mente exercitada qnopd

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a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{5} \) 
 **Explicação:** A antiderivada de \( x^4 \) é \( \frac{x^5}{5} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5} \). 
 
25. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{5}{2} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo todos os termos pelo maior grau de \( x^2 \), obtemos \( 
\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^2}}{2 - \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2} \). 
 
26. **Qual é a integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \( x^3 - x^2 + x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( (1 - 1 + 1) - 
(0) = 1 \). 
 
27. **Qual é a derivada de \( \ln(x^3 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3} \) 
 c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \) 
 d) \( \frac{x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \). 
Aqui, \( u = x^3 + 1 \) e \( u' = 3x^2 \). 
 
28. **Qual é o valor da integral \( \int x e^{x^2} \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 d) \( e^{2x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
torna \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
29. **Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} = 
2\cos(0) = 2 \). 
 
30. **Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 3y^2 \)?** 
 a) \( y = \frac{1}{3x + C} \) 
 b) \( y = \frac{1}{3x} + C \) 
 c) \( y = \frac{3}{x + C} \) 
 d) \( y = 3x + C \) 
 **Resposta:** a) \( y = \frac{1}{3x + C} \) 
 **Explicação:** Usamos separação de variáveis: \( \frac{dy}{y^2} = 3dx \). Integrando, 
temos \( -\frac{1}{y} = 3x + C \), resultando em \( y = \frac{1}{3x + C} \). 
 
31. **Qual é a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)?** 
 a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 b) \( \cot^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{x} + C \) 
 d) \( e^x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan^{-1}(x) + C \). 
 
32. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** d) 3 
 **Explicação:** Usamos a fatoração: \( x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \). Cancelando \( x - 1 
\), temos \( \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \). 
 
33. **Qual é a derivada de \( \sqrt{x} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 b) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) 
 c) \( \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \( \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-
\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 
34. **Qual é a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 4x^2 + 1) \, dx \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1