Para determinar o valor de \( a \) sabendo que \( x = -2 \) e \( x = a - i \) são raízes do polinômio \( p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \), vamos seguir os passos: 1. Substituir a raiz conhecida: Como \( x = -2 \) é uma raiz, substituímos na equação do polinômio: \[ p(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 = -8 + 8 - 2 + 2 = 0 \] Isso confirma que \( -2 \) é realmente uma raiz. 2. Usar a propriedade das raízes complexas: Se \( a - i \) é uma raiz e os coeficientes do polinômio são reais, então o conjugado \( a + i \) também deve ser uma raiz. 3. Formar o polinômio a partir das raízes: As raízes do polinômio são \( -2 \), \( a - i \) e \( a + i \). Podemos expressar o polinômio como: \[ p(x) = (x + 2)((x - (a - i))(x - (a + i))) \] 4. Simplificar a parte complexa: \[ (x - (a - i))(x - (a + i)) = (x - a + i)(x - a - i) = (x - a)^2 + 1 \] Portanto, temos: \[ p(x) = (x + 2)((x - a)^2 + 1) \] 5. Expandir e igualar ao polinômio original: \[ p(x) = (x + 2)(x^2 - 2ax + a^2 + 1) = x^3 + (2 - 2a)x^2 + (2a^2 + 2)x + 2(a^2 + 1) \] 6. Comparar os coeficientes: Igualando os coeficientes com \( p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2 \): - Para \( x^2 \): \( 2 - 2a = 2 \) → \( -2a = 0 \) → \( a = 0 \) - Para \( x \): \( 2a^2 + 2 = 1 \) → \( 2(0)^2 + 2 = 1 \) (não é necessário, pois já encontramos \( a \)) - Para a constante: \( 2(a^2 + 1) = 2 \) → \( 2(0 + 1) = 2 \) (confirma) Portanto, o valor de \( a \) é \( 0 \).