  + 1, x [ [–1, 2],
a) esboce o gráfico da função f ;
b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da 
função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = –1 
e x = 2.
3. (Cftrj 2017) Seja uma função real que tem o gráfico 
ao lado, onde y = f(x). Por exemplo, para x = 4, y assume 
o valor 6, como no ponto destacado.
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Determine x, de modo que a expressão |y| + 5 tenha 
valor mínimo. 
4. (Ita 2017) Esboce o gráfico da função f:  → R dada 
por f(x) = |2|- x| – 1/2|.
5. (UFRJ) Considere a função f: R → R definida por 
f(2x) =  1 – x  . Determine os valores de x para os quais f(x) = 2.
6. (PUC-RJ) Seja f(x) = | x2 __ 2 - 2|
a) Para quais valores reais de x temos f(x) = 1?
b) Para quais valores reais de x temos f(x) ≤ 1?
7. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com 
a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação 
|f (x)| = 12 são –2, 1, 2 e 5. Justifique. 
8. Dada a função f(x) = ||x + 2| - 4| faça o que se pede 
em cada item:
a) Trace o gráfico da função f(x).
b) Através do gráfico, encontre quantas raízes possui 
a equação f(x) = 3. Justifique.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) O volume de água em um tanque varia com o 
tempo de acordo com a seguinte equação:
V = 10 –  4 – 2t  –  2t – 6  , t [ R+
Nela, V é o volume medido em m3 após t horas, conta-
das a partir de 8h de uma manhã.
Determine os horários inicial e final dessa manhã em 
que o volume permanece constante. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) O módulo  x  de um número real x é definido 
por  x  = x, se x ≥ 0, e  x  = –x, se x < 0. Das alternativas 
a seguir, a que melhor representa o gráfico da função 
f(x) = x ·  x  – 2x + 2 é:
a) d) 
 
b) e)
 
c) 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere a função f(x) = 2x +  x + p  , 
definida para x real. 
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor 
específico de p. Determine esse valor. 
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores 
de x que satisfazem a equação f(x) = 12. 
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2. (Fuvest) Seja f(x) =  x  – 1, ; x [ , e considere tam-
bém a função composta g(x) = f(f(x)),; x [ .
a) Esboce o gráfico da função f, indicando seus pon-
tos de intersecção com os eixos coordenados.
b) Esboce o gráfico da função g, indicando seus pon-
tos de intersecção com os eixos coordenados.
c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.
3. (Fuvest) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções 
reais definidas por f(x) = x2 – 2 |x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, 
os gráficos de f e de g quando m = 1 __ 4 e m = 1.
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1 __ 2 .
c) Determinar, em função de m, o número de raízes da 
equação f(x) = g(x). 
4. (Fuvest)
a) Esboce, para x real, o gráfico da função: 
f(x) = | x – 2 | + |2x + 1| – x – 6. O símbolo  a  indica 
o valor absoluto de um número real a e é definido por 
  a  = a, se a ≥ 0 e  a  = – a, se a < 0.
b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?
5. (Unicamp) Considere a função f(x) = |2x - 4| + x - 5, 
definida para todo número real x.
a) Esboce o gráfico de y = f(x) no plano cartesiano 
para – 4 ≤ x ≤ 4.
 
b) Determine os valores dos números reais a e b para 
os quais a equação loga(x + b) = f(x) admite como 
soluções x1 = – 1 e x2 = 6.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. E 3. E 4. D 5. B
6. A 7. A 8. B 9. A 10. A
E.O. Fixação
1. A 2. D 3. A 4. C 5. E
6. A 7. B 8. B 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. D 3. E 4. E 5. B
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E. O. Dissertativo
1. fog: R → R
x → x2 – 2x – 8  
Observe a figura a seguir;
2. 
a) 
b) 5,5 u.a.
3. Os valores de x para os quais a função |y| +5 assume valor 
mínimo são x = 1 ou x = 3.
4. 
 
5. x = – 2 ou x = 6.
6. 
a) x = ± dXX 6 , x = ± dXX 2 .
b) – dXX 6 ≤ x ≤ – dXX 2 ou dXX 2 ≤ x ≤ dXX 6 .
7. Temos duas equações: (I) ax2 + bx + c = 12 e (II) ax2 + bx + c = –12. 
Em ambos os casos, a soma das raízes é – b __ a . Na equação (I), o produto 
das raízes é c – 12 ______ a ; na (II), o produto é 
c + 12 ______ a > 
c – 12 ______ a . Logo, 
a equação (I) tem raízes –2 e 5 e a (II) tem raízes 1 e 2. Portanto: 
– b __ a = 3, 
c – 12 ______ a = –10, 
c + 12 ______ a = 2.
R.: a = 2, b = –6, c = – 8
8. 
a) 
b) Considerando a função g(x) = 3, o número de raí-
zes da equação f(x) = g(x) é o número de intersecções 
entre os gráficos de f(x) e g(x).
Pelo gráfico, podemos ver que há 4 intersecções; por-
tanto, 4 raízes da equação f(x) = 3.
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. Entre 10h e 11h.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Tomando como referência o ponto (1, 2) destacado 
no gráfico, temos:
 2 = 2 · 1 +  1 + p  ⇔  1 + p  = 0 ⇔ p = –1.
b) 2x +  x – 3  = 12 ⇔  x – 3  = 12 – 2x ⇔ 
⇔ x – 3 = 12 - 2x ou x – 3 = 2x – 12 ⇔
⇔ x = 5 ou x = 9.
 x = 9 não convém, pois 12 – 2 · 9 < 0.
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.
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a) 
b) 
c) || x | – 1| – 1 = 5 ⇔ || x| – 1 | = 6 ⇔
 ⇔
 | x | – 1 = 6 ⇔ |x | = 7 ⇔ x = ±7
 | x | – 1 = –6 ⇔ |x | = –5 (não convém)
S = {- 7;7}.
3. 
a) Observe a figura:
b) – 3 ___ 2 ; 0 e 
5 ___ 
2
 
c) m = 0 → 2 raízes distintas.
 0 < m < 1 __ 
2
 → 4 raízes distintas.
 m = 1 ___ 
2
 → 3 raízes distintas.
 m > 1 ___ 
2
 → 2 raízes distintas.
4. 
a) Observe os gráficos a seguir:
b) S = { x [ R | x < -7 __ 6 } .
5. 
a) 
b) Os valores dos números reais a e b são dXX 2 e 2, res-
pectivamente.
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ANOTAÇÕES
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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
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ÁLGEBRA E
TRIGONOMETRIA
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E.O. AprEndizAgEm
1. O conjunto solução da inequação sen x ≤ 
dXX 3 ____ 2 , x [ [0, 2p], é:
a) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
b) 0 < x < p __ 3 ou 
2p ___ 3 < x < p.
c) 0 ≤ x ≤ p __ 3 .
d) 2p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
2. Sendo x [ R, o conjunto solução de sen x ≥ 0 é:
a) 0 ≤ x ≤ p.
b) 2kp ≤ x ≤ p + 2kp, k [ Z.
c) kp ≤ x ≤ p + 2kp, k [ Z.
d) p __ 2 + 2kp ≤ x ≤ 
3p ___ 2 + 2kp, k [ Z.
3. Determine o conjunto solução da inequação – 1 __ 2 ≤ sen x ≤ 
 dXX 2 ___ 2 , 
onde x [ [0, 2π].
a) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
2p ___ 4 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
c) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
3p ___ 4 ≤ x ≤ 
7p ___ 6 ou 
11p ____ 6 ≤ x ≤ 2p.
d) 0 ≤ x ≤ p __ 4 ou 
3p ___ 4 ≤ x ≤ 
4p ___ 3 ou 
5p ___ 3 ≤ x ≤ 2p.
4. Resolvendo a inequação tg x ≥ dXX 3 para todo x real, 
obtemos o conjunto solução:
a) kp ≤ x ≤ p __ 2 + kp, k [ Z.
b) p __ 6 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k [ Z.
c) p __ 4 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k [ Z.
d) p __ 3 + kp ≤ x ≤ 
p __ 2 + kp, k[ Z.
5. O conjunto solução da inequação sen x ≥ 1 __ 2 , sendo 
0 ≤ x ≤ 2p, é:
a) S = [ p __ 3 , 5p ___ 6 ] .
b) S = [ p __ 4 , 3p ___ 4 ] .
c) S = [ p __ 3 , 2p ___ 3 ] .
d) S = [ p __ 6 , 11p ____ 6 ] .
e) S = [ p __ 6 , 5p ___ 6 ] .
6. No universo [0; 2π], o conjunto solução da inequação 
0 ≤ sen ( x – p __ 3 ) ≤ 
1 __ 2 é:
a) [ 0; p __ 6 ] ø [ 5p ___ 6 ; p ] . d) [ 0; p __ 3 ] ø [ 5p ___ 3 ; 7p ___ 3 ] .
b) [ 0; p __ 6 ] . e) [ 
p __ 6 ; 5 
p __ 6 ] .
c) [ p __ 3 ; p __ 2 ] ø [ 7p ___ 6 ; 4p ___ 3 ] .
7. (UEG - 2017) A inequação sen (x) cos (x) ≤ 0, no inter-
valo de 0 ≤ x ≤ 2π e x real, possui conjunto solução:
a) p __ 2 ≤ x ≤ p ou 
3p ___ 2 ≤ x ≤ 2π.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 2 ou π ≤ x ≤ 
3p ___ 2 
c) p __ 4 ≤ x ≤ 
3p ___ 4 ou 
5π ___ 4 ≤ x ≤ 
7π ___ 4 
d) 3π ___ 4 ≤ x ≤ 
5p ___ 4 ou 
7π ___ 4 ≤ x ≤ 2π
e) 0 ≤ x ≤ p __ 3 ou 
2p ___ 3 ≤ x ≤ π
8. O conjunto solução S da inequação sen x · cos x < 1 __ 4 , 
sendo x [ [0, p[ , é tal que S é igual a:
a) 0 ≤ x ≤ p ___ 12 ou 
5p ___ 12 ≤ x < p.
b) 0 ≤ x ≤ p __ 6 ou 
5p ___ 6 ≤ x < 2p.
c) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 .
d) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 ou 
7p ___ 6 ≤ x < 
11p ____ 6 .
9. A inequação 32 sen (x) – 1 ≥ 1, supondo x [ [0, p], apre-
senta o seguinte conjunto solução:
a) p __ 3 ≤ x ≤ 
2p ___ 3 . c) 
p __ 4 ≤ x ≤ 
3p ___ 4 .
b) p __ 6 ≤ x ≤ 
5p ___ 6 . d) 0 ≤ x ≤ 
p __ 6 .
10. Determinando o(s) valor(es) de x [ R que satisfaz(em) 
a desigualdade cos2 x ≥ 2(sen x + 1), onde x pertence ao 
intervalo [0,2p), encontramos:
a) 3p ___ 2 + 2kp, onde k [ Z.
b) 3p ___ 4 + kp, onde k [ Z.
c) 3p ___ 2 + kp, onde k [ Z.
d) 5p ___ 3 + 2kp, onde k [ Z.
 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
21 e 22
MT
AULAS 
27 E 28
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E.O. FixAçãO
1. O conjunto solução da inequação
 1 __ 4 ≤ sen x · cosx ≤ 1 __ 2 supondo x [ [0, p], é:
a) p __ 6 < x < 
5p ___ 6 .
b) p __ 3 ≤ x ≤ 
2p ___ 3 .
c) p __ 12 ≤ x ≤ 
5p ___ 12 .
d) 0 ≤ x ≤ p.
2. Considerando x [ [ 0, p __ 2 ] , o conjunto solução da ine-
quação log0,5 (cos(3x)) ≥ log0,5 ( dXX 3 ___ 2 ) é dado por:
a) p __ 6 ≤ x ≤p __ 2 . c) 
p __ 3 ≤ x ≤ 
p __ 2 .
b) p ___ 18 ≤ x ≤ 
p __ 6 . d) 
p __ 9 ≤ x ≤ 
p __ 6 .
3. (PUC-CAMP) Seja f a função de R em R definida por 
f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação f(x) ≥ 0, no 
universo U = [0,2p], é: 
a) [0, π].
b) [ p __ 2 , 3p ___ 2 ] .
c) [p, 2p].
d) [ p __ 2 , p ] ø [ 3p ___ 2 , 2p ] .
e) [ 0, p __ 2 ] ø [ 3p ___ 2 , 2p ] .
4. (UEL) Se x [ [0, 2p], então cos x > 1 __ 2 se, e somente se, 
x satisfazer à condição: 
a) p __ 3 < x < 
5p ___ 3 .
b) p __ 3 < x < 
p __ 2 .
c) p < x < 2p.
d) p __ 2 < x < 
3p ___ 2 ou 
5p ___ 3 < x < 2p.
e) 0 ≤ x < p __ 3 ou 
5p ___ 3 < x ≤ 2p.
5. (Mackenzie) Quando resolvida no intervalo [0; 2p], o nú-
mero de quadrantes nos quais a desigualdade 2 cos x < dXX 3 
apresenta soluções é: 
a) 0. d) 3.
b) 1. e) 4.
c) 2.
6. (UFAL) O mais amplo domínio real da função defini-
da por y = log[sen(x)] é o conjunto dos números reais 
x tais que, para todo k [ Z: 
a) –kp < x < kp.
b) kp < x < (k – 1)p.
c) kp < x < (k + 1)p.
d) 2kp < x < (2k – 1)p.
e) 2kp < x < (2k + 1)p.
 7. (UFRGS) No intervalo real [ 0, p __ 2 ] , o conjunto solução 
da desigualdade sen x cos x ≤ 1 __ 4 é: 
a) [0, p/15]. d) [0, p/8].
b) [0, p/12]. e) [0, p/6].
c) [0, p/10].
8. (Cefet MG) A solução da inequação
0 < 2 sen
2 x + sen 2x ________________ 1 + tg x < 1 para x [ [0, p __ 2 [ é o conjunto: 
a) [0, p __ 4 [. d) ]0, p __ 2 [.
b) ]0, p __ 4 [. e) [ p __ 4 , p __ 2 [.
c) [0, p __ 2 [.
9. (Mackenzie) Em R, o domínio da função f, definida 
por f(x) = dXXXXXXX sen 2x ______ sen x , é: 
a) {x [ R | x ≠ kp, k [ Z}.
b) {x [ R | 2kp < x < p + 2kp, k [ Z}.
c) { x [ R | p __ 2 + 2k p ≤ x ≤ 3p ___ 2 + 2kp, k [ Z } .
d) {x [ R | 2kp < x ≤ p __ 2 + 2kπ ou
 3p ___ 2 + 2kp ≤ x < 2p + 2kp, k [ Z}.
e) {x [ R | 2kp ≤ x ≤ p __ 2 + 2kp ou
 3p ___ 2 + 2kp ≤ x < 2p + 2kp, k [ Z}.
E.O. COmplEmEntAr
1. (FEI) Se 0 < x < 2p e sen x > cos x, então: 
a) p __ 4 < x < 
5p ___ 4 .
b) p __ 4 < x < 
7p ___ 4 .
c) p __ 8 < x < 
7p ___ 8 .
d) p __ 2 < x < 
3p ___ 2 .
e) p __ 4 < x < 
3p ___ 2 .
2. (ITA) Para x no intervalo [ 0, p __ 2 ] , o conjunto de todas as 
soluções da inequação sen (2x) – sen [ 3x + ( p __ 2 ) ] > 0 é o 
intervalo definido por: 
a) p ___ 10 < x < 
p __ 2 .
b) p ___ 12 < x < 
p __ 4 .
c) p __ 6 < x < 
p __ 3 .
d) p __ 4 < x < 
p __ 2 .
e) p __ 4 < x < 
p __ 3 .
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3. (Espcex (Aman)) Seja b = 1 __ 2 · 
log103 _____________ 
log103 – log107
 .
O conjunto solução da desigualdade 3cos(x) ≤ ( 3 __ 7 ) 
b
 no in-
tervalo [0, 2p) é igual a: 
a) [0, p __ 3 ).
b) [ p __ 3 , 5p ___ 3 ].
c) [ p __ 3 , 2p].
d) [ p __ 3 , 2p).
e) [ 3p ___ 2 , 2p).
4. (Epcar (AFA)) Sendo x [ [0, 2p] a interpretação grá-
fica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução da 
inequação –8 sen4 x + 10 sen2 x – 3 < 0 é dada por: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
E.O. dissErtAtivO
1. Resolva a inequação 0 < tg(x) < 
dXX 3 ___ 3 , para x [ [0,2p[.
2. (ITA) Determine o maior domínio D , R da função
f: D é R, f(x) = log (4 senx cosx –1).
3. (UFF) Determine o(s) valor(es) de x [ R que satisfa-
z(em) à desigualdade:
cos2 x ≥ 2(sen x + 1)
4. (Unirio) Resolva a sentença 
2 cos2 x – 3 cos x + 1 ≤ 0, sendo 0 ≤ x < 2p. 
5. (UFJF) Considere a função f : [0, 2p] é R definida por 
f(x) = 2 + cos x.
a) Determine todos os valores do domínio da função f 
para os quais f(x) ≥ 3 __ 2 .
b) Seja g : [0, p] é R a função definida por g(x) = 2x. 
Determine a função composta h = fog, explicitando 
sua lei de formação, seu domínio e contradomínio.
c) Verifique que a lei da função composta h pode ser 
escrita na forma h(x) = 3 – 2sen2 x. 
6. (ITA) Determine para quais valores de x [ ( – p __ 2 , 
p __ 2 ) vale 
a desigualdade logcosx(4 senx
2 – 1) – logcosx
 (4 – sec2x) > 2. 
7. (ITA) Determine o conjunto de todos os valores de 
x [ [0, 2p] que satisfazem, simultaneamente, às se-
guintes equações:
I. 2 sen
2 x + sen x – 1 __________________ cos x – 1 < 0
II. tg x + dXX 3 < ( 1 + dXX 3 cotg x ) cotg x.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) A temperatura média diária, T, para um deter-
minado ano, em uma cidade próxima ao polo norte é 
expressa pela função abaixo:
T = 50sen [ ( 2p ____ 365 ) (t – 101) ] + 7
Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao 
dia 10 de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. 
A relação entre as temperaturas medidas na escala 
Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala 
Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação:
C = ( 5 __ 9 ) (F – 32)
Em relação a esse determinado ano, estabeleça:
a) o dia no qual a temperatura será a menor possível;
b) o número total de dias em que se esperam tempe-
raturas abaixo de 0 °C.
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E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O conjunto solução de |cos x| < ( 1 __ 2 ) , para 0 < x < 2p, 
é definido por: 
a) (p/3) < x < (2p/3) ou (4p/3) < x < (5p/3).
b) (p/6) < x < (5p/6) ou (7p/6) < x < (11p/6).
c) (p/3) < x < (2p/3) e (4p/3) < x < (5p/3).
d) (p/6) < x < (5p/6) e (7p/6) < x < (11p/6). 
e) (p/6) < x < (2p/3) ou (4p/3) < x < (11p/6).
2. (Fuvest) O triângulo AOB é isósceles, com 

