Aula_02_-_Polinômios_ESA_2024

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ESA 
2024 
AULA 02 
Polinômios 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Sumário 
Introdução 3 
1.0 – Polinômios 3 
1.1 – Definição de Polinômios 3 
1.2 – Valor Numérico de um Polinômio 4 
1.3 – Grau de um Polinômio 5 
1.4 – Polinômios Idênticos 6 
1.5 – Raiz ou Zero de um Polinômio 7 
1.6 – Teorema do Fator 11 
1.7 – Raízes Múltiplas de um Polinômio 12 
1.8 – Operações com Polinômios 13 
1.9 – Relações de Girard 17 
1.10 – Teorema das Raízes Complexas 18 
1.11 – Teorema das Raízes Irracionais 18 
1.12 – Teorema da Paridade de Raízes de um Polinômio 19 
1.13 – MMC e MDC de Polinômios 19 
1.14 – Teorema das Raízes Racionais 20 
1.15 – Teorema de Bolzano 21 
1.16 – Teorema do Resto 23 
1.17 – Teorema de D’alembert 24 
1.18 – Dispositivo de Briot-Ruffini 25 
2.0 – Lista de Questões – Nível 1 29 
2.1 – Gabarito 32 
3.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 1 33 
4.0 – Lista de Questões – Nível 2 40 
4.1 – Gabarito 52 
5.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 2 53 
6.0 – Referências Bibliográficas 81 
7.0 – Considerações Finais 81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Introdução 
Olá, meu querido aluno!! 
Nesta aula, veremos um tópico um pouco chato, ao menos na opnião da maioria dos alunos. É um 
tema com muito teorema, que, por vezes, nem tão óbvios. Mas, juntos, tenho certeza que passaremos com 
tranquilidade por ele. 
Polinômios é uma parte da matemática que vem caindo com mais frequência na sua prova. 
Passarei a teoria necessária para uma boa prova. Na verdade, esta teoria está um pouco além do 
nível da sua prova, justamente, para que não seja surpreendido, OK? 
 
1.0 – Polinômios 
1.1 – Definição de Polinômios 
Podemos dizer de forma geral, que polinômio é uma função na variável x da forma: 
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙
𝒏−𝟐+. . . +𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
Tal que: 
- 𝑎𝑛; 𝑎𝑛−1; 𝑎𝑛−2; . . . 𝑎1 e 𝑎0 são chamados de coeficientes do polinômio ( )P x ; 
- Os expoentes de cada variável do polinômio são um número natural; 
- Polinômios com um único termo são chamados de Polinômios Mônicos ou Monomiais; e 
- 𝑎0 é chamado de termo independente. 
 
Sempre que os coeficientes (todos eles) forem iguais a zero, podemos dizer que estamos diante de um 
Polinômio Identicamente Nulo. 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Podemos também pensar da seguinte forma: um polinômio será dito nulo quando assumir valor ZERO para 
qualquer valor da variável 𝑥, ou, até mesmo, quando assumir valor nulo para uma quantidade de valores 
de 𝑥 maiores que o grau do polinômio. 
 Veja a forma de representação de um Polinômio Identicamente Nulo: 
𝑷(𝒙) = 𝟎. 𝒙𝒏 + 𝟎. 𝒙𝒏−𝟏 + 𝟎. 𝒙𝒏−𝟐+. . . +𝟎𝒙 + 𝟎 
 
1.2 – Valor Numérico de um Polinômio 
 Imaginemos um polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2+. . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 e  um 
número real ou complexo. Chama-se valor numérico do polinômio ( )P x a imagem de  quando este 
número é inserido em ( )P x . 
Ou seja: 
𝑷(𝜶) = 𝒂𝒏𝜶
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝜶
𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝜶
𝒏−𝟐+. . . +𝒂𝟏𝜶 + 𝒂𝟎 
Observe: 
𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 − 10; 𝑝/ 𝑥 = 2 
𝑃(2) = 3. (2)3 − 5. (2)2 + 2. (2) − 10 
𝑃(2) = 3.8 − 5.4 + 4 − 10 
𝑃(2) = 24 − 20 + 4 − 10 
𝑃(2) = −2 
Assim, o valor numérico de ( )P x , quando 𝑥 = 2 é −2. 
 
Sempre que um valor 𝛼 resultar num valor numérico nulo para um polinômio, podemos dizer que esse 
número  é raiz de ( )P x . 
 
 
 
 
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O termo independente da variável 𝑥 do polinômio 𝑃(𝑥) é o termo 𝑎0, que é igual ao valor numérico do 
polinômio para quando 𝑥 = 0, ou seja, 𝒂𝟎 = 𝑷(𝟎). 
 
A soma dos coeficientes pode ser encontrada fazendo o valor numérico de 𝑃(𝑥) para quando 𝑥 = 1. 
 
1.3 – Grau de um Polinômio 
 O grau de um polinômio é definido sempre pelo maior expoente da variável 𝑥, cujo coeficiente seja 
não nulo. 
 Em outras palavras: considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+. . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0, dizemos que 
o grau de 𝑃(𝑥) é igual a " "n se, somente se, 𝑎𝑛 ≠ 0. 
 Veja alguns exemplos do que acabamos de falar: 
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥2 + 𝑥 − 7 ⇒ possui grau 4 
b) 𝑃(𝑥) = 0. 𝑥7 − 5𝑥5 + 3𝑥 − 10 ⇒ possui grau 5 
c) 𝑃(𝑥) = 17 ⇒ possui grau 0 
 
 
Tenha sempre em mente que NÃO se defini grau de POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO, ao menos para 
sua prova. Ou seja, o grau de um polinômio nulo é INDETERMINADO. Com isso, o grau do resto de uma 
divisão polinomial exata é indeterminado. Perceba, o grau do resto é INDETERMINADO, mas o resto é 
NULO, pois trata-se de uma divisão exata. 
 
 
 
 
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1.4 – Polinômios Idênticos 
 Dois ou mais polinômios serão classificados como idênticos se, somente se, seus termos 
correspondentes (coeficientes das variáveis com mesmo expoente) forem iguais entre si e, ainda, 
possuírem o mesmo valor para qualquer valor de 𝑥. 
Ou seja, os polinômios 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+. . . +𝑎1𝑥 + 𝑎0 e 𝑄(𝑥) = 𝑏𝑛𝑥
𝑛 +
𝑏𝑛−1𝑥
𝑛−1+. . . +𝑏1𝑥 + 𝑏0 serão ditos idênticos se, somente se: 
𝒂𝒏 = 𝒃𝒏; 𝒂𝒏−𝟏 = 𝒃𝒏−𝟏; 𝒂𝒏−𝟐 = 𝒃𝒏−𝟐; . . . ; 𝒂𝟎 = 𝒃𝟎 
e 
𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) ; ∀𝒙 
Quando dois polinômios são ditos idênticos, podemos escrever da forma: 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) 
 
Exemplo: 
- Determine os valores de ,a b e c para os quais os polinômios 2( ) 3 9P x ax x= + + e 𝐵(𝑥) = (𝑏 + 3)𝑥2 +
(𝑐 − 1)𝑥 + 3𝑏 sejam idênticos. 
Comentário: 
Igualando os coeficientes, temos: 
{
𝑎 = 𝑏 + 3 ⇒ 𝑎 = 3 + 3 ⇒ 𝑎 = 6
3 = 𝑐 − 1 ⇒ 𝑐 = 4
9 = 3𝑏 ⇒ 𝑏 = 3
 
Logo: 
𝑎 = 6 
𝑏 = 3 
𝑐 = 4 
 
 
 
 
 
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Dois polinômios são ditos idênticos quando assumem sempre o mesmo valor, qualquer que seja o valor 
atribuído à variável. Além disso, dois polinômios idênticos são sempre de mesmo grau e têm todos os 
coeficientes iguais, na forma ordenada. 
Podemos dizer ainda que, se dois polinômios de grau n assumem o mesmo valor para (n+1) valores distintos 
da variável, então esses polinômios são idênticos. 
Dizer que dois polinômios são iguais é afirmar que eles retornam o mesmo valor para pelo menos um valor 
da variável. Se a igualdade prevalecer para qualquer valor da variável, podemos afirmar que esses 
polinômios são idênticos. Por outro lado, se a igualdade for satisfeita para um determinado valor 𝑘 de 
variáveis, então podemos afirmar que os gráficos desses polinômios possuem 𝑘 pontos de interseção, ou 
seja, são iguais para 𝑘 valores distintos da variável. 
 
 
Polinômio identicamente nulo é aquele que é nulo para qualquer valor da variável. Um polinômio 
identicamente nulo tem todos os seus coeficientes iguais a zero. 
 
Se um polinômio de grau n possuir mais de n raízes, então ele é identicamente nulo. 
 
1.5 – Raiz ou Zero de um Polinômio 
 Eis um tema importante dentro de Polinômio. 
 Sempre que um determinado valor  levar um polinômio ( )P x a ZERO, podemos dizer que  é a 
raiz de ( )P x . Assim: 
𝑷(𝜶) = 𝟎 ⇒ 𝜶 é 𝒓𝒂𝒊𝒛. 
 
Exemplo: 
Imagine o polinômio 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 7𝑥2 + 2𝑥 + 2. Observe o valor de 𝛼 = 1, temos que: 
𝑃(1) = 3. (1)3 − 7. (1)2 + 2. (1) + 2 
𝑃(1) = 3 − 7 + 2 + 2 
 
 
 
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𝑃(1) = 7 − 7 
𝑃(1) = 0 
Logo: 𝛼 = 1 é raiz de 𝑃(𝑥) 
 
Raiz de um polinômio recebe outras denominações, a saber: raiz, zero de polinômio e conjunto verdade 
 
 
Sempre que a soma dos coeficientes de um polinômio resultar zero, podemos afirmar que estamos diante 
de um polinômio com uma de suas raízes igual a unidade, ou seja, igual a 1. 
Destaco ainda que, em um polinômio completo, quando a soma alternada de seus coeficientes for igual, 
podemos afirmar que o −1 será raiz do polinômio. 
Veja exemplos do que foi dito acima:𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥 + 5 
⟹ 2+ (−7) + 5 = 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜 1 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑎𝑖𝑧, 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒: 
𝑃(1) = 2(1)3 − 7(1) + 5 
𝑃(1) = 2 − 7 + 5 = 0, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚, 1 é 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
Por outro lado, temos: 
𝑃(𝑥) = −𝑥4 + 5𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3 
⟹−1+ 2 + 3 = 5 + (−1), 𝑙𝑜𝑔𝑜 − 1 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑎𝑖𝑧, 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒: 
𝑃(−1) = −(−1)4 + 5(−1)3 + 2(−1)2 − (−1) + 3 
𝑃(−1) = −1 + (−5) + 2 + 1 + 3 = 0, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚,−1 é 𝑟𝑎𝑖𝑧. 
Tome cuidado, o polinômio precisa estar na ordem natural, ou seja, do maior expoente para o menor e, 
além disso, precisa ser completo, se não for, basta completar com temos nulos. 
 
 
 
 
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 O que acabamos de ver (raiz ser um número que zera o polinômio) foi o conceito de raiz sob a ótica 
algébrica. Porém, existe a possibilidade de analisarmos as raízes de um polinômio do ponto de vista 
geométrico. 
 Dizemos que a raiz real de um polinômio representa o ponto de interseção com a qual a curva, 
correspondente ao gráfico de ( )P x , intercepta o eixo das abcissas no plano cartesiano ortogonal. 
 
Assim: 1 2;x x e 3x são raízes reais, ou seja, soluções de ( )P x . Fique atento: se um gráfico polinomial 
não interceptar o eixo das abcissas, podemos afirmar que esse polinômio não possui raízes reais, APENAS 
COMPLEXAS, logo, será, necessariamente, de grau PAR (devido ao Teorema da Paridade das Raízes 
Complexas). 
Ressalto ainda que: 
✓ um polinômio é dito função par quando, para todo 𝑥 real, vale: 𝑃(𝑥) = 𝑃(−𝑥); 
✓ um polinômio é dito função ímpar quando, para todo 𝑥 real, vale: 𝑃(𝑥) = −𝑃(−𝑥); 
Na aula de FUNÇÕES estudaremos esse ponto com mais calma, mas, já adiantando: quando 
estivermos diante de uma função PAR o gráfico deste polinômio será simétrico (espelhado) em relação à 
ordenada; enquanto nos polinômios ÍMPARES, os gráficos são espelhados em relação à origem do sistema 
cartesiano. Veja: 
Abaixo, um exemplo de um polinômio como função PAR da forma: 
𝑃(𝑥) = 𝑥8 − 𝑥6 − 1 
 
 
 
 
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Perceba que: 
𝑃(1) = 𝑃(−1) 
𝑃(2) = 𝑃(−2) 
𝑃(0,75) = 𝑃(−0,75) 
 
Abaixo, um exemplo de um polinômio como função ÍMPAR da forma: 
𝑃(𝑥) = 𝑥9 − 𝑥3 
 
 
 
 
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Perceba que: 
𝑃(1) = −𝑃(−1) 
𝑃(2) = −𝑃(−2) 
𝑃(0,75) = −𝑃(−0,75) 
 
 
Se 𝑃(𝑥) é um polinômio de grau maior ou igual a 1, podemos dizer que o número de raízes desse polinômio 
será igual ao grau dele. Consequentemente, se o número de raízes for maior que o grau, necessariamente, 
esse polinômio será identicamente nulo. 
 
