finanças RU3

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**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \). 
Aqui, \( u = x^2 + x + 1 \) e \( u' = 2x + 1 \). Portanto, \( f'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \). 
 
50. **Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) -1 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + 
\frac{x^3}{3} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - 
(0) = 0 \). 
 
51. **Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em 1. 
 
52. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \)?** 
 A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 B) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 C) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 D) \( \frac{2}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \( 
\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \). Aqui, \( u = x^2 + 4 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = 
\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \). 
 
53. **Qual é o valor da integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 B) \( x^3 - x^2 + C \) 
 C) \( 3x^3 - 2x + C \) 
 D) \( 3x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -2x \, dx = -x^2 \), 
e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral resulta em \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
54. **Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} 
= k \). Aqui, \( k = 2 \), então \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2 \). 
 
55. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = x^3 \ln(x) \)?** 
 A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 B) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
 C) \( 3x^2 \ln(x) + 3x^2 \) 
 D) \( 3x^2 \ln(x) + 2x^2 \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto. Aqui, \( u = x^3 \) e \( v = \ln(x) \). A derivada 
é \( u'v + uv' \), onde \( u' = 3x^2 \) e \( v' = \frac{1}{x} \). Portanto, \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^3 
\cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
56. **Qual é o valor da integral \( \int (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx \)?** 
 A) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 B) \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 C) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 D) \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \), \( \int -5x^4 \, dx = -x^5 
\), \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -3x^2 \, dx = -x^3 \), \( \int 2x \, dx = x^2 \), e \( \int -1 \, dx = 
-x \). Portanto, a integral resulta em \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \). 
 
57. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 3 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k \). Aqui, \( k = 3 \), então \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
58. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = e^{x^3} \)?** 
 A) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 B) \( e^{x^3} \) 
 C) \( 3e^{x^3} \) 
 D) \( x^3 e^{x^3} \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^3 \) e \( u' = 3x^2 \). Portanto, \( f'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3} \). 
 
59. **Qual é o valor da integral \( \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C \) 
 B) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + C \) 
 C) \( 2x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C \) 
 D) \( 2x^3 + 3x + 1 + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3} x^3 \), \( \int 3x \, dx 
= \frac{3}{2} x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral resulta em \( \frac{2}{3} x^3 + 
\frac{3}{2} x^2 + x + C \). 
 
60. **Qual é o resultado do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \)?**