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**Resposta: a) \( \frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 5x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
78. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^5 + 3x) \). 
 a) \( \frac{5x^4 + 3}{x^5 + 3x} \) 
 b) \( \frac{1}{x^5 + 3x} \) 
 c) \( \frac{5x^4}{x^5 + 3x} \) 
 d) \( \frac{3}{x^5 + 3x} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5x^4 + 3}{x^5 + 3x} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^5 + 3x} \cdot (5x^4 + 3) \). 
 
79. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) 4 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado, então fatoramos: \( \frac{(x-
1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{x-1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \) e, substituindo \( x = 1 \), obtemos 5. 
 
80. Encontre a integral \( \int (3x^4 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{5}x^5 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{3}{5}x^5 - x^2 + C \) 
 c) \( \frac{3}{5}x^5 - 2x + C \) 
 d) \( \frac{3}{5}x^5 - x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{3}{5}x^5 - x^2 + x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
81. Calcule a derivada de \( f(x) = x^2 e^{x} \). 
 a) \( 2xe^{x} + x^2 e^{x} \) 
 b) \( 2xe^{x} + e^{x} \) 
 c) \( e^{x} \) 
 d) \( 2xe^{x} - x^2 e^{x} \) 
 **Resposta: a) \( 2xe^{x} + x^2 e^{x} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \( f'(x) = u'v + uv' \). 
 
82. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) \( \frac{1}{2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \cos(x) \): \( \cos(x) \approx 1 - 
\frac{x^2}{2} \). 
 
83. Encontre a integral \( \int (5x^3 + 3x^2 - 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \) 
 b) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 + C \) 
 c) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - x + C \) 
 d) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{5}{4}x^4 + x^3 - 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
84. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 4) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 4} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 4} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 4} \) 
 d) \( \frac{4}{x^2 + 4} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{x^2 + 4} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x \). 
 
85. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 2** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2 \). 
 
86. Encontre a integral \( \int (4x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \) 
 b) \( \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 c) \( \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 - x + C \) 
 d) \( \frac{4}{3}x^3 + 3x^2 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
87. Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). 
 a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x \). 
 
88. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 5** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{1} = 5 \).