1.6 – Teorema do Fator 
 Basicamente, esse teorema diz que: se um polinômio 𝑃(𝑥) se anula para um valor 𝑥 = 𝑎, podemos 
dizer que (𝑥 − 𝑎) será fator desse polinômio, ou seja: 
𝑷(𝒙) = (𝒙 − 𝒂) ∙ 𝑸(𝒙) 
Como exemplo, podemos citar: 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
Veja que o polinômio acima se anula para 𝑥 = 2 , ou seja: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ 𝑄(𝑥) 
Perceba que, se for dado os dois valores que anulam um polinômio do 2°, poderemos escrevê-lo na 
forma fatorada completa, veja: 
Observe que o polinômio se anula para 𝑥 = 2 e para 𝑥 = 3, ou seja: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 3) 
 
 
 
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Em breve, por meio da divisão polinomial, saberemos descobrir os demais fatores de um polinômio, 
fique tranquilo! 
Em contrapartida, podemos dizer que: se (𝑥 − 𝑎) é fator de um polinômio, então 𝑎 será raiz deste. 
 
Se (𝑥 + 𝑎) é fator de 𝑃(𝑥), então: 𝑎 será raiz do polinômio 
Se (𝑥 − 𝑎) é fator de 𝑃(𝑥), então: −𝑎 será raiz do polinômio 
Se (𝑎𝑥 + 𝑏) é fator de 𝑃(𝑥), então: −
𝑏
𝑎
 será raiz do polinômio 
Se (𝑎𝑥 − 𝑏) é fator de 𝑃(𝑥), então: 
𝑏
𝑎
 será raiz do polinômio 
 
Podemos ainda, destacar que: se um polinômio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 e com coeficiente do termo 
dominante igual a 𝑎, podemos concluir que: 
𝑷(𝒙) = 𝒂 ∙ (𝒙 − 𝒙𝟏) ∙ (𝒙 − 𝒙𝟐) ∙ (𝒙 − 𝒙𝟑) ∙ (𝒙 − 𝒙𝟒)… (𝒙 − 𝒙𝒏) 
A forma apresentada acima é chamada de FORMA FATORADA de um polinômio de grau 𝑛, cujo 
coeficiente do termo dominante é 𝑎. 
 
1.7 – Raízes Múltiplas de um Polinômio 
Basicamente, esse teorema diz que: se um polinômio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 ≥ 𝑘 possui (𝑥 − 𝑎)𝑘como 
fator, podemos dizer que 𝑎 é raiz de multiplicidade 𝑘 do polinômio. 
Se 𝑷(𝒙) = (𝒙 − 𝒂)𝒌 ∙ 𝑸(𝒙), 𝒄𝒐𝒎 𝑸(𝒂) ≠ 𝟎 ⟹ 𝒂 é 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒌 
Como exemplo, podemos citar: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)4 ∙ (𝑥)3 ∙ (𝑥 + 3)5 
Veja que o polinômio acima se anula para 𝑥 = 2 , para 𝑥 = 0 e para 𝑥 = −3, ou seja: 
 
 
 
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{
𝑥 = 2 ⟹ 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 4 
𝑥 = 0 ⟹ 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 3
𝑥 = −3 ⟹ 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 5
 
 
No polinômio acima podemos afirmar que: possui (4 + 3 + 5) = 12 raízes reais e que os pontos 2, 0 𝑒 −
3 ,na abcissa, são soluções do polinômio. Ou seja, o conjunto solução (por se tratar de conjunto) não leva 
em consideração a repetição de possíveis elementos, assim, podemos afirmar que: 
𝒏º 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑷(𝒙) ≥ 𝒏º 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑷(𝒙) 
Gostaria, neste momento, de destacar alguns teoremas que estão ligados às raízes comuns de 
polinômios. Vamos nessa? 
✓ Se 𝑎 é raiz comum de 𝑓 𝑒 𝑔, então também será raiz do resto da divisão entre 𝑓 𝑒 𝑔; 
✓ Se 𝑎 é raiz do divisor 𝑔 e do resto 𝑟, então também será raiz do dividendo 𝑓; e 
✓ Se 𝑎 é raiz do 𝑀𝐷𝐶(𝑓; 𝑔), então também será raiz de 𝑓 𝑒 𝑔. 
 
1.8 – Operações com Polinômios 
A partir deste tópico o “caldo” começa a engrossar. Vamos nessa! 
Quando falamos de operações, logo nos vem à mente as fundamentais: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Vamos estudar cada uma delas dentro do tema principal: Polinômios. 
a) Adição de Polinômios: Adicionar dois ou mais polinômios nada mais é que juntar (unir) os termos 
semelhantes. Veja: 
𝐴(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 
𝐵(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 − 7 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = (2𝑥2 − 3𝑥) + (𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 − 7) 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥2 + 5𝑥 − 3𝑥 + 7 
𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 7 
b) Subtração de Polinômios: A subtração, em outras palavras, é o mesmo que adicionarmos dois ou 
mais polinômios com o simétrico do outro. Assim: 
𝐴(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 1 
 
 
 
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𝐵(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 3 
𝐴(𝑥) + [−𝐵(𝑥)] = (3𝑥3 + 2𝑥2 − 1) + [−𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 3] 
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥 + 3 − 1 
𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2 
c) Multiplicação de Polinômios: O produto de polinômios pode ser encontrado através da 
multiplicação de cada termo do primeiro polinômio com cada termo do segundo polinômio, reduzindo, 
sempre, os termos semelhantes. Em outras palavras, basta aplicar a propriedade da distributiva. Assim: 
𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 
𝐵(𝑥) = 𝑥 + 1 
𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 
𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = (𝑥2. 𝑥 + 𝑥2. 1) + (2𝑥. 𝑥 + 2𝑥. 1) + (−1. 𝑥 − 1.1) 
𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥 − 1 
𝐴(𝑥). 𝐵(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 − 1 
 
O grau do polinômio resultante do produto de outros dois será igual à soma dos graus de cada um deles. 
Perceba que 𝑨(𝒙) possui grau 2 e 𝑩(𝒙) grau 1, logo, 𝑨(𝒙). 𝑩(𝒙) possuirá grau 3. 
d) Divisão de Polinômios: Existem diversas formas de se fazer uma divisão de polinômios. Neste 
primeiro momento, trataremos do método mais conhecido como Método das Chaves. Veja: 
 
Da divisão de dois polinômios ( )A x e ( )B x , não nulos, são obtidos os polinômios ( )Q x (quociente) 
e ( )R x (resto). 
Logo: 
( ) ( ). ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
A x B x Q x R x
gr R x gr B x ou R x
= +

 = 
 
 
 
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Em que: 
𝑨(𝒙) → Dividendo 
𝑩(𝒙) → 𝑩(𝒙) → Divisor ; 𝒈𝒓𝑩(𝒙) → Grau do dividendo𝑸(𝒙) → Quociente 
𝑹(𝒙) → Resto ; 𝒈𝒓𝑹(𝒙) → Grau do resto 
Para que fique mais claro os conceitos acima, pagaremos uma divisão polinomial do polinômio 
𝐴(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2 pelo 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Observe os passos abaixo! 
1º passo: Inicialmente, devemos verificar se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. 
Caso contrário, não é possível efetuar a divisão. No problema, o grau do dividendo é igual a 3 e o grau do 
divisor é igual a 2. Portanto, podemos efetuar a divisão. 
Escrevemos os polinômios no seguinte formato: 
 
 
Assim, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. 
 
 
2º passo: Em seguida, multiplicamos 3x por todos os termos do divisor, da direita para a esquerda. 
O resultado de cada multiplicação é colocado, com o sinal trocado, abaixo de cada termo correspondente, 
no dividendo. Em seguida, somamos esses termos. 
 
 
 
 
 
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3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 −3𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 3𝑥 
 
 
Adicionado os polinômios à esquerda, temos: 
 
3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 −3𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 3𝑥 
 −4𝑥2 − 4𝑥 + 2 
 
 
Repetindo o processo, temos: 
3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 −3𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 3𝑥 − 4 
 −4𝑥2 − 4𝑥 + 2 
 −4𝑥2 + 8𝑥 + 4 
 𝟒𝒙 + 𝟔 
 
Observe que não podemos continuar a divisão, pois o grau do resto é menor que o grau do 
dividendo. Portanto: 
{
𝑄(𝑥) = 3𝑥 − 4
𝑅(𝑥) = 4𝑥 + 6
 
 
 
 
 
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A divisão de polinômios também pode ser efetuada pelo método de Descartes ou método dos coeficientes 
a determinar, que é uma aplicação da identidade de polinômios. 
 
1.9 – Relações de Girard 
Neste tópico, faremos uma analogia à relação entre coeficientes que estudamos lá em equação do 
2º grau, lembra? Pois é! Aqui, em polinômio, também é possível achar relações entre as raízes por meio 
dos coeficientes. Veja: 
Seja o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑥𝑛−2 + 𝑑𝑥𝑛−3 + 𝑒𝑥𝑛−4+. . . +𝑘, sendo k o termo 
independente de ( )P x , podemos dizer que: 
• Soma das raízes ⇒ −
𝒃
𝒂
 
• Soma dos produtos de duas a duas (binários) ⇒
𝒄
𝒂
 
• Soma dos produtos de três a três (ternários) ⇒ −
𝒅
𝒂
 
• Produto das "𝒏" raízes ⇒ {
𝒌
𝒂
, 𝒔𝒆 𝒏 é 𝒑𝒂𝒓
−
𝒌
𝒂
, 𝒔𝒆 𝒏 é í𝒎𝒑𝒂𝒓
 
Entendo que na teoria parece ser difícil, vamos, então, a um exemplo: 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 7 
A partir deste polinômio ( )P x , podemos concluir que se ele é do 4º grau, então possui 4 raízes. 
Assim: 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =
−𝑏
𝑎
⇒ −
(−3)
1
= 3 
(𝑥1. 𝑥2) + (𝑥1. 𝑥3) + (𝑥1. 𝑥4) + (𝑥2. 𝑥3) + (𝑥2. 𝑥4) + (𝑥3. 𝑥4) =
𝑐
𝑎
=
2
1
= 2 
(𝑥1. 𝑥2. 𝑥3) + (𝑥1. 𝑥2. 𝑥4) + (𝑥1. 𝑥3. 𝑥4) + (𝑥2. 𝑥3. 𝑥4) = −
𝑑
𝑎
= −
(−1)
1
= 1 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
(𝑥1. 𝑥2. 𝑥3. 𝑥4) =
𝑒
𝑎
=
7
1
= 7 
Ficou mais fácil, né? Pois é! Guarde esta relação no coração. Isso cai muito em prova! 
 
1.10 – Teorema das Raízes Complexas 
Agora, com muito cuidado! Guarde com todo carinho o que vou lhe dizer, ok? Vamos lá! 
Se um polinômio de coeficientes reais admite como raiz o número complexo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0), 
então também admite como raiz o seu conjugado 𝑍 = 𝑎 − 𝑏𝑖. Ressalto ainda que, se uma equação 
polinomial admite como raiz de multiplicidade m o número complexo 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0), então também 
admite como raiz de multiplicidade m o seu conjugado 𝑍 = 𝑎 − 𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0) 
 
 
Todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar tem um número ímpar de raízes reais. 
Além disso, todo polinômio de coeficientes reais e grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real. 
 
1.11 – Teorema das Raízes Irracionais 
Agora, com muito cuidado! Guarde com todo carinho o que vou lhe dizer, ok? Vamos lá! 
De forma análoga ao item anterior, podemos pensar para quando um polinômio apresenta raízes 
irracionais, ou seja: se um polinômio de coeficientes racionais admite como raiz o número irracional 𝑎 +
𝑏√𝑐, então também admite como raiz o seu conjugado 𝑎 − 𝑏√𝑐. Ressalto ainda que, se um polinômio 
admite como raiz de multiplicidade m o número 𝑎 + 𝑏√𝑐, então, também admite como raiz de 
multiplicidade m o seu conjugado 𝑎 − 𝑏√𝑐 . 
Já adianto que, se (√𝑎 + √𝑏) , com 𝑎 𝑒 𝑏 não sendo quadrados perfeitos, for raiz irracional de um 
polinômio de coeficientes racionais, podemos afirmar que: 
√𝑎 − √𝑏 ⟹ 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑎𝑖𝑧 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
−√𝑎 − √𝑏 ⟹ 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑎𝑖𝑧 
−√𝑎 + √𝑏 ⟹ 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑎𝑖𝑧 
1.12 – Teorema da Paridade de Raízes de um Polinômio 
Simples consequência dos dois teoremas anteriores, podemos dizer que: 
• Paridade das Raízes Complexas: todas as raízes de um polinômio de coeficientes reais se 
apresentam em pares conjugadas. Impossível, neste caso, o polinômio apresentar uma 
quantidade ÍMPAR de raízes complexas. 
• Paridade das Raízes Irracionais: todas as raízes de um polinômio de coeficientes racionais se 
apresentam em pares conjugadas. Impossível, neste caso, o polinômio apresentar uma 
quantidade ÍMPAR de raízes irracionais. 
1.13 – MMC e MDC de Polinômios 
O máximo divisor comum (M.D.C.) entre polinômios é formado pelos fatores comuns a estes 
polinômios elevados aos seus menores expoentes, de forma que ele seja a expressão de maior grau que 
divide todos aqueles. 
Já ressalto que: se alguma divisão polinomial resultar num resto igual a uma CONSTANTE NÃO NULA, 
estaremos diante de polinômios primos entre si. Podemos também, a partir do MDC entre polinômios, se 
esse for igual a 1, dizer que é condição necessária e suficiente para que eles sejam primos entre si. 
Aprofundando um pouco mais, podemos afirmar que se 𝑓 𝑒 𝑔 são polinômios não nulos e 𝑟 é o 
resto da divisão de 𝑓 𝑝𝑜𝑟 𝑔, então: 
𝑴𝑫𝑪(𝒇; 𝒈) = 𝑴𝑫𝑪(𝒈; 𝒓) 
Já o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) entre polinômios é formado por todos os fatores que 
aparecem nestes polinômios, comuns ou não, elevados ao seu maior expoente, de forma que ele é a 
expressão de menor grau que é múltiplo de todos aqueles. 
Exemplo: 
𝑃(𝑥) = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)2 ⋅ (𝑥 − 2)2 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 ⋅ (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 3)2 
𝑀𝐷𝐶(𝑃, 𝑄) = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) 
𝑀𝑀𝐶(𝑃, 𝑄) = 𝑥3 ⋅ (𝑥 − 1)2 ⋅ (𝑥 − 2)2 ⋅ (𝑥 − 3)2 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 O tema MDC é muito útil quando estamos diante de polinômios com raízes em comum. Ou seja, se 
dois ou mais polinômios possuírem raízes em comum, podemos afirmar que essas raízes em comum serão 
raízes do MDC entre eles. Vamos a um exemplo prático: 
𝑃(𝑥) = 𝑥 ∙ (𝑥 − 1)2 ∙ (𝑥 − 2)2, 𝑐𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑠ã𝑜: 0, 1 𝑒 2 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 3)2, 𝑐𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑠ã𝑜: 0, 1 𝑒 3 
 Perceba que,0 𝑒 1 são raízes comuns aos polinômios dados, logo, serão raízes também do MDC, 
veja: 𝑴𝑫𝑪(𝑷,𝑸) = 𝒙 ⋅ (𝒙 − 𝟏), 𝒄𝒖𝒋𝒂𝒔 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔 𝒔ã𝒐 𝟎 𝒆 𝟐 
Tudo bem até aqui, turma? OK. Sigamos firme! 
Você deve estar se perguntando: “Será que existe um algoritmo para calcular o MDC entre 
polinômios?” Minha resposta é SIM. Existe. E digo mais, este processo é análogo ao MDC entre números 
que aprendemos noutra aula. Ou seja, faça o primeiro passo da divisão, logo em seguida, o divisor passa a 
ser o dividendoe o 1º resto passa a ser o divisor, e assim por diante, até não ser mais possível a divisão. 
Quando isso acontecer, o último divisor será o MDC entre os polinômios iniciais. 
1.14 – Teorema das Raízes Racionais 
É possível encontrar o conjunto das possíveis raízes racionais (inteiras e fracionárias) a partir dos 
divisores do termo independente de um polinômio. Veja um exemplo: 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
1º passo: achar os divisores inteiros de 6. 
 
Logo: 
𝐷(6) = {+1;−1;+2;−2;+3;−3;+6;−6} 
2º passo: dividir cada divisor inteiro pelo coeficiente do termo dominante, ou seja, pelo "𝑎". Como no 
exemplo, o 𝑎 = 1, não fará diferença. 
 
3º passo: testar os valores achados, após o 2º passo, no 𝑃(𝑥). Caso o resultado seja ZERO, este tal valor 
será raiz de 𝑃(𝑥). 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
𝑃(2) = (2)2 − 5. (2) + 6 
𝑃(2) = 4 − 10 + 6 
𝑃(2) = 0 
Logo, 2 é raiz. 
 
Usando o 3 no lugar de 𝑥, temos: 
𝑃(3) = (3)2 − 5. (3) + 6 
𝑃(3) = 9 − 15 + 6 
𝑃(3) = 15 − 15 
𝑃(3) = 0 
Logo, 3 é raiz. 
 
 
Uma consequência deste teorema afirma que: se 𝑝 é um número inteiro que é raiz de um polinômio 𝑃(𝑥) 
de coeficientes reais, então 𝑝 é divisor do termo independente do polinômio dado. 
Ademais, se 
𝑝
𝑞
 é um racional irredutível que zera um polinômio 𝑃(𝑥), ou seja, é raiz, então 𝑝 é divisor do 
termo independente e 𝑞 é divisor do coeficiente do termo dominante. 
Indo mais a fundo ainda, podemos concluir que, se 𝑃(1)𝑒 𝑃(0) 
 
1.15 – Teorema de Bolzano 
 Teorema muito interessante quando falamos de polinômios. Preste bastante atenção no gráfico a 
seguir, onde destaco um intervalo real de extremidades 𝑎 𝑒 𝑏. Veja: 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
É fácil notar que o valor de 𝑃(𝑎) é negativo e o valor de 𝑃(𝑏) é positivo. Ou seja, possuem sinais 
contrários. Pelo gráfico mesmo, percebemos que o gráfico, neste intervalo destacado, cruza o eixo das 
abcissas apenas UMA vez. Logo, consoante o TEOREMA DE BOLSANO, podemos afirmar que, no intervalo 
real [𝑎; 𝑏], existe uma quantidade ÍMPAR DE RAÍZES. 
 Vamos a outra parte do TEOREMA! 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
É fácil notar que o valor de 𝑃(𝑎) é positivo e o valor de 𝑃(𝑏) é positivo. Ou seja, possuem os 
mesmos sinais. Pelo gráfico mesmo, percebemos que o gráfico, neste intervalo destacado, cruza o eixo das 
abcissas DUAS vezes. Logo, consoante o TEOREMA DE BOLSANO, podemos afirmar que, no intervalo real 
[𝑎; 𝑏], existe uma quantidade PAR DE RAÍZES. 
 Resumindo, dado um polinômio 𝑃(𝑥) e um intervalo real [𝑎; 𝑏], podemos afirmar que: 
 {
𝑃(𝑎). 𝑃(𝑏) > 0 ⟹ 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃𝐴𝑅 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (𝑜𝑢 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎)
𝑃(𝑎). 𝑃(𝑏) < 0 ⟹ 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 Í𝑀𝑃𝐴𝑅 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
𝑃(𝑎). 𝑃(𝑏) = 0 ⟹ 𝑠ó 𝑎, 𝑠ó 𝑏, 𝑜𝑢 𝑎𝑡é 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟ã𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜
 
 
 Muito cuidado com o polinômio no intervalo dado não possuir raízes reais no intervalo real dado. 
Pois, neste caso, a quantidade de raízes reais nesse intervalo será PAR, porém, NULA. Veja no gráfico 
abaixo: 
 
Perceba que: 𝑃(𝑎). 𝑃(𝑏) > 0 , porém, neste polinômio, não possuímos raízes reais. 
 
1.16 – Teorema do Resto 
Segue, abaixo, um dos teoremas mais importantes dentro de polinômios. Observe! 
O resto da divisão de 𝑃(𝑥) por um binômio 𝑎𝑥 + 𝑏 é 𝑃 (−
𝑏
𝑎
). 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Podemos verificar esse fato facilmente. Temos: 
( )
( )
P x ax b
R Q x
+
 
Podemos escrever na forma 𝑃(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏). 𝑄(𝑥) + 𝑅 
Para 𝑥 = −
𝑏
𝑎
, temos: 
𝑷(−
𝒃
𝒂
) = [𝒂. (−
𝒃
𝒂
) + 𝒃] . 𝑸 (−
𝒃
𝒂
) + 𝑹 ⇒ 
⇒ 𝑷(−
𝒃
𝒂
) = (−𝒃 + 𝒃). 𝑸 (−
𝒃
𝒂
) + 𝑹 ⇒ 
⇒ 𝑷(−
𝒃
𝒂
) = 𝟎.𝑸 (−
𝒃
𝒂
) + 𝑹 ⇒ 
⇒ 𝑷(−
𝒃
𝒂
) = 𝑹 
Em outras palavras, para encontrarmos o resto da divisão de um polinômio ( )P x por um binômio 
do 1º grau, basta calcularmos a raiz do binômio do 1º grau e, em seguida, substituirmos no polinômio ( )P x
, ou seja, fazer o valor numérico desse polinômio. 
Exemplo: 
Calcular o resto da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 5 por 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 1 
Comentário: 
 
Cálculo da raiz de 𝐵(𝑥): 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
O resto 𝑅 é dado por: 
𝑅 = 𝑃(1) = 3. 13 + 4. 12 − 1 + 5 
𝑅 = 3 + 4 − 1 + 5 = 11 
 
1.17 – Teorema de D’alembert 
( )P x é divisível por 𝑎𝑥 + 𝑏 se, e somente se, 𝑃 (−
𝑏
𝑎
) = 0 
Observe que o Teorema de D’alembert é uma consequência imediata do Teorema do Resto. Eis a 
demonstração: 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Na divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑎𝑥 + 𝑏 o resto deve ter grau zero. Assim, podemos dizer que a divisão terá 
um quociente 𝑄(𝑥) e resto 𝑅(𝑥) = 𝑅 constante. Logo, 
 
𝑷(𝒙) = (𝒂𝒙 + 𝒃) ⋅ 𝑸(𝒙) + 𝑹 
⇒ 𝑷(−
𝒃
𝒂
) = (𝒂 ⋅ (−
𝒃
𝒂
) + 𝒃)
⏟ 
𝟎
⋅ 𝑸 (−
𝒃
𝒂
) + 𝑹 
⇔ 𝑹 = 𝑷(−
𝒃
𝒂
) 
 
Exemplo: 
O resto de 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 − 1 por 𝑥 + 1 é: 
 
𝑃(−1) = 2(−1)3 − (−1) − 1 = −2. 
 
Exemplo: 
 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 − 1 é divisível por (𝑥 − 1), pois: 
 𝑃(1) = 2 ⋅ 13 − 1 − 1 = 0. 
 Isso é fato, visto que: 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 − 1 = (2𝑥2 + 2𝑥 + 1)(𝑥 − 1). 
 
1.18 – Dispositivo de Briot-Ruffini 
É um dispositivo prático que permite determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio 
( )P x por um binômio da forma x a− . Como exemplo, vamos efetuar a divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 +
3𝑥2 − 𝑥 + 4 por 𝐵(𝑥) = 𝑥 − 2. 
Inicialmente, vamos posicionar os termos indicados, conforme o esquema a seguir: 
 
Raiz do divisor Coeficientes do 
dividendo 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 Coeficientes do 
quociente 
Resto 
 
 
Assim, temos: 
 
2 1 3 -1 4 
 
 
 
Repetimos o coeficiente do termo de maior grau. 
2 1 3 -1 4 
 1 
 
Multiplicamos essa raiz (2) pelo coeficiente que foi repetido (1) e, em seguida, somamos com o 
próximo coeficiente (3). O resultado é colocado à direita de 1. 
Fazemos 2.1 + 3 = 5 
 
2 1 3 -1 4 
 1 5 9 
 
Finalmente, repetimos para o termo 9. Assim, obteve o último termo, separado por uma linha 
tracejada. Esse número é o resto da divisão de ( )P x por ( )B x 
Fazemos 2.9 + 4 = 22 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
2 1 3 -1 4 
 1 5 9 22 
 
Os números obtidos (1, 5 e 9) são os coeficientes do polinômio quociente. Como ( )P x é do 3º grau 
e ( )B x é do 1º grau, o dividendo deverá ser, necessariamente, do 2º grau. Por isso, costumamos dizer que 
o Dispositivo de Briot-Ruffini serve para abaixar o grau do polinômio ( )P x . 
Mais à frente, veremos uma importante aplicação desse fato no cálculo de raízes de equações. 
Diante disso, temos o quociente 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 9 e o resto 𝑅(𝑥) = 22 
 
 
Podemos utilizar o Método de Briot-Ruffini também quando o divisor é um polinômio da forma 𝑎𝑥 + 𝑏. 
Nesse caso, devemos dividir os coeficientes do polinômio quociente por a . 
Exemplo: 
Efetuar a divisão de 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 por 2𝑥 − 4 
Comentário: 
A raiz do binômio do 1º grau é igual a 2. Assim, temos: 
 
2 5 1 -2 1 
 5 11 20 41 
 
Para obtermos o polinômio quociente, devemos dividir cada termo obtido por 2. É importante 
observar que o resto não se altera. Assim, temos como quociente 𝑄(𝑥) =
5
2
𝑥2 +
11
2
𝑥 + 10 e resto 𝑅(𝑥) =
41 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOSUm polinômio 𝑷(𝒙) é divisível por (𝒙 − 𝒂). (𝒙 − 𝒃) se, e somente se, 𝑷(𝒙) é divisível 
separadamente por 𝒙 − 𝒂 e por 𝒙 − 𝒃 
 
01. (FGV) Se o polinômio 𝑥3 − 2𝑚𝑥2 + (−𝑚 + 6)𝑥 + 2𝑚 + 𝑛 é divisível por 𝑥 − 1 e por 𝑥 + 1, então 𝑚+
𝑛 é igual a: 
a) 7 
b) -7 
c) 6 
d) -6 
e) 0 
Comentário: 
Pelo Teorema de D’Alembert, temos 𝑃(1) = 0 e 𝑃(−1) = 0. Assim: 
𝑃(−1) = (−1)3 − 2𝑚(−1)2 + (−𝑚 + 6)(−1) + 2𝑚 + 𝑛 ⇒ 
0 = −1 − 2𝑚 +𝑚 − 6 + 2𝑚 + 𝑛 ⇒ 𝑚 + 𝑛 = 7 
Observe que não foi necessário fazer 𝑃(1) = 0, pois a pergunta envolvia 𝑚 + 𝑛 
 
