Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^5)^{1/5} \, dx \). a) \( \frac{5}{6} \) b) \( \frac{1}{6} \) c) \( \frac{2}{5} \) d) \( \frac{3}{5} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^5)^{1/5} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^5 \). Assim, temos: 1. Derivando, obtemos \( du = -5x^4 \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{5x^4} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{1/5} \left(-\frac{du}{5(1-u)^{4/5}}\right) = \frac{1}{5} \int_0^1 u^{1/5} (1-u)^{-4/5} \, du \] Essa integral é uma forma da função beta, que pode ser expressa como: \[ B(a, b) = \int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{b-1} \, dt \] onde \( a = \frac{6}{5} \) e \( b = \frac{1}{5} \). Assim, temos: \[ B\left(\frac{6}{5}, \frac{1}{5}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{6}{5}\right) \Gamma\left(\frac{1}{5}\right)}{\Gamma\left(\frac{7}{5}\right)} \] Usando a propriedade da função gama \( \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \), podemos simplificar e calcular. Após os cálculos, encontramos que a integral resulta em \( \frac{5}{6} \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{5}{6} \).