Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^3 - 3) \, dx\)? a) 0 b) 1 c) -1 d) 2

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^4 + 2x^3 - 3) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^4\) é \(\frac{x^5}{5}\). 2. A integral de \(2x^3\) é \(\frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2}\). 3. A integral de \(-3\) é \(-3x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^4 + 2x^3 - 3) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} - 3x + C \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{2} - 3(1) \right] - \left[ \frac{0^5}{5} + \frac{0^4}{2} - 3(0) \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{5} + \frac{1}{2} - 3 \right] - [0] \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar \(\frac{1}{5}\) e \(\frac{1}{2}\): O denominador comum entre 5 e 2 é 10: \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \] Portanto: \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10} \] Agora, subtraímos 3 (que é \(\frac{30}{10}\)): \[ \frac{7}{10} - \frac{30}{10} = \frac{7 - 30}{10} = \frac{-23}{10} \] Assim, o valor da integral é \(-\frac{23}{10}\), que não está entre as opções. Vamos verificar se houve algum erro nas opções. No entanto, se considerarmos a avaliação correta, a integral resulta em um valor negativo, mas não corresponde a nenhuma das alternativas dadas. Portanto, a resposta correta não está entre as opções apresentadas. Você pode querer revisar as opções ou o enunciado da questão.