02. (Mackenzie – SP) 
( ) 2
4 ( )
P x x
Q x
−
 1
( ) 6
1 ( )
Q x x
Q x
−
 
Considerando as divisões de polinômios dadas, podemos afirmar que o resto da divisão de ( )P x por 
2 8 12x x− + é: 
a) 2 2x+ 
b) 2 1x+ 
c) 2x+ 
d) 3 2x− 
e) 1x + 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Comentário: 
Podemos escrever do seguinte modo: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2). 𝑄(𝑥) + 4 e 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 6). 𝑄1(𝑥) + 1 
Substituindo a expressão para 𝑄(𝑥) em 𝑃(𝑥), temos: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)[(𝑥 − 6). 𝑄1(𝑥) + 1] + 4 ⇒ 
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2). (𝑥 − 6). 𝑄1(𝑥) + 𝑥 − 2 + 4 ⇒ 
𝑃(𝑥) = (𝑥2 − 8𝑥 + 12). 𝑄1(𝑥) + 𝑥 + 2 
Logo, o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥2 − 8𝑥 + 12 é igual a (𝑥 + 2). 
2.0 – Lista de Questões – Nível 1 
 (EsSA 2006) A soma dos inversos das raízes da equação do 2° grau, em “x”, ( ) ( )21 2 1 0m x mx m+ − + − =
, 1m − é igual a 3. Assim, o valor de m² é igual a: 
a) 1 
b) 0 
c) 4 
d) 16 
e) 9 
 
 (EsSA 2007) Seja ( )2 3 2 0x q x q+ − − − = . O valor de “q” que torna mínima a soma dos quadrados das 
raízes da equação é: 
a) 4 
b) – 2 
c) – 4 
d) 2 
e) 0 
 
 (EsSA 2008) A equação ( )
1
23 7 1x x+ + = possui uma raiz: 
a) par 
b) múltipla de 5 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
c) negativa 
d) maior que 7 
e) irracional 
 
 (EsSA 2009) Se o resto da divisão do polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝒏 + 𝟓𝒙 − 𝟑𝟎 por ( ) 2Q x x= − é igual a 44, 
então n é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 (EsSA 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑– 𝟏𝟏𝒙² + 𝟐𝟔𝒙–𝟏𝟔, e que a b . 
Nessas condições, o valor de 𝒂𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 é: 
a) 193/3 
b) 19 
c) 67 
d) 64 
e) 49/3 
 
 (EsSA 2013) Para que o polinômio do segundo grau ( ) 23A x x bx c= − + , com c > 0 seja o quadrado do 
polinômio ( )B x mx n= + ,é necessário que: 
a)
2 4b c= 
b)
2 12b c= 
c)
2 12b = 
d)
2 36b c= 
e) 
2 36b = 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EsSA 2014) Sendo o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙³ + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 um cubo perfeito, então a diferença a b− 
vale: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) −1 
 
 (EsSA 2014) Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes −1, 
1
2
− e 2 é: 
a) 
3 22 5 2 0x x x− − − = 
b) 
3 22 5 2 0x x x− − + = 
c) 
3 22 5 2 0x x x− + − = 
d) 
3 22 2 2 0x x x− − − = 
e) 
3 22 5 2 0x x x− − − = 
 
 (EsSA 2016) O grau do polinômio ( ) ( ) ( )24 1 3 1x x x x−  − −  + é: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
 
 (EsSA 2016) O conjunto solução da equação 3 22 5 6 0x x x− − + = é: 
a) S = {−3;−1;2} 
b) S = {−0,5;−3;4} 
c) S = {−3;1;2} 
d) S = {−2;1;3} 
e) S = {0,5;3;4} 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
 (EsSA 2017) Se 2 3i+ é raiz de uma equação algébrica ( ) 0P x = , de coeficientes reais, então podemos 
afirmar que: 
a) 3 − 2i também é raiz da mesma equação. 
b) 2 − 3i também é raiz da mesma equação. 
c) 2 também é raiz da mesma equação. 
d) −3i também é raiz da mesma equação. 
e) 3 + 2i também é raiz da mesma equação. 
 
2.1 – Gabarito 
1. E 
2. D 
3. C 
4. D 
5. C 
6. B 
7. B 
8. E 
9. D 
10. D 
11. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
3.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 1 
 (EsSA 2006) A soma dos inversos das raízes da equação do 2° grau, em “x”, ( ) ( )21 2 1 0m x mx m+ − + − =
, 1m − é igual a 3. Assim, o valor de m² é igual a: 
a) 1 
b) 0 
c) 4 
d) 16 
e) 9 
 
Comentários: 
Primeiramente, vamos descobrir o valor de 𝑥1 + 𝑥2 e 𝑥1 ∙ 𝑥2 da equação (𝑚 + 1)𝑥
2 − 2𝑚𝑥 +
(𝑚 − 1) = 0 
{
 
 𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
= 
−(−2𝑚)
(𝑚 + 1)
= 
2𝑚
𝑚 + 1
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
= 
𝑚 − 1
𝑚 + 1
 
Dessa forma, podemos calcular o que foi pedido 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
= 
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 ∙ 𝑥2
= 
2𝑚
𝑚 + 1
𝑚 − 1
𝑚 + 1
⁄ 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
= 
2𝑚
𝑚 + 1
∙
𝑚 + 1
𝑚 − 1
= 
2𝑚
𝑚 − 1
= 3 
Então, temos que 
𝑚 = 3 → 𝑚2 = 9 
Gabarito: E 
 (EsSA 2007) Seja ( )2 3 2 0x q x q+ − − − = . O valor de “q” que torna mínima a soma dos quadrados das 
raízes da equação é: 
a) 4 
b) – 2 
c) – 4 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
d) 2 
e) 0 
 
Comentários: 
Temos que a soma dos quadrados das raízes é da seguinte forma 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (𝑥1 + 𝑥2)
2 − 2 ∙ 𝑥1 ∙ 𝑥2 
Em que 
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
Daí, 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = (
3 − 𝑞
1
)
2
− 2 ∙ (−
2 + 𝑞
1
) 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 𝑞2 − 4𝑞 + 13 
Para que essa soma seja mínima, devemos calcular o 𝑞𝑣 
𝑞𝑣 =
−𝑏
2𝑎
= −
(−4)
2 ∙ 1
= 2 
Gabarito: D 
 (EsSA 2008) A equação ( )
1
23 7 1x x+ + = possui uma raiz: 
a) par 
b) múltipla de 5 
c) negativa 
d) maior que 7 
e) irracional 
 
Comentários: 
Temos que 
𝑥 + (3𝑥 + 7)
1
2 = 1 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Logo 
(3𝑥 + 7)
1
2 = 1 − 𝑥 
Elevando-se os dois lados da expressão ao quadrado, temos que 
3𝑥 + 7 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2 
𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
(𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 1) = 0 
{
𝑥 = 6
𝑥 = −1
 
No entanto, o único valor que satisfaz a expressão inicial é 𝑥 = −1, ou seja, a raiz é negativa. 
Gabarito: C 
 (EsSA 2009) Se o resto da divisão do polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝒏 + 𝟓𝒙 − 𝟑𝟎 por ( ) 2Q x x= − é igual a 44, 
então n é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
Comentários: 
Do enunciado, podemos escrever 𝑃(𝑥) da seguinte forma 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) + 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥) + 44 
Vamos usar 𝑥 = 2 
𝑃(2) = 𝑄(2) ∙ 𝐷(2) + 44 
2 ∙ 2𝑛 + 5 ∙ 2 − 30 = (2 − 2) ∙ 𝐷(2) + 44 
2 ∙ 2𝑛 = 64 
2𝑛 = 32 = 25 
𝑛 = 5 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Gabarito: D 
 (EsSA 2010) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑– 𝟏𝟏𝒙² + 𝟐𝟔𝒙–𝟏𝟔, e que a b . 
Nessas condições, o valor de 𝒂𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 é: 
a) 193/3 
b) 19 
c) 67 
d) 64 
e) 49/3 
 
Comentários: 
Note que 1 é raiz de 𝑝(𝑥), logo 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥2 − 10𝑥 + 16) = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 8) ∙ (𝑥 − 2) 
Dessa forma, 2 𝑒 8 também são raízes de 𝑝(𝑥). Ou seja, 
𝑎 = 8 𝑒 𝑏 = 2, pois 𝑎 > 𝑏. 
Finalmente, 
𝑎𝑏 + log𝑏 𝑎 = 8
2 + log2 8 = 64 + 3 log2 2 
𝑎𝑏 + log𝑏 𝑎 = 67 
Gabarito: C 
 (EsSA 2013) Para que o polinômio do segundo grau ( ) 23A x x bx c= − + , com c > 0 seja o quadrado do 
polinômio ( )B x mx n= + ,é necessário que: 
a)
2 4b c= 
b)
2 12b c= 
c)
2 12b = 
d)
2 36b c= 
e) 
2 36b = 
 
Comentários: 
Devemos ter que 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥), logo 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑚𝑥 + 𝑛)2 = 𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 
Devemos comparar os coeficientes do lado esquerdo com o do lado direito 
{
𝑚2 = 3 (𝐼)
2𝑚𝑛 = −𝑏 (𝐼𝐼)
𝑛2 = 𝑐 (𝐼𝐼𝐼)
 
Em seguida, vamos elevar a equação (II) ao quadrado 
(2𝑚𝑛)2 = (−𝑏)2 → 4𝑚2𝑛2 = 𝑏2 
Vamos substituir os valores de 𝑚2 𝑒 𝑛² 
𝑏2 = 4 ∙ 3 ∙ 𝑐 → 𝑏2 = 12𝑐 
Gabarito: B 
 (EsSA 2014) Sendo o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙³ + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃 um cubo perfeito, então a diferença a b− 
vale: 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) −1 
 
Comentários: 
Temos que 
(𝑥 + 1)3 = 𝑥3 + 3 ∙ 𝑥2 ∙ 1 + 3 ∙ 𝑥 ∙ 12 + 1³ 
e 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 3 ∙ 𝑥2∙ 1 + 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 
Dessa forma, comparando os coeficientes, temos que 
{
𝑎 = 3
𝑏 = 1
 
→ 𝑎 − 𝑏 = 3 − 1 = 2 
Gabarito: B 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EsSA 2014) Uma equação polinomial do 3º grau que admite as raízes −1, 
1
2
− e 2 é: 
a) 
3 22 5 2 0x x x− − − = 
b) 
3 22 5 2 0x x x− − + = 
c) 
3 22 5 2 0x x x− + − = 
d) 
3 22 2 2 0x x x− − − = 
e) 
3 22 5 2 0x x x− − − = 
 
Comentários: 
O enunciado já nos diz as raízes de 𝑝(𝑥). Logo 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 +
1
2
) ∙ (𝑥 − 2) = 𝑥3 −
𝑥2
2
−
5𝑥
2
− 1 
Logo, 
𝑃(𝑥) = 2 ∙ 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 2 
Gabarito: E 
 (EsSA 2016) O grau do polinômio ( ) ( ) ( )24 1 3 1x x x x−  − −  + é: 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
 
Comentários: 
O grau do polinômio será dado pela soma dos graus dos polinômios que o compõe. Logo 
𝛿𝑝(𝑥) = 1 + 2 + 1 = 4 
Gabarito: D 
 (EsSA 2016) O conjunto solução da equação 3 22 5 6 0x x x− − + = é: 
a) S = {−3;−1;2} 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) S = {−0,5;−3;4} 
c) S = {−3;1;2} 
d) S = {−2;1;3} 
e) S = {0,5;3;4} 
 
Comentários: 
Note que a soma dos coeficientes de 𝑝(𝑥) é zero. Logo, 1 é raiz de 𝑝(𝑥) 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥2 − 𝑥 − 6) 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 2) 
Dessa forma, 𝑆 = {−2,1,3}. 
Gabarito: D 
 (EsSA 2017) Se 2 3i+ é raiz de uma equação algébrica ( ) 0P x = , de coeficientes reais, então podemos 
afirmar que: 
a) 3 − 2i também é raiz da mesma equação. 
b) 2 − 3i também é raiz da mesma equação. 
c) 2 também é raiz da mesma equação. 
d) −3i também é raiz da mesma equação. 
e) 3 + 2i também é raiz da mesma equação. 
 
Comentários: 
Como nosso 𝑝(𝑥) apresenta apenas coeficientes reais, se 𝑧 é solução, então o conjugado de z é 
solução 
2 − 3𝑖 também é raiz. 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
4.0 – Lista de Questões – Nível 2 
 (EEAR-2000) Dada a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎, e sendo a, b e c as suas reízes, o valor da 
soma 𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄² é: 
a) 𝟐𝟎𝟎 
b) −𝟐𝟎𝟎 
c) 𝟒𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
 (EEAR-2001) Para que o polinômio 𝟐𝒙𝟑 +𝒎𝒙+ 𝒏𝒙 + 𝟔 seja divisível por (𝒙 + 𝟏) 𝒆 (𝒙 − 𝟑), então os 
valores de m e n devem ser, respectivamente, iguais a: 
a) −𝟕 𝒆 − 𝟑 
b) −𝟔 𝒆 − 𝟏𝟎 
c) −𝟔 𝒆 − 𝟐 
d) −𝟐 𝒆 − 𝟔 
 
 (EEAR-2001) Qualquer raiz racional da equação 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝟎 é inteira. 
O menor grau da equação polinomial de coeficientes reais, que admite as raízes 𝟑, 𝟐 + 𝒊 𝒆 − 𝒊,é 𝟓. 
Toda equação polinomial da forma 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟑 + 𝒄𝒙𝟐 + 𝒅𝒙 + 𝒆 = 𝟎 de coeficientes reais e 𝒂 ≠ 𝟎, 
necessariamente possui uma raiz real. 
São verdadeiras as afirmações: 
a) I, II e III. 
b) I e II. 
c) II e III. 
d) I e III. 
 
 (EEAR-2001) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 é a soma das outras duas. A 
maior raiz dessa equação é: 
a) 𝟕 
b) 𝟔 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
c) 𝟒 
d) 𝟐 
 
 (EEAR-2001) Os valores reais de a e b tais que os polinômios 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒂𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃)𝒙 − 𝟑𝒃 e 
𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − (𝒂 + 𝟐𝒃)𝒙 + 𝟐𝒂 sejam divisíveis por 𝒙 + 𝟏 são dois números 
a) Inteiros positivos. 
b) Inteiros negativos. 
c) Reais, sendo um racional e outro irracional. 
d) Inteiros, sendo um positivo e outro negativo. 
 
 (EEAR-2002) É verdadeira a afirmação: 
“A equação 𝒙𝟖 − 𝟏𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝟔 = 𝟎 
a) Admite 𝟒 raízes reais irracionais”. 
b) Admite 𝟒 raízes reais racionais positivas”. 
c) Não admite raízes reais”. 
d) Admite 𝟒 raízes reais inteiras”. 
 
 (EEAR-2002) A equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 tem como raízes a, b e c. Então, o valor da expressão 
𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄𝟐 é 
a) 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝟐𝟓𝟎 
c) −𝟐𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
 (EEAR-2002) Uma das raízes da equação 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é 𝒙𝟏 = 𝟐. 
Pode-se afirmar que: 
a) As outras raízes são números imaginários puros. 
b) As outras raízes são −𝟑 𝒆 − 𝟐. 
c) Só uma das outras raízes é real. 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
d) As outras raízes estão entre −𝟐 𝒆 𝟎. 
 
 (EEAR-2002) Considere a equação 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 em que −𝟐 é uma das raízes. As demais 
raízes são 
a) −𝟐+ 𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝒊 
b) −𝟏 𝒆 −5 
c) 𝟐 − 𝒊 𝒆 𝟐 + 𝒊 
d) −𝟐+ 𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝟐𝒊 
 
 (EEAR-2002) Uma equação do 3° grau cujas raízes são −𝟏,−𝟐 𝒆 𝟑 é 
a) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
b) 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 = 𝟎 
c) 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
d) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 = 𝟎 
 
 (EEAR-2002) Sobre a equação 𝟏𝟗𝟖𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖𝟓 = 𝟎, a afirmação correta é: 
a) Não tem raízes reais 
b) Tem duas raízes simétricas 
c) Tem duas raízes reais distintas 
d) Tem duas raízes reais iguais 
 
 (EEAR-2002) O n° 𝟏 é uma das raízes do polinômio 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔. Com relação às outras raízes do 
polinômio, podemos afirmar que 
a) Ambas são negativas 
b) Uma é negativa e a outra é positiva 
c) Ambas são positivas 
d) Uma delas é nula 
 
 (EEAR-2003) Se 𝟏, 𝒙𝟐 𝒆 𝒙𝟑 são as raízes da equação 𝒙
𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎, então o valor de 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑, 
para 𝒙𝟐 > 𝒙𝟑, é 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
a) 𝟑 
b) 𝟏 
c) 𝟔 
d) 𝟓 
 
 (EEAR-2003) Se o resto da divisão de 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 +𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝟓 por 𝒙 − 𝟐 é 𝟏𝟓, então o valor de 
𝟐𝒎+ 𝒏 é 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟓 
 
 (EEAR-2003) Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒄 = 𝟎 é 
𝟑𝟓
𝟗
, então o 
valor de c é 
a) 
−𝟐
𝟑
 
b) −𝟐 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) 𝟐 
 
 (EEAR-2003) Dentro do conjunto dos números complexos, a equação 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 tem como 
soluções 
a) ±𝟐 𝒆 ± 𝒊 
b) ±√𝟐 𝒆 ± 𝒊 
c) ±𝟏 𝒆 𝒊√𝟐 
d) ±𝟏 𝒆 ± 𝒊 
 
 (EEAR-2003) Ao dividir o polinômio −𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 por um polinômio Q, Ana obteve −𝟓 por quociente 
e 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 por resto. O polinômio Q é igual a 
a) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 
c) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 
 
 (EEAR-2003) A divisão do polinômio 𝑷(𝒙) por 𝒙 − 𝒂 fornece o quociente 𝒒(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e 
resto 1. Sabendo que 𝑷(𝟎) = −𝟏𝟓, o valor de 𝒂 é 
a) −𝟏𝟔 
b) −𝟏𝟑 
c) 𝟏𝟑 
d) 𝟏𝟔 
 
 (EEAR-2004) Um dos zeros do polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 é uma fração imprópria cujo módulo 
da diferença entre seus termos é igual a 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟒 
 
 (EEAR-2004) Dado 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − (𝟐𝒎+ 𝟒)𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏𝟑, o valor de m. para que 𝟑𝒊 seja raiz de 𝑷(𝒙), 
é 
a) 
−𝟒𝟗
𝟏𝟖
 
b) −
𝟐𝟑
𝟏𝟖
 
c) −
𝟐𝟓
𝟔
 
d) 
𝟐𝟑
𝟏𝟖
 
 
 (EEAR-2005) O resto da divisão de 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 por 𝒙 − 𝒌 é 
a) 𝒌𝟐 + 𝟏 
b) 𝒌𝟐 + 𝒌 + 𝟏 
c) 𝒌𝟑 + 𝒌𝟐 + 𝟏 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
d) 𝒌𝟑 + 𝒌 + 𝟏 
 
 (EEAR-2005) Se o polinômio 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟒 tem uma raiz igual a 6, decompondo-o em fatores, 
obtém-se: 
a) (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) 
b) (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) 
c) (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) 
d) (𝒙 + 𝟔)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) 
 
 (EEAR-2006) A equação cujas raízes são −√𝟐,√𝟐,−√𝟓 𝒆 √𝟓, é 𝒙𝟒 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎. O valor de |𝒂 + 𝒃|é 
a) 𝟐 
b) 𝟑 
c) 𝟒 
d) 𝟓 
 
 (EEAR-2006) Sejam os polinômios 𝑨(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) + (𝒃𝒙 + 𝒄)(𝒙 + 𝟏) e 𝑩(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏. 
Se 𝑨(𝒙) ≡ 𝑩(𝒙), então 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 
a) 𝟒 
b) 𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟏 
 
 (EEAR-2006) Para que o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝜶𝒙 + 𝜷 tenha como raiz dupla o 
número 𝟏, os valores de α e β devem ser, respectivamente, 
a) 𝟏 𝒆 𝟐. 
b) 𝟐 𝒆 𝟏. 
c) −𝟐 𝒆 𝟏. 
d) 𝟏 𝒆 − 𝟐. 
 
 (EEAR-2007) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 é −𝟑.A soma das demais raízes é 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
a) 𝟔 
b) 𝟒 
c) −𝟏 
d) −𝟑 
 
 (EEAR-2007) Se 𝟑 𝒆 − 𝟑 são duas das raízes da equação 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎, as outras raízes são 
a) 𝟑𝒊 𝒆 𝟐𝒊. 
b) c𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐𝒊. 
c) −𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
d) 𝟑𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
 
 (EEAR-2007) O polinômio (𝒎 − 𝒏 − 𝟑)𝒙𝟐 + (𝒎+ 𝒏 − 𝟓)𝒙 = 𝟎 será identicamente nulo, se o valor de 
𝒎𝟐 − 𝒏² for 
a) −𝟏𝟐 
b) −𝟓 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟓 
 
 (EEAR-2007) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 𝟑 +
𝒊, 𝟕 𝒆 𝟐 − 𝟑𝒊. Essa equação tem, no mínimo, grau 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
 (EEAR-2008) Seja um polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅. Se os coeficientes de 𝑷(𝒙) são 
diferentes de zero, então, para todo 𝒙 ∈ ℝ, “𝑷(𝒙) + 𝑷(−𝒙)" tem grau 
a) 𝟒 
b) 𝟑 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
c) 𝟐 
d) 𝟏 
 
 (EEAR-2008) Se (𝒙 + 𝒃)𝟐 − (𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒂) ≡ 𝟐𝒙 + 𝟏𝟕, sendo 𝒂 𝒆 𝒃 números reais positivos, então o 
valor de 𝒂 + 𝒃 é 
a) 𝟐 
b) 𝟑 
c) 𝟓 
d) 𝟔 
 
 (EEAR-2009) O resto da divisão de 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 por 𝒙 + 𝟐𝒌 é 
a) 𝒌 − 𝟏 
b) −𝟐𝒌 − 𝟏 
c) 𝒌𝟑 − 𝒌 − 𝟏 
d) 𝟒𝒌𝟑 − 𝟐𝒌 − 𝟏 
 
 (EEAR-2009) Se 𝟑, 𝟓 𝒆 − 𝟐 são as raízes da equação 𝟒(𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎, o valor de 𝒂 + 𝒃 é 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
 
 (EEAR-2009) Ao dividir 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓 por 𝒙 − 𝟑, obtém-se um quociente cuja soma dos 
coeficientes é 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2009) Sabe-se que a equação 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟗 = 𝟎 equivale a (𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝒙𝟐 − 𝟗) =
𝟎. Assim, a raiz de multiplicidade 𝟐 dessa equação é 
a) −𝟑 
b) −𝟏 
c) 𝟏 
d) 𝟑 
 
 (EEAR-2010) Seja 𝑨 = {−𝟐,−𝟏, 𝟏, 𝟐} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio 𝑷(𝒙) do 𝟒° 
grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de 𝑷(𝒙) é 1, então o termo independente é 
a) 𝟑 
b) 𝟒 
c) 𝟓 
d) 𝟔 
 
 (EEAR-2010) Se a maior das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é igual à soma das outras 
duas, então seu valor é divisor de 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟏𝟔 
c) 𝟏𝟖 
d) 𝟐𝟎 
 
 (EEAR-2011) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 
−𝟐, 𝟎, 𝟐 𝒆 𝟏 + 𝒊. O menor grau que essa equação pode ter é 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
 (EEAR-2011) Se o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝒃𝒙 − 𝟑 é divisível por (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏), então o valor 
de 𝒂 + 𝒃 é 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟖 
c) 𝟕 
d) 𝟓 
 
 (EEAR-2011) Seja 𝒓 a maior raiz da equação 𝒙(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟑 = 𝟎. Se 𝒎 é a multiplicidade de 𝒓, então 
𝒓.𝒎 é igual a 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
 (EEAR-2012) Seja a equação polinomial 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Se 𝑺 e 𝑷 são, respectivamente, a 
soma e o produto de suas raízes, então 
a) 𝑺 = 𝑷 
b) 𝑺 = 𝟐𝑷 
c) 𝑺 = 𝟐 𝒆 𝑷 = −𝟒 
d) 𝑺 = −𝟐 𝒆 𝑷 = 𝟒 
 
 (EEAR-2013) O resto da divisão de O resto da divisão de 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 por 𝒙𝟐 − 𝟑 é igual a 
a) 𝟏𝟑𝒙 + 𝟓 
b) 𝟏𝟏𝒙 − 𝟑 
c) 𝟐𝒙 + 𝟓 
d) 𝟔𝒙 − 𝟑 
 
 (EEAR-2014) A equação (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 tem ____ raízes reais. 
a) 𝟑 
b) 𝟐 
c) 𝟏 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
d) 𝟎 
 
 (EEAR-2015) Seja a equação 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎. Usando as relações de Girard, pode-se encontrar 
como das raízes o valor 
a) 𝟏𝟐 
b) 𝟕 
c) 𝟓 
d) 𝟐 
 
 (EEAR-2016) Dada a equação 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 e sabendo que 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 
São raízes dessa equação, o valor do produto 𝒂. 𝒃. 𝒄 é 
a) 𝟏 
b) −𝟏 
c) 
𝟏
𝟑
 
d) −
𝟏
𝟑
 
 
 (EEAR-2016) Dado o polinômio 𝒂𝒙𝟑 + (𝟐𝒂 + 𝒃)𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 − 𝟒 = 𝟎, os valores de 𝒂 𝒆 𝒃 para que 
ele seja um polinômio de 𝟐° grau são 
a) 𝒂 = 𝟎 𝒆 𝒃 = 𝟎 
b) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
c) 𝒂 = 𝟎 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
d) 𝒂 = −𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
 
 (EEAR-2017) Sejam as funções polinomiais definidas por 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆 𝒈(𝒙) = 𝒇−𝟏(𝒙). O valor de 
𝒈(𝟑) é 
a) 𝟑 
b) 𝟐 
c) 𝟏 
d) 𝟎 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
 (EEAR-2017) Considere 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙, tal que 𝑷(𝟏) = −𝟐 e 𝑷(𝟐) = 𝟔. Assim, os valores de 
𝒃 𝒆 𝒄 são, respectivamente, 
a) 𝟏 𝒆 𝟐 
b) 𝟏 𝒆 − 𝟐 
c) −𝟏 𝒆 𝟑 
d) −𝟏 𝒆 − 𝟑 
 
 (EEAR-2018) Se os números 𝟐, 𝟓, 𝟏 + 𝒊 𝒆 𝟑 − 𝟓𝒊 são raízes de uma equação polinomial de grau 𝟔, a 
soma das outras duas raízes dessa equação é 
a) 𝟒 + 𝟒𝒊 
b) 𝟒 + 𝟑𝒊 
c) 𝟑 + 𝟒𝒊 
d) 𝟑 + 𝟑𝒊 
 
 (EEAR-2018) Sejam os polinômios 𝑨(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒,𝑩(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − 𝒃𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 e 𝑷(𝒙) =
𝑨(𝒙) − 𝑩(𝒙). Para que 𝑷(𝒙) seja de grau 𝟐, é necessário que 
a) 𝒂 ≠ −𝟏 𝒆 𝒃 = −𝟐 
b) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 = −𝟐 
c) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ −𝟐 
d) 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟐 
 
 (EEAR-2019) Seja a equação polinomial 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎. Se ? , 𝟐 𝒆 𝟑 são suas raízes, sendo 
que a raiz 𝟑 tem multiplicidade 𝟐, o valor de 𝒃 é 
a) 𝟖 
b) 𝟔 
c) −𝟑 
d) −𝟒 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
4.1 – Gabarito 
1. B 
2. C 
3. B 
4. B 
5. D 
6. A 
7. C 
8. D 
9. D 
10. C 
11. C 
12. A 
13. D 
14. A 
15. D 
16. B 
17. D 
18. D 
19. B 
20. A 
21. D 
22. A 
23. B 
24. A 
25. A 
26. B 
27. B 
28. D 
29. B 
30. C 
31. C 
32. D 
33. B 
34. D 
35. C 
36. B 
37. C 
38. B 
39. A 
40. D 
41. A 
42. A 
43. B 
44. C 
45. B 
46. C 
47. C 
48. D 
49. A 
50. C 
51. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
5.0 – Lista de Questões Comentadas – Nível 2 
 (EEAR-2000) Dada a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎, e sendo a, b e c as suas reízes, o valor da 
soma 𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄² é: 
a) 𝟐𝟎𝟎 
b) −𝟐𝟎𝟎 
c) 𝟒𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
Comentário: 
Fatorando a expressão, temos: 
𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). 
Por Girard, 
𝑎𝑏𝑐 = −(20) e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −(−10) = 10. 
Logo, 
𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = −20.10 = −200 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Para que o polinômio 𝟐𝒙𝟑 +𝒎𝒙+ 𝒏𝒙 + 𝟔 seja divisível por (𝒙 + 𝟏) 𝒆 (𝒙 − 𝟑), então os 
valores de m e n devem ser, respectivamente, iguais a: 
a) −𝟕 𝒆 − 𝟑 
b) −𝟔 𝒆 − 𝟏𝟎 
c) −𝟔 𝒆 − 𝟐 
d) −𝟐 𝒆 − 𝟔 
 
Comentário: 
Para que o polinômio seja divisível por (𝑥 + 1) 𝑒 (𝑥 − 3), 𝑟1 =-1 e 𝑟2 =3 devem ser duas de suas 
raízes. Por Girard, podemos descobrir qual será a terceira raiz desse polinômio de grau 3: 
𝑟1𝑟2𝑟3 =
−6
2
= −3 → (−1)(3)𝑟3 = −3 → 𝑟3 = 1 
Logo, as raízes são -1, 1 e 3. Dessa forma, pelas outras relações de Girard: 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 =
−𝑚
2
 𝑒 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟3 + 𝑟2𝑟3 =
𝑛
2
 
Portanto, 
𝑚 = −6 𝑒 𝑛 = −2. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2001) Qualquer raiz racional da equação 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝟎 é inteira. 
O menor grau da equação polinomial de coeficientes reais, que admite as raízes 𝟑, 𝟐 + 𝒊 𝒆 − 𝒊,é 𝟓. 
Toda equação polinomial da forma 𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟑 + 𝒄𝒙𝟐 + 𝒅𝒙 + 𝒆 = 𝟎 de coeficientes reais e 𝒂 ≠ 𝟎, 
necessariamente possui uma raiz real. 
São verdadeiras as afirmações: 
a) I, II e III. 
b) I e II. 
c) II e III. 
d) I e III. 
 
Comentário: 
I. Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que as possíveis candidatas a raízes racionais 
são: 9, −9, 3, −3, 1, −1. Portanto, inteiras. 
II. Como os coeficientes são reais, vale o Teorema da Raízes Conjugadas, o qual afirma que se um 
número complexo é raiz da equação o seu conjugado também será. Logo, teremos as raízes 3, 2 −
𝑖, 2 + 𝑖, −𝑖 𝑒 + 𝑖. Assim, há 5 raízes de modo que o menor grau desse polinômio é 5. 
III. Como o grau do polinômio de coeficientes reaisé 4, poderíamos ter 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 − 𝑏𝑖, 𝑐 +
𝑑𝑖 𝑒 𝑐 − 𝑑𝑖, com b≠ 0 𝑒 𝑑 ≠ 0 como raízes. Logo, não se faz necessário ter uma raiz real. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 é a soma das outras duas. A 
maior raiz dessa equação é: 
a) 𝟕 
b) 𝟔 
c) 𝟒 
d) 𝟐 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes dessa equação, com 𝑐 > 𝑏 > 𝑎. Assim, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏. 
Por Girard, temos que 
𝑖) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12 
𝑖𝑖) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 44 
𝑖𝑖𝑖) 𝑎𝑏𝑐 = 48 
De 𝑖), 2𝑐 = 12 → 𝑐 = 6. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2001) Os valores reais de a e b tais que os polinômios 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒂𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃)𝒙 − 𝟑𝒃 e 
𝑸(𝒙) = 𝒙𝟑 − (𝒂 + 𝟐𝒃)𝒙 + 𝟐𝒂 sejam divisíveis por 𝒙 + 𝟏 são dois números 
a) Inteiros positivos. 
b) Inteiros negativos. 
c) Reais, sendo um racional e outro irracional. 
d) Inteiros, sendo um positivo e outro negativo. 
 
Comentário: 
Para que os polinômios sejam divisíveis por 𝑥 + 1, temos que -1 deve ser raiz de ambos os 
polinômios. Assim, 𝑃(−1) = 𝑄(−1) = 0. 
𝑃(−1) = −1 − 2𝑎 − 3𝑎 − 𝑏 − 3𝑏 = −1 − 5𝑎 − 4𝑏 = 0 
𝑄(−1) = −1 + 𝑎 + 2𝑏 + 2𝑎 = −1 + 3𝑎 + 2𝑏 = 0 
Resolvendo o sistema, 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = −4. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2002) É verdadeira a afirmação: 
“A equação 𝒙𝟖 − 𝟏𝟑𝒙𝟒 + 𝟑𝟔 = 𝟎 
a) Admite 𝟒 raízes reais irracionais”. 
b) Admite 𝟒 raízes reais racionais positivas”. 
c) Não admite raízes reais”. 
d) Admite 𝟒 raízes reais inteiras”. 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
Comentário: 
Faremos uma substituição de variável: 
𝑥4 = 𝑚 → 𝑚2 − 13𝑚 + 36 = 0. 
Resolvendo agora a equação do segundo grau, temos que 
𝑚 =
13 ± √169 − 144
2
=
13 ± 5
2
→ 𝑚 = 9 𝑜𝑢 𝑚 = 4. 
Logo, 
𝑥 = √9
4
= √3 𝑜𝑢 𝑥 = √4
4
= √2. 
Logo, temos 4 raízes reais irracionais (√2 𝑒 √3 são raízes duplas cada uma). 
Gabarito: A 
 (EEAR-2002) A equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 tem como raízes a, b e c. Então, o valor da expressão 
𝒂𝟐𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄𝟐 é 
a) 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝟐𝟓𝟎 
c) −𝟐𝟎𝟎 
d) −𝟒𝟎𝟎 
 
Comentário: 
Fatorando a expressão solicitada, temos 
𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐). 
Pelas relações de Girard, podemos afirmar que 
𝑎𝑏𝑐 = −(20) 𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 10 
Assim, 𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = −200 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) Uma das raízes da equação 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é 𝒙𝟏 = 𝟐. 
Pode-se afirmar que: 
a) As outras raízes são números imaginários puros. 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) As outras raízes são −𝟑 𝒆 − 𝟐. 
c) Só uma das outras raízes é real. 
d) As outras raízes estão entre −𝟐 𝒆 𝟎. 
 
Comentário: 
Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, podemos baixar o grau do polinômio. Assim, resultamos 
que 
2𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0. 
As raízes dessa equação, por Bhaskara são: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5 ± √5² − 4.2.3
2.2
=
−5 ± 1
4
 
Assim, as raízes são −1 𝑒 
−3
2
. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2002) Considere a equação 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 em que −𝟐 é uma das raízes. As demais 
raízes são 
a) −𝟐+ 𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝒊 
b) −𝟏 𝒆 −5 
c) 𝟐 − 𝒊 𝒆 𝟐 + 𝒊 
d) −𝟐+ 𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐 − 𝟐𝒊 
 
Comentário: 
Podemos fatorar o polinômio (utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini) da seguinte forma 
(𝑥 + 2)(𝑥2 + 4𝑥 + 5) = 0 
Assim, para 
𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 =
−4 ± √42 − 4.5
2
 
Logo, 
𝑥 = −2 + 2𝑖 𝑒 𝑥 = −2 − 2𝑖 
Gabarito: D 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2002) Uma equação do 3° grau cujas raízes são −𝟏,−𝟐 𝒆 𝟑 é 
a) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
b) 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔 = 𝟎 
c) 𝒙𝟑 − 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
d) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 = 𝟎 
 
 
Comentário: 
Pelo teorema da decomposição de um polinômio cujas raízes são 𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2)(𝑥 − 𝑟3) 
Assim, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 𝑎(𝑥3 − 7𝑥 − 6) 
Para 𝑎 = 1, temos que a equação fica 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) Sobre a equação 𝟏𝟗𝟖𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝟖𝟒𝒙 − 𝟏𝟗𝟖𝟓 = 𝟎, a afirmação correta é: 
a) Não tem raízes reais 
b) Tem duas raízes simétricas 
c) Tem duas raízes reais distintas 
d) Tem duas raízes reais iguais 
 
Comentário: 
Primeiramente façamos uma substituição facilitadora: 1984 = 𝑎. 
Resolvendo a equação do segundo grau (𝑎 − 1)𝑥2 − 𝑎𝑥 − (𝑎 + 1) = 0, 
𝑥 =
𝑎 ± √𝑎2 − 4. (𝑎 − 1)(−𝑎 − 1)
2. (𝑎 − 1)
→ 𝑥 =
𝑎 ± √5𝑎2 − 4
2(𝑎 − 1)
 
Como 5𝑎2 − 4 > 0, a equação possui duas raízes reais distintas. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2002) O n° 𝟏 é uma das raízes do polinômio 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔. Com relação às outras raízes do 
polinômio, podemos afirmar que 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
a) Ambas são negativas 
b) Uma é negativa e a outra é positiva 
c) Ambas são positivas 
d) Uma delas é nula 
 
Comentário: 
Podemos fatorar o polinômio acima (utilizando Briot-Ruffini) da seguinte forma: 
𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 5𝑥 + 6) 
Para acharmos as outras raízes, faremos 
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 → 𝑥 =
−5 ± √52 − 4.1.6
2
 → 𝑥 = 
−5 ± 1
2
 
Assim, 𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = −2. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2003) Se 𝟏, 𝒙𝟐 𝒆 𝒙𝟑 são as raízes da equação 𝒙
𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎, então o valor de 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑, 
para 𝒙𝟐 > 𝒙𝟑, é 
a) 𝟑 
b) 𝟏 
c) 𝟔 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Como 1 é raiz, podemos fatorar o polinômio (com o auxílio do Briot-Ruffini) da seguinte maneira: 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 
Assim, verificamos que 𝑥2 = 3 𝑒 𝑥3 = −2 afinal 𝑥2 > 𝑥3. 
Dessa forma, 𝑥2 − 𝑥3 = 3 − (−2) = 5. 
Gabarito: D 
 (EEAR-2003) Se o resto da divisão de 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 +𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝟓 por 𝒙 − 𝟐 é 𝟏𝟓, então o valor de 
𝟐𝒎+ 𝒏 é 
a) 𝟏 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Pelo Teorema do Resto, temos que 𝑃(2) = 15. Dessa forma, 
𝑃(2) = 23 +𝑚(2)2 + 𝑛(2) + 5 = 15 
8 + 4𝑚 + 2𝑛 + 5 = 15 
4𝑚 + 2𝑛 = 2 
Assim, 
2𝑚 + 𝑛 = 1 
Gabarito: A 
 (EEAR-2003) Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒄 = 𝟎 é 
𝟑𝟓
𝟗
, então o 
valor de c é 
a) 
−𝟐
𝟑
 
b) −𝟐 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) 𝟐 
 
Comentário: 
Sejam 𝑟 𝑒 𝑠 as raízes da equação. 
Do enunciado, temos que 
𝑠2 − 𝑟2 =
35
9
 → (𝑠 − 𝑟)(𝑠 + 𝑟) =
35
9
 
Da relação de Girard, 
𝑠 + 𝑟 =
7
3
 
Assim, 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
𝑠 − 𝑟 =
5
3
 
Do sistema, 𝑠 = 2 𝑒 𝑟 =
1
3
. Dessa forma, por Girard 
𝑟. 𝑠 =
𝑐
3
 → 𝑐 = 2 
Gabarito: D 
 (EEAR-2003) Dentro do conjunto dos números complexos, a equação 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 tem como 
soluções 
a) ±𝟐 𝒆 ± 𝒊 
b) ±√𝟐 𝒆 ± 𝒊 
c) ±𝟏 𝒆 𝒊√𝟐 
d) ±𝟏 𝒆 ± 𝒊 
 
Comentário: 
Fazemos a substituição de variável: 𝑚 = 𝑥2. Assim, 
𝑚2 −𝑚 − 2 = 0 → 𝑚 =
−(−1) ± √12 − 4.1(−2)
2
=
1 ± 3
2
 