 OA = 

 OB , e 
ABCD é um quadrado. Sendo u a medida do ângulo A 
 ̂ 
 O B, 
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que 
a área do triângulo se: 
Dados os valores aproximados:
tg 14º j 0,2493, tg 15º j 0,2679
tg 20º j 0,3640, tg 28º j 0,5317
a) 14º < u < 28º.
b) 15º < u < 60º.
c) 20º < u < 90º.
d) 25º < u < 120º.
e) 30º < u < 150º.
3. (UNESP) O conjunto solução (S) para a inequação 
2 ⋅ cos2x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < π, é dado por:
a) S = {x∈ (0, π)|0 < x < π __ 6 ou 
5π ___ 6 < x < π}
b) S = {x∈(0, π)| π __ 3 < x < 
2π ___ 3 }
c) S = {x∈(0, π)|0 < x < π __ 3 ou 
2π ___ 3 < x < π}
d) S = {x∈(0, π)| π __ 6 < x < 
5π ___ 6 }
e) S = {x∈(0, π)}
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unifesp) A função
D(t) = 12 + (1,6) · cos [ p ____ 180 (t + 10) ] 
fornece uma aproximação da duração do dia (diferença 
em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do 
nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 
2010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 
1 a 365, sendo t = 1 correspondente ao dia 1º de janei-
ro e t = 365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O 
argumento da função cosseno é medido em radianos. 
Com base nessa função, determine:
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resul-
tado em horas e minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia 
naquela cidade foi menor ou igual a doze horas. 
2. (Fuvest) Determine os valores de x no intervalo ] 0,2p [ 
para os quais cos x ≥ dXX 3 sen x + dXX 3 . 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. B 3. C 4. D 5. E
6. C 7. A 8. A 9. B 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. B 3. A 4. E 5. E
6. E 7. B 8. B 9. D
E.O. Complementar
1. A 2. A 3. B 4. B
E.O. Dissertativo
1. S = { 0 < x < p __ 6 ou p < x < 7p ___ 6 } .
2. D = ] p ___ 12 , p __ 4 [.
3. x = 2kp – p __ 
2
 , k [ Z.
4. 0 ≤ x ≤ p __ 
3
 ou 5π ___ 
3
 ≤ x < 2p. 
5. 
a) { x [ R | 0 ≤ x ≤ 2p ___ 3 ou 4p ___ 3 ≤ x ≤ 2p } .
b) h : [0, p] é R onde h(x) = 2 + cos (2x). 
D = [0, p] ; Im = [1,3]
c) h(x) = 2 + cos 2x = 2 + (cos2 x – sen2 x) = 
= 2 + (1 – 2sen2 x) = 3 – 2sen2 x. 
6. S = { x [ R | – p __ 4 < x < – 
p __ 
6
 ou p __ 
6
 < x < p __ 
4
 } .
7. {x [ R | p __ 6 < x < p __ 4 ou p __ 2 < x < 2p ___ 3 ou 3p ___ 4 < x < 5p ___ 6 }.E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) 10 de janeiro. b) 243 dias.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. E 3. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 12 h 48 min. b) 181 dias.
2. S = { x e R | 3p ___ 2 ≤ x ≤ 
11p ____ 
6
 }.
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas mu-
sicais. Para compor um trecho de três notas musicais 
sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas 
que existem na escala musical. O número de melodias 
diferentes possíveis de serem escritas é: 
a) 3.
b) 21.
c) 35.
d) 210.
e) 5040.
2. Por questão de segurança, os bancos instalaram ao 
lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por 
trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua pró-
pria senha. Suponha que esta senha seja composta por 
quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser 
criadas se forem usados apenas os números primos que 
aparecem no teclado? 
a) 6.
b) 24.
c) 80.
d) 120.
e) 720.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-
tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja 
menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não 
é reposto, e as partes mais moles e internas do dente 
logo apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebi-
das comuns é surpreendentemente alta; as substâncias 
listadas a seguir, por exemplo, podem causar danos aos 
seus dentes com contato prolongado. 
BREWER. 2013, p. 64.
comida/bebida pH
Suco de limão/lima 1,8 – 2,4
Café preto 2,4 – 3,2
VinagrE 2,4 – 3,4
Refrigerantes de cola 2,7
Suco de laranja 2,8 – 4,0
Maçã 2,9 – 3,5
Uva 3,3 – 4,5
Tomate 3,7 – 4,7
maionese/molho de salada 3,8 – 4,0
Chá preto 4,0 – 4,2
3. (UNEB) Considere que em um laboratório foram ve-
rificadas, por um técnico, duas amostras de alimentos 
que constam na tabela e verificado, por ele, que o pH 
dessas substâncias era, respectivamente, 3,2 e 4,2.
Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afir-
mar que o número de maneiras distintas que esse técni-
co tem para tentar identificar, de maneira correta, quais 
foram os dois alimentos examinados é igual a:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 14.
e) 15.
4. (Unisinos) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de 
carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de 
sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos 
escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 
salada e 1 sobremesa? 
a) 23.
b) 24.
c) 401.
d) 572.
e) 960.
 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
COMPETÊNCIA(s)
1
HABILIDADE(s)
2 e 3
MT
AULAS 
29 E 30
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5. (Mackenzie) Cada um dos círculos da figura deverá 
ser pintado com uma cor, escolhida dentre três dispo-
níveis. Sabendo que dois círculos consecutivos nunca 
serão pintados com a mesma cor, o número de formas 
de se pintar os círculos é:
a) 72.
b) 68.
c) 60.
d) 54.
e) 48.
6. (UCS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram 
do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo 
ou errado para sua resposta. Nas outras quatro ques-
tões, o candidato devia escolher, entre três alternativas, 
a verdadeira. 
Quantas sequências de respostas são possíveis na reso-
lução da prova? 
a) (6 · 2)2.
b) (6 · 2) + (4 · 3).
c) 62 · 43.
d) 102 + 3.
e) 26 · 34.
7. (UEPB) Com os números naturais n, 1 ≤ n ≤ 9, 
o total de números inteiros que podemos obter com 
três algarismos distintos, não divisíveis por 5, é:
a) 448.
b) 446.
c) 444.
d) 348.
e) 346.
8. (PUC - 2017) Uma pessoa dispõe das seguintes co-
res de tinta: amarela, azul, verde, vermelha e branca, 
e irá utilizá-las para pintar um pote. Nesse pote serão 
pintadas a tampa, a lateral e uma lista na lateral, de 
modo que a tampa e a lateral poderão ter a mesma cor 
ou cores diferentes. O número de maneiras distintas de 
pintar esse pote é:
a) 100. c) 60.
b) 80. d) 40.
9. (UFSCar) Um encontro científico conta com a partici-
pação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 quí-
micos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do 
encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois 
cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo 
sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por 
cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas 
que podem representar o grupo no congresso é igual a: 
a) 46. d) 83.
b) 59. e) 91.
c) 77.
10. (UFC) A quantidade de números inteiros, positivos 
e ímpares, formados por três algarismos distintos, es-
colhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, 
é igual a: 
a) 320.
b) 332.
c) 348.
d) 360
e) 384.
E.O. FixAçãO
1. (FGV) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, 
i, j }, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de 
modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam 
necessariamente diferentes?
a) 7 290. d) 6 840.
b) 5 040. e) 11 220.
c) 10 000.
2. (UEMG - 2017) Os números 258 e 179 têm seus alga-
rismos escritos em ordem crescente. Os números 558 e 
496 não têm seus algarismos escritos em ordem cres-
cente. Quantos são os números de três algarismos no 
qual esses algarismos aparecem em ordem crescente?
a) 84. c) 504.
b) 120. d) 720.
3. (UPF) Alice não se recorda da senha que definiu no 
computador. Sabe apenas que é constituída por quatro 
letras seguidas, com pelo menos uma consoante. 
Se considerarmos o alfabeto como constituído por 
23 letras, bem como que não há diferença para o 
uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos 
dessa forma é possível compor?
a) 234. d) 234 – 54.
b) 233 · 18. e) 184 + 54.
c) 233 · 72.
4. (UFJF) Uma empresa escolherá um chefe para cada 
uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser es-
colhido entre os funcionários das respectivas reparti-
ções e não devem ser ambos do mesmo sexo.
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das re-
partições A e B.
Funcionários
Repartições
A B
Mulheres 4 7
Homens 6 3
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De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos?
a) 12. d) 54.
b) 24. e) 72.
c) 42.
5. (PUC-SP) Na sala de reuniões de certa empresa há 
uma mesa retangular com 10 poltronas dispostas da 
forma como é mostrado na figura abaixo.
Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar 
de uma reunião a ser realizada nessa sala: o presidente, 
o vice-presidente, um secretário e quatro membros da 
diretoria. Sabe-se que: o presidente e o vice-presidente 
deverão ocupar exclusivamente as poltronas das cabe-
ceiras da mesa; o secretário deverá ocupar uma poltrona 
ao lado do presidente.
Considerando que tais poltronas são fixas no piso da 
sala, de quantos modos as sete pessoas podem nelas se 
acomodar para participar de tal reunião? 
a) 3.360. d) 1.240.
b) 2.480. e) 840.
c) 1.680.
6. (Cesgranrio) No código Morse, as letras são . e –, e as 
palavras contêm de uma a quatro letras. O número de 
palavras distintas que podem ser formadas neste códi-
go é de: 
a) 16. d) 26.
b) 20. e) 30.
c) 24.
7. (FGV - 2017) O total de números de cinco algarismos 
que possuem pelo menos dois dígitos consecutivos 
iguais em sua composição é igual a:
a) 6.581.
b) 9.590.
c) 18.621.
d) 27.930.
e) 30.951.
8. (UECE) Paulo possui 709 livros e identificou cada um 
destes livros com um código formado por três letras 
do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” as-
sim definida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,... 
Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o se-
gundo com AAB,... Nestas condições, considerando o 
alfabeto com 26 letras, o código associado ao último 
livro foi: 
a) BAG. c) BBC.
b) BAU. d) BBG.
9. (Cefet MG) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias 
coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem co-
nhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no inte-
rior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, 
em cada ano, ora em cidadeslitorâneas, ora, em interiora-
nas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada 
uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade 
de maneiras possíveis para atender a esse critério é:
a) 2 · 3 · 11. d) 28 · 34 · 52.
b) 22 · 3 · 11. e) 29 · 34 · 52.
c) 2 · 32 · 11.
10. (ESPM) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos 
formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos. 
Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é: 
a) 10. d) 8.
b) 12. e) 7.
c) 5.
E.O. COmplEmEntAr
1. (IME) Em uma festa de aniversário estão presentes 
n famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias 
com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira 
que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul en-
frentará uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, 
uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, 
enquanto a outra equipe terá 2 pessoas de uma mesma 
família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai 
enfrente 2 pessoas de sua própria família. Para que se 
tenha exatamente 2014 formas distintas de se organi-
zar a brincadeira, o valor de n deverá ser:
a) 17. d) 20.
b) 18. e) 21.
c) 19.
2. (Epcar - 2017) Um baralho é composto por 52 car-
tas divididas em 4 naipes distintos (copas, paus, ouros 
e espadas). Cada naipe é constituído por 13 cartas, das 
quais 9 são numeradas de 2 a 10 e as outras 4 são 1 
valete (J), 1 dama (Q),1 rei (K) e 1 ás (A).
Ao serem retiradas desse baralho duas cartas, uma a 
uma e sem reposição, a quantidade de sequências que 
se pode obter em que a primeira carta seja de ouros e a 
segunda não seja um ás é igual a:
a) 612 c) 614
b) 613 d) 615
3. (Ibmec RJ) Um vagão de metrô tem 10 bancos indi-
viduais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passa-
geiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar 
de costas e os demais não têm preferência. De quantos 
modos eles podem sentar, respeitadas as preferências?
a) Um número inteiro maior que 40000.
b) Um número inteiro entre 167 e 40000.
c) Exatamente 166.
d) Um número inteiro menor que 100.
e) Exatamente 40000.
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4. (Insper) Em uma malha, formada por quadrados de 
lado medindo 1 cm, foram traçados dois segmentos pa-
ralelos, tendo um deles 7 pontos em destaque, e o outro 
6, conforme indica a figura.
 
Um quadrilátero deve ser desenhado sobre essa malha de 
maneira que tenha os quatro vértices dentre os 13 pontos 
destacados dos segmentos. O quadrilátero deverá ter ape-
nas um par de lados paralelos, e área igual a 12 cm2. O to-
tal de quadriláteros diferentes que podem ser desenhados 
atendendo às condições estabelecidas é igual a:
a) 19.
b) 22.
c) 29.
d) 32.
e) 33.
5. (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos 
podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazen-
do à seguinte regra: o número não pode ter algarismos 
repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em 
que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.
Assinale o resultado obtido. 
a) 204. d) 210.
b) 206. e) 212.
c) 208.
E.O. dissErtAtivO
1. (FGV) Preparando-se para a sua festa de aniversário 
de sessenta anos, uma senhora quer usar três anéis de 
cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada 
dedo. De quantos modos diferentes pode colocá-los, se 
não vai por nenhum anel nos polegares?
2. (UFPR) Um cadeado com segredo possui três engre-
nagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. 
Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser 
colocados numa sequência correta, escolhendo-se um 
dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 593...)
a) Quantas possibilidades diferentes existem para a 
escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve apa-
recer obrigatoriamente e uma única vez?
b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo 
no qual todos os dígitos são distintos e o dígito 3 
aparece obrigatoriamente? 
3. (UFES) Uma associação de moradores arrecadou 2160 
camisas, 1800 calças e 1200 pares de sapatos, que serão 
todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. 
Dentro de cada pacote, um item poderá ter quantidade 
diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantida-
de de camisas não precisará ser igual à de calças ou à 
de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, 
em todos os pacotes, deverá ser a mesma, assim como a 
quantidade de calças e a de pares de sapatos. 
a) Determine o maior número possível de pacotes que 
podem ser preparados e qual a quantidade de cami-
sas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, 
haverá em cada pacote. Justifique.
b) Pedro recebeu um pacote de doações com ℓ cami-
sas diferentes, m calças diferentes e n pares de sapa-
tos diferentes. Calcule a quantidade de escolhas, que 
ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas 1 
camisa, 1 calça e 1 par de sapatos do pacote.
4. (UFC) Atualmente, as placas dos veículos são forma-
das por três letras seguidas de quatro algarismos. Con-
siderando estas informações, calcule o número de placas 
distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras 
HUI, nesta ordem, e cujo último algarismo seja ímpar. 
5. (UFG) Os computadores digitais codificam e armaze-
nam seus programas na forma binária. No código bi-
nário, que é um sistema de numeração posicional, as 
quantidades são representadas somente com dois alga-
rismos: zero e um. Por exemplo, o código 101011001, no 
sistema binário, representa o número 345, do sistema 
de numeração decimal. Assim sendo, calcule quantos 
códigos binários podem ser escritos com exatamente 
nove algarismos, considerando que o primeiro algaris-
mo do código binário é 1.
6. (UFRN) O quadro de avisos de uma escola de ensino 
médio foi dividido em quatro partes, como mostra a fi-
gura a seguir.
 
No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da dire-
toria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, res-
pectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º 
anos do ensino médio. 
A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) 
fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para 
isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores 
e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro.
Determine o número máximo de sugestões diferentes que 
podem ser apresentadas pelos servidores e alunos.
7. Fernando tem na sua cômoda 17 meias pretas, 11 
meias marrons e 9 meias azuis. As meias estão todas 
misturadas. Fernando retira algumas da cômoda, no es-
curo, sem ver as cores. Quantas meias devem ser retira-
das da cômoda para que Fernando tenha a certeza de 
conseguir, pelo menos, duas da mesma cor? 
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8. (FGV) Em uma gaveta de armário de um quarto escu-
ro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 
camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas 
que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas 
cores, para que:
a) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
cores diferentes.
b) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
mesma cor.
c) se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma 
camiseta de cada cor. 
9. (FGV) 
a) No sistema de numeração de base decimal, quan-
tos números pares existem com 3 algarismos distin-
tos e maiores que 800?
b) Quantos são os números inteiros e positivos meno-
res que 120 e cujo maior divisor comum, entre qual-
quer um desses números e 120, é 1? 
10. (FGV) Um funcionário do setor de planejamento de 
uma distribuidora de materiais escolares verifica que 
as lojas dos seus três clientes mais importantes estão 
localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4). Todas as 
unidades são dadas em quilômetros.
O setor de planejamento decidiu instalar um depósito 
no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o de-
pósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC.
 
Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade 
de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, 
de acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre 
com o preço unitário de determinado tipo de agenda 
escolar e a quantidadevendida.
Preço de 
uma lapiseira
Quantidade
Preço de 
uma agenda
Quantidade
R$ 10,00 100 R$ 24,00 200
R$ 15,00 80 R$ 13,50 270
R$ 20,00 60 R$ 30,00 160
A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fecha-
dos. Um tipo, com 24 lápis de cor em cada estojo, é uma 
caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo 
de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 
576 cm3.
O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a 
forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 3/4 do 
custo de fabricação do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, inde-
pendente de sua forma, é R$0,10 o centímetro quadrado.
A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três 
funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos sa-
lários mensais dos três, em dezembro de 2011, era de 
R$5.000,00. 
As rodovias entre o local onde vai ser instalado o depó-
sito e as três cidades e entre as três cidades entre si são 
razoavelmente planas e estão em boas condições. Todas 
as rodovias podem ser consideradas como segmentos 
de retas que unem os pontos A, B e C e o ponto onde 
deve ser instalado o depósito.
a) Semanalmente, um caminhão de entregas deve sair 
do ponto P − o depósito −, passar pelas três lojas e 
retornar ao ponto P. Quantos percursos diferentes o 
caminhão pode fazer?
b) Pensando em termos de economia de combustível, 
que percurso (ou percursos) ele deve escolher?
E.O. EnEm
1. (Enem) O diretor de uma escola convidou os 280 alu-
nos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. 
Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa 
casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um 
dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da 
brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por 
qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto 
foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um alu-
no é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem 
ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno 
não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta 
do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a 
brincadeira é encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta por-
que há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
2. (Enem) O designer português Miguel Neiva criou um 
sistema de símbolos que permite que pessoas daltôni-
cas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização 
de símbolos que identificam as cores primárias (azul, 
amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois 
desses símbolos permite identificar cores secundárias 
(como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). 
O preto e o branco são identificados por pequenos qua-
drados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que 
simboliza o branco é vazio. Os símbolos que represen-
tam preto e branco também podem ser associados aos 
símbolos que identificam cores, significando se estas 
são claras ou escuras.
Folha dE Sao paulo. diSponívEl Em: WWW1.Folha.uol.
com.BR. acESSo Em: 18 FEv. 2012. (adaptado)
De acordo com o texto, quantas cores podem ser repre-
sentadas pelo sistema proposto? 
a) 14. d) 21.
b) 18. e) 23.
c) 20.
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3. (Enem) A escrita Braile para cegos é um sistema de 
símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 
pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo 
menos um se destaca em relação aos demais.
Por exemplo, a letra A é representada por
O número total de caracteres que podem ser represen-
tados no sistema Braile é:
a) 12.
b) 31.
c) 36.
d) 63.
e) 720.
4. (Enem) No Nordeste brasileiro, é comum encontrar-
mos peças de artesanato constituídas por garrafas 
preenchidas com areia de diferentes cores, formando 
desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de 
cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo 
desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, pal-
meira e fundo), conforme a figura.
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; 
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmei-
ra, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter 
a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma 
questão de contraste, então o número de variações que 
podem ser obtidas para a paisagem é:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
5. (Enem) O código de barras, contido na maior parte 
dos produtos industrializados, consiste num conjunto 
de várias barras que podem estar preenchidas com cor 
escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre es-
sas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no 
número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Obser-
ve a seguir um exemplo simplificado de um código em 
um sistema de código com 20 barras.
Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direi-
ta irá ler: 01011010111010110001.
Se o leitor óptico for passado da direita para a esquer-
da irá ler: 10001101011101011010.
No sistema de código de barras, para se organizar o 
processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar 
em consideração que alguns códigos podem ter leitu-
ra da esquerda para a direita igual à da direita para a 
esquerda, como o código 00000000111100000000, no 
sistema descrito acima.
Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco bar-
ras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda 
para a direita igual a da direita para a esquerda, des-
considerando-se todas as barras claras ou todas as es-
curas, é: 
a) 14. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4.
 6. (Enem) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, 
III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro 
quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que 
podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 
ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontu-
ação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de 
empate, a campeã será a que alcançar a maior soma 
das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo 
e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse 
ano no momento em que faltava somente a divulgação 
das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quesitos
1. Fantasia 
e Alegoria
2. Evolução 
e Conjunto
3. Enredo e 
Harmonia
4. 
Bateria Total
Jurado A B A B A B A B
Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55
Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66
Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50
Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68
Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54
Quantas configurações distintas das notas a serem atri-
buídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam cam-
peã a Escola II?
a) 21
b) 90
c) 750
d) 1.250
e) 3.125
7. (Enem) Um artesão de joias tem a sua disposição pe-
dras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga 
metálica, a partir de um molde no formato de um lo-
sango não quadrado com pedras nos seus vértices, de 
modo que dois vértices consecutivos tenham sempre 
pedras de cores diferentes.
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A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, 
cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocu-
padas pelas pedras.
 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias di-
ferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
a) 6 d) 24
b) 12 e) 36
c) 18
8. (Enem) Um banco solicitou aos seus clientes a cria-
ção de uma senha pessoal de seis dígitos, formada 
somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-
-corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança 
eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar 
seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação 
de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora 
o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 
0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era con-
siderada distinta de sua versão minúscula. Além disso, 
era proibido o uso de outros tipos de caracteres.
Umaforma de avaliar uma alteração no sistema de se-
nhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a 
razão do novo número de possibilidades de senhas em 
relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:
a) 62
6
 ___ 
106
 
b) 62! ___ 
10!
 
c) 62!4! ______ 
10!56!
 
d) 62! – 10!
e) 626 – 106
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Uma loja identifica seus produtos com um código que 
utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nesse sistema de co-
dificação, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. 
A conversão do código em algarismos do número cor-
respondente a cada produto deve ser feita de acordo 
com esta tabela:
Código Algarismo Código Algarismo
0000 0 0101 5
0001 1 0110 6
0010 2 0111 7
0011 3 1000 8
0100 4 1001 9
Observe um exemplo de código e de seu número 
correspondente:
 
