31. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). A) 2 B) 0 C) 1 D) Não existe

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital ou a propriedade do limite da tangente. Sabemos que \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \) quando \( x \) se aproxima de 0. Assim, podemos reescrever: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2 \] Como \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 1 \), temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 1 \cdot 2 = 2 \] Portanto, a resposta correta é: A) 2