Logo, 
𝑚 = 2 𝑜𝑢 𝑚 = −1. 
Por fim, 
𝑥 = ±√2 𝑜𝑢 𝑥 = ±𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2003) Ao dividir o polinômio −𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 por um polinômio Q, Ana obteve −𝟓 por quociente 
e 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 por resto. O polinômio Q é igual a 
a) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 
b) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏 
c) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 
d) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 
 
Comentário: 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Da congruência polinomial na divisão, temos 
−5𝑥2 − 3𝑥 + 2 ≡ 𝑄(𝑥). (−5) + (12𝑥 + 7) 
Assim, 𝑄(𝑥) deve ser um polinômio de grau 2. 
𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Dessa forma, 
−5𝑥2 − 3𝑥 + 2 ≡ (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)(−5) + (12𝑥 + 7) 
Ou seja, 
−5𝑐 + 7 = 2 → 𝑐 = 1 
−5𝑏 + 12 = −3 → 𝑏 = 3 
−5𝑎 = −5 → 𝑎 = 1 
Por fim, 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 
Gabarito: D 
 (EEAR-2003) A divisão do polinômio 𝑷(𝒙) por 𝒙 − 𝒂 fornece o quociente 𝒒(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e 
resto 1. Sabendo que 𝑷(𝟎) = −𝟏𝟓, o valor de 𝒂 é 
a)−𝟏𝟔 
b) −𝟏𝟑 
c) 𝟏𝟑 
d) 𝟏𝟔 
 
Comentário: 
Da congruência polinomial na divisão, 
𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝑎)(𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) + 1 
Sabendo que 𝑃(0) = −15, 
𝑃(0) ≡ (−𝑎)(1) + 1 = −15 
𝑎 = 16 
Gabarito: D 
 (EEAR-2004) Um dos zeros do polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 é uma fração imprópria cujo módulo 
da diferença entre seus termos é igual a 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟒 
 
Comentário: 
Fatorando o polinômio, temos 
𝑃(𝑥) = 𝑥(3𝑥2 − 2𝑥 − 5) 
Para fatorarmos ainda mais, vamos calcular as raízes de 
3𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0. 
𝑥 =
−(−2) ± √22 − 4.3. (−5)
2.3
 → 𝑥 =
5
3
 𝑒 𝑥 = −1 
Portanto, os zeros do polinômio 𝑃(𝑥) são 0,−1 𝑒 
5
3
. A fração imprópria é 
5
3
, cujo módulo da 
diferença entre seus termos é igual a 2. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2004) Dado 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − (𝟐𝒎+ 𝟒)𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏𝟑, o valor de m. para que 𝟑𝒊 seja raiz de 𝑷(𝒙), 
é 
a) 
−𝟒𝟗
𝟏𝟖
 
b) −
𝟐𝟑
𝟏𝟖
 
c) −
𝟐𝟓
𝟔
 
d) 
𝟐𝟑
𝟏𝟖
 
 
Comentário: 
Da congruência polinomial, temos que, para 3𝑖 ser raiz do polinômio, 
𝑃(3𝑖) ≡ 0 
(3𝑖)3 − (2𝑚 + 4)(3𝑖)2 + 9(3𝑖) + 13 ≡ 0 
−27𝑖 − (2𝑚 + 4)(−9) + 27𝑖 + 13 ≡ 0 
𝑚 =
−49
18
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Gabarito: A 
 (EEAR-2005) O resto da divisão de 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 por 𝒙 − 𝒌 é 
a) 𝒌𝟐 + 𝟏 
b) 𝒌𝟐 + 𝒌 + 𝟏 
c) 𝒌𝟑 + 𝒌𝟐 + 𝟏 
d) 𝒌𝟑 + 𝒌 + 𝟏 
 
 
Comentário: 
Pelo Teorema do Resto, temos que 
𝑃(𝑘) = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑘𝑥2 + 𝑘 + 1 𝑝𝑜𝑟 𝑥 − 𝑘 
Ou seja, 
𝑃(𝑘) = 𝑘3 + 𝑘 + 1 
Gabarito: D 
 (EEAR-2005) Se o polinômio 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟒 tem uma raiz igual a 6, decompondo-o em fatores, 
obtém-se: 
a) (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) 
b) (𝒙 − 𝟔)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) 
c) (𝒙 + 𝟔)(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟏) 
d) (𝒙 + 𝟔)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) 
 
Comentário: 
Fatorando o polinômio (com auxílio do dispositivo de Briot-Ruffini), temos 
𝑥3 − 9𝑥2 + 14𝑥 + 24 = (𝑥 − 6)(𝑥2 − 3𝑥 − 4) 
Agora falta-nos fatorar a expressão 𝑥2 − 3𝑥 − 4 com base em suas raízes: 
𝑥 =
−(−3) ± √32 − 4.1. (−4)
2
 → 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = −1 
Assim, 
𝑥3 − 9𝑥2 + 14𝑥 + 24 = (𝑥 − 6)(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Gabarito: A 
 (EEAR-2006) A equação cujas raízes são −√𝟐,√𝟐,−√𝟓 𝒆 √𝟓, é 𝒙𝟒 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎. O valor de |𝒂 + 𝒃|é 
a) 𝟐 
b) 𝟑 
c) 𝟒 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Como as raízes são os zeros da equação algébrica, 
(√2)
4
+ 𝑎(√2)
2
+ 𝑏 = 0 𝑒 (√5)
4
+ 𝑎(√5)
2
+ 𝑏 = 0 
Assim, 
𝑎 = −7 𝑒 𝑏 = 10 
Por fim, 
|𝑎 + 𝑏| = |−7 + 10| = 3 
Gabarito: B 
 (EEAR-2006) Sejam os polinômios 𝑨(𝒙) = 𝒂(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏) + (𝒃𝒙 + 𝒄)(𝒙 + 𝟏) e 𝑩(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏. 
Se 𝑨(𝒙) ≡ 𝑩(𝒙), então 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 
a) 𝟒 
b) 𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟏 
 
Comentário: 
Sabemos que 𝐴(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 𝑎 + 𝑐 
Assim, pela congruência de polinômios, 
𝑎 + 𝑏 = 1 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −2 
𝑎 + 𝑐 = 1 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Assim, 𝑎 = 4, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = −3. 
Por fim, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 4. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2006) Para que o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝜶𝒙 + 𝜷 tenha como raiz dupla o 
número 𝟏, os valores de α e β devem ser, respectivamente, 
a) 𝟏 𝒆 𝟐. 
b) 𝟐 𝒆 𝟏. 
c) −𝟐 𝒆 𝟏. 
d) 𝟏 𝒆 − 𝟐. 
 
Comentário: 
Como o 1 é raiz dupla, ele é raiz o polinômio 𝑃(𝑥) 𝑒 𝑃′(𝑥), de modo que 𝑃′(𝑥) é o polinômio 
derivado, ou seja, 𝑃′(𝑥) = 8𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 𝛼. 
Assim, 
𝑃(1) = 2 + 1 − 6 + 𝛼 + 𝛽 = 0 
𝑃′(1) = 8 + 3 − 12 + 𝛼 = 0 
Desse modo, 
𝛼 = 1 𝑒 𝛽 = 2 
Gabarito: A 
 (EEAR-2007) Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 é −𝟑. A soma das demais raízes é 
a) 𝟔 
b) 𝟒 
c) −𝟏 
d) −𝟑 
 
Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 − 3 as raízes da equação. 
Pela relação de Girard, temos 
𝑎 + 𝑏 − 3 = 1 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
𝑎 + 𝑏 = 4 
Gabarito: B 
 (EEAR-2007) Se 𝟑 𝒆 − 𝟑 são duas das raízes da equação 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎, as outras raízes são 
a) 𝟑𝒊 𝒆 𝟐𝒊. 
b) c𝟐𝒊 𝒆 − 𝟐𝒊. 
c) −𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
d) 𝟑𝒊 𝒆 − 𝟑𝒊. 
 
Comentário: 
Fatorando o polinômio proposto, temos 
(𝑥2 − 9)(𝑥2 + 4) = 0 
Assim, além das raízes 3 𝑒 − 3 que zeram o fator (𝑥2 − 9), podemos zerar a expressão com 
𝑥2 + 4 = 0 → 𝑥 = ±2𝑖 
Gabarito: B 
 (EEAR-2007) O polinômio (𝒎 − 𝒏 − 𝟑)𝒙𝟐 + (𝒎+ 𝒏 − 𝟓)𝒙 = 𝟎 será identicamente nulo, se o valor de 
𝒎𝟐 − 𝒏² for 
a) −𝟏𝟐 
b) −𝟓 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟏𝟓 
 
Comentário: 
Para que o polinômio seja identicamente nulo, todos os seus coeficientes devem ser nulos. Assim, 
𝑚 − 𝑛 − 3 = 0 → 𝑚 − 𝑛 = 3 
𝑚 + 𝑛 − 5 = 0 → 𝑚 + 𝑛 = 5 
Desse modo, 
(𝑚 − 𝑛)(𝑚 + 𝑛) = 𝑚2 − 𝑛2 = 3.5 = 15 
Gabarito: D 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2007) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 𝟑 +
𝒊, 𝟕 𝒆 𝟐 − 𝟑𝒊. Essa equação tem, no mínimo, grau 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
Comentário: 
Como os coeficientes do polinômio são reais, vale o Teorema das Raízes Conjugadas: Se 𝑎 +
𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0) é raiz, logo 𝑎 − 𝑏𝑖 também é raiz. Assim, 
𝑠𝑒 3 + 𝑖, 3 − 𝑖 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 
𝑠𝑒 2 − 3𝑖. 2 + 3𝑖 é 𝑟𝑎𝑖𝑧 
Dessa forma, teremos, no mínimo, 5 raízes. Logo, o grau mínimo é 5. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2008) Seja um polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅. Se os coeficientes de 𝑷(𝒙) são 
diferentes de zero, então, para todo 𝒙 ∈ ℝ, “𝑷(𝒙) + 𝑷(−𝒙)" tem grau 
a) 𝟒 
b) 𝟑 
c) 𝟐 
d) 𝟏 
 
Comentário: 
Vamos calcular cada parcela da soma: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒 𝑃(−𝑥) = −𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥 + 𝑑 
Assim, somando ambos temos 
𝑃(𝑥) + 𝑃(−𝑥) = 2𝑏𝑥2 + 2𝑑 
Trata-se, portanto, de um polinômio do segundo grau (𝑏 ≠ 0). 
Gabarito: C 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2008) Se (𝒙 + 𝒃)𝟐 − (𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒂) ≡ 𝟐𝒙 + 𝟏𝟕, sendo 𝒂 𝒆 𝒃 números reais positivos, então o 
valor de 𝒂 + 𝒃 é 
a) 𝟐 
b) 𝟑 
c) 𝟓 
d) 𝟔 
 
Comentário: 
Na congruência de polinômios, todos os termos de mesmo grau devem ser idênticos entre os 
polinômios. Logo, podemos estabelecer as igualdades 
0𝑥2 + (2𝑏)𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2 ≡ 2𝑥 + 17 
Assim, 
2𝑏 = 2 → 𝑏 = 1 
𝑎2 + 𝑏2 = 17 → 𝑎 = 4 
Finalmente, 𝑎 + 𝑏 = 5 
Gabarito: C 
 (EEAR-2009) O resto da divisão de 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 por 𝒙 + 𝟐𝒌 é 
a) 𝒌 − 𝟏 
b) −𝟐𝒌 − 𝟏 
c) 𝒌𝟑 − 𝒌 − 𝟏 
d) 𝟒𝒌𝟑 − 𝟐𝒌 − 𝟏 
 
Comentário: 
Com base no Teorema do Resto, temos que o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑎 é igual a 𝑃(𝑎). 
Assim, se 
𝑃(𝑥) = 𝑘𝑥2 + 𝑥 + 1 
Então, para 𝑎 = −2𝑘 
𝑃(−2𝑘) = 4𝑘3 − 2𝑘 − 1 
Gabarito: D 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2009) Se 𝟑, 𝟓 𝒆 − 𝟐 são as raízes da equação 𝟒(𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎, o valor de 𝒂 + 𝒃 é 
a) 𝟎 
b) 𝟏 
c) 𝟐 
d) 𝟑 
 
 
Comentário: 
Pelo Teorema da Decomposição de Polinômios, podemos decompor um polinômio do terceiro 
grau em função do coeficiente líder e suas raízes da seguinte forma 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) = 0 
Assim, em comparação ao polinômio dado, 
𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = −2 
Pois representam as raízes. 
Logo, 𝑎 + 𝑏 = 1. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2009) Ao dividir 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓 por 𝒙 − 𝟑, obtém-se um quociente cuja soma dos 
coeficientes é 
a) 𝟒 
b) 𝟔 
c) 𝟖 
d) 𝟏𝟎 
 
Comentário: 
Podemos utilizar o método de Decartes para efetuar a divisão com base na congruência polinomial 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 
Ou seja, 
𝑥5 − 3𝑥4 + 2𝑥2 + 𝑥 + 5 ≡ 𝑄(𝑥)(𝑥 − 3) + 𝑟(𝑥) 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
Como 𝑟(𝑥) deve ter um grau abaixo de 𝑥 − 3, trata-se de um polinômio de grau zero. Já o 𝑄(𝑥) 
possui grua 4 para satisfazer o grau cinco de 𝑃(𝑥).Logo, 
𝑥5 − 3𝑥4 + 2𝑥2 + 𝑥 + 5 ≡ (𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒)(𝑥 − 3) + 𝑓 
Da identidade polinomial, 
𝑎 = 1 
−3𝑎 + 𝑏 = −3 → 𝑏 = 0 
−3𝑏 + 𝑐 = 0 → 𝑐 = 0 
−3𝑐 + 𝑑 = 2 → 𝑑 = 2 
−3𝑑 + 𝑒 = 1 → 𝑒 = 7 
Assim, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 10 
Gabarito: D 
 (EEAR-2009) Sabe-se que a equação 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟗 = 𝟎 equivale a (𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝒙𝟐 − 𝟗) =
𝟎. Assim, a raiz de multiplicidade 𝟐 dessa equação é 
a) −𝟑 
b) −𝟏 
c) 𝟏 
d) 𝟑 
 
Comentário: 
Raiz de multiplicidade 2 pode ser identificada como aquela que aparece duas vezes na 
decomposição do polinômio em suas raízes. Sabendo disso, 
𝑥4 − 2𝑥3 − 8𝑥2 + 18𝑥 − 9 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0 
Logo, verifica-se que o fator (𝑥 − 1) aparece repetidamente 2 vezes. 
Tal fato garante que a raiz de multiplicidade 2 é o 1. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2010) Seja 𝑨 = {−𝟐,−𝟏, 𝟏, 𝟐} o conjunto formado pelas raízes de um polinômio 𝑷(𝒙) do 𝟒° 
grau. Se o coeficiente do termo de maior grau de 𝑷(𝒙) é 1, então o termo independente é 
a) 𝟑 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) 𝟒 
c) 𝟓 
d) 𝟔 
 
Comentário: 
Com base no Teorema da Decomposição Polinomial, podemos expressar um polinômio em função 
apenas do coeficiente líder (de maior grau) e das raízes desse polinômio. Assim, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) 
Substituindo, teremos 
𝑃(𝑥) = 1(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 
Ou podemos fatorar como 
𝑃(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 
Gabarito: B 
 (EEAR-2010) Se a maior das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é igual à soma das outras 
duas, então seu valor é divisor de 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟏𝟔 
c) 𝟏𝟖 
d) 𝟐𝟎 
 
Comentário: 
Considere 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes da equação fornecida com 𝑐 > 𝑏 > 𝑎 𝑒 𝑐 = 𝑎 + 𝑏. 
Pela Relação de Girar da soma. Temos que 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6 
2𝑐 = 6 
𝑐 = 3 
Sabemos que 3 é divisor de 18, afinal 18 dividido por 3 resulta em 6 (inteiro). 
Gabarito: C 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2011) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 
−𝟐, 𝟎, 𝟐 𝒆 𝟏 + 𝒊. O menor grau que essa equação pode ter é 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
Comentário: 
Com base no Teorema das Raízes Conjugadas, se um polinômio possui coeficientes reais vale a 
seguinte propriedade: 
Se 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0) é raiz, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também é raiz 
Assim, teremos as seguintes raízes para o polinômio proposto 
−2, 0, 2, 1 + 𝑖 𝑒 1 − 𝑖 
Dessa forma, o menor grau é 5. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2011) Se o polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝒃𝒙 − 𝟑 é divisível por (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏), então o valor 
de 𝒂 + 𝒃 é 
a) 𝟏𝟎 
b) 𝟖 
c) 𝟕 
d) 𝟓 
 
Comentário: 
Pelo Teorema do Resto, como o polinômio é simultaneamente divisível por (𝑥 − 3) 𝑒 (𝑥 + 1) vale 
afirmar que 3 𝑒 − 1 são raízes desse polinômio. Assim, 
𝑃(3) = 27𝑎 − 27 − 3𝑏 − 3 = 0 
𝑃(−1) = −𝑎 − 3 + 𝑏 − 3 = 0 
Assim, teremos o sistema 
27𝑎 − 3𝑏 = 30 → 9𝑎 − 𝑏 = 10 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
𝑏 − 𝑎 = 6 
Resolvendo, 
𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 8 
Ou seja, 
𝑎 + 𝑏 = 10. 
Gabarito: A 
 (EEAR-2011) Seja 𝒓 a maior raiz da equação 𝒙(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟑 = 𝟎. Se 𝒎 é a multiplicidade de 𝒓, então 
𝒓.𝒎 é igual a 
a) 𝟔 
b) 𝟓 
c) 𝟒 
d) 𝟑 
 
Comentário: 
Verificando a decomposição do polinômio dado, verificamos que suas raízes são −2, 0 𝑒 1. 
Sendo assim, como 𝑟 é a maior raiz, 
𝑟 = 1. 
A raiz 1 tem multiplicidade 3, afinal o termo (𝑥 − 1) aparece elevado a 3 na expressão 
decomposta do polinômio. Assim, 
𝑚 = 3 
Logo, temos 
𝑟.𝑚 = 1.3 = 3 
Gabarito: D 
 (EEAR-2012) Seja a equação polinomial 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Se 𝑺 e 𝑷 são, respectivamente, a 
soma e o produto de suas raízes, então 
a) 𝑺 = 𝑷 
b) 𝑺 = 𝟐𝑷 
c) 𝑺 = 𝟐 𝒆 𝑷 = −𝟒 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
d) 𝑺 = −𝟐 𝒆 𝑷 = 𝟒 
 
Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes do polinômio do terceiro grau apresentado. 
Pelas Relações de Girard para soma de produto, temos 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −
4
2
= −2 𝑒 𝑎. 𝑏. 𝑐 = −
4
2
= −2 
Dessa forma, 
𝑆 = 𝑃 = −2 
Gabarito: A 
 (EEAR-2013) O resto da divisão de O resto da divisão de 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏 por 𝒙𝟐 − 𝟑 é igual a 
a) 𝟏𝟑𝒙 + 𝟓 
b) 𝟏𝟏𝒙 − 𝟑 
c) 𝟐𝒙 + 𝟓 
d) 𝟔𝒙 − 𝟑 
 
Comentário: 
Podemos utilizar do Método de Decartes para a divisão da seguinte maneira 
𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 
4𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 1 ≡ 𝑄(𝑥). (𝑥2 − 3) + 𝑟(𝑥) 
Como o grau máximo do resto 𝑟(𝑥) é um a menos que o grau do dividendo 𝑞(𝑥), o resto tem grau 
1. Faremos 𝑥 receber √3 
4. (√3)
3
+ 2(√3)
2
+ √3 − 1 ≡ 𝑎√3 + 𝑏 
Igualando parte racional com parte irracional, resulta 
𝑎 = 13 𝑒 𝑏 = 5 
Ou seja, 
𝑟(𝑥) = 13𝑥 + 5. 
Gabarito: A 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 (EEAR-2014) A equação (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 tem ____ raízes reais. 
a) 𝟑 
b) 𝟐 
c) 𝟏 
d) 𝟎 
 
Comentário: 
Para verificarmos quais e quantas são as raízes dessa equação, vamos zerar cara fator 
𝑥2 + 3 = 0 → 𝑥2 = −3 → 𝑥 = ±√3𝑖 
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2 
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1 
Assim, verifica-se que 𝑥 = 2 𝑒 𝑥 = −1 são as raízes reais da equação. Logo, há duas raízes reais. 
Gabarito: B 
 (EEAR-2015) Seja a equação 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎. Usando as relações de Girard, pode-se encontrar 
como das raízes o valor 
a) 𝟏𝟐 
b) 𝟕 
c) 𝟓 
d) 𝟐 
 
Comentário: 
Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes do polinômio proposto. 
Utilizando-se da Relação de Girard para a soma, tem-se 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
5
1
= 5 
Gabarito: C 
 (EEAR-2016) Dada a equação 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 e sabendo que 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 
São raízes dessa equação, o valor do produto 𝒂. 𝒃. 𝒄 é 
a) 𝟏 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
b) −𝟏 
c) 
𝟏
𝟑
 
d) −
𝟏
𝟑
 
 
Comentário: 
Com base na Relação de Girard do produto das raízes, teremos 
𝑎. 𝑏. 𝑐 = (−1)3.
3
3
= −1 
Gabarito: B 
 (EEAR-2016) Dado o polinômio 𝒂𝒙𝟑 + (𝟐𝒂 + 𝒃)𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 − 𝟒 = 𝟎, os valores de 𝒂 𝒆 𝒃 para que 
ele seja um polinômio de 𝟐° grau são 
a) 𝒂 = 𝟎 𝒆 𝒃 = 𝟎 
b) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
c) 𝒂 = 𝟎 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
d) 𝒂 = −𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Comentário: 
Para que o polinômio seja de segundo grau, temos que o coeficiente do termo de terceiro grau 
deve ser nulo e aquele que acompanha o termo de segundo grau deve ser não-nulo. Assim, 
𝑎 = 0 𝑒 2𝑎 + 𝑏 ≠ 0 
Logo, 
𝑎 = 0 𝑒 𝑏 ≠ 0. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2017) Sejam as funções polinomiais definidas por 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒆 𝒈(𝒙) = 𝒇−𝟏(𝒙). O valor de 
𝒈(𝟑) é 
a) 𝟑 
b) 𝟐 
c) 𝟏 
d) 𝟎 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
Comentário: 
Para calcularmos inicialmente a função inversa 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(𝑥) ,devemos fazer a troca de variável 
entre 𝑥 𝑒 𝑦 e, em seguida, isolar o 𝑦. Dessa forma, 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 = 𝑦 → 𝑥 = 2𝑦 + 1 → 𝑦 =
𝑥 − 1
2
= 𝑓−1(𝑥) 
Assim, 
𝑔(3) = 𝑓−1(3) =
3 − 1
2
= 1 
Gabarito: C 
 (EEAR-2017) Considere 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙, tal que 𝑷(𝟏) = −𝟐 e 𝑷(𝟐) = 𝟔. Assim, os valores de 
𝒃 𝒆 𝒄 são, respectivamente, 
a) 𝟏 𝒆 𝟐 
b) 𝟏 𝒆 − 𝟐 
c) −𝟏 𝒆 𝟑 
d) −𝟏 𝒆 − 𝟑 
 
Comentário: 
Do enunciado, temos 
𝑃(1) = 2 + 𝑏 + 𝑐 = −2 → 𝑏 + 𝑐 = −4 
𝑃(2) = 16 + 4𝑏 + 2𝑐 = 6 → 4𝑏 + 2𝑐 = −10 
Assim, resolvendo o sistema linear 
𝑏 = −1 𝑒 𝑐 = −3 
Gabarito: D 
 (EEAR-2018) Se os números 𝟐, 𝟓, 𝟏 + 𝒊 𝒆 𝟑 − 𝟓𝒊 são raízes de uma equação polinomial de grau 𝟔, a 
soma das outras duas raízes dessa equação é 
a) 𝟒 + 𝟒𝒊 
b) 𝟒 + 𝟑𝒊 
c) 𝟑 + 𝟒𝒊 
d) 𝟑 + 𝟑𝒊 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
 
Comentário: 
Supondo dado no enunciado que a equação polinomial é formada apenas por coeficientes reais, 
temos válido o Teoremadas Raízes Conjugadas. Ou seja, 
𝑠𝑒 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑏 ≠ 0)é 𝑟𝑎𝑖𝑧, 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 é 
Assim, teremos as raízes 
2, 5, 1 + 𝑖, 1 − 𝑖, 3 − 5𝑖, 3 + 5𝑖 
Dadas as seis raízes, a soma daquelas não listadas no enunciado é 
1 − 𝑖 + 3 + 5𝑖 = 4 + 4𝑖 
Gabarito: A 
 (EEAR-2018) Sejam os polinômios 𝑨(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟒,𝑩(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − 𝒃𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 e 𝑷(𝒙) =
𝑨(𝒙) − 𝑩(𝒙). Para que 𝑷(𝒙) seja de grau 𝟐, é necessário que 
a) 𝒂 ≠ −𝟏 𝒆 𝒃 = −𝟐 
b) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 = −𝟐 
c) 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ −𝟐 
d) 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 ≠ 𝟐 
 
Comentário: 
Calculando a expressão do polinômio 𝑃(𝑥), 
𝑃(𝑥) = (1 − 𝑎)𝑥3 + (2 + 𝑏)𝑥2 + 3𝑥 − 5 
Para que esse polinômio seja do segundo grau, temos que, necessariamente, 
(1 − 𝑎) = 0 𝑒 (2 + 𝑏) ≠ 0 
Dessa forma, 
𝑎 = 1 𝑒 𝑏 ≠ −2. 
Gabarito: C 
 (EEAR-2019) Seja a equação polinomial 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎. Se ? , 𝟐 𝒆 𝟑 são suas raízes, sendo 
que a raiz 𝟑 tem multiplicidade 𝟐, o valor de 𝒃 é 
a) 𝟖 
b) 𝟔 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
c) −𝟑 
d) −𝟒 
 
Comentário: 
Do enunciado, concluímos que as raízes são ±2, 3 𝑒 3 (3 é raiz dupla). 
Vamos definir qual o sinal da raiz 2. Pela Relação de Girard, 
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 = (±2). 3.3 = −18 
Concluímos que −2 é raiz do polinômio. 
Assim, com base nas Relações de Girard, temos 
−2 + 3 + 3 = −
𝑏
1
 
Assim, chegamos que 
𝑏 = −4 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 02 – POLINÔMIOS 
6.0 – Referências Bibliográficas 
[1] Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios e equações. 7. ed. 
Atual, 2013. 472p. 
[2] Gionvanni.; Bonjorno, Jr. Giovanni. Matemática Fundamental. FTD, 1994. 560p. 
[3] Guimarães, Caio dos Santos; Matemática em Nível IME/ITA: complexos e polinômios. 1. Ed. Vestseller, 
2008, 330p. 
 
7.0 – Considerações Finais 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
 
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 Ismael Santos @IsmaelSantos @professor_ismaelsantos 
 
Vamos que vamos! Fé na missão!