mente exercitada pznhv

Prévia do material em texto

d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = 1 \). 
 
46. **Qual é a integral \( \int \tan(x) \, dx \)?** 
 a) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 b) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 c) \( -\ln|\sin(x)| + C \) 
 d) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
47. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \)?** 
 a) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 b) \( y = x + C \) 
 c) \( y = e^{x+C} \) 
 d) \( y = \frac{1}{x^2 + C} \) 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{x + C} \) 
 **Explicação:** Usamos separação de variáveis: \( \frac{dy}{y^2} = dx \). Integrando, 
temos \( -\frac{1}{y} = x + C \), resultando em \( y = \frac{1}{x + C} \). 
 
48. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A antiderivada é \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
1 - \frac{2}{3} + 1 = 2 \). 
 
49. **Qual é a integral \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \frac{1}{1 + x} + C \) 
 c) \( \ln|x| + C \) 
 d) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan^{-1}(x) + C \). 
 
50. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 6 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** c) 6 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{6\cos(6x)}{1} 
= 6\cos(0) = 6 \). 
 
51. **Qual é a integral \( \int \cos(x) \, dx \)?** 
 a) \( \sin(x) + C \) 
 b) \( -\sin(x) + C \) 
 c) \( \cos(x) + C \) 
 d) \( -\cos(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \sin(x) + C \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) + C \). 
 
52. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2) \, dx \)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** A antiderivada é \( x^3 + 2x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1 + 2) - (0) = 3 
\). 
 
53. **Qual é a derivada de \( \ln(x^3 + x) \)?** 
 a) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \) 
 b) \( \frac{3x^2}{x^3 + x} \) 
 c) \( \frac{1}{x^3} \) 
 d) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^3 + x \) e \( u' = 3x^2 + 1 \). 
 
54. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^3 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A antiderivada é \( \frac{x^4}{4} - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\left( \frac{1}{4} - 1 + 1 \right) - 0 = 0 \). 
 
55. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) 8 
 **Resposta:** c) 4 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{4\sec^2(4x)}{1} = 4\sec^2(0) = 4 \). 
 
56. **Qual é a integral \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \)