Encontre a solução de z^3 = 8. A) 2 B) 1 C) -2 D) 2, -1 + i, -1 - i A) 2 B) 1 C) -2 D) 2, -1 + i, -1 - i

Para resolver a equação \( z^3 = 8 \), podemos reescrever 8 como \( 2^3 \). Assim, temos: \[ z^3 = 2^3 \] Isso implica que uma solução é \( z = 2 \). No entanto, como estamos lidando com uma equação cúbica, devemos considerar todas as raízes. As raízes cúbicas de um número podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r \) é o módulo (neste caso, 8), \( \theta \) é o argumento (neste caso, 0), \( n \) é o grau da raiz (neste caso, 3), e \( k = 0, 1, 2 \). Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos(0) + i \sin(0) \right) = 2 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 + i\sqrt{3} \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right) = 2 \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1 - i\sqrt{3} \] Portanto, as soluções são \( z = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3} \). Analisando as alternativas: A) 2 - Correta, mas não é a única solução. B) 1 - Incorreta. C) -2 - Incorreta. D) 2, -1 + i, -1 - i - Incorreta, pois as raízes complexas têm \( \sqrt{3} \) e não são apenas \( -1 + i \) e \( -1 - i \). A alternativa correta que representa a solução é a) 2, mas as outras raízes complexas não estão corretamente representadas nas opções. Portanto, a resposta correta é A) 2.