1. (UERJ) Existe um conjunto de todas as sequências de 
16 barras finas ou grossas que podem ser representadas.
Escolhendo-se ao acaso uma dessas sequências, a probabi-
lidade de ela configurar um código do sistema descrito é: 
a) 5 ___ 
215
 
b) 25 ___ 
214
 
c) 125 ____ 
213
 
d) 625 ____ 
212
 
 2. (UERJ) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um bara-
lho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo 
naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de 
mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, 
um exemplo de quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas 
desse baralho que contêm uma quadra é igual a:
a) 624
b) 676
c) 715
d) 720
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E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Considere a situação a seguir:
Em um salão há apenas 6 mulheres e 6 homens que sa-
bem dançar. Calcule o número total de pares de pessoas 
de sexos opostos que podem ser formados para dançar.
Um estudante resolveu esse problema do seguinte modo:
A primeira pessoa do casal pode ser escolhida de 12 
modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida 
a primeira, a segunda pessoa só poderá ser escolhida 
de 6 modos, pois deve ser de sexo diferente da primei-
ra. Há, portanto, 12 × 6 = 72 modos de formar um casal.
Essa solução está errada. Apresente a solução correta.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Um sistema de numeração de base b, sendo b ≥ 2, utili-
za b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1.
O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escre-
vemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa 
ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 
3 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 8 × 100.
Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base. Por 
exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b = 5 e 
corresponde a 2 × 53 + 0 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50, ou seja, 
273 no sistema decimal. 
2. (UERJ) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo 
de zeros à esquerda da representação de um número 
não altera seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, 
portanto, iguais e formados por três algarismos.
Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quanti-
dade total de números que possuem somente quatro 
algarismos distintos.
3. (UERJ) Com o objetivo de melhorar o tráfego de 
veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a 
construção de quatro terminais de ônibus. Para estabe-
lecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as 
seguintes quantidades de linhas de ônibus:
• do terminal A para o B, 4 linhas distintas;
• do terminal B para o C, 3 linhas distintas;
• do terminal A para o D, 5 linhas distintas;
• do terminal D para o C, 2 linhas distintas.
Não há linhas diretas entre os terminais A e C.
Supondo que um passageiro utilize exatamente duas 
linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C, 
calcule a quantidade possível de trajetos distintos que 
ele poderá fazer. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Dois rapazes e duas moças irão viajar de ôni-
bus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e 2 
juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema.
corredor
do ônibus
1
3 4
2
O número de maneiras de ocupação dessas quatro pol-
tronas, garantindo que, em duas poltronas juntas, ao 
lado de uma moça sempre viaje um rapaz, é:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 12.
e) 16.
2. (Unicamp) Para acomodar a crescente quantidade de 
veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três 
letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras 
e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234 ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 
0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em rela-
ção ao número máximo de placas em vigor seria:
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
3. (Unifesp) Duzentos e cinquenta candidatos subme-
teram-se a uma prova com 5 questões de múltipla 
escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única 
resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos 
assinalaram, para cada questão, uma única resposta, 
pode-se afirmar que pelo menos: 
a) um candidato errou todas as respostas.
b) dois candidatos assinalaram exatamente as mes-
mas alternativas.
c) um candidato acertou todas as respostas.
d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% 
das respostas.
e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.
4. (Fuvest) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos 
para sua conta bancária. Nessa senha, somente os 
algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo 
algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, 
supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha 
o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediata-
mente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distin-
tas Maria pode escolher sua senha? 
a) 551.
b) 552.
c) 553.
d) 554.
e) 555.
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5. (Fuvest) Três empresas devem ser contratadas para 
realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. 
Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e 
todas elas devem ser contratadas. De quantas manei-
ras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? 
a) 12.
b) 18.
c) 36.
d) 72.
e) 108.
6. (Unesp) As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectivamente, 
apenas as letras das palavras OURO, PRATA e BRONZE. 
Uma a uma são retiradas letras dessas urnas, ordenada-
mente e de forma cíclica, ou seja, a primeira letra reti-
rada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a terceira é da 
urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta volta a 
ser da urna 2, e assim sucessivamente. O número mínimo 
de letras retiradas das urnas dessa maneira até que seja 
possível formar, com elas, a palavra PRAZER é igual a 
a) 8.
b) 6.
c) 10.
d) 9
e) 7
7. (Unicamp) O número mínimo de pessoas que deve 
haver em um grupo para que possamos garantir que 
nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia 
da semana é igual a
a) 21.
b) 20.
c) 15.
d) 14.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest)
a) Quantos são os números inteiros positivos de qua-
tro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 
5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro al-
garismos citados no item a), quantos são divisíveis 
por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro al-
garismos citados no item a), quantos são divisíveis 
por 4?
2. (Fuvest 2017) Um quadriculado é formado por n × n 
quadrados iguais, conforme ilustrado para n = 2 e n = 
3. Cada um desses quadrados será pintado de azul ou 
de branco. Dizemos que dois quadrados Q1 e Q2 do qua-
driculado estão conectados se ambos estiverem pinta-
dos de azul e se for possível, por meio de movimentos 
horizontais e verticais entre quadrados adjacentes, sair 
de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados 
pintados de azul.
 
a) Se n = 2, de quantas maneiras distintas será pos-
sível pintar o quadriculado de modo que o quadrado 
Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao 
quadrado Q2 do canto superior direito?
b) Suponha que n= 3 e que o quadrado central esteja 
pintado de branco. De quantas maneiras distintas será 
possível pintar o restante do quadriculado de modo 
que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja 
conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?
c) Suponha que n = 3. De quantas maneiras distintas 
será possível pintar o quadriculado de modo que o 
quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja co-
nectado ao quadrado Q2 do canto superior direito?
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. D 2. B 3. C 4. E 5. E
6. E 7. A 8. A 9. D 10. A
E.O. Fixação
1. A 2. A 3. D 4. D 5. A
6. E 7. E 8. D 9. E 10. D
E.O. Complementar
1. A 2. A 3. A 4. B 5. E
E.O. Dissertativo
1. 8 · 7 · 6 = 336.
2. 
a) 
b) 
P = 216 ________ 
10,10,10
 = 21,6%.
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3. 
a) 10 pares de sapatos.
b) ℓ∙m∙n maneiras.
4. 5000.
5. 256.
6. 180 sugestões.
7. 4 meias.
8. 
a) 11.
b) 4.
c) 18.
9. 
a) 72.
b) 32.
10. 
a) 6 possibilidades.
b) Os percursos escolhidos deverão ser PACBP e PBCAP.
E.O. Enem
1. A 2. C 3. D 4. B 5. D
6. C 7. B 8. A
E.O. UERJ 
Exame de Qulificação
1. D 2. A
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 36.
2. 720.
3. 22 trajetos.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. A 3. B 4. A 5. C
6. A 7. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 
6 5 4 3
 6 · 5 · 4 · 3 = 360
b) 5
5 4 3 1
 5 · 4 · 3 · 1 = 60
c) 1 6 + 3 6 
+ 5 6 + 6 8 
+ 9 6
4 · 3 · 5 = 60
2. 
a) 3 maneiras.
b) 33 maneiras.
c) 73 maneiras.
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E.O. AprEndizAgEm
1. (UPE) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante 
tipicamente oriental solicita aos seus clientes que reti-
rem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em 
certa noite, 6 pares de sapatos e 2 pares de sandálias, 
todos distintos, estavam dispostos na entrada do res-
taurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados 
cada uma. Se esses pares de calçados forem organiza-
dos nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam 
ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas 
formas diferentes podem-se organizar esses calçados 
nas duas fileiras? 
a) 6! d) 6 · 6!
b) 2 · 6! e) 8!
c) 4 · 6!
2. (UCS) Rose não anotou o número de celular que seu 
novo amigo lhe informou. Agora ela tem dúvidas em 
relação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os 
dígitos, porém não sabe a ordem em que eles aparecem 
no número do telefone.
Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem 
desses quatros dígitos? 
a) 8. d) 36.
b) 16. e) 120.
c) 24.
3. (UPE) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. 
Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro 
com seus familiares através de fotos. Uma delas, suge-
rida pela família, foi dos avós com seus 8 netos. Por su-
gestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos 
os netos deveriam ficar entre os seus avós. 
De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina 
podem posar para essa foto com os seus netos? 
a) 100. d) 80 640.
b) 800. e) 3 628 800.
c) 40 320.
4. (Uespi) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 
mulheres e 3 homens de tal modo que os 3 homens per-
maneçam juntos? 
a) 8!
b) 6!
c) 6!3!
d) 7!
e) 9!
5. (UEPA) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu 
celular edita fotos, possibilitando diversas formas de 
composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar mol-
duras e mudar a cor da foto. Considerando que esse 
aplicativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de 
molduras e 4 possibilidades de mudar a cor da foto, o 
número de maneiras que esse jovem pode fazer uma 
composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os 
recursos citados, para publicá-las nas redes sociais, con-
forme ilustração abaixo, é:
a) 24 · 1204.
b) 1204.
c) 24 · 120.
d) 4 · 120.
e) 120.
6. (PUC-RJ) A quantidade de anagramas da palavra 
CONCURSO é: 
a) 2520.
b) 5040.
c) 10080.
d) 20160.
e) 40320.
7. (FGV) Uma senha de internet é constituída de seis 
letras e quatro algarismos em que a ordem é levada 
em consideração. Eis uma senha possível: (a, a, b, 7, 7, 
b, a, 7, a, 7).
Quantas senhas diferentes podem ser formadas com 
quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos 
iguais a 7?
a) 10!
b) 2 520
c) 3 150
d) 6 300
e) 10! ____ 4!6! 
8. (UFSM) De quantas maneiras distintas podem-se ali-
nhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma 
branca? 
a) 12.
b) 30.
c) 42.
d) 240.
e) 5040.
 FATORIAL, PERMUTAÇÃO SIMPLES E 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
COMPETÊNCIA(s)
1
HABILIDADE(s)
2 e 3
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AULAS 
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9. (UPF) Na figura a seguir, as linhas horizontais e ver-
ticais representam ruas e os quadrados representam 
quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento 
mínimo ligando A a B é:
a) 40.320.
b) 6.720.
c) 256.
d) 129.
e) 56.
10. (Fatec) No boxe, um dos esportes olímpicos, um 
pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: 
o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que 
um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos 
do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 
golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois 
diretos, um cruzado e um gancho.
Assim, o número máximo de sequências que ele poderá 
criar será de:
Lembre-se de que:
Permutação com repetição
Pn
k1,k2,k3,... = n! __________ 
k1!k2!k3!...
 
a) 180. d) 120.
b) 160. e) 100.
c) 140.
E.O. FixAçãO
1. (UEMA) Uma professora de educação infantil de 
uma escola, durante a recreação de seus 6 alunos, or-
ganiza-os em círculos para brincar. Considere a seguin-
te forma de organização dos alunos pela professora: 
são três meninas e três meninos e cada menina ficará 
ao lado de um menino, de modo alternado. As possibi-
lidades de organização dos seus alunos são:
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
e) 16.
2. (FGV) Colocando em ordem os números resultantes 
das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posi-
ção ocupará o número 35241?
a) 55a.
b) 70a.
c) 56a.
d) 69a.
e) 72a.
3. (Mackenzie) Cinco casais resolvem ir ao teatro e com-
pram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas 
de uma determinada fileira. O número de maneiras que 
essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, 
se um dos casais brigou, e eles não podem se sentar 
lado a lado é: 
a) 9 · (9!) d) 10! ___ 2 
b) 8 · (9!) e) 10! ___ 4 
c) 8 · (8!)
4. (PUC-RS) O número de anagramas da palavra BRASIL 
em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes 
também, é: 
a) 24. d) 240.
b) 48. e) 720.
c) 96.
5. (UFRGS) Se uma partida de futebol termina com o 
resultado de 5 gols para o time A e 3 gols para o time B, 
existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0 × 0 a 
5 × 3. Por exemplo, uma evolução poderia ser.
Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 
0 × 0 a 5 × 3? 
a) 16. d) 48.
b) 24. e) 56.
c) 36.
6. (FGV) O total de números naturais de 7 algarismos tal 
que o produto dos seus algarismos seja 14 é: 
a) 14. d) 42.
b) 28. e) 49.
c) 35.
7. (UFU) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de 
Engenharia Mecânica prevê a construção do robô “Ed-
die”, cujos movimentos estão limitados apenas a andar 
para frente (F) e para a direita (D). Suponha que Eddie 
está na posição A e deseja-se que ele se desloque até che-
gar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são 
permitidos. Admita que cada movimento feito por Eddie 
o leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um 
esquema a seguir, em que foram realizados 10 movimen-
tos (as posições possíveis estão marcadas por pontos e o 
percurso executado de A até B, é representado pela sequ-
ência ordenada de movimentos D F D D F F D F F D).
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Com base nas informações acima, o número de ma-
neiras possíveis de Eddie se deslocar de A até B, sem 
passar pelo ponto C, é igual a: 
a) 192. c) 15.
b) 60. d) 252.
8. (Ibmec-RJ) O número de anagramas que podem ser 
formados com asletras de PAPAGAIO, começando por 
consoante e terminando por O, é igual a:
a) 120.
b) 180.
c) 240.
d) 300.
e) 320.
9. (Esc. Naval) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens 
para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e 
2 para a cidade de Salvador. De quantos modos dife-
rentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando 
somente uma viagem para cada um?
a) 288.
b) 1260.
c) 60800.
d) 80760.
e) 120960.
10. (Espcex - 2017) Um grupo é formado por oito ho-
mens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pes-
soas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que 
as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4, 
e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8.
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas 
obedecendo a essas restrições?
a) 56.
b) 456.
c) 40.320.
d) 72.072.
e) 8.648.640.
E.O. COmplEmEntAr
1. (UPE) A seguir, temos o fatorial de alguns números.
1! = 1
2! = 2 · 1
3! = 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1
Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto 
vale a soma dos seus três últimos algarismos?
a) 0.
b) 6.
c) 13.
d) 20.
e) 21.
2. (ESPM) Para x [ N e x > 2, a expressão
 
(x2 – 1)! · x!
 _________________ 
(x2 – 2)! · (x + 1)!
 é equivalente a: 
a) x – 2. d) x.
b) (x – 2)!. e) x – 1.
c) (x – 1)!.
3. (Espcex (Aman)) Permutam-se de todas as formas 
possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e escrevem-se os 
números assim formados em ordem crescente. A soma 
de todos os números assim formados é igual a:
a) 1 000 000.
b) 1 111 100.
c) 6000 000.
d) 6 666 000.
e) 6 666 600.
4. (EPCAR) Para evitar que João acesse sites não reco-
mendados na Internet, sua mãe quer colocar uma senha 
no computador formada apenas por m letras A e tam-
bém m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida da 
esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, 
não deverá se alterar (Ex.: ABBA)
Com essas características, o número máximo de senhas distin-
tas que ela poderá criar para depois escolher uma é igual a: 
a) 
(2m)!
 _____ m!m! 
b) [ m! ________ ( m __ 2 ) ! ( m __ 2 ) ! ] 
2
c) 
(2m)!
 _________ 
 ( m __ 2 ) ! ( 3m ___ 2 ) !
 
d) m! ________ 
 ( m __ 2 ) ! ( 
m __ 2 ) !
 
5. (Espcex) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX 
forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESP-
CEX ocupará, nessa ordenação, a posição:
a) 144. d) 214.
b) 145. e) 215.
c) 206.
E.O. dissErtAtivO
1. (UA-AM) Simplifique a expressão:
 
(n + 1)! + n!
 ____________ 
(n + 2)!
 , (n [ N, N ≥ 1)
2. Resolva as seguintes equações:
a) x! _______ 
(x – 1)!
 = 2
b) 
x! + (x + 1)!
 ___________ x! = 
5! __ 
4!
 
