RESOLUÇÕES DA AVALIAÇÃO 2 DE GEOMETRIA PLANA - 2023 2

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Outubro 
Licenciatura Plena em Matemática Graduação 
Módulo II 
EXERCÍCIO 
 
01. O octógono ABCDEFGH da figura ao lado é regular e de lado 
“ℓ”. Sabendo que o segmento 𝐵𝐼̅̅ ̅ tem medida igual a “ℓ”, qual a 
medida do ângulo 𝐵�̂�𝐼? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Considere a seguinte informação: “O número de lados de um polígono convexo P1 é dado por (n – 1) e o 
do outro polígono convexo P2 é dado por (n + 1). Sabendo-se que a soma das diagonais de P1 e P2 é 55, então 
determine a diferença entre o número de diagonais de P1 e P2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Para ter seus dois extremos apoiados sobre duas colunas, uma viga necessitará, segundo cálculos do 
engenheiro responsável, de mais sete colunas intermediárias. A coluna mais à esquerda mede 2 m e a que 
sustenta a outra extremidade 4 m, conforme figura ao lado. Sabendo que os intervalos entre as nove colunas 
serão exatamente iguais, então quanto deverá medir a menor coluna intermediária? 
 
 
 
 
 
 z y x 
 
 
 
∆𝐶𝐵𝐼 é 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 
�̂� = 𝑎𝑒 =
360°
𝑛
=
360°
8
= 45° 
�̂� = 𝑎𝑖 =
180°.(𝑛−2)
𝑛
=
180.(8−2)
8
= 135° 
𝐶�̂�𝐼 = 𝑘 
No ∆𝐶𝐵𝐼, temos: 
𝑥 + 𝑥 = 𝑘 = 180° ⇒ 45 + 45 + 𝑘 = 180 ⇒ 𝑘 = 90° 
No ∆𝐴𝐵𝐼, temos: 
𝑦 + 𝑘 + 𝑧 = 360° ⇒ 135 + 90 + 𝑧 = 360 ⇒ 𝑧 = 135° 
No ∆𝐴𝐵𝐼, temos: 
𝑧 + 𝜃 + 𝜃 = 180° ⇒ 135 + 𝜃 + 𝜃 = 180 ⇒ 𝜽 = 𝑩�̂�𝑰 = 𝟐𝟐°𝟑𝟎′ 
 
 
 
Cálculo de x (base média): 𝑥 =
2 + 4
2
= 3 𝑚 
Cálculo de y (base média): 𝑦 =
2 + 3
2
= 2,5 𝑚 
Cálculo de z (base média): 𝑧 =
2 + 2,5
2
= 𝟐, 𝟐𝟓 𝒎 
 
 ///// 
2ª AVALIAÇÃO 
Para o polígono P1, temos: 𝑑1 =
𝑛.(𝑛−3)
2
=
(𝑛 − 1).(𝑛 − 1 − 3)
2
=
𝑛2 − 5𝑛 + 4
2
 
Para o polígono P2, temos: 𝑑2 =
𝑛.(𝑛−3)
2
=
(𝑛 + 1).(𝑛 + 1 − 3)
2
=
𝑛2 − 𝑛− 2
2
 
De acordo com o enunciado da questão, temos que: 
𝑑1 + 𝑑2 = 55 ⇒
𝑛2 − 5𝑛 + 4
2
 + 
𝑛2 – 𝑛− 2
2
= 55 ⇒ 2𝑛2 − 6𝑛 + 2 = 110 ⇒ 𝑛2 − 3𝑛 − 54 = 0 ⇒ 
𝑛1 = 9 𝑒 𝑛2 = −6 
Considerando n = 9, então o polígono P1 é um octógono que possui 
8.(8 − 3)
2
= 20 diagonais e o polígono 
P2 é um decágono que possui 
10.(10 − 3)
2
= 35 diagonais. E a diferença entre o número de diagonais de P1 
e P2 é 35 – 20 = 15 diagonais. 
 
RESOLUÇÕES DA AVALIAÇÃO 2 DE GEOMETRIA PLANA 2023.2 
De acordo com a figura ao lado, temos o seguinte 
sistema: 
{
𝑎 + 2𝑏 = 90° (â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜 �̂�)
𝑎 − 𝑏 + 90° + 40 = 180° (∆𝐴𝑆𝑃)
 ⇒ {
𝑎 + 2𝑏 = 90°
𝑎 − 𝑏 = 50°
 
 Resolvendo o sistema acima, temos que a = 63°20’ e 
b = 26°40’, que são os ângulos agudos do ∆𝐴𝐵𝐶. 
De acordo com a figura abaixo e com as medidas indicadas, temos o 
seguinte: 
90 − 𝛽 + 90 − 𝛽 + 𝑥 + 𝑥 + 𝛽 + 𝛼 = 180 
 𝑥 + 𝑥 = 180 − 90 + 𝛽 − 90 + 𝛽 − 𝛽 − 𝛼 
 2𝑥 = 𝛽 − 𝛼 
 𝒙 =
𝜷−𝜶
𝟐
 
