finanças T4C

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B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** O limite apresenta uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Podemos fatorar 
o numerador: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Assim, \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 
\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
20. **Qual é o resultado da derivada \( f'(x) \) da função \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)?** 
 A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 B) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 C) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 D) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sqrt{u} \) é \( 
\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \). Aqui, \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = 
\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 
21. **Qual é o resultado da integral \( \int (6x^5 - 5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx \)?** 
 A) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 B) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 C) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 D) \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^6 - \frac{5}{5} x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 6x^5 \, dx = x^6 \), \( \int -5x^4 \, dx = -
\frac{5}{5}x^5 \), \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -3x^2 \, dx = -x^3 \), \( \int 2x \, dx = x^2 \), e 
\( \int -1 \, dx = -x \). Portanto, a integral resulta em \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + C \). 
 
22. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \)?** 
 A) 0 
 B) \( -\frac{1}{2} \) 
 C) 1 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Este limite também apresenta uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). 
Usamos a série de Taylor para \( \cos(x) \): \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \). Assim, \( 
\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2} \). 
 
23. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 2) \)?** 
 A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 2} \) 
 B) \( \frac{1}{x^3 + 2} \) 
 C) \( \frac{3}{x^3 + 2} \) 
 D) \( \frac{3x^2}{x^2 + 2} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{3x^2}{x^3 + 2} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{u'}{u} \). 
Aqui, \( u = x^3 + 2 \) e \( u' = 3x^2 \). Portanto, \( f'(x) = \frac{3x^2}{x^3 + 2} \). 
 
24. **Qual é o resultado da integral \( \int (x^2 + 3x + 2) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 B) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 C) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3}{3}x^2 + 2 + C \) 
 D) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2 + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \), \( \int 3x \, dx = 
\frac{3}{2}x^2 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). Portanto, a integral resulta em \( \frac{x^3}{3} + 
\frac{3}{2}x^2 + 2x + C \). 
 
25. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 
\). Assim, \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} x^2 \cdot \frac{x}{\sin(x)} = 0 
\cdot 1 = 0 \). 
 
26. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 A) \( 2xe^{x^2} \) 
 B) \( e^{x^2} \) 
 C) \( 2xe^{2x} \) 
 D) \( x e^{x^2} \) 
 **Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
27. **Qual é o valor da integral \( \int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Integramos \( 3x^2 - 4x + 1 \): \( \int (3x^2) \, dx = x^3 \), \( \int (-4x) \, dx = 
-2x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Assim, \( \int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x \). Avaliando 
de 1 a 2, temos \( (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2 - 0 = 0 \). 
 
28. **Qual é o resultado da integral \( \int (4x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \, dx \)?** 
 A) \( x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 B) \( x^4 - x^3 + x^2 + C \) 
 C) \( x^4 - \frac{3}{3} x^3 + x^2 - x + C \) 
 D) \( x^4 - \frac{3}{3} x^3 + x^2 + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^4 - x^3 + x^2 - x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -3x^2 \, dx = -x^3 
\), \( \int 2x \, dx = x^2 \), e \( \int -1 \, dx = -x \). Portanto, a integral resulta em \( x^4 - x^3 + 
x^2 - x + C \). 
 
29. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2