c) (x – 3)! = 120
d) √
______________________
 
(x + 2)! + (x + 1) (x - 1)! 
 _____________________ 
(x + 1)(x - 1)! 
 = 3
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3. (UFMG) Permutando-se os algarismos do número 
123456, formam-se números de seis algarismos.
Supondo-se que todos os números formados com esses 
seis algarismos tenham sido colocados numa lista em 
ordem crescente:
a) Determine quantos números possui essa lista.
b) Determine a posição do primeiro número que co-
meça com o algarismo 4.
c) Determine a posição do primeiro número que ter-
mina com o algarismo 2. 
4. (UFF) Três ingleses, quatro americanos e cinco fran-
ceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) 
de modo que as pessoas de mesma nacionalidade es-
tejam sempre juntas.
De quantas maneiras distintas a fila poderá ser forma-
da de modo que o primeiro da fila seja um francês? 
5. (UFF) Cinco casais vão se sentar em um banco de 10 
lugares, de modo que cada casal permaneça sempre 
junto ao sentar-se.
Determine de quantas maneiras distintas todos os ca-
sais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco.
6. (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLA-
RA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
O Google, mecanismo de buscas na Internet, indexa tri-
lhões de páginas web, de modo que os usuários podem 
pesquisar as informações de que necessitarem usando 
palavras-chave e operadores. O funcionamento do Goo-
gle é embasado em algoritmos matemáticos, que anali-
sam a relevância de um sítio pelo número de páginas e 
pela importância dessas páginas.
O nome Google é derivado de googol, número defi-
nido por 10100, ou seja, o número 1 seguido de 100 
zeros. A partir do googol, define-se o googolplex, 
correspondente a 10googol, ou seja, o número 1 segui-
do de 10100 zeros.
De acordo com dados do Google, o sítio mais acessado 
atualmente é o Facebook, a maior rede social da Inter-
net. De agosto de 2010 a agosto de 2011, o número de 
usuários dessa rede social passou de 598 milhões para 
753 milhões. A previsão de receita do Facebook para 
2011 é de 4,27 bilhões de dólares, um crescimento de 
115% em relação a 2010. 
7. (UNB) A partir dessas informações, julgue os 
itens subsequentes.
a) A soma dos divisores naturais de 10
100 
 ________ 
290 × 5100
 é um 
número primo.
b) A quantidade de anagramas da palavra googolplex 
que começam por consoante é superior a 105.
c) De agosto de 2010 a agosto de 2011, a taxa de 
crescimento da quantidade de usuários do Facebook 
foi inferior a 25%. 
8. (UFRJ) Considere trajetórias estabelecidas no espaço 
por segmentos de reta consecutivos de modo que todos 
os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos 
a um dos seguintes vetores: (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0).
Assim, as duas sequências de pontos a seguir definem 
trajetórias diferentes que partem do ponto (0,0,0) e 
chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem comprimento 
5, e a segunda, comprimento 7.
Trajetória 1:
(0,0,0) → (1,0,0) → (1,1,0) → (2,1,0) → (2,1,1) → (2,1,2)
Trajetória 2:
(0,0,0) → (0,1,0) → (0,1,1) → (0,1,2) → (0,1,3) → (0,1,2) 
→ (1,1,2) → (2,1,2)
Determine quantas trajetórias assim definidas partem 
do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e têm o me-
nor comprimento possível.
9. (FGV) Considere, no espaço cartesiano bidimensional, 
os movimentos unitários N, S, L e O definidos a seguir, 
onde (a,b) [ R2 é um ponto qualquer: 
N(a, b) = (a, b + 1)
S(a, b) = (a, b – 1)
L(a, b) = (a+1, b)
O(a, b) = (a – 1, b)
Considere ainda que a notação XY(a,b) significa 
X(Y(a,b)), isto é, representa a combinação em sequência 
dos movimentos unitários X e Y, onde o movimento Y é 
executado primeiro e, a seguir, o movimento X.
a) Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em 
qualquer ordem, é nula, isto é, NS(a,b) = SN(a, b) = (a, b).
b) Partindo do ponto (1,4), quantos caminhos míni-
mos (isto é, com a menor quantidade possível de mo-
vimentos) diferentes podem ser percorridos, utilizan-
do apenas os movimentos unitários definidos, para se 
chegar ao ponto (–1,7)?
10. (PUC - 2017 - Adaptado) A capital dos gaúchos, 
oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi 
chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também 
capital dos Pampas recebe o nome de PORTO ALEGRE.
Determine quantos anagramas obtém-se, adicionando o 
número de anagramas formados com as letras da pala-
vra ALEGRE ao de anagramas formados com as letras da 
palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas.
E.O. UErJ 
ExAmE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Uma criança ganhou seis picolés de três sa-
bores diferentes: baunilha, morango e chocolate, re-
presentados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De 
segunda a sábado, a criança consome um único picolé 
por dia, formando uma sequência de consumo dos sa-
bores. Observe estas sequências, que correspondem a 
diferentes modos de consumo:
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(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)
O número total de modos distintos de consumir os pi-
colés equivale a: 
a) 6.
b) 90.
c) 180.
d) 720.
2. (UERJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros 
congruentes, conforme a representação abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobreos lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distin-
tos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível 
para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: 
a) 20.
b) 15.
c) 12.
d) 10.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um sistema luminoso, constituído de oito mó-
dulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em 
código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores di-
ferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações:
• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada 
por vez;
• qualquer mensagem é configurada pelo acendi-
mento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, 
duas verdes e uma amarela, permanecendo dois 
módulos com as três lâmpadas apagadas;
• duas mensagens são diferentes quando pelo menos 
uma das posições dessas cores acesas é diferente.
Calcule o número de mensagens distintas que esse sis-
tema pode emitir.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de 
uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao 
ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela 
caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” 
ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos 
diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:
a) 95 040.
b) 40 635.
c) 924.
d) 792.
e) 35.
2. (Fuvest) Um lotação possui três bancos para passa-
geiros, cada um com três lugares, e deve transportar os 
três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e 
mais quatro pessoas. Além disso:
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de 
dispor os nove passageiros na lotação é igual a: 
a) 928.
b) 1152.
c) 1828.
d) 2412.
e) 3456.
3. (Unesp) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas 
em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: 
chocolate, morango e uva. De quantos modos diferen-
tes ele pode fazer a compra: 
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
e) 15.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. C 3. D 4. C 5. A
6. C 7. C 8. C 9. E 10. A
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E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. C 5. E
6. D 7. A 8. B 9. B 10. C
E.O. Complementar
1. A 2. E 3. E 4. D 5. B
E.O. Dissertativo
1. 1 _____ n + 1 .
2. 
a) x = 2.
b) x = 3.
c) x = 8.
d) x = 2.
3. 
a) 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
b) Começando com 1: 5! = 120
 Começando com 2: 5! = 120
 Começando com 3: 5! = 120
 Logo, o primeiro número que começa por quatro 
ocupa a 361ª posição.
c) 
A posição do primeiro número que termina em 2 é a 
trigésima quarta, pois:
 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 34.
4. 34.560 maneiras.
5. 3.840 maneiras distintas.
6. 24.
7. 
a) Incorreto, 2047 não é primo.
b) Incorreto, a quantidade de anagramas da palavra 
googolplex que começam por consoante é 90720 < 105.
c) Incorreto, a taxa de crescimento foi 25,92% > 25%.
8. 1260.
9. 
a) Tem-se que
 NS(a,b) = N(a,b – 1) = (a,b – 1 + 1) = (a,b)
 e
 SN(a,b) = S(a,b + 1) = (a,b + 1 – 1) = (a,b)
 Portanto, é verdade que
 NS(a,b) = SN(a,b) = (a,b)
b) 10
10. 378
E.O. UERJ 
Exame Qualificação
1. B 2. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 1680
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. E 3. E
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E.O. AprEndizAgEm
1. (Fatec) Para mostrar aos seus clientes alguns dos pro-
dutos que vende, um comerciante reservou um espaço 
em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de re-
frigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes 
de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode ex-
pô-los na vitrine? 
a) 144.
b) 132.
c) 120.
d) 72. 
e) 20.
2. Em um campeonato de tênis de mesa, com dez par-
ticipantes, em que todos jogam contra todos, um dos 
participantes vence todas as partidas, as classificações 
possíveis para os três primeiros colocados é: 
a) 72.
b) 78.
c) 82.
d) 90.
3. (PUC-MG) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 
3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversá-
rio. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses 
salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras 
diferentes de organizar esse serviço. O valor de x é: 
a) 180.
b) 360.
c) 440.
d) 720.
4. (FAAP) Quantas motos podem ser licenciadas se cada 
placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) 
e 3 algarismos distintos? 
a) 25.000.
b) 120.
c) 120.000.
d) 18.000.
e) 32.000.
5. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi dis-
putada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola tra-
ziam palpites sobre os países que se classificariam nos 
três primeiros lugares (por exemplo: 10. lugar, Brasil; 20. 
lugar, Nigéria; 30. lugar, Holanda).
Se, em cada tampinha, os três países são distintos, 
quantas tampinhas diferentes poderiam existir? 
a) 69.
b) 2024.
c) 9562.
d) 12144.
e) 13824.
6. (UEG) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ utilizan-
do sua caneta de quatro cores distintas, de tal forma que 
nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O número 
de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é:
a) 64. c) 12.
b) 24. d) 4.
7. (Pucsp) No vestiário de uma academia de ginástica há 
exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. 
Se, no instante em que dois alunos dessa academia en-
tram no vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos 
armários estão desocupados, quantas opções eles terão 
para escolher seus respectivos armários?
a) 14. d) 56. 
b) 28. e) 112.
c) 48. 
8. (UEG - 2017) Uma comissão será composta pelo pre-
sidente, tesoureiro e secretário. Cinco candidatos se ins-
crevem para essa comissão, na qual o mais votado será 
o presidente, o segundo mais votado o tesoureiro e o 
menos votado o secretário.
Dessa forma, de quantas maneiras possíveis essa co-
missão poderá ser formada?
a) 120.
b) 60.
c) 40.
d) 20.
e) 10.
9. (Ufjf - 2017) Para concorrer à eleição a diretor e a vice-
-diretor de uma escola, há 8 candidatos. O mais votado 
assumirá o cargo de diretor e o segundo mais votado, 
o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de ocu-
pação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola?
a) 15.
b) 27.
c) 34.
d) 56.
e) 65.
 ARRANJOS
COMPETÊNCIA(s)
1
HABILIDADE(s)
2 e 3
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AULAS 
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E.O. FixAçãO
1. (UEPB) A solução da equação An,3 = 4 · An,2 é: 
a) 3.
b) 4.
c) 8.
d) 6.
e) 5.
2. (UFC) Assinale a alternativa na qual consta a quan-
tidade de números inteiros formados por três algaris-
mos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são 
maiores que 200 e menores que 800. 
a) 30.
b) 36.
c) 42.
d) 48.
e) 54.
3. (FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa ele-
trônico de um banco, mas na hora de digitar a senha, 
esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 
algarismos, começa com 6, não tem algarismos repeti-
dos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número 
máximo de tentativas para acertar a senha é: 
a) 1 680.
b) 1 344.
c) 720.
d) 224.
e) 136.
4. (UFSM) Para efetuar suas compras, o usuário que ne-
cessita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar 
duas operações: digitar uma senha composta por 6 alga-
rismos distintos e outra composta por 3 letras, escolhidas 
num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a se-
nha, mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos três primei-
ros algarismos e que as letras são todas vogais distintas, 
sendo E a primeira delas, o número máximo de tentativas 
necessárias para acessar sua conta será: 
a) 210.
b) 230.
c) 2.520.
d) 3.360.
e) 15.120.
5. (FGV - 2017) Somando todos os números de três al-
garismos distintos que podem ser formados com os dí-
gitos 1, 2, 3 e 4 o resultado será igual a:
a) 2.400.
b) 2.444.
c) 6.000.
d) 6.600.
e) 6.660
6. (UFU) A senha de acesso ao cofre de um carro-forte 
é formada por d algarismos, em que esses algarismos 
pertencem ao conjunto de inteiros {0, 1, 2,...,9}. Um dos 
guardas observa o colega digitar o último algarismoda 
senha, concluindo que esta corresponde a um número 
ímpar. Assuma que esse guarda demore 1,8 segundos 
para realizar cada tentativa de validação da senha, sem 
realizar repetições, de maneira que, assim procedendo, 
no máximo em duas horas e meia terá sucesso na ob-
tenção da senha.
Segundo as condições apresentadas, conclui-se que o 
valor de d é um número:
a) quadrado perfeito.
b) primo.
c) divisível por 3.
d) múltiplo de 5.
7. (Mackenzie) Num avião, uma fila tem 7 poltronas dis-
postas como na figura a seguir.
Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas 
dessa fila, de modo que não haja um corredor entre 
eles, são em número de: 
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 10.
e) 12.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Mackenzie) Uma prova de atletismo é disputada por 
9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resul-
tados possíveis para a prova, de modo que pelo menos 
um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, 
são em número de: 
a) 426.
b) 444.
c) 468.
d) 480.
e) 504.
2. (ENEM 2015) Uma família composta por sete pessoas 
adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consul-
tou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo 
para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, 
disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão 
marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são 
as mostradas em branco.
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O número de formas distintas de se acomodar a família 
nesse voo é calculado por: 
a) 9! __ 
2!
 
b) 9! ______ 
7! ∙ 2!
 
c) 7!
d) 5! __ 
2!
 ∙ 4!
e) 5! __ 
4!
 ∙ 4! __ 
3!
 
E.O. dissErtAtivO
1. (UFES) Quantos são os números naturais de cinco 
algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos 
distintos e nenhum deles igual a 8, 9 ou 0? Quantos 
deles são pares.
2. (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se for-
mar x números ímpares, com três algarismos distintos 
cada um. Determine x. 
3. (Unioeste) Quatro amigos vão ao cinema e escolhem, 
para sentar-se, uma fila em que há seis lugares dispo-
níveis. Sendo n o número de maneiras como poderão 
sentar-se, o valor de n __ 5 é igual a: 
E.O. UErJ 
ExAmE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Ana dispunha de papéis com cores diferentes. 
Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e em-
balou 30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no 
papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens.
A menor quantidade de cores diferentes que ela neces-
sitou utilizar para a confecção de todas as embalagens 
foi igual a: 
a) 30.
b) 18.
c) 6.
d) 3.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Vinte times de futebol disputam a Série A 
do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. 
Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus 
adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois 
oponentes são paulistas é: 
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
2. (Unesp) O conselho administrativo de um sindicato é 
constituído por doze pessoas, das quais uma é o presi-
dente deste conselho. A diretoria do sindicato tem qua-
tro cargos a serem preenchidos por membros do conse-
lho, sendo que o presidente da diretoria e do conselho 
não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras 
diferentes esta diretoria poderá ser formada?
a) 40.
b) 7920.
c) 10890.
d) 11!
e) 12!
3. (Unesp) Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros 
de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos distin-
tos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números 
cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. Então, a 
soma do menor número ímpar de B com o maior núme-
ro par de B é:
a) 835.
b) 855.
c) 915.
d) 925.
e) 945.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Determinar quantos são os números de três 
algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das cen-
tenas pertencem a {1,2,3,4} e os demais algarismos a 
{0,5,6,7,8,9}. 
2. (Fuvest) As atuais placas de licenciamento de automó-
veis constam de sete símbolos sendo três letras, dentre 
as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o al-
garismo zero na primeira posição reservada aos al-
garismos?
b) No conjunto de todas as placas distintas possíveis, 
qual a porcentagem daquelas que têm as duas pri-
meiras letras iguais?
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. D 4. D 5. D
6. B 7. D 8. B 9. D
E.O. Fixação
1. D 2. B 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D
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E.O. Complementar
1. B 2. A
E.O. Dissertativo
1. 2520 números e 1080 números pares.
2. x = 40.
3. 72.
E.O. UERJ 
Exame Qualificação
1. C
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. B 2. C 3. E
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 48.
2. 
a) 158.184.000 possibilidades.
b) 1 ___ 26 ≈ 3,85 %.
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ANOTAÇÕES
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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
MATEMÁTICA
e suas tecnologias
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GEOMETRIA 
ESPACIAL
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E.O. AprEndizAgEm
1. (IFSP) A figura a seguir representa uma piscina em 
forma de bloco retangular.
De acordo com as dimensões indicadas, podemos afir-
mar corretamente que o volume dessa piscina é, em m3, 
igual a:
a) 5 dXXX 10 .
b) 6 dXXX 10 .
c) 6 dXXX 15 .
d) 5 dXXX 30 .
e) 6 dXXX 30 .
2. (UEPB) Um reservatório em forma de cubo, cuja dia-
gonal mede 2 dXX 3 m, tem capacidade igual a:
a) 4.000 litros. d) 2.000 litros.
b) 6.000 litros. e) 1.000 litros.
c) 8.000 litros.
3. (UFMG) Considere um reservatório em forma de pa-
ralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de com-
primento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade.
Bombeia-se água para dentro desse reservatório, ini-
cialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, 
para se encher completamenteesse reservatório, serão 
necessários:
a) 40 min.
b) 240 min.
c) 400 min.
d) 480 min.
4. (UEPB) Uma cisterna de formato cúbico, cuja área la-
teral mede 200m2, tem por volume, aproximadamente:
a) 250 dXX 2 m3.
b) 25 dXX 2 m3.
c) 2500 dXX 2 m3.
d) 352 dXX 2 m3.
e) 125 dXX 2 m3.
5. (Unemat) Se um cubo tem suas arestas aumentadas 
em 50%, o seu volume aumentará em: 
a) 237,5%.
b) 337,5%.
c) 50%.
d) 235,5%.
e) 100%.
6. (FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de 
lado ℓ = 10 cm extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, 
conforme a figura. O volume da cunha é:
 
a) 250 cm3.
b) 500 cm3.
c) 750 cm3.
d) 1000 cm3.
e) 1250 cm3.
7. (Ufrgs) Um sólido geométrico foi construído dentro 
de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus 
vértices, P e Q, sejam os pontos médios, respectivamen-
te, das arestas AD e BC, e os vértices da face superior 
desse sólido coincidam com os vértices da face supe-
rior do cubo, como indicado na figura abaixo. 
O volume desse sólido é:
a) 64.
b) 128.
c) 256.
d) 512.
e) 1024.
 VOLUME DE PRISMAS
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9 e 14
MT
AULAS 
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8. (ESPM) No sólido representado abaixo, sabe-se que 
as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm2 e 
10 cm2, respectivamente. 
O vo lume desse sólido é de: 
a) 8 cm3.
b) 10 cm3.
c) 12 cm3.
d) 16 cm3.
e) 24 cm3.
9. (Ufrgs) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, en-
contra-se representado um sólido sombreado com as 
alturas indicadas no desenho.
O volume do sólido sombreado é:
a) 300.
b) 350.
c) 500.
d) 600.
e) 700.
10. (Ufrgs) Na figura a seguir, está representada a plani-
ficação de um prisma hexagonal regular de altura igual 
à aresta da base.
Se a altura do prisma é 2, seu volume é:
a) 4 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 8 dXX 3 .
d) 10 dXX 3 .
e) 12 dXX 3 .
11. (Cftmg) Uma piscina com forma de um prisma reto, 
tem como base um retângulo de dimensões 10 m e 12 
m. A quantidade necessária de litros, para que o nível 
de água da piscina suba 10 cm é de: 
a) 10.200. c) 11.600.
b) 10.800. d) 12.000.
12. (Cftmg) Deseja-se construir um prédio para armaze-
namento de grãos em forma de um prisma regular de 
base triangular, cuja aresta da base meça 8 m e altura 
do prisma tenha 10 m. O volume interno desse arma-
zém em m3 será:
a) 120 √
__
 3 
b) 130 √
__
 3 
c) 150 √
__
 3 
d) 160 √
__
 3 
e) 180 √
__
 3 
13. (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de 
um prisma, cuja base é um trapézio isósceles. Na figura 
a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma:
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é:
a) 50.
b) 60.
c) 80.
d) 100.
e) 120.
E.O. FixAçãO
1. (FGV) Uma piscina vazia, com formato de paralelepí-
pedo reto retângulo, tem comprimento de 10 m, largura 
igual a 5 m e altura de 2 m. Ela é preenchida com água 
a uma vazão de 5.000 litros por hora.
Após três horas e meia do início do preenchimento, a 
altura da água na piscina atingiu: 
a) 25 cm.
b) 27,5 cm.
c) 30 cm.
d) 32,5 cm.
e) 35 cm.
 2. (Ufrgs) Os vértices do hexágono sombreado, na figu-
ra abaixo, são pontos médios das arestas de um cubo.
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Se o volume do cubo é 216, o perímetro do hexágono é:
a) 3 dXX 2 .
b) 6 dXX 2 .
c) 9 dXX 2 .
d) 12 dXX 2 .
e) 18 dXX 2 .
 3. (FGV-RJ) Uma caixa sem tampa é construída a partir 
de uma chapa retangular de metal, com 8 dm de largura 
por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto 
da chapa, um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, 
dobrando-se para cima as partes retangulares, confor-
me sugere a figura a seguir:
O volume, em dm3, da caixa assim obtida é: 
a) 80x – 36x2 + 4x3.
b) 80x + 36x2 + 4x3.
c) 80x – 18x2 + x3.
d) 80x + 18x2 + x3.
e) 20x – 9x2 + x3.
 4. (UFF) O sistema de tratamento da rede de esgoto do 
bairro de Icaraí, em Niterói, tem a capacidade de pro-
cessar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 0,985 
metros cúbicos de esgoto por segundo.
Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tra-
tamento processe o volume de esgoto correspondente ao 
volume de uma piscina olímpica de 50 metros de compri-
mento, 25 metros de largura e 2 metros de profundidade, 
é correto afirmar que o valor de T está mais próximo de:
a) 3 segundos.
b) 4 minutos.
c) meia hora.
d) 40 minutos.
e) 1 dia.
5. (UEL) Uma metalúrgica produz uma peça, cujas medi-
das são especificadas na figura a seguir.
A peça é um prisma reto com uma cavidade central e 
com base compreendida entre dois hexágonos regula-
res, conforme a figura.
Considerando que os eixos da peça e da cavidade coin-
cidem, qual o volume da peça? 
a) 640 dXX 3 cm3
b) 1280 dXX 3 cm3
c) 2560 dXX 3 cm3
d) 320 dXX 3 cm3
e) 1920 dXX 3 cm3
6. (UEPA) A natureza é uma fonte inesgotável de co-
municação de saberes necessários à sobrevivência da 
espécie humana; por exemplo, estudos de apicultores 
americanos comprovam que as abelhas constituem uma 
sociedade organizada e que elas sabem qual o formato 
do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel.
tExto adaptado: “contadoR”, paulo RoBERto maRtinS. 
a matEmática na aRtE E na vida – 2ª Ed. REv. – São 
paulo: EditoRa livRaRia da FíSica, 2011.
Um professor de matemática, durante uma aula de 
geometria, apresentou aos alunos 3 pedaços de car-
tolina, cada um medindo 6 cm de largura e 12 cm de 
comprimento, divididos em partes iguais, conforme 
figuras abaixo:
Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indica-
das, obtemos representações de prismas retos com as 
mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e 
hexagonal. Sendo V3 o volume do prisma de base trian-
gular, V4 o volume do prisma de base quadrangular e 
V6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto 
afirmar que:
Adote: dXX 3 = 1,7.
a) V3 < V6 < V4.
b) V3 < V4 < V6.
c) V4 < V3 < V6.
d) V3 < V3 < V4.
e) V6 < V4 < V3.
7. (Ufrgs) Na figura abaixo, encontra-se representada 
a planificação de um sólido de base quadrada cujas 
medidas estão indicadas.
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O volume desse sólido é:
a) 144.
b) 180.
c) 216.
d) 288.
e) 360.
8. (Cftmg) Uma barra de doce tem forma de um para-
lelepípedo reto retângulo, cuja área total é 208 cm2. 
Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos 
números 2, 3 e 4, então, o volume da barra, em dm3, é:
a) 192.
b) 19,2.
c) 1,92.
d) 0,192.
9. (UEL) Observe a figura.
Sobre o armazenamento de mel em colmeias, tem-se 
que o volume V de cada alvéolo, considerado como 
prisma regular hexagonal reto de altura h e arestas da 
base iguais a L é dado por: 
a) V = (2 + dXX 3 ) hℓ
2
 ___ 2 .
b) V = (1 + dXX 3 ) hℓ
2
 ___ 2 .
c) V = (2 + 2 dXX 3 ) h2ℓ.
d) V = 3 dXX 3 ℓ2h.
e) V = 3 
dXX 3 ____ 2 ℓ
2h.
10. (Ufrgs) Observe, a seguir, as planificações de duas 
caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regu-
lar; a base de outra é um triângulo equilátero.
Se os retângulos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, então 
a razão dos volumes da primeira e da segunda caixa é:
a) 1 __ 2 .
b) 2 __ 3 .
c) 1.
d) 3 __ 2 .
e) 2.
11. (FGV) Um prisma reto de base triangular tem área 
de uma face lateral igual a 20 cm2. Se o plano que con-
tém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volu-
me desse prisma, em cm3, é igual a:
a) 18. d) 54.
b) 36. e) 60.
c) 48.
12. (UFTM) A figura 1 representa um prisma obtido 
após a secção do paralelepípedo retorretângulo ADF-
CGJLI representado na figura 2.
Sendo que AB = BC = DE = EF e 4HI = 4KL = JL = 2JG = 2AG = x, 
o volume do prisma representado na figura 1 é:
a) 5x
3
 ___ 32 . d) 
5x3 ___ 8 .
b) 3x
3
 ___ 16 . e) 
3x3 ___ 4 .
c) 3x
3
 ___ 5 .
13. (UFSM) 
Três crianças estavam brincando na biblioteca da escola 
e resolveram fazer pilhas de mesma altura, com livros, 
conforme a figura. A mais organizada fez a pilha A, e as 
outras duas fizeram as pilhas B e C. Considerando-seque todos os livros têm a mesma área de capa e que as 
pilhas têm a mesma altura, pode-se afirmar que:
a) o volume da pilha A é maior do que o volume da 
pilha C.
b) os volumes das pilhas B e C são iguais e maiores 
do que o volume da pilha A.
c) o volume da pilha A é menor do que o volume da 
pilha B que é menor do que o volume da pilha C.
d) os volumes das três pilhas são iguais.
e) não existem dados suficientes no problema para 
decidir sobre os volumes e compará-los.
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14. (UFMG) Observe a figura.
Um prisma reto de base pentagonal foi desdobrado 
obtendo-se essa figura, na qual as linhas pontilhadas 
indicam as dobras. O volume desse prisma é: 
a) 6 + 
(9 dXX 3 )
 _____ 4 . c) 30 + 
(9 dXX 3 )
 _____ 4 .
b) 
(45 dXX 3 )
 ______ 4 . d) 30 + 
(45 dXX 3 )
 ______ 4 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que 
sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro 
da área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é:
a) 27 dXX 3 . d) 54 dXX 3 .
b) 13 dXX 2 . e) 17 dXX 5 .
c) 12. 
2. (UEPA) Dados estatísticos mostram que o desempre-
go e a violência produzida pela desigualdade social le-
vam milhares de pessoas ao furto de alimentos dentro 
de supermercados. Em geral os produtos embalados in-
dustrialmente em caixas de papelão são os alvos mais 
diretos para a prática desses delitos. Suponha que o 
conteúdo de uma dessas embalagens em formato de 
um paralelepípedo reto de medidas inteiras “a”, “b” e 
“c”, conforme ilustra a figura abaixo, seja constituído 
do seguinte modo:
• 1/4 do seu volume (Vp) seja ocupado por um 
ingrediente A
• 1/3 do seu volume (Vp) seja ocupado por um 
ingrediente B
• Metade do volume restante (VR) seja ocupado por 
um ingrediente C
Nestas condições e considerando que c = a + b, então 
o número de cubos de aresta X0 = 
1 __ 3 
3
 dXXXX 5ab ____ 3 contendo um 
ingrediente D que ainda cabe dentro do volume Vp é: 
a) 
3(a + b)
 _________ 2 cubos.
b) 
8(a + b)
 _________ 27 cubos.
c) 
2(a + b)
 _________ 3 cubos.
d) 
27(a + b)
 __________ 8 cubos.
e) (a + b) cubos.
3. (ITA) As dimensões x, y, z de um paralelepípedo re-
tângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a 
soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total 
do paralelepípedo é igual a 694 cm2, então o volume 
deste paralelepípedo, em cm3, é igual: 
a) 1.200.
b) 936.
c) 1.155.
d) 728.
e) 834.
4. (Espcex) Considere um prisma regular reto de base 
hexagonal, tal que a razão entre a aresta da base e a 
aresta lateral é 
dXX 3 ___ 3 . Aumentando-se a aresta da base em 
2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do pris-
ma ficará aumentado de 108 cm3. O volume do prisma 
original é:
a) 18 cm3.
b) 36 cm3.
c) 18 dXX 3 cm3.
d) 36 dXX 3 cm3.
e) 40 cm3.
E.O. dissErtAtivO
1. (CP2) Uma piscina na forma de um bloco retangular tem 
suas dimensões representadas na figura a seguir. Após 
uma limpeza, a piscina encontra-se totalmente vazia.
a) Determine o volume da piscina, em litros.
b) Considere que uma bomba jogue água na piscina 
a uma vazão constante, isto é, que o volume de água 
bombeado a cada minuto para a piscina é sempre o 
mesmo. Se em 12 minutos foram bombeados 960 litros 
de água para a piscina, determine o tempo necessário, 
em horas, para que a piscina fique com 80% de sua 
capacidade. (Suponha que não saia água da piscina).
2. (UEG) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdi-
vidido em cubos menores, cada um com 1 cm de ares-
ta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de 
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cada face e um cubo menor do seu centro. A figura I 
mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II 
mostra o que foi retirado do cubo.
a) Calcule o volume da figura I.
b) Calcule a área da superfície da figura II. 
3. (UFJF) Uma empresa de sorvete utiliza como embala-
gem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base 
é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo 
de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um 
dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de 
catetos de medida 1 cm.
a) Calcule o volume da embalagem.
b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete 
aumenta em 1 __ 5 (um quinto) quando passa do estado 
líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume 
máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, 
nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete 
não transborde? 
4. (PUC-RJ) De uma folha de papelão de lados de medi-
das 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadra-
dos de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem 
tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas.
a) Determine o perímetro da folha de papelão, após a 
retirada dos quatro cantos.
b) Determine a área da folha de papelão, após a reti-
rada dos quatro cantos.
c) Determine o volume da caixa formada. 
5. (FGV) A figura mostra a maquete do depósito a ser 
construído. A escala é 1:500, ou seja, 1 cm, na represen-
tação, corresponde a 500 cm na realidade.
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
6. (UFPR) Um tanque possui a forma de um prisma reto, 
com as dimensões indicadas pela figura. Com base nis-
so, faça o que se pede:
a) Quando estiver completamente cheio, quantos li-
tros esse tanque comportará? 
b) Obtenha uma função que expresse o volume V de 
água no tanque como função da altura x. 
 7. (UFG) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem 
como meta levar um iceberg das regiões geladas para 
abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto 
é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo 
com um navio. A figura a seguir representa a forma que 
o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta 
para rebocá-lo.
Considerando que o iceberg é formado somente por 
água potável e que, após o deslocamento, 10% do volu-
me do bloco foi perdido, determine qual a quantidade 
de água obtida transportando-se um iceberg com as di-
mensões, em metros, indicadas na figura apresentada.
8. (UFU) No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na 
aresta AE satisfazendo  AP =  3PE . Sabendo que 

 PG mede 
dXXX 33 cm, calcule o volume do cubo.
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9. (UFRJ) Uma barra de sabão ABCDEFGH, com a forma 
de um paralelepípedo retângulo, foi cortada pelo plano 
que contém os pontos C, D, F e G, como mostrado na 
figura 1. O sólido ABCDFG obtido foi cortado, mais uma 
vez, pelo plano que contém os pontos M, N, P e Q que 
são, respectivamente, os pontos médios das arestas AD, 
BC, CG e DF, como ilustrado na figura 2.
Calcule a razão entre o volume do sólido CDMNPQ re-
sultante desse segundo corte (ilustrado na figura 3) e o 
volume da barra de sabão original. 
10. (UFG) A figura abaixo representa um prisma reto, 
de altura 10 cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sa-
bendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = DE = EA = 2 cm, 
calcule o volume do prisma.
 
E.O. EnEm
1. (Enem) Na alimentação de gado de corte, o processo 
de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la 
e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. 
Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é 
a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado 
na figura.
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura 
de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de 
altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do 
que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de 
forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.
EmBRapa. Gado dE coRtE. 
diSponívEl Em: WWW.cnpGc.EmBRapa.BR. 
acESSo Em: 1 aGo. 2012 (adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que 
cabe no silo, em toneladas, é:
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
2. (Enem) Uma lata de tinta, com a forma de um parale-
lepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centí-
metros, mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com osmesmos formato 
e volume, de tal modo que as dimensões de sua base 
sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual 
deve ser reduzida em: 
a) 14,4%.
b) 20%.
c) 32,0%.
d) 36,0%.
e) 64,0%.
3. (Enem) Um fazendeiro tem um depósito para arma-
zenar leite formado por duas partes cúbicas que se co-
municam, como indicado na figura. A aresta da parte 
cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida 
da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada 
para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 
minutos para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher com-
pletamente o restante do depósito? 
a) 8.
b) 10.
c) 16.
d) 28.
e) 24.
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4. (Enem) Alguns objetos, durante a sua fabricação, ne-
cessitam passar por um processo de resfriamento. Para 
que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de res-
friamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos 
no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 
20,2 cm de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 
cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 
cm de altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
5. (Enem) Uma fábrica produz barras de chocolates no 
formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 
volume. As arestas da barra de chocolate no formato 
de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de 
comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o 
formato de cubo é igual a:
a) 5 cm. d) 24 cm.
b) 6 cm. e) 25 cm.
c) 12 cm.
6. (Enem) Um porta-lápis de madeira foi construído no 
formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O 
cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 
cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse ob-
jeto foi de:
a) 12 cm3. d) 1216 cm3.
b) 64 cm3. e) 1728 cm3.
c) 96 cm3.
7. (Enem) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 
6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um 
cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, 
então o número máximo de esferas que podem ser 
transportadas em uma caixa é igual a:
a) 4. d) 24.
b) 8. e) 32.
c) 16.
8. (Enem) Eclusa é um canal que, construído em águas 
de um rio com grande desnível, possibilita a navega-
bilidade, subida ou descida de embarcações. No es-
quema a seguir, está representada a descida de uma 
embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível 
mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado 
de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada 
da água durante o esvaziamento da câmara é de 4.200 
m3 por minuto. Assim, para descer do nível mais alto 
até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de:
a) 2 minutos. d) 16 minutos.
b) 5 minutos. e) 21 minutos.
c) 11 minutos.
9. (Enem) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diver-
sos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo es-
pecial de peça feita nessa companhia tem o formato 
de um paralepípedo retangular, de acordo com as 
dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resul-
taria na medida da grandeza:
a) massa.
b) volume.
c) superfície.
d) capacidade.
e) comprimento.
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10. (Enem) Com o objetivo de trabalhar com seus alunos 
o conceito de volume de sólidos, um professor fez o se-
guinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na 
forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 
600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa 
com água, um sólido que ficou completamente submerso. 
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, 
a altura do nível da água passou a ser 80 cm, qual era o 
volume do sólido?
a) 0,2 m3
b) 0,48 m3
c) 4,8 m3
d) 20 m3
e) 48 m3
E.O. UErJ 
ExAmE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Dois prismas regulares retos P1 e P2, o primeiro 
de base triangular e o outro de base hexagonal, têm a 
mesma área da base e a mesma área lateral.
A razão entre o volume de P1 e o de P2 equivale a:
a) 
dXX 2 ___ 3 . c) 
 dXX 3 ___ 2 .
b) 
dXX 6 ___ 3 . d) 1.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Para transportar areia, uma loja dispõe de um 
caminhão cuja caçamba tem 1 m de altura e a forma 
de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A 
maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo 
é igual a 3 m.
Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, 
dessa caçamba. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, 
com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos 
à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado 
como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x 
cm. O valor de x é: 
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.
2. (Unicamp) Uma caixa-d’água cúbica, de volume máxi-
mo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma 
casa, conforme mostra a figura abaixo.
Supondo que  AB = 6m e 

 AC = 1,5m, podem ser armaze-
nados na caixa:
a) 1728 litros de água.
b) 1440 litros de água.
c) 1000 litros de água.
d) 572 litros de água.
3. (Fuvest) Em um bloco retangular (isto é, paralelepí-
pedo reto retângulo) de volume 27 ___ 8 , as medidas das 
arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em 
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 
2, a medida da aresta menor é: 
a) 7 __ 8 . d) 
10 ___ 8 .
b) 8 __ 8 . e) 
11 ___ 8 .
c) 9 __ 8 .
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Prevenindo-se contra o período anual de 
seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fe-
chada, que acumule toda a água proveniente da chuva 
que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um 
período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do te-
lhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a 
quantidade média mensal de chuva na região onde o 
agricultor possui sua casa.
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Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de 1 metro quadrado, determine a profun-
didade (h) da cisterna para que ela comporte todo o 
volume de água da chuva armazenada durante um ano, 
acrescido de 10% desse volume.
2. (Unicamp) A figura a seguir apresenta um prisma 
reto, cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos 
hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma 
mede 10 cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano 
que passa pelos pontos A, C e A’.
3. (Fuvest) Um bloco retangular (isto é, um paralelepí-
pedo retorretângulo) de base quadrada de lado 4 cm 
e altura 20 dXX 3 cm, com 2 __ 3 de seu volume cheio de água, 
está inclinado sobre uma das arestas da base, formando 
um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral a seguir). 
Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.
4. (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de 
uma caixa-d’água de forma cúbica, o nível da água bai-
xa 20 centímetros.
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 
1 decímetro cúbico). 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. C 3. C 4. A 5. A
6. C 7. C 8. C 9. C 10. E
11. D 12. D 13. D
E.O. Fixação
1. E 2. E 3. A 4. D 5. E
6. B 7. A 8. D 9. E 10. D
11. E 12. A 13. D 14. D
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. C 4. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) 60.000 litros
b) 10 h
2. 
a) 20 cm3.
b) 30 cm2.
3. 
a) 1980 cm3
b) 1650 cm3
4. 
a) 74 u.c.
b) 286 u.a.
c) 408 u.v.
5. 3240 m3.
6. 
a) 15m3.b) ΔADE ~ ΔABC ⇒  x __ 
2
 = 
y
 __ 5 ⇒ y = 
5x ___ 
2
 .
Calculando o volume VL do líquido, temos:
VL = 
x ⋅ y ⋅ 3
 _______ 
2
 = 
x ⋅  5x ___ 
2
 ⋅ 3
 ________ 
2
 = 15x
2
 ______ 
4
 (0 ≤ x ≤ 2)
7. 24.105,6 m3.
8. 64 cm3.
9. 1 __ 
8
 .
10. ( 3 dXX 7 ____ 4 + 6 ) ∙ 10 cm3. 
E.O. Enem
1. A 2. D 3. B 4. C 5. B
6. D 7. B 8. D 9. B 10. A
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E.O. UERJ 
Exame Qualificação
1. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 4 m3.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. D 2. A 3. C
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. h = 7,7m.
2. 
a) 375 dXX 3 cm3.
b) 50 dXX 3 cm2.
3. 21 cm.
4. 
a) a = 8 dm.
b) V = 512 litros.
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E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadra-
do cujo lado mede 8 dXX 2 cm. Se as arestas laterais da pi-
râmide medem 17 cm, o seu volume, em centímetros 
cúbicos, é: 
a) 520.
b) 640.
c) 680.
d) 750.
e) 780.
2. (UFRGS - 2017) Considere a planificação de um tetra-
edro, conforme a figura abaixo.
 
Os triângulos ABC e ABD são isósceles respectivamente 
em B e D. As medidas dos segmentos 

 AC , 

 BC , 

 BD e 

 DF 
estão indicadas na figura.
A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro é:
a) 33.
b) 34.
c) 43.
d) 47.
e) 48.
3. (Unirio)
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a 
figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide 
é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a: 
a) 9.
b) 12.
c) 15.
d) 18.
e) 21.
4. (UFRGS) Se duplicarmos a medida da aresta da base 
de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos 
sua altura à metade, o volume desta pirâmide: 
a) será reduzido à quarta parte.
b) será reduzido à metade.
c) permanecerá inalterado.
d) será duplicado.
e) aumentará quatro vezes.
5. (UFMG) Em uma indústria de velas, a parafina é arma-
zenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes 
em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura 
e cuja aresta da base medem, cada uma, a __ 2 .
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar 
que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas 
caixas, enche-se um total de: 
a) 6 moldes. c) 24 moldes.
b) 8 moldes. d) 32 moldes.
6. (UFPB) As rapaduras, fabricadas no Engenho JB, têm 
a forma de um tronco de pirâmide regular ABCDEFGH, 
conforme ilustra a figura a seguir.
V
 PIRÂMIDES E TRONCOS DE PIRÂMIDE
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
29 E 30
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Sabendo-se que os segmentos AB e EF medem, respec-
tivamente, 15 cm e 12 cm, e que a altura da pirâmide 
VABCD mede 20 cm, o volume de cada rapadura, em 
cm3, é igual a: 
a) 2.304.
b) 1.500.
c) 768.
d) 732.
e) 500.
7. (UEL) Considere uma pirâmide regular, de altura 25 m 
e base quadrada de lado 10 m. Seccionando essa pirâ-
mide por um plano paralelo à base, à distância de 5 m 
desta, obtém-se um tronco cujo volume, em m3, é: 
a) 200 ____ 3 .
b) 500.
c) 1220 _____ 3 .
d) 1280 _____ 3 .
e) 1220.
8. (UPF) As quatro faces do tetraedro ABCD são triângu-
los equiláteros. M é o ponto médio da aresta AB: 
O triângulo MCD é:
a) escaleno.
b) retângulo em C.
c) equilátero.
d) obtusângulo.
e) estritamente isósceles.
9. (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo dXX 6 cm. 
Então a medida de suas alturas é igual a: 
a) 1 __ 2 cm.
b) 1 cm.
c) 3 __ 2 cm.
d) 2 cm.
e) 5 __ 2 cm.
E.O. FixAçãO
1. (UFRGS - 2017) Considere ABCDEFGH paralelepípe-
do reto-retângulo, indicado na figura abaixo, tal que 

 AB = 4, 

 AE = 3 e 

 BC = 2.
 
O volume do tetraedro AHFC é.
a) 4.
b) 8.
c) 12.
d) 16.
e) 18.
2. (UFSM) Desde a descoberta do primeiro plástico sin-
tético da história, esse material vem sendo aperfeiço-
ado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o 
plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma 
peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem 
a forma de uma pirâmide regular quadrangular em que 
o apótema mede 10 mm e a aresta da base mede 12 
mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma 
parte oca de volume igual a 78 mm3.
O volume, em mm3, dessa peça é igual a: 
a) 1152.
b) 1074.
c) 402.
d) 384.
e) 306.
3. (UEPB) A altura de um tetraedro regular que possui 
área total e volume numericamente iguais, é: 
a) 2 dXX 6 .
b) 36.
c) 56.
d) 6 dXX 2 .
e) 12.
4. (Udesc) Uma caixa de um perfume tem o formato de 
um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. 
Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: 
aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A 
quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, 
supondo que não haja desperdício é nem sobreposição 
de material, foi de: 
a) 88 cm2.
b) 168 cm2.
c) 80m cm2.
d) 68 cm2.
e) 148 cm2.
5. (UFMG) Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da 
base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um 
plano paralelo à base, a uma distância d dessa base, de 
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forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. A 
distância d deve ser: 
a) 6 − 3 3 dXX 2 .
b) 3 – 3 
3
 dXX 4 ____ 2 
c) 6 – 3 3 dXX 4 
d) 6 – 2 3 dXX 2 
6. (UPF) Nesta figura estão representados dois poliedros 
de Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro MNOPQR.
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do octa-
edro são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é 
correto afirmar que a área lateral e o volume do octae-
dro medem, respectivamente: 
a) 72 dXX 3 cm2 e 54 cm3.
b) 36 dXX 3 cm2 e 18 cm3.
c) 36 dXX 3 cm2 e 36 cm3.
d) 18 dXX 2 cm2 e 36 cm3.
e) 36 dXX 2 cm2 e 18 cm3.
7. (UFRGS) Na figura abaixo, estão representados um 
cubo de aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. 
Os pontos A, B e C são vértices da pirâmide e do cubo, e 
V pertence ao prolongamento de BG.
O volume comum aos dois sólidos é: 
a) 15 ___ 2 .
b) 8.
c) 17 ___ 2 .
d) 9.
e) 19 ___ 2 .
8. (Udesc) Considere um tronco de pirâmide regular, 
cujas bases são quadrados com lados medindo 4 cm e 
1 cm. Se o volume deste tronco é 35 cm3, então a altura 
da pirâmide que deu origem ao tronco é: 
a) 5 cm.
b) 5 __ 3 cm.
c) 20 ___ 3 cm.
d) 20 cm.
e) 30 cm.
9. (Insper) Dois faraós do antigo Egito mandaram cons-
truir seus túmulos, ambos na forma de pirâmides qua-
drangulares regulares, num mesmo terreno plano, com 
os centros de suas bases distando 120 m. As duas pirâ-
mides têm o mesmo volume, mas a área da base de uma 
delas é o dobro da área da base da outra. Se a pirâmide 
mais alta tem 100 m de altura, então a distância entre 
os vértices das duas pirâmides, em metros, é igual a: 
a) 100.
b) 120.
c) 130.
d) 150.
e) 160.
10. (Insper) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área 
lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face 
lateral forma com o plano da base um ângulo que mede: 
a) 15°.
b) 30°.
c) 45°.
d) 60°.
e) 75°.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Espcex (Aman) 2017) Determine o volume (em cm3) 
de uma pirâmide retangular de altura "a" e lados da 
base "b" e "c" (a, b e c) em centímetros), sabendo que 
a + b + c = 36 e "a", "b" e "c" são, respectivamente, 
números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2.
a) 16.
b) 36.
c) 108.
d) 432.
e) 648.
2. (Utfpr - 2017) Uma barraca de camping foi projeta-
da com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, 
cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 
metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca 
medem, respectivamente: 
a) 6 dXX 3 m2 e 6 dXX 3 m3.
b) 3 dXX 3 m2 e 3 dXX 3 m3.
c) 5 dXX 3 m2 e 2 dXX 3 m3.
d) 2 dXX 3 m2 e 5 dXX 3 m3.
e) 4 dXX 3 m2 e 8 dXX 3 m3.
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3. (Epcar)
Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pi-
râmide hexagonalregular de altura 6 cm foi colada à 
base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 
3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira 
coincidam com os vértices da base da segunda, confor-
me figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta 
da base da pirâmide hexagonal mede √
__
 5 cm, então, o 
volume do sólido obtido, em cm3, é igual a:
a) 15 dXX 3 .
b) 20 dXX 3 .
c) 25 dXX 3 .
d) 30 dXX 3 .
4. (Epcar) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangu-
lar ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 3 cm.
Sendo √
__
 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em 
cm, de A à face BCV é igual a :
a) 
dXXX 30 ____ 2 .
b) dXX 7 .
c) 
dXXX 26 ____ 2 .
d) 2 dXX 2 .
5. (IME - 2017) Um tronco de pirâmide regular possui 
12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a 
soma das áreas das bases é 30 dXX 3 cm2 e sua altura mede 
3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide. 
a) 50 cm3.
b) 42 
dXX 3 ___ 3 cm
3.
c) 43 
dXX 3 ___ 2 cm
3.
d) 43 dXX 2 cm3.
e) 42 dXX 3 cm3.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPE) Os vértices de um tetraedro são um dos vér-
tices de um cubo de aresta 30 cm e os três vértices 
ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado 
na figura abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em 
cm3, assinale V ____ 100 .
2. (UFG) Pretende-se instalar, em uma via de tráfego in-
tenso, um redutor de velocidade formado por 14 blocos 
idênticos em forma de tronco de pirâmide. Cada tronco 
de pirâmide é obtido a partir de uma pirâmide de base 
retangular após seccioná-la por um plano paralelo à 
base e distante do vértice 2 __ 3 da altura da pirâmide. Ao 
término da instalação, a face superior (base menor) de 
cada tronco de pirâmide será pintada com tinta amare-
la. Cada litro de tinta custa R$10,00, sendo suficiente 
para pintar 10 m2.
Sabendo-se que a área da base maior de cada tronco de 
pirâmide utilizado na construção do redutor é de 630 
cm2, calcule o custo da tinta amarela utilizada. 
3. (UFG) Um joalheiro produzirá um ornamento para um 
pingente a partir de uma pedra preciosa, originalmente 
em forma de um cubo. Para isso, ele retirará de cada 
vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o vér-
tice do cubo e os pontos médios das arestas que con-
correm neste vértice. Os tetraedros serão descartados.
Considerando-se as condições apresentadas, calcule:
a) o número de faces do poliedro que constitui o or-
namento.
b) a fração do volume do cubo original que constitui 
cada tetraedro retirado. 
4. (UFJF) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular 
de lado ℓ e N é um ponto sobre a aresta AC tal que 
2 

