Grátis: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 2x) \). a) \( \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \) b) \( \frac{3x^2 + 2}{x^2} \) c) \( \frac{1}{x^3 + 2x} \) d...

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Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 2x) \).

a) \( \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \)
b) \( \frac{3x^2 + 2}{x^2} \)
c) \( \frac{1}{x^3 + 2x} \)
d) \( \frac{3x^2}{x^3 + 2x} \)

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Para determinar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^3 + 2x) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^3 + 2x \). 1. Primeiro, encontramos \( u' \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2. \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^3 + 2x} \cdot (3x^2 + 2). \] 3. Portanto, a derivada é: \[ f'(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}. \] Analisando as alternativas, a correta é: a) \( \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \).

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b) \(\frac{1}{3}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{3}{8}\)

43. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \).

a) 0
b) 1
c) 4
d) Não existe

Calcule a integral \( \int_0^1 x^2 e^{x^2} \, dx \).

a) \( \frac{1}{4} e^1 \)
b) \( \frac{1}{2} e^1 \)
c) \( \frac{1}{3} e^1 \)
d) \( \frac{1}{5} e^1 \)

Determine a derivada de f(x) = tan(x^2).

A) 2x sec^2(x^2)
B) sec^2(x^2)
C) 2 tan(x)
D) 2 sec^2(x)

Calcule a integral \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \, dx \).

a) \( \frac{3\pi}{8} \)
b) \( \frac{1}{2} \)
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Determine a derivada de f(x) = tan(x^2).

A) 2x sec^2(x^2)
B) sec^2(x^2)
C) 2 tan(x)
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