BHC calculo para matematicfa compputacional BHC

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d) \( z = 0, 1, -1 \) 
 **Resposta:** a) \( z = 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 - 1 = 0 \) pode ser fatorada como \( (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0 
\). A primeira raiz é \( z = 1 \). As raízes do polinômio quadrático \( z^2 + z + 1 = 0 \) são 
dadas por \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
12. **Problema 12:** Se \( z = x + yi \) é uma solução da equação \( z^2 + z + 1 = 0 \), qual é 
o valor de \( x \) e \( y \)? 
 a) \( x = -\frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 b) \( x = \frac{1}{2}, y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 c) \( x = 0, y = 1 \) 
 d) \( x = 1, y = 0 \) 
 **Resposta:** a) \( x = -\frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 **Explicação:** A equação \( z^2 + z + 1 = 0 \) tem discriminante \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 
\cdot 1 = -3 \). Assim, as raízes são \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm 
\frac{\sqrt{3}}{2}i \). Portanto, \( x = -\frac{1}{2} \) e \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \). 
 
13. **Problema 13:** Determine as raízes da equação \( z^3 + 3z^2 + 3z + 1 = 0 \). 
 a) \( z = -1 \) 
 b) \( z = -1, -1 + i, -1 - i \) 
 c) \( z = -1, 0, 1 \) 
 d) \( z = -1, 1, 2 \) 
 **Resposta:** a) \( z = -1 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (z + 1)^3 = 0 \). Portanto, a única 
raiz é \( z = -1 \) com multiplicidade 3. 
 
14. **Problema 14:** Qual é o valor de \( z \) se \( z^4 = 16 \)? 
 a) \( z = 2, -2, 2i, -2i \) 
 b) \( z = 4, -4, 4i, -4i \) 
 c) \( z = 2, -2 \) 
 d) \( z = 0, 1, -1, 2 \) 
 **Resposta:** a) \( z = 2, -2, 2i, -2i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^4 = 16 \) pode ser reescrita como \( z^4 = 2^4 \). As raízes 
são dadas por \( z = 2e^{i\frac{2k\pi}{4}} \), onde \( k = 0, 1, 2, 3 \). Assim, as raízes são \( z = 
2, -2, 2i, -2i \). 
 
15. **Problema 15:** Resolva a equação \( z^2 + 2zi + 2 = 0 \). 
 a) \( z = -1 + i \) 
 b) \( z = -1 - i \) 
 c) \( z = -2i \) 
 d) \( z = 1 + i \) 
 **Resposta:** c) \( z = -2i \) 
 **Explicação:** Usando a fórmula de Bhaskara, temos \( z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 
4(1)(2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2i \pm 2i}{2} = -2i \). 
 
16. **Problema 16:** Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^2 + z + 1 = 0 \)? 
 a) \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \) 
 b) \( z = -1 \) 
 c) \( z = \frac{1 + i}{2} \) 
 d) \( z = 1 \) 
 **Resposta:** a) \( z = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \) 
 **Explicação:** O discriminante é \( D = 1 - 4 = -3 \). Portanto, as raízes são \( z = \frac{-1 
\pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} \). 
 
17. **Problema 17:** Determine o valor de \( k \) tal que a equação \( z^2 + kz + 4 = 0 \) 
tenha raízes reais e distintas. 
 a) \( k 4 \) 
 c) \( k 0 \). Portanto, \( k^2 > 16 \), resultando em \( k 4 \). 
 
18. **Problema 18:** Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 - 2z + 5 = 0 \)? 
 a) \( 2 \) 
 b) \( -2 \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta:** a) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usando o Teorema de Viète, a soma das raízes de uma equação 
quadrática \( z^2 + bz + c = 0 \) é dada por \( -b \). Portanto, a soma das raízes é \( 2 \). 
 
19. **Problema 19:** Resolva a equação \( z^3 - 4z = 0 \). 
 a) \( z = 0, 2, -2 \) 
 b) \( z = 0, 1, -1 \) 
 c) \( z = 0, 2i, -2i \) 
 d) \( z = 0, 2, 1 \) 
 **Resposta:** a) \( z = 0, 2, -2 \) 
 **Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( z(z^2 - 4) = 0 \). Assim, temos \( z = 
0 \) ou \( z^2 - 4 = 0 \), resultando nas raízes \( z = 2 \) e \( z = -2 \). 
 
20. **Problema 20:** Qual é o valor de \( z \) que satisfaz \( z^3 + 1 = 0 \)? 
 a) \( z = -1 \) 
 b) \( z = 1 \) 
 c) \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 d) \( z = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Resposta:** c) \( z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 
 **Explicação:** A equação \( z^3 + 1 = 0 \) pode ser fatorada como \( (z + 1)(z^2 - z + 1) = 
0 \). A primeira raiz é \( z = -1 \). As raízes do polinômio quadrático \( z^2 - z + 1 = 0 \) são \( z 
= \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \). 
 
21. **Problema 21:** Determine as raízes da equação \( z^4 - 16 = 0 \). 
 a) \( z = 2, -2, 2i, -2i \) 
 b) \( z = 4, -4, 4i, -4i \) 
 c) \( z = 0, 1, -1, 2 \) 
 d) \( z = 2, -2 \)