 AN = 

 NC .
 
a) Calcule 

 DN .
b) Calcule a área do triângulo BDN.
5. (UFJF) Na figura a seguir, considere o cubo de aresta 
de medida 2 cm e faces adjacentes BCDE e DEFG. Nesse 
cubo, o ponto A localiza-se no centro da face oposta 
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à face BCDE, N e M são pontos médios das arestas DE 
e GF, respectivamente, e H pertence ao segmento MN.
a) Calcule a medida da área do triângulo ABC.
b) Sabendo que AH é a altura da pirâmide HABC de 
base triangular ABC, determine o valor da medida do 
volume dessa pirâmide.
6. (UFPE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medi-
da da área da base igual à metade da área lateral. Se a 
altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais 
próximo do volume da pirâmide, em cm3. Dado: use a 
aproximação: dXX 3 < 1,73.
7. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um octaedro re-
gular com área total da superfície 36 dXX 3 cm2. Indique o 
volume do octaedro, em cm3.
8. (PUC-RJ) O octaedro regular de aresta 4 é cortado em 
4 fatias da mesma espessura por planos paralelos a um 
par de faces opostas, conforme a figura:
a) Esboce as interseções entre o sólido e cada um 
dos planos. Calcule suas áreas. (Não utilize valores 
aproximados).
b) Calcule a distância entre dois planos de corte con-
secutivos.
c) Calcule os volumes dos quatro sólidos em que o 
octaedro foi dividido.
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma fábrica produz velas de parafina em for-
ma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de al-
tura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas 
por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide 
de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, 
espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base supe-
rior de cada bloco é igual à base inferior do bloco so-
breposto, com uma haste de ferro passando pelo centro 
de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, re-
tirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de 
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto 
ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm3. d) 216 cm3.
b) 189 cm3. e) 540 cm3.
c) 192 cm3.
2. (Enem) É comum os artistas plásticos se apropriarem 
de entes matemáticos para produzirem, por exemplo, 
formas e imagens por meio de manipulações. Um ar-
tista plástico, em uma de suas obras, pretende retratar 
os diversos polígonos obtidos pelas intersecções de um 
plano com uma pirâmide regular de base quadrada.
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são 
possíveis de serem obtidos pelo artista plástico?
a) Quadrados, apenas.
b) Triângulos e quadrados, apenas.
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas.
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros 
irregulares, apenas.
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irre-
gulares e pentágonos, apenas.
3. (Enem) Maria quer inovar em sua loja de embala-
gens e decidiu vender caixas com diferentes forma-
tos. Nas imagens apresentadas estão as planificações 
dessas caixas.
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Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a 
partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) Uma pirâmide com exatamente seis ares-
tas congruentes é denominada tetraedro regular. Admi-
ta que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, 
de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da 
aresta BC é M.
 
O cosseno do ângulo A 
 ̂ 
 M D equivale a:
a) 1 __ 2 c) 
2 __ 3 
b) 1 __ 3 d) 
2 __ 5 
2. (UERJ) Um quadrado ABCD de centro O está situado 
sobre um plano a. Esse plano contém o segmento OV, 
perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:
 
Admita a rotação de centro O do segmento OV em um pla-
no perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens:
 
 
Considere as seguintes informações:
• o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 
1 metro;
• a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 
0 < x ≤ p __ 2 ;
• x corresponde ao ângulo formado pelo segmento 
OV e o plano a;
• o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, 
é igual a y.
O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmi-
de, em m3, em função do ângulo x, em radianos, é:
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma 
inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um 
tetraedro regular VABC. Observe a figura abaixo:
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Considere os seguintes dados:
• os vértices A e V pertencem a duas faces laterais 
do prisma;
• 

 BD = 

 BE = 

 BC = 1m
Determine o volume inicial da pedra.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito 
mandou construir uma pirâmide regular que seria usa-
da como seu túmulo.
As características e dimensões aproximadas dessa pirâ-
mide hoje, são:
1. Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
2. Sua altura é de 140 metros.
Suponha que, para construir parte da pirâmide equiva-
lente a 1,88 × 104 m3, o númeromédio de operários 
utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. 
Dados que 2,22 × 1,4 > 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 > 1,2 e man-
tidas estas médias, o tempo necessário para a constru-
ção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi 
de, aproximadamente: 
a) 20. d) 50.
b) 30. e) 60.
c) 40.
2. (Fuvest) Em um tetraedro regular de lado a, a distân-
cia entre os pontos médios de duas arestas não adja-
centes é igual a:
a) a dXX 3 .
b) a dXX 2 .
c) a 
dXX 3 ____ 2 .
d) a 
dXX 2 ____ 2 .
e) a 
dXX 2 ____ 4 .
3. (Fuvest) Uma pirâmide tem como base um quadrado 
de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um tri-
ângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem 
como vértices os baricentros de cada uma das faces la-
terais, é igual a:
a) 5 __ 9 .
b) 4 __ 9 .
c) 1 __ 3 .
d) 2 __ 9 .
e) 1 __ 9 .
4. (Fuvest) O sólido da figura é formado pela pirâmide SA-
BCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que 
S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, 
AD = 4cm e AB = 5 cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume 
do sólido seja igual a 4 __ 3 do volume da pirâmide SEFGH é:
a) 2 cm.
b) 4 cm.
c) 6 cm.
d) 8 cm.
e) 10 cm.
5. (Fuvest) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 
10. Por um ponto P na aresta 

 AC , passa o plano a para-
lelo às arestas 

 AB e 

 CD . Dado que AP = 3, o quadrilátero 
determinado pelas interseções de a com as arestas do 
tetraedro tem área igual a:
a) 21
b) 21 
dXX 2 _____ 2 
c) 30
d) 30 ___ 2 
e) 30 
dXX 3 _____ 2 
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEF-
GH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo 
do ponto A, quanto vale AQ?
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2. (Unifesp) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo 
reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 
6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
• P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD 
e EFGH;
• Q pertence à aresta EH ;
• T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diago-
na EG da face EFGH;
• 
 
»
 
 RF é um arco de circunferência de centro E.
a) Calcule a medida do arco 
 
»
 
 RF , em centímetros.
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, 
em cm3.
3. (Fuvest 2017) Considere um tetraedro regular 
ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H 
e I são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e 
CD, respectivamente.
 
a) Determine a área do triângulo EFH.
b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.
c) Determine o volume da pirâmide de vértices E, G, I, H 
e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.
4. (Unifesp) A figura indica uma pirâmide regular qua-
drangular reta cujas faces laterais são triângulos equi-
láteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.
 
Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da 
aresta 

 VA para o ponto médio da aresta 

 VC sempre ca-
minhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Den-
tre todos os caminhos possíveis ligando os dois pontos, 
a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga 
F2 escolheu o caminho mais curto dentre todos que pas-
sam pela base ABCD da pirâmide. Calcule:
a) a distância percorrida pela formiga F1.
 
b) a distância percorrida pela formiga F2.
 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. B 2. A 3. D 4. D 5. C
6. D 7. C 8. E 9. D
E.O. Fixação
1. B 2. E 3. E 4. E 5. C
6. C 7. E 8. C 9. C 10. D
E.O. Complementar
1. D 2. A 3. B 4. A 5. E
E.O. Dissertativo
1. 45
2. Aproximadamente R$ 0,39
3. 
a) 6 faces quadrangulares e 8 faces triangulares, to-
talizando 14 faces.
b) o volume de cada tetraedro corresponde a 1 ___ 
48
 do 
volume do cubo.
4. 
a) DN = ℓ 
dXX 7 ____ 
3
 
b) ℓ
2 . dXXX 19 _______ 
12
 
5. 
a) √
__
 5 cm2
b) 5 __ 6 cm
3
6. O inteiro mais próximo é 83.
7. 36 cm3
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8. 
a) 
A = 11 √
__
 3 _____ 
2
 
A = 6 · dXX 3 
b) √
__
 6 ___ 
3
 
c) V1 = 29 · 
 √
__
 2 ___ 
6
 
 V2 = 
35 √
__
 2 _____ 
6
 
E.O. Enem
1. B 2. E 3. A
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B 2. A
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
 dXX 2 
 ___ 3 m
3
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A 2. D 3. D 4. E 5. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 3
b) 4
c) dXXX 61 
d) 12 
dXXX 61 _____ 
61
 
2. 
a) p cm
b) 216 dXX 2 cm3
3. 
a) 9 
dXX 3 ____ 
4
 cm2
b) 9 cm²
c) 9 
dXX 2 ____ 
2
 cm2
4. 
a) MN = 6 √
__
 3 cm
b) MN = (3 + dXX 3 ) ∙ 3 √
__
 2 m
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E.O. AprEndizAgEm
1. (IFBA) Um aluno do curso de Automação Industrial re-
solveu armazenar parafina líquida em dois recipientes: 
um na forma de um prisma quadrangular regular e ou-
tro na forma de um cilindro circular reto, cujas medidas 
estão indicadas abaixo:
Adote p = 3,14.
Sobre esses recipientes é correto afirmar: 
a) No recipiente 1 cabe mais parafina que no reci-
piente 2.
b) No recipiente 1 cabe menos parafina que no reci-
piente 2.
c) Tanto no recipiente 1 quanto no recipiente 2 cabem 
a mesma quantidade de parafina.
d) Tanto no recipiente 1 quanto no recipiente 2 ca-
bem menos de 6,1 litros de parafina.
e) Tanto no recipiente 1 quanto no recipiente 2 cabem 
mais de 6,3 litros de parafina.
2. (Unifor) Um posto de combustível inaugurado re-
centemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que 
tem a forma de um cilindro circular reto na posição 
vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está 
completamente cheio com 42m3 de gasolina e 30 m3 
de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 
12 metros, a altura da camada de gasolina é:
a) 6 m.
b) 7 m.
c) 8 m.
d) 9 m.
e) 10 m.
3. (UEMG) Uma empresa de produtos de limpeza deseja 
fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. 
Foram apresentados dois tipos de embalagens com vo-
lumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base 
igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um pa-
ralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. 
O metro quadrado do material utilizado na fabricação 
das embalagens custa R$ 25,00. 
Considerando-se p = 3, o valor da embalagem que terá 
o menor custo será:
a) R$ 0,36. c) R$ 0,54. 
b) R$ 0,27. d) R$ 0,41.
4. (UFSM) Uma alternativa encontrada para a melhoria 
da circulação em grandes cidades e em rodovias é a 
construção de túneis. A realização dessas obras envolve 
muita ciência e tecnologia. 
Um túnel em formato semicircular, destinado ao trans-
porte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura 
a seguir.
Qual é o volume, em m3, no interior desse túnel? 
a) 4.800p. d) 28.800p.
b) 7.200p. e) 57.600p.
c) 14.400p.
5. (UPE) A figura a seguir representa a vista de cima 
de uma cisterna cilíndrica. Os pontos A e B indicam os 
locais de abastecimento, diametralmente opostos, e o 
ponto X mostra a posição de uma pessoa que se encon-
tra a 6m de A e a 8m de B.
 CILINDROS
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9 e 14
MT
AULAS 
31 E 32
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Sabendo-se que a profundidade da cisterna é de 2m, 
qual a sua capacidade máxima? 
(Considere p > 3)
a) 14.000 litros.
b) 48.000 litros.
c) 100.000 litros.
d) 150.000 litros.
e) 300.000 litros.
6. (PUC - 2017) O volume de um cilindro de 8 cm de 
altura equivale a 75% do volume de uma esfera com 
8 cm de diâmetro. A área lateral do cilindro, em cm2, é:
a) 42 dXX 2 p.
b) 36 dXX 3 p.
c) 32 dXX 2 p.
d) 24 dXX 3 p.
7. (UFSJ) Um galão cilíndrico, com 1 m de altura e 1 
m de diâmetro da sua base, está cheio de um líqui-
do até sua borda. Abrindo-se completamente uma 
torneira localizadana sua base, a velocidade de es-
coamento do líquido é de 15 litros/minuto. Consi-
derando a abertura total da torneira e que 1 dm3 = 
1 litro, o tempo estimado para o esvaziamento do galão 
está entre:
a) 16 e 17 minutos.
b) 52 e 53 minutos.
c) 66 e 67 minutos.
d) 21 e 22 minutos.
 8. (UFPB) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim 
de formato circular com 16 m de diâmetro. Contornando 
o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m de largura por 
0,1 m de altura, conforme a figura a seguir:
Supondo que o preço médio do m3 da calçada a ser 
construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do 
Sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, aproxi-
madamente, de: 
a) 685,30 reais.
b) 653,80 reais.
c) 583,30 reais.
d) 533,80 reais.
e) 835,30 reais.
9. (UFPA) Um tanque cilíndrico de 0,8 m de raio, com 
eixo na vertical em relação ao solo, está com combustí-
vel que é consumido em um veículo à razão média de 4 
km por litro. Se o veículo se mover a 50 km/h, a veloci-
dade da coluna de combustível em cm/h é de:
a) 8,2. d) 1,8.
b) 4,3. e) 0,6.
c) 2,1.
10. (Fatec) A figura apresenta a vista superior de uma 
piscina e suas dimensões internas.
Na figura, temos o seguinte:
• ABEF é um retângulo de dimensões 3 m por 6 m
• O arco 
 
»
 
 CD é uma semicircunferência com diâmetro 2 m
Considerando que a profundidade da piscina é constan-
te e igual a 1,2 m, a capacidade da piscina é, em litros:
Adote: p = 3.
a) 23 400.
b) 25 200.
c) 28 800.
d) 36 000.
e) 38 500.
E.O. FixAçãO
1. (PUC-RJ) O volume do sólido gerado pela rotação de 
um quadrado de lado 3 cm em torno de um dos seus 
lados é, em cm3:
a) 3p.
b) 6p.
c) 9p.
d) 18p.
e) 27p.
2. (UEMA) Um marceneiro tem como seu principal pro-
duto bancos de madeira, os quais são envernizados, 
antes da sua montagem, para melhor acabamento. Tais 
bancos são compostos pelo assento circular e quatro 
pernas de seção quadrada. O assento tem raio de 30 cm 
e espessura de 5 cm, enquanto as pernas têm 3 cm de 
lado e 40 cm de altura. Sabe-se que o verniz utilizado 
pelo marceneiro tem rendimento de 8 m2 por litro, e é 
vendido, apenas, em latas de um litro.
Para envernizar toda a sua produção mensal, 40 (qua-
renta) bancos, a quantidade de latas de verniz a ser ad-
quirida é de: 
Considere 1 m2 = 10.000 cm2 e p ≅ 3,14.
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
3. (UEL) No Paraná, a situação do saneamento público é 
preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto é 
de apenas 53%, ou seja, quase metade das residências 
no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em 
sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, 
com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros. 
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Supondo que José queira aumentar em 40% o volume 
de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, cor-
retamente, de quanto o raio deve ser aumentado per-
centualmente.
Dado: √
____
 1,4 = 1,183.
a) 11,8%.
b) 14,0%.
c) 18,3%.
d) 60,0%.
e) 71,2%.
4. (IFSC) Uma Metalúrgica fabrica tanques em formato 
de cilindros retos para armazenar combustíveis.
Um desses reservatórios tem área lateral de 5 p metros 
quadrados e o seu volume possui a capacidade de 10 p 
metros cúbicos. 
Nessas condições, é CORRETO afirmar que a medida do 
raio da base desse reservatório é: 
a) 16 m.
b) 80 cm.
c) 8 m.
d) 40 dm.
e) 4 p m.
5. A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma 
chapa de metal que possui 0,8 g por centímetro qua-
drado de área. 
Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO 
afirmar que a massa de cada lata desse tipo será de: 
a) 2900p g.
b) 5250p g.
c) 10400p g.
d) 13000p g.
e) 8240p g.
6. (UEA) As figuras mostram um cilindro reto A, de raio 
da base r, altura h e volume VA, e um cilindro reto B, de 
raio da base 2r, altura 2h e volume VB, cujas superfícies 
laterais são retângulos, de áreas SA e SB.
Nesse caso, é correto afirmar que 
SA __ 
SB
 e 
VA ___ VB
 valem, 
respectivamente: 
a) 1 __ 4 e 
1 __ 8 . d) 
1 __ 2 e 
1 __ 2 .
b) 1 __ 2 e 
1 __ 6 . e) 
1 __ 2 e 
1 __ 4 .
c) 1 __ 4 e 
1 __ 6 .
7. (ESPM) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. 
Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respecti-
vamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24 cm, a 
diferença entre elas é de: 
a) 5,34 cm. d) 7,66 cm.
b) 8,12 cm. e) 6,72 cm.
c) 5,78 cm.
8. (UFPR) As duas latas na figura abaixo possuem in-
ternamente o formato de cilindros circulares retos, com 
as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que 
ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor apro-
ximado da altura h?
a) 5 cm. d) 7,11 cm.
b) 6 cm. e) 8,43 cm.
c) 6,25 cm.
9. (IFAL) Uma determinada empresa fabrica latas de 
óleo, em formato cilíndrico, com capacidade total de 1 
litro e recebe uma encomenda para fabricar latas de 
mesmo formato, com capacidade total de 1/2 litro, mas 
que estas sejam da mesma altura das latas de 1 litro. 
Qual é a razão entre os diâmetros da lata de 1 litro e da 
nova lata de 1/2 litro? 
a) 2. d) p1/2.
b) 21/2. e) 31/2.
c) p.
10. (Insper) Na figura a seguir, a base inferior do cubo 
de aresta a está inscrita na base superior do cilindro 
circular reto de altura a.
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A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base 
inferior do cilindro é igual a: 
a) 5a 
dXX 3 _____ 2 .
b) 5a 
dXX 2 _____ 2 .
c) 3a 
dXX 3 _____ 2 .
d) a 
dXX 3 ____ 2 .
e) 3a 
dXX 2 _____ 2 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (Unifor) Duas velas homogêneas e de comprimentos 
iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um 
tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas. 
Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo 
tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro 
do resto da outra. Por quanto tempo ficaram acesas?
a) 2 horas 
b) 2 horas e 30 min 
c) 3 horas 
d) 3 horas e 20 min 
e) 3 horas e 30 min
2. (FGV) Um poço cilíndrico circular reto, de profundidade 
15 m e diâmetro 6 m, foi escavado por 18 trabalhadores 
em 25 dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade dire-
ta ou inversa entre duas das três grandezas envolvidas no 
problema (volume escavado, número de trabalhadores e 
dias necessários para o serviço), para aumentar o diâme-
tro do poço já escavado em mais 2 m, e com 4 trabalha-
dores a menos, serão necessários e suficientes mais: 
a) 20 dias.
b) 21 dias.
c) 23 dias.
d) 24 dias.
e) 25 dias.
3. (Acafe) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são in-
dicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a 
uma taxa de 1.570 L por hora. 
Com base nestes dados, e considerando p = 3,14, ana-
lise as afirmações a seguir.
I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela 
água dentro da piscina em metros e t o tempo em ho-
ras, é uma função do segundo grau.
II. O enchimento da piscina será interrompido quando a 
piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-
-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjun-
to D = {t [ R | 0 ≤ x ≤ 12,56}.
III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 
12 horas e 56 minutos.
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras.
b) Apenas II e III são verdadeiras.
c) Todas as afirmações são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
4. (UFG) Observe a charge a seguir.
Considerando-se que as toras de madeira no caminhão 
são cilindros circulares retos e idênticos, com 10 m de 
comprimento e que a altura da carga é de 2,7 m acima 
do nível da carroceria do caminhão, então a carga do 
caminhão corresponde a um volume de madeira, em 
metros cúbicos de, aproximadamente:
Dados: √
__
 3 > 1,7 e p > 3,1.
a) 17,2.
b) 27,3.
c) 37,4.
d) 46,5.
e) 54,6.
5. (Espcex) A figura abaixo representa dois tanques ci-
líndricos, T1 e T2, ambos com altura h, cujos raios das 
bases medem R e R dXX 2 , respectivamente. Esses tanques 
são usados para armazenar combustível e a quantidade 
de combustível existente em cada um deles é tal que 
seu nível correspondea 2 __ 3 da altura.
O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T2contém 
uma mistura etanol-gasolina, com 25% de etanol.
Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1para 
T2 até que o teor de etanol na mistura em T2 caia 
para 20%.
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Nessas condições, ao final da operação, a diferença en-
tre a altura dos níveis de T1 e T2 será: 
a) 1 __ 2 h. d) 
1 __ 5 h.
b) 1 __ 3 h. e) 
1 __ 6 h.
c) 1 __ 4 h. 
E.O. dissErtAtivO
1. (UEG) Uma peça mecânica de ferro tem a forma de 
um prisma cuja base é um hexágono regular de 10 cm 
de lado e altura de 3 cm. No centro da peça, existe um 
furo cilíndrico de 2 cm de raio. Qual é a quantidade de 
ferro, em volume, utilizada na confecção da peça? 
2. (UFPR - 2017)
 
Na modelagem matemática de um processo de fabrica-
ção, é comum supor que não há perda de material com 
emendas, sobreposição de partes etc. 
Deseja-se construir um reservatório cilíndrico com diâme-
tro de 120 cm e capacidade de 1,5 m3. Neste problema, 
estamos nos referindo a um cilindro circular reto perfeito. 
Para fazer a lateral desse cilindro, será usada uma chapa 
metálica retangular de comprimento b e altura h. Use p = 
3,14 e dê suas respostas com duas casas decimais.
a) Calcule o comprimento b que a chapa deve ter.
b) Calcule a altura h que a chapa deve ter.
3. (UFG) Uma indústria armazena um produto em cilin-
dros circulares retos com quatro metros de altura e raio 
da base medindo R metros. Prevendo-se um aumento na 
produção, foram encomendados outros cilindros de dois 
tipos, alguns com o mesmo raio que os originais e a al-
tura aumentada em dois metros e outros com a mesma 
altura dos originais e o raio aumentado em dois metros. 
Sabendo-se que todos os cilindros encomendados têm o 
mesmo volume, calcule o raio dos cilindros originais. 
4. (UFPR) Um reservatório possui internamente o for-
mato de um cilindro com 3,4 m de diâmetro e 10 m de 
comprimento, conforme indica a figura.
a) Qual o volume total que esse reservatório comporta? 
b) Num certo momento, a altura do líquido no interior 
do reservatório é de 2,5 m, como indica a figura. Qual 
a área da superfície do líquido exposta ao ar dentro 
do reservatório? 
5. (UFU) O rendimento teórico de uma tinta é a quan-
tidade necessária para pintar um metro quadrado de 
área e serve apenas para determinar o custo por metro 
quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é 
calculado no final do trabalho executado que leva em 
conta o número de demãos (números de camadas de 
tintas necessárias para obter o resultado esperado) e 
as perdas decorrentes da preparação e do método de 
aplicação. Admita que as perdas usando os diferentes 
métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 
20% e pistola pneumática 25%.
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de 
combustível na forma de um cilindro circular de 10 m de 
altura e raio da base igual a 2 m. Sabe-se que a tinta a 
ser usada tem rendimento teórico de 20 m2 por litro e 
que são necessárias duas demãos. 
Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias 
para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática. 
Dado: Use p ≅ 3,14.
6. (UFRJ) Considere a superfície cilíndrica S obtida a par-
tir da superposição dos segmentos AB e DC do retângu-
lo ABCD indicado a seguir.
Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a su-
perfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q.
Determine o comprimento desse caminho. 
7. (FGV) Uma lata de tinta está cheia em 5 __ 6 de sua ca-
pacidade. Dentro da lata caiu um pincel de 45 cm de 
comprimento. É certo que o pincel ficará completamen-
te submerso na tinta? Por quê?
8. (UFMG) João comprou um balde em forma de um 
cilindro circular reto, cujo diâmetro da base D, e cuja 
altura H medem, cada um deles, 30 cm. Ele precisa 
introduzir, nesse balde, verticalmente, uma peça me-
tálica, também em forma ver de um cilindro circular 
reto, cujo diâmetro da base d, e cuja altura l medem, 
respectivamente, 20 cm e 27 cm. Suponha que o bal-
de contém água até um nível h.
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Considerando essas informações:
a) calcule o volume total do balde, em cm3.
b) calcule o volume total da peça metálica, em cm3.
c) João observou que, se a peça fosse introduzida no 
balde, de modo que 2 __ 3 dela ficassem fora do balde, o 
nível da água subiria até atingir a borda, sem transbor-
dar. Suponha que, em seguida, a peça foi introduzida, 
de modo que a metade dela ficou fora do balde. De-
termine o volume da água que transborda, nesse caso. 
9. (UFG) Um posto de gasolina possui um reservatório 
cilíndrico horizontal com dimensões internas de 2 me-
tros de diâmetro por 10 metros de comprimento. O pos-
to iniciou as vendas do dia com o reservatório cheio de 
gasolina. Após uma hora, verificou-se que o nível de ga-
solina no reservatório havia baixado meio metro, como 
representado na figura a seguir.
Diante do exposto, determine quantos litros de gasoli-
na foram vendidos nesse período de uma hora.
Dados: p < 3,14 e √
__
 3 < 1,73.
10. (UFMG) O lucro bruto de uma empresa é a diferen-
ça entre a receita obtida com as vendas e o custo de 
produção. Um determinado fabricante de cerveja só 
vende latas cilíndricas de alumínio, fechadas, cheias de 
cerveja, com 12 cm de altura e 3 cm de raio. O custo da 
produção de certo número de latas cheias de cerveja é 
de 1 real por litro de cerveja e mais p reais por metro 
quadrado de alumínio utilizado na fabricação das latas. 
A receita da empresa por cada litro de cerveja vendido 
é de dois reais por litro.
Considerando estas informações,
a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada 
lata de cerveja.
b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata 
de cerveja em função de p.
c) DETERMINE o valor máximo do preço p do alumí-
nio para que o fabricante não tenha prejuízo.
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma empresa que organiza eventos de for-
matura confecciona canudos de diplomas a partir de 
folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos 
fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de 
um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, 
sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de 
tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do 
diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenro-
lamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do 
papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. 
Considere que a espessura da folha de papel original 
seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de 
papel usado na confecção do diploma? 
a) pd.
b) 2 pd.
c) 4 pd.
d) 5 pd.
e) 10 pd. 
2. (Enem) Para construir uma manilha de esgoto, um ci-
lindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espes-
sura desprezível), foi envolvido homogeneamente por 
uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 
10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, en-
tão o preço dessa manilha é igual a: 
a) R$ 230,40. 
b) R$ 124,00.
c) R$ 104,16. 
d) R$ 54,56.
e) R$ 49,60.
3. (Enem) Um fabricante de bebidas, numa jogada de 
marketing, quer lançar no mercado novas embalagens 
de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atu-
ais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma 
nova embalagem com metade desse volume, conforme 
mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação en-
tre o raio r' da embalagem de 175 mL e o raio r da em-
balagem de 350 mL? 
a) r' = dX r .
b) r' = r __ 2 .
c) r' = r.
d) r' = 2r.
e) r' = 3 dXX 2 .
4. (Enem) Num parque aquático existe uma piscina in-
fantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de 
profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem um 
raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer 
seca no interior dessa piscina, também na forma de um 
cilindro circular reto, cuja base estará no fundo e com 
centro da basecoincidindo com o centro do fundo da 
piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será 
r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço 
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destinado à água na piscina tenha um volume de, no 
mínimo, 4 m3.
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da 
ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de: 
a) 1,6. d) 3,0.
b) 1,7. e) 3,8.
c) 2,0.
5. (ENEM) Para resolver o problema de abastecimento 
de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a 
construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem 
formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâme-
tro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 
81 m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura 
da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga 
será desativada.
Utilize 3,0 como aproximação para p.
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cister-
na para atingir o volume desejado? 
a) 0,5 d) 3,5
b) 1,0 e) 8,0
c) 2,0
6. (Enem) É possível usar água ou comida para atrair 
as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar 
água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. 
Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, 
você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco 
partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa 
trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela 
pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-
-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também 
pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se 
alimentar. Isso pode até matá-la.
ciência hojE daS cRiançaS. FndE; inStituto 
ciência hojE, n. 166, maR 1996. 
Pretende-se encher completamente um copo com a 
mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato ci-
líndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de 
diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada 
na mistura é cerca de (utilize p = 3)
a) 20 mL.
b) 24 mL.
c) 100 mL.
d) 120 mL.
e) 600 mL.
7. (Enem) Dona Maria, diarista na casa da família Teixei-
ra, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que 
se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, 
Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos 
plásticos, também cilíndricos.
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista de-
seja colocar a quantidade mínima de água na leiteira 
para encher os vinte copinhos pela metade. Para que 
isso ocorra, Dona Maria deverá 
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volu-
me 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volu-
me 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um vo-
lume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volu-
me 10 vezes maior que o volume do copo.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ 2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro 
AB de 4 cm e altura AA' de 10 cm. O plano a perpendi-
cular à seção meridiana ABB'A' que passa pelos pontos 
B e A' das bases, divide o cilindro em duas partes, con-
forme ilustra a imagem.
 
O volume da parte do cilindro compreendida entre o 
plano a e a base inferior, em cm3 é igual a:
a) 8 p
b) 12 p
c) 16 p
d) 20 p
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E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Uma caixa cúbica foi dividida em duas par-
tes por um plano que contém duas diagonais de faces 
opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, 
uma lata com a forma de um cilindro circular reto, con-
forme ilustrado a seguir.
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na 
lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre o vo-
lume do cilindro e o da caixa.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unicamp) Considere um cilindro circular reto. Se o 
raio da base for reduzido pela metade e a altura for 
duplicada, o volume do cilindro: 
a) é reduzido em 50%.
b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo.
d) é reduzido em 25%.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Um castelo está cercado por uma vala cujas 
bordas são dois círculos concêntricos de raios 41 m e 
45 m. A profundidade da vala é constante e igual a 3 m.
3 m
Seção transversal da vala
O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este 
fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são 
cilindros circulares retos com raio da base de 1,5 m e 
altura igual a 8 m.
Determine o número mínimo de caminhões-pipa neces-
sário para encher completamente a vala.
2. (Unifesp) Por motivos técnicos, um reservatório de 
água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 
1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e 
sua água será transferida para um segundo reserva-
tório, que está completamente vazio, com capacidade 
maior do que o primeiro, também na forma de um ci-
lindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura 
interna h(t), em metros, da água no reservatório 1, t ho-
ras a partir do instante em que se iniciou o processo de 
esvaziamento, pôde ser expressa pela função
h(t) = 
1 5 t – 1 2 0
 ______________ t – 12 
a) Determine quantas horas após o início do processo 
de esvaziamento a altura interna da água no reser-
vatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para 
que esse reservatório ficasse completamente vazio.
b) Sabendo que o diâmetro interno da base do re-
servatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base 
do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume 
de água que o reservatório 1 continha inicialmente 
e a altura interna H, em metros, que o nível da água 
atingiu no reservatório 2, após o término do processo 
de esvaziamento do reservatório 1.
3. (UNESP) Na construção de uma estrada retilínea foi 
necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar 
um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma 
de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e 
altura máxima h, relativa à corda, conforme figura.
 
Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que 

 AB = 4 dXX 3 m e que h = 3R ___ 2 = 6m , determine o volume 
aproximado de terra, em m3, que foi retirado na cons-
trução do túnel.
Dados: p __ 3 ≈ 1,05 e 
√
__
 3 ≈ 1,7.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. B 3. A 4. B 5. D
6. C 7. B 8. D 9. E 10. A
E.O. Fixação
1. E 2. C 3. C 4. D 5. A
6. A 7. E 8. D 9. B 10. E
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E.O. Complementar
1. C 2. E 3. D 4. D 5. A
E.O. Dissertativo
1. 450 dXX 3 – 12 p cm3.
2. 
a) 3,768 m.
b) h ≅ 1,33 m.
3. R = ( 4 + 2 dXX 6 ) cm.
4. 
a) V = 28,9p m³
b) 30 m2.
5. 20,096 litros.
6. 3 dXX 2 .
7. 
 5 __ 
6
 de 36 cm = 30 cm
x2 = 402 + 302 ⇔ x = 50 cm
Como 45 < 50, o pincel poderá ficar completamente sub-
merso na tinta.
8. 
a) 6750p cm3.
b) 2700p cm3.
c) 450p cm3.
9. 6.145 L.
10. 
a) 0,216 π reais.
b) 0,009π · (12 + p).
c) 12 reais.
E.O. Enem
1. D 2. D 3. C 4. A 5. C
6. C 7. A
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. D
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. p . 
(2 - √
__
 2 )2
 _________ 
4
 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 58.
2. 
a) 6 h para atingir 5 m; 8 h para ficar completamente vazio.
b) V = 9 · 104 · p L; H = 2,5 m.
3. 80.800 m3.
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E.O. AprEndizAgEm
1. (UPE) Um torneiro mecânico construiu uma peça reti-
rando, de um cilindro metálico maciço, uma forma côni-
ca, de acordo com a figura 01 a seguir:
Considere p > 3.
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? 
a) 2,16 · 105. d) 8,32 · 104.
b) 7,2 · 104. e) 3,14 · 105.
c) 2,8 · 105.
2. (Mackenzie) No sólido da figura, ABCD é um quadra-
do de lado 2 e AE = BE = dXXX 10 . O volume desse sólido é:
a) 5p ___ 2 . d) 5p.
b) 4p ___ 3 . e) 3p.c) 4p.
3. (PUC-RS) Uma casquinha de sorvete na forma de cone 
foi colocada em um suporte com formato de um cilin-
dro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme 
a figura.
O volume da parte da casquinha que está no interior do 
cilindro, em cm3, é:
a) pa
2
 ___ 2 .
b) pa
2
 ___ 3 .
c) pa
3
 ___ 2 .
d) pa
3
 ___ 3 .
e) pa
3
 ___ 6 .
4. (UEMG) Um reservatório de água, de formato cônico, 
com raio da tampa circular igual a 8 metros e altura 
igual a 9 metros, será substituído por outro de forma 
cúbica, de aresta igual a 10 metros. 
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao 
se transferir a água para o reservatório cúbico, a altura 
do nível atingida pela água será de (considere p > 3)
a) 5,76m.
b) 4,43m.
c) 6,38m.
d) 8,74m.
5. (UEMG) Uma empresa deseja fabricar uma peça ma-
ciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela 
rotação de um trapézio isósceles em torno da base me-
nor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do tra-
pézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 
7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.
Considerando-se p = 3, o volume, em litros, da peça 
fabricada corresponde a:
a) 0,212.
b) 0,333.
c) 0,478.
d) 0,536.
 CONES E TRONCOS DE CONE RETO
COMPETÊNCIA(s)
2
HABILIDADE(s)
6, 7, 8 e 9
MT
AULAS 
33 E 34
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6. (Esc. Naval) A Marinha do Brasil comprou um reserva-
tório para armazenar combustível com o formato de um 
tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capaci-
dade em litros desse reservatório?
a) 40 ___ 3 10
2 p. d) 49 ___ 3 10
4 p.
b) 19 ___ 2 10
5 p. e) 19 ___ 3 10
3 p.
c) 49 ___ 3 10 p.
7. (Ufrgs) Um cone reto com raio da base medindo 10 cm 
e altura de 12 cm será seccionado por um plano paralelo 
à base, de forma que os sólidos resultantes da secção 
tenham o mesmo volume.
A altura do cone resultante da secção deve, em cm, ser: 
a) 6.
b) 8.
c) 6 dXX 2 .
d) 6 3 dXX 2 .
e) 6 3 dXX 4 .
8. (FMP 2017) Um recipiente cilíndrico possui raio da 
base medindo 4 cm e altura medindo 20 cm. Um segun-
do recipiente tem a forma de um cone, e as medidas do 
raio de sua base e de sua altura são iguais às respecti-
vas medidas do recipiente cilíndrico. 
Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e 
o volume do recipiente cônico? 
a) 1 __ 2 . d) 4.
b) 1 __ 5 . e) 5.
c) 3.
9. (UFU 2017) Um recipiente cônico utilizado em expe-
riências de química deve ter duas marcas horizontais 
circulares, uma situada a 1 centímetro do vértice do 
cone, marcando um certo volume v e outra marcando o 
dobro deste volume, situada a H centímetros do vértice, 
conforme figura.
 
