VCO somando a vida

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4. Calcule \( z^2 \) para \( z = 1 + i \). 
A) \( 1 + 2i - 1 \) 
B) \( 1 + 2i + 1 \) 
C) \( 2i \) 
D) \( 2 + 2i \) 
Solução: \( z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + (i^2) = 1 + 2i - 1 = 2i \). 
 
5. Qual é a solução da equação \( z^2 + 1 = 0 \)? 
A) \( i \) e \( -i \) 
B) \( 1 \) e \( -1 \) 
C) \( 2i \) e \( -2i \) 
D) \( 1 + i \) e \( 1 - i \) 
Solução: \( z^2 = -1 \) implica que \( z = i \) e \( z = -i \). 
 
6. O que é o conjugado de \( z = 5 - 2i \)? 
A) \( -5 + 2i \) 
B) \( 5 + 2i \) 
C) \( 2 - 5i \) 
D) \( -2 + 5i \) 
Solução: O conjugado de um número complexo \( z = a + bi \) é \( \overline{z} = a - bi \). 
Aqui, \( \overline{z} = 5 + 2i \). 
 
7. Se \( z_1 = 2 + 3i \) e \( z_2 = 1 - i \), qual é \( z_1 + z_2 \)? 
A) \( 3 + 2i \) 
B) \( 1 + 4i \) 
C) \( 2 - 3i \) 
D) \( 4 + 2i \) 
Solução: \( z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i \). 
 
8. Qual é o resultado de \( z_1 \cdot z_2 \) onde \( z_1 = 1 + 2i \) e \( z_2 = 3 - 4i \)? 
A) \( 11 - 10i \) 
B) \( -5 + 10i \) 
C) \( -5 - 10i \) 
D) \( 11 + 10i \) 
Solução: \( z_1 \cdot z_2 = (1)(3) + (1)(-4i) + (2i)(3) + (2i)(-4i) = 3 - 4i + 6i + 8 = 11 + 2i \). 
 
9. Encontre a solução de \( z^3 = 8 \). 
A) \( 2 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -2 \) 
D) \( 2, -1 + i, -1 - i \) 
Solução: A raiz cúbica de \( 8 \) é \( 2 \), mas as raízes complexas são \( 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - 
i\sqrt{3} \). 
 
10. Determine o valor de \( \frac{1}{3 + 4i} \). 
A) \( \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \) 
B) \( -\frac{3}{25} + \frac{4}{25}i \) 
C) \( \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \) 
D) \( 0 \) 
Solução: Multiplicando pelo conjugado, \( \frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 - 4i}{9 + 16} = \frac{3}{25} 
- \frac{4}{25}i \). 
 
11. Calcule \( z^4 \) para \( z = 1 + i \). 
A) \( 0 \) 
B) \( -4 + 4i \) 
C) \( 4 \sqrt{2} \) 
D) \( -4 \) 
Solução: Primeiro, encontramos \( z^2 = 2i \), então \( z^4 = (-1)^2 \times 2^2 = 4 \). 
 
12. Qual é a forma retangular de \( z = 5 \text{cis} \left( \frac{\pi}{3} \right) \)? 
A) \( 5 + 5\sqrt{3} i \) 
B) \( 5 + 3 i \) 
C) \( 3 + 5 i \) 
D) \( 5 + 5i \) 
Solução: Convertendo para forma retangular, \( z = 5(\cos(\frac{\pi}{3}) + i 
\sin(\frac{\pi}{3})) = 5(0.5 + i\sqrt{3}/2) = \frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}i \). 
 
13. Se \( z = a + bi \), qual é a expressão para \( z^2 \)? 
A) \( a^2 + 2ab i + b^2 \) 
B) \( (a^2 - b^2) + 2abi \) 
C) \( (a + b) + (a - b)i \) 
D) \( (a^2 + b^2) + 2abi \) 
Solução: \( z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi \). 
 
14. Calcule \( z = \frac{2 + 3i}{1 - i} \). 
A) \( 1 + \frac{5}{2}i \) 
B) \( 2 + i \) 
C) \( 1 + 3i \) 
D) \( 3 + 5i \) 
Solução: Multiplicamos pelo conjugado: \( \frac{(2+3i)(1+i)}{1^2 + 1^2} = \frac{(2 + 3i + 2i - 
3)}{2} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i \). 
 
15. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 4z + 4 = 0 \)? 
A) 4 
B) -4 
C) -2 
D) 2 
Solução: A soma das raízes de uma equação quadrática \( az^2 + bz + c = 0 \) é dada por \( 
-\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4 \). 
 
16. Determine o produto das raízes da equação \( z^2 + 2z + 1 = 0 \). 
A) 1 
B) 0 
C) -1