Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx\)? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(2x^2\) é \(\frac{2}{3}x^3\). - A antiderivada de \(3x\) é \(\frac{3}{2}x^2\). Portanto, a antiderivada de \(2x^2 + 3x\) é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \] 2. Avaliar a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre \(3\) e \(2\) é \(6\): \[ F(1) = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \quad \text{e} \quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \] Portanto: \[ F(1) = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} \] Agora, calculando \(F(0)\): \[ F(0) = \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 = 0 \] 3. Substituindo na fórmula: \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{13}{6} - 0 = \frac{13}{6} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{13}{6}\). Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois a resposta correta não está entre elas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.