matematica livro jdx

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63. **Problema 63**: Encontre a integral \( \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) e^{x^3} \, dx \). 
 a) \( e^{x^3} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 c) \( e^{x^3} + Cx \) 
 d) \( e^{x^3} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^3} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
64. **Problema 64**: Calcule a integral \( \int_0^1 x^2 (1 - x^2)^{3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{10} \) 
 b) \( \frac{1}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{20} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 (1-u)^{3} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
65. **Problema 65**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{1/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^3 \), temos \( du = -3x^2 dx \): 
 \( -\frac{1}{3} \int_1^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
66. **Problema 66**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{4} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \). 
 A resposta correta é **d)**. 
 
67. **Problema 67**: Determine a integral \( \int_0^1 \sin^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \) 
 b) \( \frac{1}{4} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta**: Usando a identidade \( \sin^4(x) = \left( \sin^2(x) \right)^2 = \left( \frac{1 - 
\cos(2x)}{2} \right)^2 \): 
 \( \int_0^1 \sin^4(x) \, dx = \frac{1}{4} \int_0^1 (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx = \frac{3}{8} 
\). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
68. **Problema 68**: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta**: Usando a regra de L'Hôpital, temos: 
 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2(2x)}{1} = 2\sec^2(0) = 2 \). 
 A resposta correta é **c)**. 
 
69. **Problema 69**: Encontre a integral \( \int (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) e^{x^3} \, dx \). 
 a) \( e^{x^3} + C \) 
 b) \( \frac{1}{3} e^{x^3} + C \) 
 c) \( e^{x^3} + Cx \) 
 d) \( e^{x^3} + Cx^2 \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \): 
 \( \int e^u du = e^u + C = e^{x^3} + C \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
70. **Problema 70**: Calcule a integral \( \int_0^1 x^2 (1 - x^2)^{3} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{10} \) 
 b) \( \frac{1}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{15} \) 
 d) \( \frac{1}{20} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 (1-u)^{3} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \). 
 A resposta correta é **a)**. 
 
71. **Problema 71**: Determine a integral \( \int_0^1 (1 - x^3)^{1/2} \, dx \). 
 a) \( \frac{2}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^3 \), temos \( du = -3x^2 dx \): 
 \( -\frac{1}{3} \int_1^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \). 
 A resposta correta é **b)**. 
 
72. **Problema 72**: Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) \( \frac{1}{8} \) 
 d) \( \frac{1}{10} \) 
 **Resposta**: Usando a substituição \( u = 1 - x^2 \), temos \( du = -2x dx \): 
 \( -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{4} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \). 
 A resposta correta é **d)**. 
 
73. **Problema 73**: Determine a integral \( \int_0^1 \sin^4(x) \, dx \). 
 a) \( \frac{3}{8} \)