Qual é a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\)? a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\) b) \(\frac{e^2 - 1}{2}\) c) \(\frac{e - 1}{2}\) d) \(e - 1\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Quando \(x = 0\), \(u = 0\) e quando \(x = 1\), \(u = 1\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \] Agora, calculamos a integral \(\int_0^1 e^u \, du\): \[ \int e^u \, du = e^u + C \] Portanto, \[ \int_0^1 e^u \, du = e^1 - e^0 = e - 1 \] Assim, substituindo de volta, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} (e - 1) \] Portanto, a resposta correta é: a) \(\frac{1}{2}(e - 1)\)