cap 4 4

Prévia do material em texto

294 Cálculo Aplicado Seção 4.4 Funções Esboçar os gráficos das funções logarítmicas naturais. Utilizar as propriedades dos logaritmos para simplificar, expandir e condensar logarítmicas expressões logarítmicas. Utilizar as propriedades inversas das funções exponenciais e logarítmicas para resolver equações exponenciais e logarítmicas. Utilizar as propriedades de logaritmos naturais para responder perguntas sobre situações da vida real. Função logarítmica natural Em seus estudos de álgebra anteriores, você deve ter aprendido um pouco sobre os logaritmos. Por exemplo, o logaritmo comum é definido como log₁₀ se, e somente se, 10ᵇ A base de logaritmos comuns é 10. Em cálculo, a base mais útil para logaritmos é o número e. Definição da função logarítmica natural A função logarítmica natural, simbolizada por In x, é definida como se, e somente se, Lê-se x como "ele ene de x" ou logaritmo natural de Essa definição implica que a função logarítmica natural e a função exponencial natural são funções inversas. Então, toda equação logarítmica pode ser escrita em uma forma exponencial equivalente e toda equação exponencial pode ser escrita em forma logarítmica. Veja alguns exemplos: Forma logarítmica: Forma exponencial: y 3 e¹ = e 2 (0,1) (e,1) 1 e e -3 -2 (1,0) 3 4 In 2 0,693 -2 Já que as funções e g(x) In x são funções inversas, seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y x. Essa propriedade reflexiva é ilustrada na Figura 4.13. A figura também contém um resumo de diversas pro- priedades do gráfico da função logarítmica natural. g(x) In Observe que o domínio da função logarítmica natural é o conjunto dos núme- Domínio: (0, ros reais positivos perceba que In x não está definido para zero ou para números Imagem: negativos. Isso pode ser comprovado usando a calculadora. Se tentar calcular Interseção com os eixos: (1,0) ou In 0, ela indicará que o valor não é um número real. Sempre crescente In x quando x In x quando x -> 0+ Exemplo 1 Esboço de funções logarítmicas Contínua Bijetora Esboce o gráfico de cada função. FIGURA 4.13 a. 1)Funções exponenciais e logarítmicas 295 TECNOLOGIA SOLUÇÃO O que acontece ao se a. Como a função logarítmica natural é definida somente para valores positivos, T tentar encontrar o o domínio da função é x + 1 > 0, ou logaritmo de um número Domínio negativo? Algumas ferramentas gráficas não exibem uma Para esboçar o gráfico, comece por construir uma tabela de valores, como mos- mensagem de erro para In( 1) trado abaixo. Então marque os pontos da tabela e conecte-os com uma curva Em vez disso, a ferramenta lisa, conforme mostra a Figura 4.14(a). gráfica exibe um número complexo. Para o propósito x -0,5 0 0,5 1 1,5 2 deste livro, no entanto, vamos In(x + 1) -0,693 0 0,405 0,693 0,916 1,099 supor que o domínio da função logarítmica é o conjunto de números reais positivos. b. O domínio dessa função é ou x > 2. Domínio Uma tabela de valores da função é dada abaixo e seu gráfico mostrado na Fi- gura 4.14(b). x 2,5 3 3,5 4 4,5 5 2 In(x 2) 0 0,811 1,386 1,833 2,197 y y = 2 In(x 2) 3 3 2 In(x + 1) 2 1 1 x x 2 4 5 -1 -1 -2 -2 (a) (b) FIGURA 4.14 AUTOAVALIAÇÃO 1 Use uma ferramenta gráfica para completar a tabela e esboçar o gráfico da função. = In(x + 2) x -1,5 -1 -0,5 x 0 0,5 1 ATENÇÃO Como o gráfico de = + 1) está relacionado com o gráfico de y = In x? gráfico de fé uma translação do gráfico de y = In x uma unidade para a esquerda.296 Cálculo Aplicado Propriedade das funções logarítmicas Lembre-se que a Seção 1.4 mostrou que as funções inversas têm a propriedade que As propriedades listadas abaixo se originam do fato de que a função logarítmica natural e a função exponencial natural são funções inversas. Propriedades inversas de logaritmos e expoentes 1. In = Exemplo 2 Aplicação das propriedades inversas Simplifique cada expressão. a. In b. SOLUÇÃO a. Como In = x, segue que In = b. Como = x, segue que AUTOAVALIAÇÃO 2 Simplifique cada expressão. a. In e³ b. A maioria, das propriedades das funções exponenciais podem ser reescritas em termos de funções logarítmicas. Por exemplo, a propriedade = afirma que é possível multiplicar duas expressões exponenciais