aulas dos dias BCL

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b) 25i 
 c) \( 25 - 24i \) 
 d) \( 25 + 0i \) 
 **Resposta:** c) \( 25 - 24i \) 
 **Explicação:** \( z^2 = (3 + 4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i \), então \( \overline{z^2} = -7 - 
24i \). 
 
31. Determine \( z^2 \) para \( z = e^{i\frac{\pi}{2}} \). 
 a) \( e^{i\pi} \) 
 b) \( e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
 c) 1 
 d) \( e^{-i\frac{\pi}{2}} \) 
 **Resposta:** a) \( e^{i\pi} \) 
 **Explicação:** Usando a propriedade de potências: \( z^2 = 
\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^2 = e^{i\pi} \). 
 
32. Para \( z = 4 + 4i \), determine a forma polar. 
 a) \( 4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
 b) \( 4(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
 c) \( 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) \) 
 d) \( \sqrt{32}(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) \) 
 **Resposta:** a) \( 4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \) 
 **Explicação:** O módulo é \( r = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \), o ângulo é \( 
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \), então a forma polar é \( 
4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) \). 
 
33. Se \( a + bi = 1 + i \), qual é o valor de \( a \) e \( b \)? 
 a) \( a = 1, b = 0 \) 
 b) \( a = 0, b = 1 \) 
 c) \( a = 1, b = 1 \) 
 d) \( a = -1, b = -1 \) 
 **Resposta:** c) \( a = 1, b = 1 \) 
 **Explicação:** A equação \( a + bi = 1 + i \) nos dá diretamente \( a = 1 \) e \( b = 1 \). 
 
34. Se \( z = 1 + i \), qual é \( |z|^2 \)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** \( |z|^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \). 
 
35. O que você obtem quando você calcula \( z^2 - 1 = 0 \)? 
 a) \( z = i \) 
 b) \( z = 1 \) 
 c) \( z = 1, -1 \) 
 d) \( z = 0 \) 
 **Resposta:** c) \( z = 1, -1 \) 
 **Explicação:** A equação se fatoriza como \( (z - 1)(z + 1) = 0 \), resultando em \( z = 1 \) 
e \( z = -1 \). 
 
36. O que é \( i^3 \)? 
 a) i 
 b) -i 
 c) -1 
 d) 1 
 **Resposta:** b) -i 
 **Explicação:** \( i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \). 
 
37. Se \( z = 1 + \sqrt{3}i \), determine \( \overline{z} \). 
 a) \( 1 - \sqrt{3}i \) 
 b) \( -1 + \sqrt{3}i \) 
 c) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 d) \( -1 - \sqrt{3}i \) 
 **Resposta:** a) \( 1 - \sqrt{3}i \) 
 **Explicação:** O conjugado de \( z = a + bi \) é \( \overline{z} = a - bi \). 
 
38. O que você obtem se calcular \( z = 4 + 3i \) multiplicado por seu conjugado? 
 a) 25 
 b) 13 
 c) 7 
 d) 17 
 **Resposta:** a) 25 
 **Explicação:** \( z \cdot \overline{z} = (4 + 3i)(4 - 3i) = 16 + 9 = 25 \). 
 
39. Se \( z = e^{i\frac{5\pi}{4}} \), onde está localizado no plano complexo? 
 a) Primeiro quadrante 
 b) Segundo quadrante 
 c) Terceiro quadrante 
 d) Quarto quadrante 
 **Resposta:** c) Terceiro quadrante 
 **Explicação:** O ângulo \( \frac{5\pi}{4} \) corresponde a um ponto no terceiro 
quadrante. 
 
40. A forma cartesiana de \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) \) é: 
 a) \( 1 + \sqrt{3}i \) 
 b) \( \sqrt{3} + 1i \) 
 c) \( 1 + i \) 
 d) \( 2 + 0 \) 
 **Resposta:** a) \( \sqrt{3} + i \) 
 **Explicação:** Substituindo as funções trigonométricas, \( z = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 
\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i = 1 + \sqrt{3}i \). 
 
41. Se \( z = 2 + i \) e você adicionar \( \overline{z} \), qual é o resultado? 
 a) 2