Nestas condições, a distância H em centímetros, é igual a:
a) 3 dX 2 .
b) dX 3 .
c) 4/3.
d) 3/2.
10. (Upe-ssa 2017) Um cone reto está inscrito num cubo 
de aresta 8 cm. Se a altura do cone e o diâmetro de sua 
base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as 
medidas dos seus volumes? Considere π = 3,0.
a) 128 cm3.
b) 256 cm3.
c) 384 cm3.
d) 424 cm3.
e) 512 cm3.
E.O. FixAçãO
1. (Unifor) Parte do líquido de um cilindro circular reto 
que está cheio é transferido para dois cones circula-
res retos idênticos de mesmo raio e mesma altura do 
cilindro. Sabendo-se que os cones ficaram totalmente 
cheios e que o nível da água que ficou no cilindro é de 
3 m, a altura do cilindro é de: 
a) 5 m.
b) 6 m.
c) 8 m.
d) 9 m.
e) 12 m.
2. (Unifor) Um depósito cheio de combustível tem a for-
ma de um cone circular reto. O combustível deve ser 
transportado por um único caminhão no qual o tan-
que transportador tem a forma de um cilindro circular 
reto, cujo raio da base mede metade do raio da base 
do depósito e altura 1 __ 3 da altura do depósito. Quantas 
viagens o caminhão deverá fazer para esvaziar comple-
tamente o depósito, se para cada viagem a capacidade 
do tanque é preenchida?
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
3. (UFG) Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem 
a forma de um cone circular reto e, quando planificado, 
fornece um semicírculo com 10 cm de raio. Para o cone, 
que representa o formato do chapeuzinho: 
a) o raio da base é 10 cm. 
b) a área da base é 50p cm2.
c) a área lateral é 25p cm2.
d) a geratriz mede 5 cm.
e) o volume é 125 
dXX 3 p _______ 3 cm
3.
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4. (FGV) Um ralador de queijo tem a forma de cone circu-
lar reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é 
ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior 
(figura 1). Deseja-se retirar uma fatia de um queijo com 
a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm 
e altura 6 cm, obtida por dois cortes perpendiculares à 
base, partindo do centro da base do queijo e formando 
um ângulo a (figura 2), de forma que o volume de queijo 
dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador.
Nas condições do problema, a é igual a:
a) 45°.
b) 50°.
c) 55°.
d) 60°.
e) 65°.
5. (UFPB) A prefeitura de certo município realizou um 
processo de licitação para a construção de 100 cister-
nas de placas de cimento para famílias da zona rural 
do município. Esse sistema de armazenamento de água 
é muito simples, de baixo custo e não poluente. A em-
preiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por 
m2 construído, tomando por base a área externa da cis-
terna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a 
forma de um cilindro com uma cobertura em forma de 
cone, conforme a figura abaixo.
Considerando que a construção da base das cisternas 
deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o 
valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na constru-
ção das 100 cisternas será, no máximo, de:
Use: p = 3,14 
a) 100.960.
b) 125.600.
c) 140.880.
d) 202.888.
e) 213.520.
6. (UECE) A superfície lateral de um cone circular reto, 
quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm 
de raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, 
em centímetros quadrados, da área da base deste cone é: 
a) 144p.
b) 72p.
c) 36p.
d) 16p.
7. (Cefet) Após mergulhar um ovo em um copo de água 
de bases (inferior e superior) circulares de diâmetros 
4,8 cm e 7,2 cm, respectivamente, um estudante regis-
trou uma elevação no nível de água de 6 cm para 8 cm, 
tal como mostra a figura seguinte.
Considerando p = 3, o volume aproximado do ovo, em 
cm3, encontra-se no intervalo:
a) [0, 25[.
b) [25, 50[.
c) [50, 75[.
d) [75, 100[.
e) [100, 125[.
8. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é 
h, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas 
partes: um cone cuja medida da altura é h __ 5 e um tronco 
de cone, conforme a figura.
A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e 
do cone menor é:
a) 15. c) 90.
b) 45. d) 125.
9. (UEL) Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio 
da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros quadra-
dos, sua área lateral.
a) 20p.
b) 30p.
c) 40p.
d) 50p.
e) 60p.
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10. (UFSC 2017) Em relação às proposições abaixo, é 
correto afirmar que:
01) Um designer de joias, motivado pelo lançamento 
das medalhas comemorativas dos Jogos Olímpicos Rio 
2016, resolveu fazer uma medalha de ouro maciço na 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 28 
mm e espessura de 2 mm para comemorar suas bodas 
de ouro em 2016. Considerando a massa específica do 
ouro como 20 g/cm3 e p ≅ 3, então serão necessários 
23,52 g de ouro para confeccionar a medalha.
02) Uma lanchonete vende sucos em copos completa-
mente cheios com a forma de um cone circular reto. Um 
cliente solicitou um copo de suco de morango. O aten-
dente serviu o suco até atingir 80% do nível do copo 
cheio, como mostra a figura abaixo. Nesse caso, é corre-
to afirmar que o cliente já terá sido lesado em mais do 
que a metade do volume de suco do copo.
 
04) A expressão matemática, em função de x (x > 1), 
para o cálculo da capacidade do prisma reto de base 
hexagonal regularrepresentado na figura abaixo, é 
C = 
dXX 3 ___ 4 x
3 + 
dXX 3 ___ 4 x
2 + 
dXX 3 ___ 4 x.
 
08) Numa pirâmide de base quadrada cujo lado mede 8 cm 
e cujas arestas laterais medem 9 cm, a altura mede 7 cm.
E.O. COmplEmEntAr
1. (UFG) Um cone circular reto de madeira, homogêneo, 
com 20 cm de altura e 20 cm de diâmetro da base, flutua 
livremente na água parada em um recipiente, de manei-
ra que o eixo do cone fica vertical e o vértice aponta 
para baixo, como representado na figura a seguir.
Denotando-se por h a profundidade do vértice do cone, 
relativa à superfície da água, por r o raio do círculo for-
mado pelo contato da superfície da água com o cone 
e sabendo-se que as densidades da água e da madeira 
são 1,0 g/cm3 e 0,6 g/cm3, respectivamente, os valores 
de r e h, em centímetros, são, aproximadamente:
Dados: 3 dXX 3 < 1,44, 3 dXX 5 < 1,71.
a) 5,8 e 11,6.
b) 8,2 e 18,0.
c) 8,4 e 16,8.
d) 8,9 e 15,0.
e) 9,0 e 18,0.
2. (UPE) Ao se planificar um cone reto, sua superfície 
lateral é igual a um quarto de um círculo com área igual 
a 12p. Nessas condições, a área de sua base é igual a:
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 5p.
3. (Mackenzie) Para construir um funil a partir de um 
disco de alumínio de centro O e raioR = 16 cm, retira-se 
do disco um setor circular de ângulo central u = 225º.
Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio 
r = 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC e BD. 
O processo de construção do funil está representado 
nas figuras abaixo.
A medida da altura do funil é:
a) 2 dXXX 39 cm. d) 2 dXXX 55 cm.
b) 15 
dXXX 39 ______ 8 cm. e) 
15 dXXX 55 ______ 8 cm.
c) 
dXXX 55 ____ 8 cm.
4. (Mackenzie) Calculou-se o volume de um cone reto 
de geratriz 1 e área lateral k. O maior valor inteiro que 
k pode assumir é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
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5. (PUC-RS) Um desafio matemático construído pelos 
alunos do Curso de Matemática tem as peças no forma-
to de um cone. A figura abaixo representa a planifica-
ção de uma das peças construídas.
A área dessa peça é de ______ cm2.
a) 10p.
b) 16p.
c) 20p.
d) 28p.
e) 40p.
E.O. dissErtAtivO
1. (PUC-RJ) De um disco circular, de raio medindo 6 e 
centro C, cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando 
o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os la-
dos CA e CB, como nas figuras abaixo.
Não use aproximações para p e determine:
a) o perímetro da base do cone;
b) o raio da base do cone;
c) o volume do cone. 
2. (UFRJ) Um recipiente em forma de cone circular reto 
de altura h é colocado com vértice para baixo e com 
eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando 
cheio até a borda, comporta 400mℓ.
Determine o volume de líquido quando o nível está 
em h __ 2 .
3. (UEL) Considere uma lata, com o formato de um cilin-
dro reto de altura h cm e raio r cm (Figura 1), completa-
mente cheia de doce de leite. Parte do doce dessa lata 
foi transferido para dois recipientes (Figura 2), iguais 
entre si e em forma de cone, que têm a mesma altura da 
lata e o raio da base igual à metade do raio da base da 
lata. Considere também que os dois recipientes ficaram 
completamente cheios de doce de leite.
Desprezando a espessura do material de que são feitos 
os recipientes e a lata, determine quantos outros reci-
pientes, também em forma de cone, mas com a altura 
igual à metade da altura da lata e de mesmo raio da 
lata (Figura 3), podem ser totalmente preenchidos com 
o doce de leite que restou na lata.
Observação: Na lata e nos recipientes completamente 
cheios de doce de leite, o doce não excede a altura de 
cada um deles e, na transferência do doce de leite da 
lata para os recipientes, não há perda de doce.
4. (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 2 dXX 3 cm.
Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, e 
multiplique o resultado por dXX 3 . 
5. (UFSCar) Em uma lanchonete, um casal de namorados 
resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões 
mostradas no desenho.
10 cm
20 cm
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e 
que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi 
o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote p = 3.
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura 
do copo, quanto do volume total, em porcentagem, 
terá bebido? 
6. (UFMG) Um cone circular reto de raio r = dXX 3 e altura 
h = 2 dXX 3 é iluminado pelo sol a um ângulo de 45°, como 
ilustrado a seguir.
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A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos seg-
mentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone 
nos pontos A e B, respectivamente.
Com base nessas informações,
a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo.
b) DETERMINE o ângulo A 
 ̂ 
 O B.
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone.
7. (ITA) Seja S a área total da superfície de um cone 
circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas 
lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão 
que forneça h em função apenas de S e m.
8. (USF 2016) Um funil de vidro, em formato de tronco 
de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado 
para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são 
indicadas na figura.
Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacida-
de deste funil. Sabe-se que 5 L de xarope caseiro serão 
envasados. Determine o número mínimo de frascos ne-
cessários para o envase.
(Use π ≅ 3,14)
9. (UEMA 2016) Os copos de refrigerante de uma de-
terminada cadeia de fastfood têm capacidades de 300, 
500 e 700 mL, respectivamente. Esses são confecciona-
dos em material plástico no formato de tronco de cone.
a) Supondo que todos os copos tenham as mesmas 
dimensões de base, quais seriam as relações entre as 
suas alturas? 
b) Suponha que se quisesse substituir um desses 
copos por outro, em formato cilíndrico e de mesmo 
volume. Esse copo teria a mesma altura e o seu diâ-
metro seria o dobro da base menor do copo original. 
Nessas condições, qual a proporção entre os raios da 
base menor e da base maior do copo atual?
E.O. EnEm
1. (Enem) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, 
utiliza uma forma no formato representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras geo-
métricas tridimensionais.
Essas figuras são: 
a) um tronco de cone e um cilindro.
b) um cone e um cilindro.
c) um tronco de pirâmide e um cilindro.
d) dois troncos de cone.
e) dois cilindros.
2. (Enem) Um sinalizador de trânsito tem o formato de 
um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revesti-
do externamente com adesivo fluorescente, desde sua 
base (base do cone) até a metade de sua altura, para 
sinalização noturna. O responsável pela colocação do 
adesivo precisa fazer o corte do material de maneira 
que a forma do adesivo corresponda exatamente à par-
te da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo? 
a) d) 
b) e) 
c) 
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3. (Enem 2016) Em regiões agrícolas, é comum a pre-
sença de silos para armazenamento e secagem da pro-
dução de grãos, no formato de um cilindro reto, sobre-
posta por um cone, e dimensões indicadas na figura. 
O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em 
caminhões de carga cuja capacidade é de 20m3. Uma 
região possui um silo cheio e apenas um caminhão para 
transportar os grãos para a usina de beneficiamento.
 
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará 
fazer para transportar todo o volume de grãos armaze-
nados no silo é:
a) 6.
b) 16.
c) 17.
d) 18.
e) 21.
4. (Enem PPL) Ao se perfurar um poço no chão, na for-
ma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é 
amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio 
da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 me-
tros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% 
maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra 
fica maisfofa após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
a) 1,44.
b) 6,00.
c) 7,20.
d) 8,64.
e) 36,00.
5. (Enem PPL) Nas empresas em geral, são utilizados 
dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com 
a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios 
das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual 
a 3,6cm.
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das 
bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois mode-
los de copos descartáveis, fornecendo para cada um de 
seus funcionários canecas com a forma de um cilindro 
circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de 
comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão 
usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular 
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a 
R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
Vtroncodecone = 
ph ___ 3 (R
2 + r2 + Rr)
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja, 
no mínimo, igual a:
a) 2,664 cm.
b) 7,412 cm.
c) 12,160 cm.
d) 14,824 cm.
e) 19,840 cm.
6. (Enem) A figura seguinte mostra um modelo de 
sombrinha muito usado em países orientais.
 
Esta figura é uma representação de uma superfície de 
revolução chamada de:
a) pirâmide.
b) semiesfera.
c) cilindro.
d) tronco de cone.
e) cone.
7. (Enem) Um arquiteto está fazendo um projeto de 
iluminação de ambiente e necessita saber a altura que 
deverá instalar a luminária ilustrada na figura
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área 
circular de 28,26m2, considerando π ≅ 3,14, a altura h 
será igual a:
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
8. (Enem) Um vasilhame na forma de um cilindro circu-
lar reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está 
parcialmente ocupado por 625p cm3 de álcool. Suponha 
que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de 
um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura 
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de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como 
mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a dis-
tância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame.
Volume do cone: Vcone = 
πr2h ____ 3 
Considerando-se essas informações, qual é o valor da 
distância H?
a) 5 cm.
b) 7 cm.
c) 8 cm.
d) 12 cm.
e) 18 cm.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Para revestir externamente chapéus em forma 
de cones com 12 cm de altura e diâmetro da base me-
dindo 10 cm, serão utilizados cortes retangulares de te-
cido, cujas dimensões são 67 cm por 50 cm. Admita que 
todo o tecido de cada corte poderá ser aproveitado.
O número mínimo dos referidos cortes necessários para 
forrar 50 chapéus é igual a:
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
2. (UERJ) Um funil, com a forma de cone circular reto, é 
utilizado na passagem de óleo para um recipiente com 
a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente 
possuem a mesma capacidade.
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes es-
tão contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano 
horizontal b.
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo 
a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante 
o escoamento, quando o nível do óleo estiver exata-
mente na metade da altura do funil, H __ 2 , o nível do óleo 
no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na 
geratriz AB. 
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. (UERJ) Um recipiente com a forma de um cone circu-
lar reto de eixo vertical recebe água na razão constante 
de 1 cm3/s. A altura do cone mede 24 cm e o raio de sua 
base mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água 
no recipiente varia em função do tempo t em que a tor-
neira fica aberta. A medida de h corresponde à distância 
entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo π ≅ 3, a equação que relaciona a altura h, em 
centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por:
a) h = 4 3 dX t . c) h = 2 dX t .
b) h = 2 3 dX t . d) h = 4 dX t .
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4. (UERJ) Um sólido com a forma de um cone circular 
reto, constituído de material homogêneo, flutua em um 
líquido, conforme a ilustração abaixo.
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao 
meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume sub-
merso e o volume do sólido será igual a:
a) 1 __ 2 . b) 
 3 __ 4 . c) 
5 __ 6 . d) 
7 __ 8 .
5. (UERJ) A figura abaixo representa um recipiente côni-
co com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. 
O nível desse líquido tem 12 cm de altura.
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução 
inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-
-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equiva-
lente a:
a) 16. b) 18. c) 20. d) 22.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limi-
ta um triângulo de perímetro ℓ. Se ela gira em torno de 
um de seus lados, gera uma superfície de área S igual ao 
produto de ℓ pelo comprimento da circunferência descri-
ta pelo baricentro G da poligonal.
A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma vol-
ta em torno de BC.
a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área 
de sua superfície que é igual a 36 pcm2.
b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao 
eixo de rotação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest 2017) Um reservatório de água tem o for-
mato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base 
(que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 
m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em 
que o reservatório está completamente vazio, inicia-se 
seu enchimento com água a uma vazão constante de 
500 litros por minuto.
O tempo gasto para que o nível de água atinja metade 
da altura do reservatório é de, aproximadamente,
Dados:
• π é aproximadamente 3,14 
• O volume V do cone circular reto de altura h e raio 
da base r é V = 1 __ 3 πr
2h.
a) 4 horas e 50 minutos.
b) 5 horas e 20 minutos.
c) 5 horas e 50 minutos.
d) 6 horas e 20 minutos.
d) 6 horas e 50 minutos.
2. (Unesp 2017) Um cone circular reto, de vértice V 
e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em 
uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. 
O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por 
V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, 
sem escorregar, conforme mostra a figura.
 
O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base 
ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando 
que o volume de um cone é calculado pela fórmula πr
2h ____ 3 , 
o volume do cone da figura, em cm3 é igual a:
a) 72 dX 3 p.    d) 18 dX 3 p.
b) 48 dX 3 p.    e) 12 dX 3 p.
c) 36 dX 3 p.
3. (Unesp) Prato da culinária japonesa, o temaki é um 
tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente 
com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas 
marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de pei-
xe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.
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Um temaki típico pode ser representado matematica-
mente por um cone circular reto em que o diâmetro da 
base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em 
um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% 
da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é 
de 0,35 g/cm3, e tomando π = 3 a quantidade aproxima-
da de salmão, em gramas, nesse temaki, é de:
a) 46. d) 50.
b) 58. e) 62.
c) 54.
4. (Unicamp) Depois de encher de areia um molde ci-
líndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície hori-
zontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, for-
mando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do 
raio da base do cilindro.
 
A alturado cone formado pela areia era igual a:
a) 3/4 da altura do cilindro.
b) 1/2 da altura do cilindro.
c) 2/3 da altura do cilindro.
d) 1/3 da altura do cilindro.
5. (Unesp) Um paciente recebe por via intravenosa um 
medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco 
do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e 
uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e 
estava cheio quando se iniciou a medicação.
Após 4h de administração contínua, a medicação foi 
interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a 
aproximação p = 3, o volume, em ml, do medicamen-
to restante no frasco após a interrupção da medica-
ção é, aproximadamente:
a) 120.
b) 150.
c) 160.
d) 240.
e) 360.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça 
de metal maciça na forma de um cone circular reto de 
15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 
1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usan-
do uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do 
cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la com-
pletamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo 
a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste 
novo sólido é 2 __ 3 da área de B, determine seu volume.
2. (Unicamp) Um brilhante é um diamante com uma la-
pidação particular, que torna essa gema a mais aprecia-
da dentre todas as pedras preciosas. 
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de mas-
sa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a 
massa específica do diamante é de aproximadamente 
3,5 g/cm3, determine o volume de um brilhante com 
0,7 quilate. 
b) A figura abaixo apresenta a seção transversal de 
um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume 
exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela 
soma do volume de um tronco de cone (parte supe-
rior) com o de um cone (parte inferior). Determine, 
nesse caso, o volume aproximado do brilhante. 
Dica: o volume de um tronco de cone pode ser obtido 
empregando-se a fórmulaV = p __ 3 h (R
2 + Rr + r2) em 
que R e r são os raios das bases e h é a altura do tronco.
3. (Unesp) Um recipiente, na forma de um cilindro cir-
cular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade 
com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um 
cone circular reto, contém uma substância química que 
forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2).
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raio R
32 cm
Água
Figura 1
27 cm
raio r
h
Figura 2
(substância química)
Mistura
Figura 3
a) Sabendo que R = ( 3 __ 2 ) r, determine o volume da água 
no cilindro e o volume da substância química no cone, 
em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a apro-
ximação p = 3.)
b) A substância química do cone é despejada no ci-
lindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). 
Determine a concentração (porcentagem) da subs-
tância química na mistura e a altura h atingida pela 
mistura no cilindro.
4. (Unesp 2017) Um cone circular reto de geratriz me-
dindo 12 cm e raio da base medindo 4 cm foi secciona-
do por um plano paralelo à sua base, gerando um tron-
co de cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra 
a planificação da superfície lateral S desse tronco de 
cone, obtido após a secção.
 
Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o 
volume do tronco de cone indicado na figura 1.
5. (Unesp) A imagem mostra uma taça e um copo. A for-
ma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de al-
tura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura 
R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, 
aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e 
raios das bases medindo R e 2r.
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura 
h e raios das bases B e b é 1 __ 3 ∙π∙h(B
2+B∙b+b2) e dado que 
√
___
 65 ≅ 8 determine o raio aproximado da base do copo, 
em função de R, para que a capacidade da taça seja 2 __ 3 da 
capacidade do copo.
6. (Unesp) Numa região muito pobre e com escassez de 
água, uma família usa para tomar banho um chuveiro 
manual, cujo reservatório de água tem o formato de 
um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 
12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas 
bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 
6 cm respectivamente, e altura 10 cm como mostrado 
na figura.
 
Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma 
torneira com um gotejamento que provoca um desper-
dício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a 
aproximação π = 3, determine quantos dias de goteja-
mento são necessários para que a quantidade de água 
desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, 
encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual.
Dado: 1.000 cm3 = 1 litro.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. E 3. D 4. A 5. B
6. D 7. E 8. C 9. A 10. C
E.O. Fixação
1. D 2. C 3. E 4. A 5. E
6. D 7. C 8. D 9. E 10. 01 + 08 = 09
E.O. Complementar
1. C 2. C 3. E 4. B 5. B
E.O. Dissertativo
1. 
a) (12p – 13) u.c.
b) r = 12p – 13 _________ 
2p
 u.c.
c) V= 1 ___ 
24
 · ( 12p – 13 _________ p ) 
2
 · dXXXXXXXXXXXXXX 13 · (24p – 13) · u.v
2. V = 50 ml.
3. 5.
4. 9.
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5. 
a) 500 ml.
b) 87,5%.
6. 
a) 2 dXX 3 .
b) 120º.
c) 3 dXX 3 – p.
7. h = √
________ 
 S (m - 1) /p
8. serão necessários 9 frascos 
9. 
a) h1 = 
3 __ 7 h3
h2 = 
5 __ 7 h3.
b) r __ 
R
 = 3 
dXX 5 + 1 _______ 
22
 .
E.O. Enem
1. D 2. E 3. D 4. B 5. C
6. E 7. B 8. B
E.O. UERJ 
Exame de Qualificação
1. B 2. A 3. A 4. D 5. B
E.O. UERJ 
Exame Discursivo
1. 
a) Observe a figura a seguir
S = 36 π cm2.
b) r = 1,5 cm.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. C 2. A 3. D 4. A 5. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
[640( √
__
 3 )p]
 ___________ 
9
 cm3.
2. 
a) 0,04 cm³.
b) 3,8p mm³.
3. 
a) 27r2 cm3.
b) 20%; h = 20 cm.
4. 112 p √
__
 2 ________ 
3
 mm3.
5. O raio do copo será de 5 R ____ 7 
6. 2 dias.
S (m - 1) /p