 
04. Em um triângulo retângulo ABC, a mediana relativa a hipotenusa forma com a bissetriz de um dos 
ângulos agudos um ângulo de 140°. Determine os ângulos agudos do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. No triângulo ABC da figura ao lado, a altura é 𝐴𝐻̅̅ ̅̅ e 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz. 
Determine a medida x em função de α e β. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. Calcule o valor da soma dos ângulos assinalados na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a figura e os ângulos assinalados, 
temos o seguinte: 
180 − �̂� − �̂� + 360 − �̂� − �̂� − �̂� + 540 − 𝑓 − �̂� − ℎ̂ − �̂� = 180 
 −�̂� − �̂� − �̂� − �̂� − �̂� − 𝑓 − �̂� − ℎ̂ − �̂� = 180 − 180 − 360 − 540 
 −�̂� − �̂� − �̂� − �̂� − �̂� − 𝑓 − �̂� − ℎ̂ − �̂� = −900 
 �̂� + �̂� + �̂� + �̂� + �̂� + �̂� + �̂� + �̂� + �̂� = 𝟗𝟎𝟎° 
 
 
 
 
07. Considere as 3 situações abaixo: 
 
I. O ponto de encontro de três segmentos internos de um triângulo que partem do ponto médio de cada 
lado do mesmo tem igual distância a todos os seus vértices. Esse ponto em geometria, chama-se________. 
 
 
II. Um triângulo construído de madeira de igual espessura em todas as dimensões está apoiado em um piso 
horizontal. Existe um ponto em que se levantarmos o mesmo continua paralelo ao piso. Esse ponto em 
geometria chama-se_______________. 
 
III. Na figura ao lado, os pontos A, B e C representam as posições de três casas 
construídas numa área plana de um condomínio. Um posto policial estará localizado num 
ponto P situado à mesma distância das três casas. Em geometria, o ponto P é conhecido 
com o nome de _____________. 
 
A alternativa que apresenta corretamente o nome dos 3 pontos referidos acima, é: 
 
a) I. Baricentro; II. Incentro; III. Baricentro. b) II. Ortocentro; III. Ex-incentro; I. Baricentro. 
c) I. Ex-incentro; II. Incentro; III. Circuncentro. d) III. Circuncentro; I. Circuncentro; II. Baricentro. 
e) II. Baricentro; III. Ponto médio; I. Baricentro. 
 
08. No paralelogramo ABCD abaixo, P é um ponto pertencente ao 
prolongamento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ . Se 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ é mediatriz do lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝑃𝑁̅̅ ̅̅ é mediatriz do lado 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵�̂�𝐷 = 55°, determine a medida do ângulo 𝑀�̂�𝑁. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ADQ é um triângulo equilátero. Os 
pontos D, S, R e B estão alinhados, assim como os pontos A, S, P e C. Temos ainda 
que 𝑅𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝑄𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝑃𝐶̅̅̅̅ ≡ 𝑄𝐶̅̅ ̅̅ . Determine os ângulos do quadrilátero RSPQ. 
 
Os ângulos do quadrilátero RSPQ medem 105°, 105°, 90°, 60°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ é mediatriz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , então 𝑚(𝐴�̂�𝑃) = 𝑚(𝐵�̂�𝑃) = 90°. Da mesma 
forma, 𝑃𝑁̅̅ ̅̅ é mediatriz de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , então 𝑚(𝑃𝑁𝐵) = 𝑚(𝑃𝑁𝐶) = 90°. 
Como ABCD é paralelogramo e a 𝑚(𝐵�̂�𝐷) = 55°, então 𝑚(𝐵�̂�𝐷) = 55° e 
𝑚(𝐴�̂�𝐶) = 𝑚(𝐴�̂�𝐶) = 125°. Considerando agora, o quadrilátero BMPN, 
temos que: 𝑀�̂�𝑁 + 90 + 90 + 125 = 360 ⇒ 𝒎(𝑴�̂�𝑵) = 𝟓𝟓° 
 
 
 
10. A Capadócia é o melhor lugar na Terra para passeios 
de balão de ar quente. É difícil ter uma experiência 
completa da Capadócia sem esse passeio. Andar de 
balão é uma das melhores maneiras de descobrir e 
explorar a área. Em janeiro de 2017, um grupo de 
turistas brasileiros de Santa Maria – RS, apaixonados 
pelo balonismo, sobrevoou a região da Capadócia em 
três balões distintos (A, B e C), conforme a figura a 
seguir: 
 
Sabe-se que: 
I. A distância entre os balões A e B é igual a 160 metros; 
II. A distância entre os balões A e C é igual a 120 metros; 
III. As medianas que partem de B e C são perpendiculares; 
 
Determine a menor distância do comprimento do cabo de aço estendido do balão B até o balão C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a figura ao lado, segue-se que: 
Pela propriedade do baricentro (ponto G), temos: 
𝑎 = 2𝑑 e 𝑐 = 2𝑏 
No ∆𝐵𝑀𝐺 (retângulo em G), temos: 
𝑎2 + 𝑏2 = 802 e substituindo a, temos: 4𝑑2 + 𝑏2 = 802 (𝐼) 
No ∆𝑁𝐺𝐶 (retângulo em G), temos: 
𝑐2 + 𝑑2 = 602 e substituindo c, temos: 4𝑏2 + 𝑑2 = 602 (𝐼𝐼) 
Somando-se membro a membro (𝐼) e (𝐼𝐼), temos: 
5𝑏2 + 5𝑑2 = 802 + 602 ⇒ 𝑏2 + 𝑑2 = 2000 (𝐼𝐼𝐼) 
No ∆𝐵𝐺𝐶 (retângulo em G), temos: 
𝑥2 = 𝑎2 + 𝑐2 e substituindo a e c, temos: 
𝑥2 = 4𝑑2 + 4𝑏2 = 4. (𝑏2 + 𝑑2) = 4 . 2000 = 8000 
 𝑥 = √8000 ⇒ 𝒙 = 𝟒𝟎√𝟓 𝒎 , menor distância do 
comprimento do cabo de aço estendido do balão B até o 
balão c.