aprendizado avanado 3KNYU

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c) 2x / (x^2 + 1)^3 
d) 2x / sqrt(x^2 + 1) 
 
Resposta: b) 2x / (x^2 + 1)^2 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1), utilizamos a regra da 
cadeia. Primeiramente, precisamos substituir x^2 + 1 por u, resultando em f(u) = ln(u). Em 
seguida, derivamos a função f(u) em relação a u, o que nos dá f'(u) = 1/u. Por fim, aplicamos 
a regra da cadeia, multiplicando a derivada de u em relação a x (que é 2x) pela derivada de 
ln(u) em relação a u, resultando em 2x / (x^2 + 1)^2, que é a resposta correta. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 5x + 2? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 5x + 2 
b) f'(x) = 6x + 5 
c) f'(x) = 6x + 5x + 2 
d) f'(x) = 6x + 5 
 
Resposta: b) f'(x) = 6x + 5 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos derivar termo a termo. 
Aplicando a regra da potência, temos que a derivada de 3x^2 é 2*3x^(2-1) = 6x, a derivada 
de 5x é 5, e a derivada de uma constante é zero. Portanto, a derivada da função f(x) = 3x^2 + 
5x + 2 é f'(x) = 6x + 5. 
 
Questão: Qual é a integral indefinida de e^x? 
 
Alternativas: 
a) e^x + C 
b) e^x + x + C 
c) ln(x) + C 
d) x^2 + C 
 
Resposta: a) e^x + C 
 
Explicação: A integral indefinida de e^x é simplesmente e^x adicionado de uma constante 
(C) que representa a constante de integração. Portanto, a resposta correta é a alternativa a) 
e^x + C. 
 
Questão: Qual é a integral indefinida da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2dx? 
 
Alternativas: 
a) 1/4x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 2x + C 
b) x^4 + x^3 - 5x^2 + 2x + C 
c) 1/4x^4 + 1/3x^3 - 5/2x^2 + 2x + C 
d) 1/4x^4 + 1/3x^3 - 5/2x^2 + 2x 
 
Resposta: a) 1/4x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 2x + C 
 
Explicação: Para encontrar a integral indefinida da função dada, basta aplicar as regras de 
integração termo a termo. 
A integral de 2x^3 é 2/4 x^4 = 1/2 x^4 
A integral de 3x^2 é 3/3 x^3 = x^3 
A integral de -5x é -5/2 x^2 
A integral de 2 é 2x 
Assim, a resposta correta é a alternativa a) 1/4x^4 + x^3 - 5/2x^2 + 2x + C, onde C é a 
constante de integração. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = \sen(x) \cos(x) \)? 
 
Alternativas: 
a) \( \cos(x) \) 
b) \( -\sen(x) \) 
c) \( \cos^2(x) - \sen^2(x) \) 
d) \( \sen^2(x) + \cos^2(x) \) 
 
Resposta: b) \( -\sen(x) \) 
 
Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar a função dada. A regra do produto 
diz que a derivada do produto de duas funções u e v é dada por u'v + uv', onde u' e v' são as 
derivadas das funções u e v, respectivamente. 
 
Neste caso, \( u = \sen(x) \) e \( v = \cos(x) \). As derivadas de sen(x) e cos(x) são 
respectivamente cos(x) e -sen(x). Então, aplicando a regra do produto, temos: 
 
\( f'(x) = (\sen(x))' \cos(x) + \sen(x) (\cos(x))' \) 
\( f'(x) = \cos(x) \cos(x) + \sen(x) (-\sen(x)) \) 
\( f'(x) = \cos^2(x) - \sen^2(x) \) 
 
Portanto, a derivada da função dada é \( \cos^2(x) - \sen^2(x) \), que está representada na 
alternativa c.