adicionando seus expoentes. Na forma de logaritmos, esta propriedade torna-se In xy = + In y. Essa e duas outras propriedades de logaritmos estão resumidas abaixo. ATENÇÃO Não há uma propriedade geral Propriedades de logaritmos que possa ser usada para reescrever In(x + y). Especificamente, In(x + y) não é igual a In x + In y. 3. O ato de reescrever um logaritmo de uma única quantidade como a soma, di- ferença ou a multiplicação de logaritmos é denominado expansão da expressão lo- garítmica. O procedimento inverso é chamado de condensação de uma expressão logarítmica.Funções exponenciais e logarítmicas 297 TECNOLOGIA Exemplo 3 Expansão de expressões logarítmicas Tente usar uma ferramenta T Use as propriedades de logaritmos para reescrever cada expressão como uma soma, gráfica para conferir os diferença ou multiplicação de logaritmos. (Suponha que x > > resultados do Exemplo 3(b). Ou seja, tente traçar o gráfico das funções a. 10 9 b. In + c. In 5 d. SOLUÇÃO e Propriedade 2 b. Reescreva com expoente racional Propriedade 3 Como essas duas funções são equivalentes, seus gráficos Propriedade 2 devem coincidir. Propriedade 1 d. Propriedade 1 Propriedade 3 AUTOAVALIAÇÃO 3 Use as propriedades de logaritmos para reescrever cada expressão como uma soma, diferença ou multiplicação de logaritmos. (Suponha que x > 0 > a. 2 5 x b. In 2 c. In d. x(x + 5y Exemplo 4 Condensação de expressões logarítmicas Use as propriedades dos logaritmos para reescrever cada expressão como loga- ritmo de uma única quantidade. (Suponha que a. In 2 b. 2 SOLUÇÃO Propriedade 3 Propriedade 1 b. 2 In Propriedade 3 + In x³ Propriedade 2 AUTOAVALIAÇÃO 4 Use as propriedades dos logaritmos para reescrever cada expressão como loga- ritmo de uma única quantidade. (Suponha que > > 0.) Resolução de equações exponenciais e logarítmicas As propriedades inversas de logaritmos e expoentes podem ser usadas para resol- ver equações logarítmicas e exponenciais, conforme ilustram os próximos dois exemplos.298 Cálculo Aplicado ATENÇÃO Exemplo 5 Resolução de equações exponenciais Nos exemplos desta página, Resolva cada equação. observe que o principal passo para resolver uma equação b. 10 14 exponencial é tomar o log de cada lado, e o principal passo SOLUÇÃO para resolver uma equação a. 5 Escreva a equação original. logarítmica é tomar a In = 5 Tome o log natural de cada lado. exponencial de cada lado. Propriedade inversa: In = x b. 10 + = 14 Escreva a equação original. Subtraia 10 de cada lado. In = In 4 Tome o log natural de cada lado. 0,1t 4 Propriedade inversa: In 0,1t Multiplique cada lado por 10. AUTOAVALIAÇÃO 5 Resolva cada equação. Exemplo 6 Resolução de equações logarítmicas Resolva as equações SOLUÇÃO a. Escreva a equação original. Tome a exponencial de cada lado. Propriedade inversa: Escreva a equação original. Subtraia 3 de cada lado. Divida cada lado por 2. Tome a exponencial de cada lado Propriedade inversa: Duplicação de saldos de contas 24 AUTOAVALIAÇÃO 6 22 20 Resolva cada equação. Tempo de duplicação (em anos) 18 16 14 12 10 Exemplo 7 Determinação do tempo de duplicação R 8 6 P dólares são depositados em uma conta cuja taxa de juros anual é r, capitalizados 4 2 continuamente. Quanto tempo demorará para que esse saldo duplique? r 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 SOLUÇÃO O saldo na conta após t anos é Taxa de juros A FIGURA 4.15 Então, o saldo terá duplicado quando = 2P. Para determinar o "tempo de du- resolva esta equação para t.Funções exponenciais e logarítmicas 299 Pert = 2P O saldo na conta duplicou. Divida cada lado por P. In = In 2 Tome o log natural de cada lado. rt In 2 Propriedade inversa: In = rt Divida cada lado por r. Por este resultado, podemos observar que o tempo necessário para que o saldo dobre é inversamente proporcional à taxa de juros r. A tabela mostra os tempos de duplicação para diversas taxas de juros. Observe que o tempo de duplicação dimi- nui à medida que a taxa aumenta. A relação entre o tempo de duplicação e a taxa de juros é mostrada graficamente na Figura 4.15. r 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% t 23,1 17,3 13,9 11,6 9,9 8,7 7,7 6,9 6,3 5,8 AUTOAVALIAÇÃO 7 Use a equação do Exemplo 7 para determinar o tempo necessário para que um saldo duplique à taxa de juros de 8,75%. VERIFICAÇÃO DOS CONCEITOS 1. que são logaritmos comuns e logaritmos naturais? 2. Escreva simbolicamente "logaritmo de X na base 3". 3. Quais são o domínio e a imagem de f(x) = In x? 4. Explique a relação entre as funções f(x) = In X e g(x) Os exercícios preparatórios a seguir envolvem conceitos vistos em seções anteriores. Esses Recapitulação 4.4 conceitos serão utilizados no conjunto de exercícios desta seção. Para obter mais ajuda, consulte as Seções 0.1, 0.3 e 4.2. Nos Exercícios 1-8, use as propriedades dos expoentes para simplificar a expressão. 1. 2. 3. 4. 3⁻² 5. 6. (3e)⁴ 7. 25 Nos Exercícios 9-12, resolva para determinar X. 10. 0300 Cálculo Aplicado Exercícios 4.4 Nos Exercícios 1-8, escreva a equação logarítmica como Nos Exercícios 29 e 30, use as propriedades dos loga- equação exponencial ou vice-versa. ritmos e o fato de que In 2 ≈ 0,6931 e In 3 ≈ 1,0986 1. 2. In 2,1972 para aproximar o logaritmo. Então use uma calcula- dora para confirmar sua aproximação. 3. In 0.2 1,6094 4. In 0,05 2,9957 29. (a) In 6 (b) (c) 81 (d) In 6. e² 7,3891 30. (a) In 0,25 (b) In 24 (c) In 3/12 (d) In 1/2 7. e⁻³ 0,0498 8. 1,2840 Nos Exercícios 31-40, use as propriedades dos logarit- Nos Exercícios 9-12, relacione as funções a seus respec- mos para escrever a expressão como uma soma, dife- tivos gráficos, identificados de (a)-(d). rença ou multiplicação de logaritmos. (a) y (b) 31. 32. 34. In 1 2 33. In x 1 2 3 35. In 36. In x + 1 -1 37. In [z(z 38. In -2 -1 + 2x 39. 40. In (c) (d) y Nos Exercícios 41-50, escreva a expressão como loga- 3 ritmo de uma única quantidade. 42. 2 2 3 -1 43. 3 44. 2 1 -2 x 46. 2 3 10. 48. Nos Exercícios 13-18, esboce o gráfico da função. Nos Exercícios 51-74, resolva para determinar X ou t. 51. 4 52. 0 53. Nos Exercícios 19-22, mostre analiticamente que as fun- 55. 2,4 56. In 4x ções são funções inversas. Em seguida, use uma ferra- 57. 3 In 10 menta gráfica para mostrar isso graficamente. 60. 0,075 61. 700 62. 10 50 65. 66. Nos Exercícios 23-28, aplique as propriedades inversas 67. 15 68. = das funções logarítmicas e exponenciais para simplifi- 69. 500(1,07) 70. car a expressão. 23. In 24. In 71. 72. 0,06 25. 26. 0,878 2,471 74. 4 28. - 21 40Funções exponenciais e logarítmicas 301 Nos Exercícios 75 e 76, suponha que $ sejam in- isótopos de carbono para átomos de carbono é vestidos a uma taxa de juros r, capitalizados continua- R em que t representa o tempo (em mente. Determine o tempo necessário para que o anos) e representa quando o material orgânico montante (a) duplique e (b) triplique. morreu. 75. r = 0,085 76. r = 0,12 83. R 10⁻¹² 84. R 10⁻¹² 85. R 10⁻¹² 86. R 10⁻¹² 77. Juros compostos Um depósito de feito em uma conta que rende juros a uma taxa anual de 5%. Quanto 87. Teoria do aprendizado Em um curso de matemática, tempo demorará para o saldo duplicar se esses juros forem uma prova era aplicada e depois os alunos eram mais uma vez capitalizados (a) anualmente, (b) mensalmente, (c) diaria- testados, mensalmente, com provas semelhantes. As notas mé- mente e (d) continuamente? dias S (em uma escala de 100 pontos) da turma podem ser mo- deladas por S 80 14 In(t + ≤ ≤ em que é 78. Juros compostos Use uma planilha para completar a ta- o tempo em meses. bela, que mostra o tempo t necessário para P dólares tripli- carem se os juros forem capitalizados continuamente a uma (a) Qual foi a nota média da primeira prova? taxa de r. (b) Qual foi a nota média após quatro meses? (c) Depois de quantos meses a nota média passou a ser 46? r 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% T 88. Teoria do aprendizado Em um projeto em grupo sobre t teoria do aprendizado, descobriu-se que um modelo mate- mático para a proporção P de respostas corretas após n ten- 79. Demanda A função da demanda de um produto é dada por tativas seria 4 0,83 p P em que p é o preço por unidade e x é o número de unidades (a) Use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da vendidas. Determine o número de unidades vendidas se os função. preços forem (a) p $200 e (b) $800. (b) Use o gráfico para determinar quaisquer assíntotas ho- 80. Demanda A função da demanda de um produto é dada por rizontais do gráfico da função. Interprete o significado da assíntota superior no contexto do problema. (c) Depois de quantas tentativas 60% das respostas estarão em que p é o preço por unidade e x é o número de unidades corretas? vendidas. Determine o número de unidades vendidas se os T 89. Agricultura A produção V (em libras por acre) de um preços forem (a) p $500 e (b) p pomar com idade t (em anos) é modelada por 81. Crescimento populacional A população P (em milha- V res) de Orlando, Flórida, de 1980 a 2005 pode ser modelada (a) Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico por dessa função. P = (b) Determine a assíntota horizontal do gráfico da função. em que corresponde a 1980. (Fonte: U.S. Census Bu- Interprete seu significado no contexto do problema. reau) (c) Determine o tempo necessário para obter uma produção (a) De acordo com este modelo, qual era a população de Or- de 7 900 libras por acre. lando em 2005? 90. TOMADA DE DECISÃO: FINANÇAS Você está investindo (b) De acordo com este modelo, em que ano Orlando terá P dólares a uma taxa de juros anual r, capitalizados conti- uma população de habitantes? nuamente, por t anos. Qual das seguintes opções forneceria o 82. Crescimento populacional A população P (em milha- maior valor para seu investimento? Explique seu raciocínio. res) de Houston, Texas, de 1980 a 2005 pode ser modelada (a) Duplicar a quantia investida. por P em que corresponde a 1980. (b) Duplicar a taxa de juros. (Fonte: U.S. Census Bureau) (c) Duplicar o número de anos. (a) De acordo com este modelo, qual era a população de Houston em 2005? 91. Demonstre que (b) De acordo com este modelo, em que ano Houston terá In # In In uma população de habitantes? y usando uma Datação do carbono Nos Exercícios 83-86, é fornecida x y In In In planilha para a proporção de átomos de carbono em um fóssil. Use a y completar a informação para estimar a idade desse fóssil. Em mate- 1 2 tabela. riais orgânicos vivos, a razão de isótopos de carbono ra- dioativos para o número total de átomos de carbono é 3 4 de cerca de 1 para 10¹² (consulte Exemplo 2 da Seção 4.1). Quando a matéria orgânica morre, seus isótopos 10 5 de carbono radioativos começam a se decompor, com 4 0,5 meia-vida de 5715 anos. Então, a fórmula da razão R de302 Cálculo Aplicado 92. Use uma planilha para completar a tabela, usando f(x) = In Se for falsa, explique por que ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. x = x 1 5 10 10² 10⁴ 10⁶ 96. 98. (a) Use a tabela para calcular o limite: lim 99. 2f(v), então u². T (b) Use uma ferramenta gráfica para calcular os extremos 100. 4 no intervalo (0, 10]. Esse gráfico é chamado de tractrix ou curva de perseguição. Use uma biblioteca, a internet ou Verdadeira ou falsa? Nos Exercícios 95-100, determine outra fonte de pesquisa para encontrar informações sobre se a afirmação é verdadeira ou falsa, dado que uma tractrix. Explique como tais curvas podem surgir em um cenário Seção 4.5 Derivadas Determinar as derivadas de funções logarítmicas naturais. Utilizar cálculo para analisar os gráficos das funções que envolvem a função das funções logarítmica natural. Utilizar a definição de logaritmos e a fórmula de mudança de base para calcu- logarítmicas lar expressões logarítmicas envolvendo outras bases. Determinar derivadas de funções exponenciais e logarítmicas envolvendo ou- tras bases. Derivadas de funções logarítmicas DESCOBERTA A derivação implícita pode ser usada para deduzir a derivada da função logarítmica. Esboce o gráfico de y In x em Função logarítmica natural um papel. Desenhe retas Escreva na forma exponencial. tangentes ao gráfico em vários pontos. Como mudam as Derive com relação inclinações dessas retas dx tangentes com o deslocamento para a direita? A inclinação Regra da cadeia chega a ser igual a zero? Use a dy 1 fórmula da derivada da função = Divida cada lado por logarítmica para confirmar dx ey suas conclusões. dy 1 Substitua por x. dx x Esse resultado e sua versão da Regra da Cadeia estão resumidos abaixo. Derivada da função logarítmica natural Seja uma função diferenciável de x. d 1.