8KM5 ensino 8KM5

Prévia do material em texto

d) \( \frac{\sqrt{5}}{4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula de soma de ângulos: 
 \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \). 
 Portanto, \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = 
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + 
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = 
\frac{\sqrt{6}}{4} \). 
 
16. Qual é o valor de \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \)? 
 a) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{\sqrt{6}}{4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a fórmula de soma de ângulos: 
 \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \). 
 Portanto, \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = 
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 
\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 
\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = 
\frac{\sqrt{6}}{4} \). 
 
17. Calcule \( \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \). 
 a) \( \sin(\theta) \) 
 b) \( \cos(\theta) \) 
 c) \( \tan(\theta) \) 
 d) \( \frac{1}{\tan(\theta)} \) 
 **Resposta: b) \( \cos(\theta) \)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot(\theta) 
= \frac{1}{\tan(\theta)} \). Portanto, a resposta correta é \( \cos(\theta) \). 
 
18. Qual é o valor de \( \sin\left(2\theta\right) \) se \( \cos\left(\theta\right) = \frac{3}{5} \)? 
 a) \( \frac{4}{5} \) 
 b) \( \frac{24}{25} \) 
 c) \( \frac{12}{25} \) 
 d) \( \frac{16}{25} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{24}{25} \)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \). 
Primeiro, encontramos \( \sin(\theta) \) usando \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \): 
 \( \sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = 
\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \). 
 Portanto, \( \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} \). 
 
19. Se \( \theta = \frac{\pi}{6} \), qual é o valor de \( \sin(3\theta) \)? 
 a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \) 
 b) \( \frac{3}{2} \) 
 c) \( \frac{3\sqrt{3}}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin(3\theta) = 3\sin(\theta) - 4\sin^3(\theta) \). 
 Como \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), temos \( \sin(3\theta) = 
3\left(\frac{1}{2}\right) - 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{2} - 4 \cdot \frac{1}{8} = 
\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \). 
 
20. Qual é o valor de \( \cos(2\theta) \) se \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \)? 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( -\frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{3}{4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \). 
 Substituindo, temos \( \cos(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} 
= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). 
 
21. Calcule \( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \). 
 a) \( \frac{1}{2} \) 
 b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 
 c) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 
 d) \( \frac{3}{2} \) 
 **Resposta: b) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** O ângulo \( \frac{5\pi}{6} \) está no segundo quadrante, onde o seno é 
positivo. Usando a identidade, \( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - 
\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \). 
 
22. Qual é o valor de \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \)? 
 a) \( 0 \) 
 b) \( -1 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta: a) \( 0 \)** 
 **Explicação:** O ângulo \( \frac{3\pi}{2} \) está no eixo negativo do eixo y, onde o 
cosseno é zero. Portanto, \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \). 
 
23. Determine o valor de \( \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( -1 \) 
 c) \( \sqrt{3} \) 
 d) \( -\sqrt{3} \) 
 **Resposta: b) \( -1 \)** 
 **Explicação:** O ângulo \( \frac{3\pi}{4} \) está no segundo quadrante, onde a tangente 
é negativa. Usando a identidade, \( \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \). 
 
24. Qual é o valor de \( \sin\left(2\theta\right) \) se \( \cos\left(\theta\right) = \frac{4}{5} \)? 
 a) \( \frac{3}{5} \) 
 b) \( \frac{24}{25} \) 
 c) \( \frac{16}{25} \) 
 d) \( \frac{12}{25} \)