2G44E ensaio 52G44E

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10. O que determina se um número complexo \( z = a + bi \) está no primeiro, segundo, 
terceiro ou quarto quadrante? 
 a) Sinal de \( a \) e \( b \) 
 b) O módulo de \( z \) 
 c) O argumento de \( z \) 
 d) A soma \( a + b \) 
 **Resposta:** a) Sinal de \( a \) e \( b \). Explicação: O quadrante é determinado pelos 
sinais de \( a \) (parte real) e \( b \) (parte imaginária). No primeiro quadrante, ambos são 
positivos; no segundo, \( a \) é negativo e \( b \) é positivo; no terceiro, ambos são 
negativos; e no quarto quadrante, \( a \) é positivo e \( b \) é negativo. 
 
11. Qual é o módulo da soma \( z_1 + z_2 \) onde \( z_1 = 3 + 4i \) e \( z_2 = -3 - 4i \)? 
 a) 5 
 b) 10 
 c) 0 
 d) 7 
 **Resposta:** c) 0. Explicação: \( z_1 + z_2 = (3 - 3) + (4 - 4)i = 0 + 0i = 0 \). Portanto, o 
módulo é \( |0| = 0 \). 
 
12. Para qual valor de \( \theta \) temos \( z = e^{i\theta} \) se \( z = -1 \)? 
 a) \( \pi \) 
 b) \( \frac{3\pi}{2} \) 
 c) \( 0 \) 
 d) \( \frac{5\pi}{4} \) 
 **Resposta:** a) \( \pi \). Explicação: \( e^{i\pi} = -1 \), conforme a fórmula de Euler. 
 
13. Se \( z = re^{i\theta} \), qual é o valor de \( r \) se \( z = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \)? 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \sqrt{2} \) 
 c) \( 1.5 \) 
 d) \( 1.2 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \). Explicação: O módulo é dado por \( r = \sqrt{\left(-
\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 
1 \). 
 
14. Qual é o valor de \( z^2 \) para \( z = 1 + i \)? 
 a) 0 
 b) 2i 
 c) 2 
 d) -2 
 **Resposta:** c) 2. Explicação: Calculando \( z^2 = (1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i - 1 
= 2i \). 
 
15. Se \( z = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \), qual é a forma polar de \( z \)? 
 a) \( |z|(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \) 
 b) \( e^{i\theta} \) 
 c) \( r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \) 
 d) \( \sqrt{2}e^{i\theta} \) 
 **Resposta:** b) \( e^{i\theta} \). Explicação: A expressão \( \cos(\theta) + i\sin(\theta) \) 
é exatamente a representação polar dada pela fórmula de Euler \( e^{i\theta} \). 
 
(Continuando com mais questões...) 
 
16. Se \( z = 4 + 4i \), qual é a simplificação de \( \frac{1}{z} \)? 
 a) \( 0.5 - 0.5i \) 
 b) \( 1 - i \) 
 c) \( \frac{2}{4} - \frac{2}{4}i \) 
 d) \( 1 + i \) 
 **Resposta:** a) \( 0.5 - 0.5i \). Explicação: \( \frac{1}{4 + 4i} \cdot \frac{4 - 4i}{4 - 4i} = 
\frac{4 - 4i}{16 + 16} = \frac{4 - 4i}{32} = 0.5 - 0.5i \). 
 
17. O que representa o ângulo \( \frac{3\pi}{2} \) no círculo unitário? 
 a) Um ponto no terceiro quadrante 
 b) Um ponto diretamente abaixo da origem 
 c) Um ponto no eixo positivo x 
 d) Um ponto no eixo negativo y 
 **Resposta:** b) Um ponto diretamente abaixo da origem. Explicação: O ângulo \( 
\frac{3\pi}{2} \) está localizado no eixo negativo y, a uma distância de 1 unidade da origem. 
 
18. Qual é o valor de \( \sin(2\theta) \) em termos de \( \sin(\theta) \) e \( \cos(\theta) \)? 
 a) \( 2\sin(\theta)\cos(\theta) \) 
 b) \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) \) 
 c) \( \sin^2(\theta) - \cos^2(\theta) \) 
 d) \( \sin^2(\theta)\cos(\theta) \) 
 **Resposta:** a) \( 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). Explicação: Este é o resultado da fórmula 
da soma do ângulo para seno. 
 
19. Para o número complexo \( z = 3 + 4i \), o que é \( z^3 \)? 
 a) \( -117 + 44i \) 
 b) \( 81 + 108i \) 
 c) \( -64 + 96i \) 
 d) \( 25 + 150i \) 
 **Resposta:** b) \( 81 + 108i \). Explicação: Para calcular \( z^3 = (3+4i)^3 = 27 + 3(27)(4i) 
+ 3(9)(16) - 64 = 81 + 108i \). 
 
20. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z - \bar{z} \)? 
 a) 0 
 b) \( 2i \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( -2 \) 
 **Resposta:** b) \( 2i \). Explicação: Temos \( z - \bar{z} = (1 + i) - (1 - i) = 1 + i - 1 + i = 2i \). 
 
21. Qual é o valor de \( \tan(\theta) \) se \( z = e^{i\theta} \) para \( z = 1 + i \)? 
 a) 1 
 b) \( \sqrt{3} \) 
 c) 0