finanças S9I

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D) \( 3\cos(x^3) \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 \cos(x^3) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \sin(u) \) é \( \cos(u) \cdot u' 
\). Aqui, \( u = x^3 \) e \( u' = 3x^2 \). Portanto, \( f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cos(x^3) 
\). 
 
40. **Qual é o valor da integral \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 B) \( x^3 - x^2 + C \) 
 C) \( 3x^3 - 2x + C \) 
 D) \( 3x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Resposta:** A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -2x \, dx = -x^2 \), 
e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral resulta em \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
41. **Qual é o resultado da integral \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{2}{4} x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 B) \( \frac{1}{2} x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 C) \( \frac{2}{2} x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 D) \( x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{2} x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 2x^3 \, dx = \frac{1}{2} x^4 \), \( \int 3x^2 \, 
dx = x^3 \), \( \int -4x \, dx = -2x^2 \), e \( \int 5 \, dx = 5x \). Portanto, a integral resulta em \( 
\frac{1}{2} x^4 + x^3 - 2x^2 + 5x + C \). 
 
42. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) \( \frac{1}{2} \) 
 C) 1 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usamos a multiplicação pelo conjugado: \( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 
1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} \). Isso resulta em \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x 
+ 1} + 1)} = \frac{1}{2} \). 
 
43. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = e^{x^2} \)?** 
 A) \( 2xe^{x^2} \) 
 B) \( e^{x^2} \) 
 C) \( 2e^{x^2} \) 
 D) \( x^2 e^{x^2} \) 
 **Resposta:** A) \( 2xe^{x^2} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
44. **Qual é o valor da integral \( \int (4x^2 - 3x + 2) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{4}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 2x + C \) 
 B) \( \frac{4}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + C \) 
 C) \( 4x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 2x + C \) 
 D) \( 4x^3 - 3x + 2 + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{4}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 4x^2 \, dx = \frac{4}{3} x^3 \), \( \int -3x \, 
dx = -\frac{3}{2} x^2 \), e \( \int 2 \, dx = 2x \). Portanto, a integral resulta em \( \frac{4}{3} x^3 
- \frac{3}{2} x^2 + 2x + C \). 
 
45. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x^2)} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 
1 \). Aqui, \( u = x^2 \), então \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x^2)} = 1 \). 
 
46. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = \tan(x^2) \)?** 
 A) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 B) \( 2x \tan(x^2) \) 
 C) \( \sec^2(x^2) \) 
 D) \( 2 \sec^2(x^2) \) 
 **Resposta:** A) \( 2x \sec^2(x^2) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \tan(u) \) é \( \sec^2(u) \cdot 
u' \). Aqui, \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2) 
\). 
 
47. **Qual é o valor da integral \( \int (5x^3 - 4x^2 + 3x - 2) \, dx \)?** 
 A) \( \frac{5}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 2x + C \) 
 B) \( \frac{5}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + C \) 
 C) \( 5x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 2x + C \) 
 D) \( 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{5}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 2x + C \) 
 **Explicação:** Integramos cada termo: \( \int 5x^3 \, dx = \frac{5}{4} x^4 \), \( \int -4x^2 \, 
dx = -\frac{4}{3} x^3 \), \( \int 3x \, dx = \frac{3}{2} x^2 \), e \( \int -2 \, dx = -2x \). Portanto, a 
integral resulta em \( \frac{5}{4} x^4 - \frac{4}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 - 2x + C \). 
 
48. **Qual é o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?** 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) Não existe 
 **Resposta:** B) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 
\). 
 
49. **Qual é o resultado da derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + x + 1) \)?** 
 A) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \) 
 B) \( \frac{2x + 1}{1} \) 
 C) \( \frac{1}{x^2 + x + 1} \) 
 D) \( \frac{2}{x^2 + x + 1} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \)