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**Resposta: a) \( \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4 + 2}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^4 + 2}} \cdot 4x^3 \). 
 
55. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 **Resposta: c) 4** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{4\sec^2(4x)}{1} = 4 \). 
 
56. Encontre a integral \( \int (5x^4 - 2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) \( x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \) 
 b) \( x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 3x + C \) 
 c) \( x^5 - \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 d) \( x^5 - \frac{1}{3}x^3 + C \) 
 **Resposta: a) \( x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 3x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
57. Calcule a derivada de \( f(x) = \arcsin(x^2) \). 
 a) \( \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} \) 
 c) \( \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \) 
 d) \( \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^4}} \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot 2x \). 
 
58. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\tan(x)} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \( \tan(x) \): \( \tan(x) \approx x + 
\frac{x^3}{3} \). 
 
59. Encontre a integral \( \int (3x^5 - 4x^3 + 2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2}x^6 - x^4 + 2x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 2x + C \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^6 - x^4 + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}x^6 - x^4 + 3x + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{1}{2}x^6 - x^4 + 2x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
60. Calcule a derivada de \( f(x) = e^{-x^2} \). 
 a) \( -2xe^{-x^2} \) 
 b) \( 2xe^{-x^2} \) 
 c) \( -e^{-x^2} \) 
 d) \( e^{-x^2} \) 
 **Resposta: a) \( -2xe^{-x^2} \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) \). 
 
61. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x + 2}{2x^2 + 4} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \frac{5}{2} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta: c) \( \frac{5}{2} \)** 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x^2 \). 
 
62. Encontre a integral \( \int (4x^3 + 2x^2 - 3) \, dx \). 
 a) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \) 
 b) \( x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 3x + C \) 
 c) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C \) 
 d) \( x^4 + x^3 - 3x + C \) 
 **Resposta: a) \( x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
63. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \) 
 **Resposta: a) \( \cot(x) \)** 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
64. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( e \) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1 \). 
 
65. Encontre a integral \( \int (2x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \) 
 b) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
 c) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 1 + C \) 
 d) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 + C \) 
 **Resposta: a) \( \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \)** 
 **Explicação:** A integral é feita termo a termo. 
 
66. Calcule a derivada de \( f(x) = x^3 \sin(x) \).