novos exericicos ET

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d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{3}{2}\) 
 **Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador: 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{2}\). 
 
8. **Qual é a integral \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) \, dx\)?** 
 a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 b) \(\frac{\pi}{2}\) 
 c) \(\frac{\pi}{8}\) 
 d) \(\frac{\pi}{3}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral se 
torna \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 
\right) = \frac{\pi}{4}\). 
 
9. **Qual é a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)?** 
 a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 b) \(\frac{x}{x^2 + 1}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) 
 d) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = 
\frac{2x}{x^2 + 1}\). 
 
10. **Qual é o resultado da integral \(\int e^{2x} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}e^{2x} + C\) 
 b) \(e^{2x} + C\) 
 c) \(2e^{2x} + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}e^{x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{2}e^{2x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{kx}\) é \(\frac{1}{k} e^{kx}\). Portanto, \(\int e^{2x} \, dx 
= \frac{1}{2} e^{2x} + C\). 
 
11. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 3 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** Usando a limitação \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k\), temos \(\lim_{x 
\to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\). 
 
12. **Qual é a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\)?** 
 a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) 
 b) \(\frac{e^2 - 1}{2}\) 
 c) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 d) \(e - 1\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{e - 1}{2}\) 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = x^2\), temos \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = 
\frac{du}{2x}\). A integral se torna \(\frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} (e - 1)\). 
 
13. **Qual é a derivada de \(f(x) = \cos^2(x)\)?** 
 a) \(-2\cos(x)\sin(x)\) 
 b) \(-\sin(x)\) 
 c) \(-\cos(x)\) 
 d) \(2\cos(x)\sin(x)\) 
 **Resposta:** a) \(-2\cos(x)\sin(x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = 2\cos(x)(-\sin(x)) = -2\cos(x)\sin(x)\). 
 
14. **Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 4x\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{2} - 1 + 4\right) - 0 = \frac{1}{2} + 3 = 2\). 
 
15. **Qual é o resultado de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(e\) 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Aplicando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 
= 1\). 
 
16. **Qual é a integral \(\int_0^{\pi} \cos(x) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \(\pi\) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A primitiva é \(F(x) = \sin(x)\). Avaliando de 0 a \(\pi\), temos \(F(\pi) - F(0) 
= \sin(\pi) - \sin(0) = 0\). 
 
17. **Qual é o valor de \(\frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 5x^2 + 1)\)?** 
 a) \(5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10x\) 
 b) \(5x^4 - 15x^3 + 30x^2 - 5\) 
 c) \(5x^4 - 20x^3 + 15x^2\) 
 d) \(5x^4 - 10x^3 + 15x^2 - 5\) 
 **Resposta:** a) \(5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da potência: \(f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10x\). 
 
18. **Qual é o valor da integral \(\int_1^e \frac{1}{x} \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2