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d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta**: a) \( \sqrt{\pi} \) 
 **Explicação**: A integral de \( e^{-x^2} \) é uma integral gaussiana, que é conhecida por 
convergir para \( \sqrt{\pi} \). 
 
25. **Problema 25**: Determine o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2}{5x^3 + 4} 
\). 
 a) \( \frac{2}{5} \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( 1 \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^3 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x^3}} = \frac{2}{5} \). 
 
26. **Problema 26**: Qual é a solução da equação diferencial \( y' = -2y + 4 \)? 
 a) \( y = 2 + Ce^{-2x} \) 
 b) \( y = 4 + Ce^{-2x} \) 
 c) \( y = 4 - Ce^{-2x} \) 
 d) \( y = 2 - Ce^{-2x} \) 
 **Resposta**: a) \( y = 2 + Ce^{-2x} \) 
 **Explicação**: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução 
geral é dada por \( y = 2 + Ce^{-2x} \). 
 
27. **Problema 27**: Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( e^{x^2} + x + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + x + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \), resultando 
em \( \int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
28. **Problema 28**: Determine o valor de \( \int_0^1 (1 - x^3)^{5} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{6} \) 
 b) \( \frac{1}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{7} \) 
 d) \( \frac{1}{8} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = 1 - x^3 \), \( du = -3x^2 \, dx \). Os limites de 
integração mudam de 0 a 1 para 1 a 0, resultando em \( \frac{1}{3} \int_1^0 u^{5} \, (-du) = 
\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \). 
 
29. **Problema 29**: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) \( 3 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( 1 \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta**: a) \( 3 \) 
 **Explicação**: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 3 \), então o limite é \( 3 \). 
 
30. **Problema 30**: Qual é a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( \cos^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta**: a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é conhecida e resulta em \( \tan^{-1}(x) 
+ C \). 
 
31. **Problema 31**: Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{5}{3} \) 
 d) \( \frac{7}{3} \) 
 **Resposta**: b) \( 2 \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + 
x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right) - 0 = 2 \). 
 
32. **Problema 32**: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x^2} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta**: a) \( 0 \) 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x^2} = 
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{2x} = 0 \). 
 
33. **Problema 33**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{3}{8} \) 
 c) \( \frac{1}{5} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta**: b) \( \frac{3}{8} \) 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), \( du = -2x \, dx \). Os limites de 
integração mudam de 0 a 1 para 1 a 0, resultando em \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{3} \, (-du) = 
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \). 
 
34. **Problema 34**: Determine o valor de \( \int_0^1 (2 - 3x + x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( 0 \) 
 **Resposta**: c) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação**: A integral é \( \int_0^1 (2 - 3x + x^2) \, dx = \left[2x - \frac{3x^2}{2} + 
\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = (2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \).